5.5用二次函数解决问题(1)

5.5用二次函数解决问题（1）-苏科版九年级数学下册培优训练一、选择题1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为( ) A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－73502、用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2 B.43m2 C.83m2 D.4 m23、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A. 5月B. 6月C. 7月D. 8月4、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A．5元B．10元C．0元D．6元5、将进价为70元/个的某种商品按销售单价100元/个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的销售单价在一定范围内每降低1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润应降价()A.20元B.15元C.10元D.5元6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A. 20B. 1508C. 1558D. 15857、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是()A. 140元B. 150元C. 160元D. 180元8、如图，线段的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形∆ACD和∆BCE，那么DE长的最小值是_______.二、填空题9、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为____10、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是__________________________，当边长x为________ 米时，花圃有最大面积，最大面积为________ 平方米．11、某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．12、已知商场某商品的进价为每件40元,现在的销售单价是60元/件,一周内可卖出300件.市场调查反映:售价每件每涨价1元,一周内要少卖出10件商品.设售价每件涨价x元,当x=时,商场能在一周内获得最大利润.13、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C 重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．14这两个数的积最大可以达到______15、某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．16、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2三、解答题17、如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8 c m，∠B＝30°，若边长AB＝x cm：(1)写出▱ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围；(2)当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．18、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的一边长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图①，则饲养室的一边长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图②，现要求在所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．19、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．绿化带的面积最大？20、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为７角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高１角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是５角．设这种面包的单价提高到x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？21、小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2(单位：元)．(1)用含x 的代数式表示W 1，W 2；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？22、已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=，10BC CD ==， 30=∠C ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）点E F ，分别是BC CD ，上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ．求EFC △面积的最大值，并说明此时E F ，的位置．23、东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p ＝⎩⎨⎧14t ＋30（1≤t ≤24，t 为整数），－12t ＋48（25≤t ≤48，t 为整数），且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：时间t(天) 1 3 6 10 20 40… 日销售量y(千克) 118 114 108 100 80 40 …(1)已知(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n 元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．5.5用二次函数解决问题 （1）-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）一、选择题1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x )件，则商店所获得的利润y (元)与每件商品售价x (元)之间的函数表达式为( )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7350B ．y ＝－10x 2＋560x －7350C ．y ＝－10x 2＋350xD ．y ＝－10x 2＋350x －7350[解析]B 由题意，得y ＝(x －21)(350－10x )＝－10x 2＋560x －7350.2、用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(C ) A.6425 m 2 B.43 m 2 C.83m 2 D .4 m 23、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间函数关系式为y=-n 2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A. 5月B. 6月C. 7月D. 8月【解析】试题解析：y=-n 2+14n-24=-（n-7）2+25，∵-1＜0，∴开口向下，y 有最大值，即n=7时，y 取最大值25，故7月能够获得最大利润, 故选C.4、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A )A ．5元B ．10元C ．0元D ．6元5、将进价为70元/个的某种商品按销售单价100元/个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的销售单价在一定范围内每降低1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润应降价 ( )A .20元B .15元C .10元D .5元[解析] D 设这种商品每个降价x 元,每天的利润为y 元,则降价后,每个商品的利润为100-70-x=(30-x )元,平均每天的销售量为(20+x )个,所以y=(30-x )(20+x )=-x 2+10x+600.当x=-=5时,y 取得最大值.6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足22201558y x =--+（），由于某种原因，价格只能15≤x ≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）A. 20B. 1508C. 1558D. 1585【解析】由题意知，一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足22201558y x =--+（）， 且15≤x≤22，根据二次函数的开口方向向下，可知当x=20时， y 1558=最大值． 故选：C ．7、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )A. 140元B. 150元C. 160元D. 180元【解析】设每张床位提高x 个20元，每天收入为y 元．则有y=（100+20x ）（100-10x ）=-200x 2+1000x+10000．当x=-时，可使y 有最大值．又x 为整数，则x=2时，y=11200；x=3时，y=11200；则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元． 故选C ．8、如图，线段的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形∆ACD 和∆BCE ，那么DE 长的最小值是_______.【详解】设AC=x ，则BC=2-x ，∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x ，CE=（2-x ），∴∠DCE=90°， 故DE 2=DC 2+CE 2=x 2+（2-x ）2=x 2-2x+2=（x-1）2+1，当x=1时，DE 2取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1，故答案为：1．