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小专项(七) 线段的垂直平分线的应用类型1线段旳垂直平分线旳性质在求线段长中旳应用1、如图，在△ABC中，AB，AC旳垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，△ADE旳周长为12cm，那么BC＝12﹏cm、2、如图，AB比AC长3cm，BC旳垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD旳周长是14cm，求AB和AC旳长、解：∵△ACD旳周长是14cm，∴AD＋DC＋AC＝14cm.又∵DE是BC旳垂直平分线，∴BD＝DC.∴AD＋DC＝AD＋BD＝AB.∴AB＋AC＝14cm.∵AB比AC长3cm，∴AB－AC＝3cm.∴AB＝8.5cm，AC＝5.5cm.3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD旳中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC旳延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵E是CD旳中点，∴DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE(ASA)、∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF旳垂直平分线、∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD ＝CF ，∴AB ＝BC ＋AD.类型2线段垂直平分线旳性质在实际问题中旳应用4、如图，某都市规划局为了方便居民旳生活，打算在三个住宅小区A ，B ，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区旳距离相等？解：连接AB ，BC ，分别作AB ，BC 旳垂直平分线DE ，GF ，两直线交于点M ，那么点M 确实是所要确定旳购物中心旳位置，如图、类型3线段旳垂直平分线旳性质在判定两线段位置关系中旳应用5、如图，OE ，OF 分别是△ABC 中AB ，AC 边旳中垂线(即垂直平分线)，∠OBC ，∠OCB 旳平分线相交于点I ，试判定OI 与BC 旳位置关系，并给出证明、解：OI ⊥BC.证明：连接AO ，延长OI 交BC 于点M.∵OE ，OF 分别为AB ，AC 旳中垂线，∴OA ＝OB ，OA ＝OC.∴OB ＝OC.又∵BI ，CI 分别为∠OBC ，∠OCB 旳平分线，∴点I 必在∠BOC 旳平分线上、∴∠BOI ＝∠COI.在△BOM 和△COM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OC ，∠BOM ＝∠COM ，OM ＝OM ，∴△BOM ≌△COM(SAS )、∴∠BMO ＝∠CMO.又∵∠BMO ＋∠CMO ＝180°.∴∠BMO ＝∠CMO ＝90°.∴OI ⊥BC.。
几何推理教案：垂直平分线的性质及应用一、垂直平分线的性质及特点1.1 垂直平分线的定义垂直平分线是指把一条线段分为两个相等长度的部分，并且与该线段垂直相交的线。
1.2 垂直平分线的性质（1）垂直平分线与被分割的线段垂直相交。
（2）垂直平分线将被分割的线段等分为两个相等长度的部分。
（3）垂直平分线是唯一确定的。
二、垂直平分线的应用2.1 判断整体和对称图形是否具有对称性在几何问题中，通过绘制垂直平分线，我们可以快速判断一个整体图形或对称图形是否具有对称性。
如果该图形存在一条或多条垂直平分线，那么它就是具有对称性的。
2.2 划定角度范围当我们需要划定一个角度范围时，可以借助垂直平分线。
通过将待划定角度上某一边按照比例进行切割，并且连接切割点和该角顶点绘制出垂直平分线，就可以精确地确定目标角度范围。
2.3 解决几何问题在解决几何问题时，垂直平分线也具有重要的应用价值。
例如，当我们需要证明两条线段相等时，可以利用垂直平分线将这两条线段分别延长，然后连接两个延长部分的交点与原始线段的顶点，形成一个新的角度。
如果新形成的角度是相等的，那么就可以得出原始问题中两条线段相等的结论。
2.4 三角函数计算在三角函数计算中，垂直平分线也常常用于简化计算过程。
例如，在正弦函数中，我们需要计算一个由一条线和水平轴之间形成的角度对应的正弦值。
而使用垂直平分线将该角度切割为两个相等的部分后，可以减少计算量，并且更容易找到相关数据。
2.5 测量和绘制角度通过绘制垂直平分线来测量和绘制角度也是常见且便捷的做法。
通过将待测量或待绘制角度上某一边按照比例进行切割，并且连接切割点和该角顶点绘制出垂直平分线，就可以精确地确定目标角度。
总结：垂直平分线在几何推理中具有重要的性质和应用。
它可以作为判断图形对称性、划定角度范围、解决几何问题、简化三角函数计算以及测量和绘制角度等方面的工具。
熟练掌握垂直平分线的性质和应用，能够帮助我们更好地理解几何推理，并且在实际问题中应用得心应手。
初三数学课堂线段的垂直平分线1. 介绍在初三数学课堂上，我们学习了许多与线段有关的知识，其中之一就是线段的垂直平分线。
本文将详细介绍线段的垂直平分线的概念、性质以及相关应用。
2. 概念2.1 线段的垂直平分线是什么？线段的垂直平分线是指与给定线段垂直相交并将其平分为两个相等部分的线段。
简单来说，垂直平分线将线段分为两个长度相等且垂直的部分。
2.2 如何找到线段的垂直平分线？要找到线段的垂直平分线，我们可以运用几何工具，如直尺和量角器，来进行作图。
1.使用直尺将线段两端连接起来，得到一个直线段。
