专训1 用二次函数解决问题的四种类型

二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。

解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x 的函数关系式为1x 53x 101y 2++=（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2++-=（3）由（2）465)25x (10x 5x S 22+--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

解决二次函数题目的常用方法二次函数是高中数学中重要的内容之一，解决二次函数题目需要掌握一些常用的方法。

本文将介绍常见的解题思路和方法，帮助读者更好地理解和解决二次函数题目。

一、二次函数的基本形式一般来说，二次函数的基本形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

解决二次函数题目的关键是确定函数的图像特征和方程的解。

二、求解二次函数的零点零点是二次函数图像与x轴的交点，在解决题目中常常需要求解二次函数的零点。

我们可以通过以下步骤求解二次函数的零点：1. 将二次函数恒等于零，得到方程ax^2 + bx + c = 0；2. 使用公式x = (-b ±√(b^2-4ac))/(2a)求解方程的解；3. 判断方程的解个数和性质。

当b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b^2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b^2-4ac<0时，方程没有实数根。

三、求解二次函数的顶点二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，常常需要求解顶点坐标来确定函数的极值。

求解二次函数的顶点可以按照以下步骤进行：1. 将二次函数写成顶点形式f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标；2. 通过配方法将二次函数转化为顶点形式，得到顶点坐标。

四、求解二次方程的倒数倒数是指函数图像在某一点处的斜率，求解二次函数的倒数可以帮助我们研究函数的变化趋势。

求解二次函数的倒数可以按照以下步骤进行：1. 求解二次函数的导函数f'(x)；2. 将导函数写成一般形式f'(x) = 2ax + b。

五、拓展题及解法在解决二次函数题目时，常常会遇到一些拓展的题目。

以下是几个常见的拓展题及解法：1. 求解包含二次函数的方程组：通过联立方程组求解两个二次函数的交点，可以得到方程组的解；2. 求解经过顶点的二次函数：已知顶点坐标和一个点的坐标，可以利用顶点形式求解经过这两个点的二次函数；3. 求解与坐标轴交点的二次函数：已知二次函数经过两个点的坐标，可以利用插值法求解与x轴和y轴的交点。

二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。

解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式为1x 53x 101y 2++=（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2++-=（3）由（2）465)25x (10x 5x S 22+--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

专题训练(五)求二次函数解析式的四种常见类型►类型一已知三点求解析式1．已知：如图5－ZT－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的解析式．图5－ZT－12．如图5－ZT－2①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．图5－ZT－2►类型二已知顶点或对称轴求解析式3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为____________________．4．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．5．已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的解析式．6．如图5－ZT－3，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．图5－ZT－3►类型三已知抛物线与x轴的交点求解析式7．抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的解析式为()A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－3图5－ZT－48．如图5－ZT－4，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，则此抛物线的解析式为__________________．9．已知抛物线的顶点坐标为(1，9)，它与x轴有两个交点(交点的横坐标均为整数)，两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式．►类型四根据图形平移求解析式10．2017·义乌矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为() A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋311．2017·天津已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线的解析式为()A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2＋2x－1C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－112．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图5－ZT－5所示的二次函数的图象．(1)求此二次函数的解析式；(2)在平移后的抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M的坐标．图5－ZT－5 13．2018·苏州如图5－ZT－6，已知抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，C为顶点．直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.(1)求线段AD的长；(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′.若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数解析式．图5－ZT－6详解详析1．解：把(－1，0)，(0，－3)，(4，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－3，16a ＋4b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.所以此抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.2．解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)因为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2. (3)阴影部分的面积为2. 3．[答案] y ＝x 2－4x ＋5[解析] 从表格中的数据可以看出，当x ＝1和x ＝3时，函数值y ＝2，可见，抛物线的顶点坐标为(2，1)，故可设二次函数解析式为y ＝a (x －2)2＋1，再由二次函数图象过点(1，2)，得2＝a (1－2)2＋1，解得a ＝1，故二次函数的解析式为y ＝(x －2)2＋1，即y ＝x 2－4x ＋5.4．解：∵二次函数图象的顶点为A (1，－4)，∴设该二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－4.将(3，0)代入解析式，得a ＝1， 故y ＝(x －1)2－4，即该二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3. 5．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A (1，0)， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)(x －3)．把(0，3)代入解析式，得3＝3a ，∴a ＝1，∴y ＝(x －1)(x －3)， 即该抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. 6．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设此抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋4. ∵抛物线过点B (0，3)，∴3＝a (0－1)2＋4，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋4，即此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E (0，－3)，连接AE 交x 轴于点P ，此时P A ＋PB 的值最小．设直线AE 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7，b ＝－3， ∴直线AE 的解析式为y ＝7x －3.当y ＝0时，x ＝37，∴当P A ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(37，0)．7．B [解析] 由抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)．又因为抛物线与y 轴交于点(0，－3)，把x ＝0，y ＝－3代入y ＝a (x ＋1)(x －3)，得－3＝a (0＋1)(0－3)，即－3a ＝－3，解得a ＝1，故此抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.故选B.8．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋39．解：由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的两个交点分别为(－2，0)和(4，0)， 所以设其解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)． 将(1，9)代入解析式，得9＝a (1＋2)(1－4)， 解得a ＝－1，所以y ＝－(x ＋2)(x －4)，即此抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8.10．A[解析] 因为矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD关于坐标原点对称．因为A，C是矩形对角线上的两个点，所以点A，C关于原点对称，所以点C的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.11．A[解析] 令y＝0可得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，可得A(1，0)，B(3，0)，根据抛物线顶点坐标公式可得M(2，－1)，由点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，可知抛物线向左平移了3个单位长度，向上平移了1个单位长度，根据抛物线平移规律，可知平移后的抛物线的解析式为y＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1，故选A.12．解：(1)此二次函数的解析式为y＝(x＋1)2－4，即y＝x2＋2x－3.(2)∵当y＝0时，x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(1，0)，B(－3，0)，∴AB＝4.设点M的坐标为(m，n)．∵△ABM的面积为20，∴12AB·|n|＝20，解得n＝±10.当n＝10时，m2＋2m－3＝10，解得m＝－1＋14或m＝－1－14，∴点M的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)；当n＝－10时，m2＋2m－3＝－10，此方程无解．故点M的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)．13．解：(1)由x2－4＝0解得x1＝2，x2＝－2.∵点A位于点B的左侧，∴A(－2，0)．∵直线y＝x＋m经过点A，∴－2＋m＝0，m＝2.∴D(0，2)．∴AD＝OA2＋OD2＝2 2.(2)∵直线CC′平行于直线AD，并且经过点C(0，－4)，∴直线CC′的函数解析式为y＝x－4.∵新抛物线的顶点C′在直线y＝x－4上，∴设顶点C′的坐标为(n，n－4)，∴新抛物线对应的函数解析式为y＝(x－n)2＋n－4.∵新抛物线经过点D(0，2)，∴n2＋n－4＝2.解得n1＝－3，n2＝2.∴新抛物线对应的函数解析式为y＝(x＋3)2－7或y＝(x－2)2－2，即y＝x2＋6x＋2或y＝x2－4x＋2.。

