北师大版七年级数学下册《线段垂直平分线与角平分线的应用类型》专题试题(附答案)

垂直平分线专项练习30题(有答案)ok垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。

垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC 交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。

综合滚动练习：等腰三角形与全等、垂直平分线、角平分线的综合时间：45分钟分数：100分得分：________一、选择题(每小题4分，共32分)1．如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝125°，则∠C的度数是( )A．55°B．45°C．35°D．65°第1题图第2题图2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )A．7.5 B．8C．15 D．无法确定3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是【方法19】( ) A．AD＝BD B．BD＝CDC．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点．若EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为( )A．13 B．15 C．17 D．195．如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC的值为【方法22②】( )A．1∶1∶1 B．1∶2∶3C．2∶3∶4 D．3∶4∶5第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝60°，则∠CDE的度数为( )A．45°B．50°C．51°D．52°7．如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则以下结论：①△ABE ≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠A的平分线上．正确的是( )A．①B．②C．①②D．①②③8．等腰三角形纸片ABC(AB＝AC)可按如图所示的方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C 与点D重合，则原等腰△ABC中∠B的度数为( )A．48°B．60°C．72°D．80°二、填空题(每小题4分，共24分)9．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝________°.10．如图是一个三角形测平架，已知AB＝AC，在BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上，则AD和BC的关系为____________．11．如图，等边△ABC的周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD的长是________．第11题图第12题图12．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，PM⊥AC于点M.若PM＝6cm，则点P到AB的距离为________．13．如图，△ABC是等边三角形，D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE.若CD＝1，CE＝3，则BC的长是________．第13题图14．如图，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B.在A1B上取点C，延长AA1到点A2，使得A1A2＝A1C.在A2C上取点D，延长A1A2到点A3，使得A2A3＝A2D，则∠A3的度数为________．第14题图三、解答题(共44分)15．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D.(1)若∠A＝40°，求∠CBE的度数；(2)若△BCE的周长为8cm，AB＝5cm，求BC的长．16．(10分)如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交AB于点E，交BC于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF.(1)若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；(2)试说明：PE＝PF.17．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.(1)若∠A＝40°，求∠M的度数；(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠M的度数；(3)你发现∠A与∠M有什么关系？请说明理由．18．(12分)如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．例如，在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝100°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．(1)已知倍角三角形的一个内角为150°，求这个三角形的另两个角的度数；(2)已知倍角三角形是一个等腰三角形，求它的顶角的度数．参考答案与解析1．A 2.A 3.A 4.B 5.C 6.A 7.D8．C 解析：如图，由题可知AD ＝BD ＝BC ，∠A ＝∠ABD ，∠C ＝∠BDC ，∴∠C ＝∠BDC ＝180°－∠ADB ＝2∠A .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝2∠A .∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，∴5∠A ＝180°，即∠A ＝36°，∴∠ABC ＝72°.9．50 10.AD 垂直平分BC 11.2 12.6cm 13.414．20° 解析：∵AB ＝A 1B ，∠B ＝20°，∴∠AA 1B ＝∠A ＝12(180°－∠B )＝80°，∴∠CA 1A 2＝100°.∵A 1C ＝A 1A 2，∴∠A 1A 2C ＝∠A 1CA 2＝12(180°－∠CA 1A 2)＝40°，∴∠DA 2A 3＝140°.∵A 2A 3＝A 2D ，∴∠DA 3A 2＝12(180°－∠DA 2A 3)＝20°.15．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝70°.(2分)∵DE 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，∴∠ABE ＝∠A ＝40°，∴∠CBE ＝∠ABC －∠EBA ＝70°－40°＝30°.(5分)(2)∵△BCE 的周长为8cm ，∴BE ＋EC ＋BC ＝8cm.∵AE ＝BE ，∴AE ＋EC ＋BC ＝8cm ，(8分)∴AC＋BC ＝8cm.∵AC ＝AB ＝5cm ，∴BC ＝8－5＝3(cm)．(10分)16．解：(1)∵BM 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠DEB ＝∠DFB ＝90°，∠EBD ＝∠FBD ，DE ＝DF ，∴△EDB ≌△FDB (AAS)，(3分)∴∠BDE ＝∠BDF ＝12∠EDF ＝62°，∴∠EBD ＝90°－62°＝28°，∴∠ABC ＝2∠EBD ＝56°.(5分)(2)∵∠BDE ＝∠BDF ，∴∠EDP ＝∠FDP .(6分)在△EDP 和△FDP 中，⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝FD ，∠EDP ＝∠FDP ，DP ＝DP ，∴△EDP≌△FDP (SAS)，∴PE ＝PF .(10分)17．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠B ＝∠ACB ＝70°.∵MN ⊥AB ，∴∠MNB ＝90°，∴∠M ＝90°－∠B ＝20°.(3分)(2)∵AB ＝AC ，∠A ＝70°，∴∠B ＝∠ACB ＝55°.∵MN ⊥AB ，∴∠MNB ＝90°，∴∠M ＝90°－∠B ＝35°.(6分)(3)∠M ＝ 12∠A .(8分)理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝180°－∠A2.(10分)∵MN ⊥AB ，∴∠MNB ＝90°，∴∠M ＝90°－∠B ＝12∠A .(12分)18．解：(1)当内角150°是另一个内角的2倍时，则另一内角的度数为75°.此时三角形的内角和超过180°，不符合．(2分)∴另两个内角互为2倍关系，且和是180°－150＝30°，∴另两个角的度数是20°和10°.(5分)(2)当顶角是底角的2倍时，设三角形底角的度数是x ，则顶角的度数为2x .由题意得x ＋x ＋2x ＝180°，解得x ＝45°，∴2x ＝90°.(8分)当底角是顶角的2倍时，设顶角为y ，则底角的度数为2y .由题意得y ＋2y ＋2y ＝180°，解得y ＝36°.(11分)故它的顶角的度数是90°或36°.(12分)。