二、填空题9、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m 宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m ，则能建成的饲养室面积最大为75m2 .10、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数表达式是__________________________， 当边长x 为________ 米时，花圃有最大面积，最大面积为________ 平方米．答案：S ＝－2x 2＋10x 52 252[解析] 由题意知平行于墙的一边长为(10－2x )米，则S ＝x (10－2x )＝－2(x －52)2＋252(0<x <5)， 所以当x ＝52时，花圃有最大面积，最大面积为252平方米． 11、某商店出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6－x )个，则当x ＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．[解析] 由题意可得y ＝(6－x )x ，即y ＝－x 2＋6x ，当x ＝3时，y 有最大值．12、已知商场某商品的进价为每件40元,现在的销售单价是60元/件,一周内可卖出300件.市场调查反映:售价每件每涨价1元,一周内要少卖出10件商品.设售价每件涨价x 元,当x= 时,商场能在一周内获得最大利润.[解析] 设销售单价涨价x 元,一周内获得的利润为y 元,则涨价后,每件的利润为60+x-40=(x+20)元,平均每天的销售量为(300-10x )个,所以y=(x+20)(300-10x )=-10x 2+100x+6000.当x=-=5时,y 取得最大值.13、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2mm /s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm /s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过________s ，四边形APQC 的面积最小．[解析] 设P ，Q 同时出发后，经过的时间为t s ，四边形APQC 的面积为S mm 2，则有S ＝S △ABC －S △PBQ ＝12×12×24－12×4t ×(12－2t )＝4t 2－24t ＋144＝4(t －3)2＋108. ∵4＞0， ∴当t ＝3时，S 取得最小值．故答案为3.14、两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到__9____15、某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x 棵橘子树，橘子总个数为y 个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．[解析] 设果园里增种x 棵橘子树，那么果园里共有(x ＋90)棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x )个橘子．∴y ＝(x ＋90)(520－4x )＝－4x 2＋160x ＋46800，∴当x ＝－b 2a ＝－1602×（－4）＝20时，y 最大，橘子总个数最多． 16、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____12.5____cm 2三、解答题17、如图所示，已知平行四边形ABCD 的周长为8 c m ，∠B ＝30°，若边长AB ＝x cm ：(1)写出▱ABCD 的面积y (cm 2)与x (cm)的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；(2)当x 取什么值时，y 的值最大？并求最大值．答案：(1)y ＝－12x 2＋2x (0<x <4)；(2)当x ＝2时，y 有最大值，最大值为2. 18、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室的一边长为x (m)，占地面积为y (m 2)．(1)如图①，则饲养室的一边长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图②，现要求在所示位置留2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x 比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252(0<x <50)， ∴当x ＝25时，占地面积y 最大，即当饲养室的一边长x 为25 m 时，占地面积y 最大．(2)∵y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338， ∴当x ＝26时，占地面积y 最大．∵26－25＝1(m)≠2 m ，∴小敏的说法不正确．19、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m )的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m 的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(2)当x 为何值时，绿化带的面积最大？解： (1)∵四边形ABCD 为矩形，BC ＝x m ， ∴AB ＝40－x 2m. 根据题意，得y ＝AB ·BC ＝40－x 2·x ＝－12x 2＋20x (0＜x ≤25)． (2)∵y ＝－12x 2＋20x ＝－12(x －20)2＋200， ∴当x ＝20时，绿化带的面积最大．20、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为７角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高１角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是５角．设这种面包的单价提高到x （角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y （角）．（1）用含x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y 与x 之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？答案：（1）,5-x ()x x 20300720160-=--，（2）150040020)20300)(5(2-+-=--=x x x x y ,（3）150040020)20300)(5(2-+-=--=x x x x y =-20(x-10)2+500当定价为10角时，利润最大，为500角.21、小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2(单位：元)．(1)用含x 的代数式表示W 1，W 2；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？解：(1)W 1＝(50＋x )(160－2x )＝－2x 2＋60x ＋8000，W 2＝19(50－x )＝－19x ＋950.(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋41x ＋8950(x 为整数)．∵－2＜0，抛物线的开口向下，－412×（－2）＝414， ∴当0≤x <414时，W 随x 的增大而增大； 当414<x ≤50时，W 随x 的增大而减小， 又∵x 取整数，故当x ＝10时，W 最大，W 最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160.即当x ＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是9160元．22、已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=，10BC CD ==， 30=∠C ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）点E F ，分别是BC CD ，上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ．求EFC △面积的最大值，并说明此时E F ，的位置．答案： (1)S ＝232550-, (2).425)5(41254122+--=+-=t t t S (100<<t )， 当t ＝5时，S 最大值＝.425此时E 在BC 中点，F 在CD 中点. 23、东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p ＝⎩⎨⎧14t ＋30（1≤t ≤24，t 为整数），－12t ＋48（25≤t ≤48，t 为整数），且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：时间t(天) 1 3 6 10 20 40 …日销售量y(千克) 118 114 108 100 80 40 …(1)已知(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n 元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．解：(1)依题意，得y ＝120－2t .当t ＝30时，y ＝120－60＝60. 答：在第30天的日销售量为60千克．(2)设日销售利润为W 元，则W ＝(p －20)y .当1≤t ≤24时，W ＝(14t ＋30－20)(120－2t )＝－12t 2＋10t ＋1200＝－12(t －10)2＋1250. 当t ＝10时，W 最大＝1250.当25≤t ≤48时，W ＝(－12t ＋48－20)(120－2t )＝t 2－116t ＋3360＝(t －58)2－4. 由二次函数的图象及性质知，当t ＝25时，W 最大＝1085.∵1250>1085， ∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．(3)依题意，得每天扣除捐款后的日销售利润W ＝(14t ＋30－20－n )(120－2t )＝－12t 2＋2(n ＋5)t ＋1200－120n . 其图象对称轴为直线t ＝2n ＋10，要使W 随t 的增大而增大．由二次函数的图象及性质知，2n ＋10≥24，解得n ≥7.又∵n <9，∴7≤n <9.。