高中二次函数常见考题类型与解题方法常见题型1. 求函数的顶点、对称轴、焦点、直线方程和图像在解这类题目时，需要把二次函数的标准式转化成顶点式或者焦点式。

然后用函数图像的对称性质、交点、顶点等信息，求出函数的相关信息并画出图像。

2. 解方程二次方程求解，首先需要化标准式，然后根据b²-4ac的大小确定根的类型。

对于有理根，可以用因式分解法，求根公式等方法求解；对于无理根，则需要用配方法或求根公式。

3. 求两条直线或曲线的交点在解这类题目时，需要将两个方程式联立，然后通过求解联立的方程组，得出两个函数的交点坐标或交点坐标式。

4. 求实数解的范围二次函数的实数解范围可以通过求判别式b²-4ac的符号，来判断是否有实数根，并且可以通过求对称轴的截距来确定实数解的范围。

解题方法1. 预处理公式在解题前，需要预处理一些与二次函数相关的公式和基础知识，例如二次函数的顶点、对称轴、焦点、离心率等等。

2. 分类讨论对于不同的题目，需要根据已知条件和求解目标，将问题进行分类讨论。

对于不同的情况，需要采用不同的方法来解题。

3. 推导式子对于某些比较困难的题目，需要通过一些推导来简化问题。

例如，通过配方法来化简二次函数的标准式，或者通过勾股定理来求解两个不同方程的交点坐标。

4. 绘制函数图像在解题过程中，需要绘制出函数的图像，并用图像来验证计算结果。

同时，函数图像的形态也可以提供很多有用的信息，例如对称轴的位置、顶点的坐标、焦点的位置等等。

5. 思考问题本质在解题时，需要思考问题的本质，找到问题的关键点，并寻找最简单、最直接的方法来解决问题。

对于一些比较抽象或比较难理解的概念，也可以通过具体的问题来加深理解。

结论二次函数是高中数学中的重要内容，掌握好二次函数的基本知识和求解方法，对于应对高考和日常生活都非常有用。

在解题时，需要预处理公式、分类讨论、推导式子、绘制函数图像，并思考问题的本质。

通过反复练习和思考，相信大家都可以轻松掌握二次函数的相关知识和技巧。

二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。

解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式为1x 53x 101y 2++=（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2++-=（3）由（2）465)25x (10x 5x S 22+--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