全等三角形判定的三种类型已知一边一角型一次全等型1．已知，如图△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF．求证：AD是△ABC的中线．两次全等型3．如图，已知，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA．求证：∠DEC ＝∠BEC．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E．（1）求证：∠ABD＝∠CAE．（2）求证：∠ADB＝∠CDE．（3）直接写出BD、AE、ED之间满足的数量关系．已知两边型一次全等型5．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，点C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．两次全等型6．如图所示，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点，求证：AE＝CE．7．如图：已知AE交BD于点C，∠DAC＝∠EBC＝∠BAC，AB＝AC．试说明：DC与BE有怎样的数量关系．已知两角型一次全等型8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB＝OC．三角形中的四种常见说理类型说明相等关系1．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．说明位置关系说明平行关系2．已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形△PCE．求证：AE∥BC．说明垂直关系3．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF．说明倍分关系说明角的倍分关系4．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．说明线段的倍分关系5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE＝BE．（1）求∠C的度数．（2）求证：AH＝2BD．说明和、差关系6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD＝AC．线段垂直平分线与角平分线的应用类型典例例1．已知：如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）求线段DG的长．利用线段垂直平分线的性质求线段的长1．如图，已知AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．利用线段垂直平分线的性质求角的度数2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD．（1）若△ADC的周长为16，AB＝12，求△ABC的周长；（2）若AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠DAB＝2：5，求∠ADC的度数．利用线段垂直平分线的性质解决实际问题3．某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？利用线段垂直平分线的性质说明线段的数量关系4．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．（1）证明：PC＝PD．（2）若OP＝4，求OC+OD的长度．利用线段垂直平分线的性质说明线段的位置关系5．如图所示，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，求证：AM ⊥EF．全等三角形判定的三种类型1．证明：如右图所示，∵BD＝DC，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．2．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠F＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD，∴BD＝CD，∴AD是△ABC的中线．3．证明：在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，（ASA）∴BC＝CD，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（ASA），∴∠DEC＝∠BEC．4．（1）证明：∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠BAF＝90°，∠BAF+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．（2）证明：过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，则∠ACM＝90°＝∠BAC，∴CM∥AB，∴∠MCE＝∠ABC＝∠ACB，∵∠BAF＝∠ADB，∠ADB+∠F AD＝90°，∠ABD+∠BAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAM，在△ABD和△CAM中，，∴△ABD≌△CAM（ASA），∴∠ADB＝∠M，AD＝CM，BD＝AM，∵D为AC中点，∴AD＝DC＝CM，在△CDE和△CME中，，∴△CDE≌△CME（SAS），∴∠M＝∠CDE，∴∠ADB＝∠CDE．（3）解：结论：BD＝AE+DE．理由：∵△CDE≌△CME，∴ME＝DE，∵AM＝AE+ME＝AE+DE，∵BD＝AM，∴BD＝AE+DE．5．（1）证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝FC+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：结论：AB∥DE，AC∥DF．理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF．6．证明：在△ABD与△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，在△ABE与△CBE中，△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE．7．解：DC＝BE，∵∠EBC＝∠BAC，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠ABE＝∠EBC+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABE，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴DC＝BE．8．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∴CD⊥AB，BE⊥AC，∵AO平分∠BAC，∴OD＝OE，在△BDO和△CEO中∴△BDO≌△CEO（ASA），∴OB＝OC．三角形中的四种常见说理类型1．证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF．2、证明：∵△ABC与△PCE为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝PC，∠BCA＝∠PCE＝60°，∴∠BCP＝∠ACE，在△BCP和△ACE中，，∴△CBP≌△CAE（SAS），∴∠CAE＝∠B＝60゜＝∠ACB，∴AE∥BC．3．证明：连ED，DF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BED和△CDF中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴DE＝DF，∵G是EF的中点，∴DG⊥EF．4．解：∠DBC＝∠BAC．设∠C＝β，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣2β，∠BAD＝∠ABC+∠C＝2β，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣2β，∴∠DBC＝90°﹣β，∴∠DBC＝∠BAC．5．（1）解：∵AE＝BE，BE⊥AC，∴∠BAE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣45°）＝67.5°；（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠1+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠2+∠C＝90°，∴∠1＝∠2，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH＝BC，∴AH＝2BD．6．证明：如图，在AC上截取AE＝AB，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DE＝BD，∠AED＝∠ABC，∵∠AED＝∠C+∠CDE，∠ABC＝2∠C，∴∠CDE＝∠C，∴CE＝DE，∵AE+CE＝AC，∴AB+BD＝AC．线段垂直平分线与角平分线的应用类型例1．（1）证明：连接AD、BD，∵AD是∠BCA的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵DG是AB边的垂直平分线，∴AD＝DB，在Rt△AED和Rt△DFB中，，∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL），∴AE＝BF；（2）由（1）得：CE＝CF＝＝7，∴AE＝EC﹣AC＝1，∵∠ECD＝∠EDC＝45°，∴DE＝CE＝7，由题意可得：AG＝BG＝5，∴AD2＝AE2+DE2＝50，∴DG2＝AD2﹣AG2＝25，∴DG＝5．1．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+BD+AD＝AC+AB，由题意得，，解得．∴AB和AC的长分别为8.5cm，5.5cm．2．解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，又∵△ADC的周长为16，∴AD+CD+AC＝16，即BD+CD+AC＝BC+AC＝16，又AB＝12，∴AB+BC+AC＝16+12＝28，则△ABC的周长为28；（2）∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠ABD，∵∠CAD：∠DAB＝2：5，设一份为x，即∠CAD＝2x，∠DAB＝∠ABD＝5x，又∠C＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，即2x+5x+5x＝90°，解得：x＝7.5°，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝5x+5x＝10x＝75°．3．解：如图，这所中学建在P点位置（点P为△ABC的外心）．连结AB、BC、AC，作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则点P到点A、B、C的距离相等．4．证明：（1）如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEC＝∠PFD＝90°．∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°．而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF在△PCE和△PDF中∴△PCE≌△PDF（AAS）∴PC＝PD；（2）∵∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，∴△POE与△POF为等腰直角三角形，∴OE＝PE＝PF＝OF，∵OP＝4，∴OE＝2，由（1）知△PCE≌△PDF ∴CE＝DF ∴OC+OD＝OE+OF＝2OE＝4．5．证明：∵DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD为三角形ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，而AD＝AD，∴△AED≌△AFD∴ED＝DF，AE＝AF∴△AEF为等腰三角形，AM为∠BAC的平分线∴AM是△AEF的高，即AM⊥EF．。