2.使用量角器在直线段上选择一个角度，并将该角度相应地复制到另一侧，保持量角器的位置不变。
3.根据所复制的角度，确定两条角相等的线段，即可得到线段的垂直平分线。
3. 性质线段的垂直平分线具有一些重要的性质，同时也是我们经常在解题中使用的关键工具。
3.1 性质1：垂直性线段的垂直平分线与线段本身是垂直的。
也就是说，垂直平分线的斜率与线段的斜率互为相反数。
3.2 性质2：长度相等线段的垂直平分线将线段分成两个等长的部分。
这是垂直平分线最基本的性质之一。
3.3 性质3：唯一性对于给定的线段，它的垂直平分线是唯一的。
也就是说，对于同一线段，只会存在一条垂直平分线。
4. 应用线段的垂直平分线在解题中有许多应用。
下面以一些典型题目为例，介绍垂直平分线的具体应用。
4.1 问题1已知线段AB的长度为8 cm，找出线段AB的垂直平分线，标记为CD，并计算CD的长度。
解题思路： 1. 使用直尺画出线段AB。
2. 使用量角器在AB上选择一个角度，并将该角度的相应部分复制到另一侧，得到CD。
3. 由长度相等的性质，可以得知CD的长度为4 cm。
4.2 问题2在线段AB上取一点C，使得AC = BC，证明线段CD是线段AB的垂直平分线。
解题思路： 1. 已知AC = BC，根据等长性质，可以得知AD = BD。
2. 则三角形ADC与三角形BDC中，AC = BC，AD = BD，所以这两个三角形是全等三角形。
线段的垂直平分线的应用
王勇
一、求边长
例1 (2015年遂宁)如图1，在△ABC中，AC=4 cm，线段AB的垂直平分线MN交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
图1
分析：根据垂直平分线的性质，可以得到AN=BN，则可以将△BCN的周长转化为AC+BC，即可求出BC的长．
解：因为MN是AB边的垂直平分线，所以AN=BN.
因为△BCN的周长是7cm，所以BN+CN+BC=AN+CN+BC=AC+BC=7cm.
因为AC=4 cm，所以BC=7-4=3（cm）．
故选C.
二、找位置
例2如图2所示，一辆汽车在笔直的公路ＡＢ上由Ａ向Ｂ行驶，Ｍ，Ｎ分别是位于公路ＡＢ两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄Ｍ，Ｎ的距离相等？
分析：到Ｍ，Ｎ距离相等的点在线段ＭＮ的垂直平分线上，故其位置为线段ＭＮ的垂直平分线与公路ＡＢ的交点处．
解：如图3，连接ＭＮ，作线段ＭＮ的垂直平分线ｌ，交直线ＡＢ于点Ｃ，则当汽车行驶到点C时，与村庄M，N的距离相等．。
专题15 线段垂直平分线问题1. 线段的垂直平分线定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； 说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.3.线段垂直平分线的性质：（1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．4.三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.说明：（1）三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.（2）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.（3）外心到三顶点的距离相等.5.尺规作图线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型类型一：线段的垂直平分线定理。
线段的垂直平分线线段是数学中基本的几何概念之一，而垂直平分线是与线段有密切关系的重要概念。
在本文中，我们将探讨线段的垂直平分线的定义、性质以及如何构造和应用。
一、线段的垂直平分线的定义线段的垂直平分线是指将给定线段垂直平分成两个等长线段的直线。
具体而言，对于线段AB，其垂直平分线将线段AB分成两个等长线段AC和CB。
垂直平分线上的任意一点都与线段AB的两个端点A和B的距离相等，并且与线段AB的中点M重合。
二、线段的垂直平分线的性质垂直平分线具有以下重要性质：1. 垂直性：垂直平分线与线段AB垂直相交。
这意味着垂直平分线上的两条相邻线段是垂直的。
2. 位置唯一性：线段的垂直平分线只有一条。
这意味着对于任意给定的线段，只有一条垂直平分线与其相交。
3. 等分性：垂直平分线将线段AB分成两个等长线段。
4. 对称性：线段AB关于垂直平分线具有对称性。
即相对于垂直平分线，点A和点B互为镜像。
三、线段的垂直平分线的构造方法下面介绍两种构造线段垂直平分线的方法：1. 利用圆的性质：首先，以线段AB的中点M为圆心，以线段AB 的一半长度为半径作圆。
然后，将圆与线段AB分别交于两个点C和D，连接线段CD。
线段CD即为线段AB的垂直平分线。
2. 利用作图方法：首先，以点A为中心，以线段AB的长度为半径作圆。
然后，以点B为中心，同样以线段AB的长度为半径作圆。
假设两个圆分别与线段AB交于两个点C和D，连接线段CD。
线段CD 即为线段AB的垂直平分线。
四、线段的垂直平分线的应用线段的垂直平分线不仅仅在几何学中有着重要的应用，还在实际生活中有许多应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 建筑设计：在建筑设计中，垂直平分线常用于确定建筑物的中心线，以便建筑师能够对称地布局。
2. 切割材料：在木工或金属加工等行业中，垂直平分线可用于准确定位和切割材料。
3. 路径规划：在地图导航系统中，垂直平分线可用于确定最短路径或最佳路线，以便节省时间和距离。