二次函数实际问题易考题型总结技巧1．二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。

解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示1，我们要用x分别把h，l表示出来。

经济问题：总利润=出来，如三角形S=hl2总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。

解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。

分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。

2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．题型：一、利润最值问题1、某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足关系式1336 8y x=-+，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b，c的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?3、某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？二、面积最值问题1.蒋老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，蒋老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？2、小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈（以墙为长人现在已备足可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？3.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．三、图形问题1、学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是25322y x x =-++，请回答下列问题： （1）花形柱子OA 的高度；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？O 2.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．2103335四、图像问题（一）长度最值、平行四边形问题8.如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.O xAMNBPC 题22图（二）周长与面积最值问题9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．（三）等腰三角形问题10.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．（四）直角三角形 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．A CB y x0 1 1（五）圆如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．（六）分段函数、累计二次函数问题11.启优学堂积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次），公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x月之间的函数关系（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。

专项22 二次函数解析式的方法归类（4种类型）类型一：待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。

（2）顶点式：y=a(xh)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。

顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h 时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

（3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²4ac≥0]。

已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设y=a（x x1)(x x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

类型二：运用几何图形性质求抛物线解析式【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A （1，0）、B（0，5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．【变式11】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，3)。

求该二次函数的解析式【变式12】一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（1，1），求这个二次函数的解析式．【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.【变式21】已知抛物线的顶点为(−2，−4)，且经过点(1，12)，求此抛物线的解析式．【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．【变式31】已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式【典例4】如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(4，3)，与y轴交于点B，对称轴是x=3，求抛物线的解析式。

【变式4】已知抛物线y=ax2+bx1的图象经过点（1，2），其对称轴为x=1．求抛物线的解析式．【典例5】（2020秋•郫都区期末）如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为．【变式5】（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（F AST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是．【典例6】（2021秋•海珠区校级期中）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？【变式6】（2021•安徽模拟）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．1．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,4)，且过点(1,2)，求抛物线的解析式. 2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，0)，(0，5)两点，求此二次函数的解析式．5.已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．3.已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．4.已知抛物线y=ax2+bx1的图象经过点（1，2），其对称轴为x=1．求抛物线的解析式．5．抛物线过点(9，0)、(5，16)、(1，0)，求二次函数解析式，并画出函数图象.6.（2021九上·百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？7.如图所示．三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N 距水面4m（即NC=4m），建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求出大孔抛物线的解析式；（2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．8.如图，用长为6 m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm，窗户的透光面积为ym2（铝合金条的宽度不计）．（Ⅰ）求出y与x的函数关系式；（Ⅰ）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．。

典中点二次函数专训5 用二次函数解决问题的四种类型◐名师点金◑利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数表达式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．类型：建立平面直角坐标系解决实际问题题型1：拱桥(隧道)问题1．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8 m，点B离路面AA1的距离为6 m，隧道宽AA1为16 m.(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．题型2：建筑物问题2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为( )A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m题型3：物体运动类问题3．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4 m，AC＝3 m，网球飞行最大高度OM＝5 m，圆柱形桶的直径为0.5 m，高为0.3 m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？类型2：建立二次函数模型解决最值问题题型1：利用二次函数解决图形高度的最值问题4．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为________．题型2：利用二次函数解决图形面积的最值问题5．工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm,如的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)。

二次函数应用题的解法技巧
二次函数是高中数学中重要的内容之一，其应用广泛且实用。

本文将介绍几种解决二次函数应用题常用的技巧，帮助您更好地理解和解答相关问题。

技巧一：建立方程
遇到二次函数应用题时，首先要根据题目中给出的条件建立出相应的二次函数方程。

通常情况下，题目会提供函数的某些特征，如顶点、焦点、与坐标轴的交点等。

根据这些信息，可以利用二次函数的标准形式或顶点形式来建立方程。

技巧二：分析函数图像
了解二次函数的图像特点对解题非常有帮助。

通过分析二次函数的开口方向、顶点位置以及与坐标轴的交点等信息，可以得到一些重要的线索。

例如，若二次函数开口朝上，那么函数图像在顶点处达到最小值；若开口朝下，则函数图像在顶点处达到最大值。

技巧三：利用性质和定理
二次函数有许多重要的性质和定理，掌握它们能够快速解决问题。

比如，二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，利用对称性可以快速求出函数图像的其他点；其次，利用判别式可以判断二次方程的根的情况，从而确定函数与x 轴的交点。

技巧四：代入验证
为了验证解得的答案是否符合题意，可以将解代入原方程中进行验证。

如果经过计算后两边相等，则说明解是正确的；如果不相等，可能是解答过程中出现了错误或漏解的情况。

技巧五：多做练习
掌握二次函数应用题的解法，需要多做一些练习。

通过不断的练习和思考，积累经验，掌握一些常见的模型和解题方法，培养自己的数学思维和分析能力。

通过掌握以上技巧，相信您能够更加轻松地解决二次函数应用题。

数学是一门需要不断实践和思考的学科，希望您可以多多练习，不断提升自己的数学水平！。

二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。

解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式为1x 53x 101y 2++=（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2++-=（3）由（2）465)25x (10x 5x S 22+--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

二次函数解决实际问题归纳及练习一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。

（1）利用二次函数解决利润最大问题此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。

例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)①求M型服装的进价②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。

（2）利用二次函数解决面积最值例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m。

这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。