抛物线的几何性质

一、 第一讲: 抛物线标准方程 二、 考点、热点回顾一、定义: 在平面内,及一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：的轨迹是抛物线。

则点若M MNMF,1 三、 (定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线。

)标准方程:设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0).取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴, x 轴及l 交于K, 以线段KF 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得: y2=2px(p＞0).由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、典型例题(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．方程是x2=-8y.例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3, 0)；(3)焦点到准线的距离是2.答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．三、课堂练习1.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________答案：2解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: 解: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.3.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是x轴, 抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m的值解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为y2=-2px(p＞0), 则准线方因为抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离|MF|及到准线的距离得p=4.因此, 所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3, m)在此抛物线上, 故m2=-8(-3)．解法二: 由题设列两个方程, 可求得p和m. 由学生演板. 由题意在抛物线上且|MF|=5, 故四、课后作业1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.2.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M, 其横坐标为－9, 它到焦点的距离为10, 求抛物线方程和M点的坐标.解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点F(－, 0). 则准线为x＝.设M到准线的距离为|MN|,则|MN|＝|MF|＝10, 即－(－9)＝10, ∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6. 故M(－9,6)或M(－9，－6)．3.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上, 点A(2, )在抛物线内. 若抛物线上一动点P到A.F两点距离之和的最小值为4, 求抛物线C的方程.解析: 解: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0), 其准线为x＝－, 过P点作抛物线准线的垂线, 垂足为H(图略), 由定义知, |PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|, 故当H、P、A三点共线时, |PA|＋|PF|最小. ∴|PA|＋|PF|的最小值为＋2＝4, p＝4, 即抛物线C的方程为y2＝8x.4.动圆M经过点A(3,0)且及直线l: x＝－3相切, 求动圆圆心M的轨迹方程.解：设圆M及直线l相切于点N. ∵|MA|＝|MN|, ∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．∵＝3，∴p＝6. ∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.第二讲: 抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1.通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 及抛物线相交于两点, 连接这两点的线段叫做抛物线的通径。

《抛物线的几何性质》讲义一、抛物线的定义在平面内，到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。

例如，我们常见的喷泉喷出的水形成的曲线，篮球投篮时的运动轨迹，都可以近似地看作是抛物线。

二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、当焦点在 x 轴正半轴上时，抛物线的标准方程为＼（y^2 ＝2px （p>0)＼），此时焦点坐标为＼（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为＼（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。

2、当焦点在 x 轴负半轴上时，抛物线的标准方程为＼（y^2 ＝－2px （p>0)＼），焦点坐标为＼（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为＼（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。

3、当焦点在 y 轴正半轴上时，抛物线的标准方程为＼（x^2 ＝2py （p>0)＼），焦点坐标为＼（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为＼（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。

4、当焦点在 y 轴负半轴上时，抛物线的标准方程为＼（x^2 ＝－2py （p>0)＼），焦点坐标为＼（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为＼（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。

这里的＼（p\）表示焦点到准线的距离，它决定了抛物线的开口大小。

＼（p\）值越大，抛物线的开口就越宽；＼（p\）值越小，抛物线的开口就越窄。

三、抛物线的几何性质1、范围对于抛物线＼（y^2 ＝ 2px （p>0)＼），＼（y\）可以取任意实数，＼（x\geq 0\）；对于抛物线＼（y^2 ＝－2px （p>0)＼），＼（y\）可以取任意实数，＼（x\leq 0\）；对于抛物线＼（x^2 ＝ 2py （p>0)＼），＼（x\）可以取任意实数，＼（y\geq 0\）；对于抛物线＼（x^2 ＝－2py （p>0)＼），＼（x\）可以取任意实数，＼（y\leq 0\）。

1、抛物线的定义、几何性质学习目标：理解掌握抛物线的定义、几何性质，并能解决有关问题 重点： 抛物线的定义、几何性质难点：利用抛物线的定义、几何性质解决有关问题 知识梳理：抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线（点F 不在直线l 上）． 注意：点F 在直线l 上时，轨迹是过点F 且垂直于直线l 的一条直线 2．抛物线四种标准方程的几何性质：轴)轴轴)轴3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦半径：抛物线 )0(22>-=p px y 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离2||||0px PF += 抛物线 )0(22>±=p py x 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离 2||||0py PF +=(5) 焦点弦长：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ， 焦点(,0)2p F (1)以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切(2) 221p y y -=，4221p x x =(3)pBF AF 211=+ (4)通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．抛物线的通径长：2p ． 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则221212()()AB x x y y =-+-||11||1212212y y kx x k -+=-+= 分类例析： 一、 抛物线的定义、几何性质及应用 例1（1）过抛物线x y 82=的焦点F 作倾斜角是π43的直线，交抛物线于A,B 两点，则||AB = A ．8B ．28C ．216D ．16（2）（2020新课标1理4）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9（3）经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一直线l 交抛物线 于),(11y x A ，),(22y x B ，则2121x x y y 的值为__________。

教学设计板书：§8.6 抛物线的简单几何性质抛物线的几何性质 例题 练习 课时小结 教 学 过 程教学内容 教师导拨与学生活动 设计意图 一、知识回顾1、 抛物线的定义：平面内与一个点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F →焦点，直线L →准线。

2、 抛物线的标准方程。

图形 标准方程焦点坐标准线方程抛物线的定义及标准方程由学生口述，老师展示结论提出这一问题的研究方法——对比、数形结合二、引入课题若大桥的桥拱为抛物线型，其水面宽度为8米，拱顶离水面4米，方形货船宽4米，高2.6米. 问：能安全通过大桥吗?提出问题由学生完成，引导学生由“数学模型”到“数学问题”通过“过桥”事件模型引发学生探究问题本质的)0(22>=p px y )0,2(p2p x -=)0(22>-=p px y )0,2(p-2p x =)0(22>=p py x )2,0(p2p y -=)0(22>-=p py x )2,0(p -2p y =的解决问题的方法。

并思考抛物线的几何性质。

热情，同时巩固抛物线方程的知识并提出本节课的标题，起着承上启下的自然过度。

三、讲授新课我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y =来研究它的几何性质。

1、 范围：0≥x2、 对称性：关于x 轴对称抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3、 顶点：（0，0）抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的的顶点。

4、 离心率：e=1抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。

标准 方程图形范围 0≥x 0≤x0≥y0≤y对称 轴 关于x 轴对称 关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称顶点 （0，0） 离心率ｅ＝１补充说明：1、抛物线只位于半个平面坐标内，虽然他可以无通过类比椭圆与双曲线的几何性质，从范围、对称性、顶点、离心率方面研究抛物线的几何性质，并由学生归纳总结出其他三种标准方程的几何性质。