全等三角形判定的三种类型已知一边一角型一次全等型1．已知，如图△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF．求证：AD是△ABC的中线．两次全等型3．如图，已知，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA．求证：∠DEC ＝∠BEC．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E．（1）求证：∠ABD＝∠CAE．（2）求证：∠ADB＝∠CDE．（3）直接写出BD、AE、ED之间满足的数量关系．已知两边型一次全等型5．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，点C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．两次全等型6．如图所示，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点，求证：AE＝CE．7．如图：已知AE交BD于点C，∠DAC＝∠EBC＝∠BAC，AB＝AC．试说明：DC与BE有怎样的数量关系．已知两角型一次全等型8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB＝OC．三角形中的四种常见说理类型说明相等关系1．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．说明位置关系说明平行关系2．已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形△PCE．求证：AE∥BC．说明垂直关系3．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF．说明倍分关系说明角的倍分关系4．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．说明线段的倍分关系5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE＝BE．（1）求∠C的度数．（2）求证：AH＝2BD．说明和、差关系6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD＝AC．线段垂直平分线与角平分线的应用类型典例例1．已知：如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）求线段DG的长．利用线段垂直平分线的性质求线段的长1．如图，已知AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．利用线段垂直平分线的性质求角的度数2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD．（1）若△ADC的周长为16，AB＝12，求△ABC的周长；（2）若AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠DAB＝2：5，求∠ADC的度数．利用线段垂直平分线的性质解决实际问题3．某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？利用线段垂直平分线的性质说明线段的数量关系4．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．（1）证明：PC＝PD．（2）若OP＝4，求OC+OD的长度．利用线段垂直平分线的性质说明线段的位置关系5．如图所示，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，求证：AM ⊥EF．全等三角形判定的三种类型1．证明：如右图所示，∵BD＝DC，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．2．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠F＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD，∴BD＝CD，∴AD是△ABC的中线．3．证明：在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，（ASA）∴BC＝CD，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（ASA），∴∠DEC＝∠BEC．4．（1）证明：∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠BAF＝90°，∠BAF+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．（2）证明：过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，则∠ACM＝90°＝∠BAC，∴CM∥AB，∴∠MCE＝∠ABC＝∠ACB，∵∠BAF＝∠ADB，∠ADB+∠F AD＝90°，∠ABD+∠BAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAM，在△ABD和△CAM中，，∴△ABD≌△CAM（ASA），∴∠ADB＝∠M，AD＝CM，BD＝AM，∵D为AC中点，∴AD＝DC＝CM，在△CDE和△CME中，，∴△CDE≌△CME（SAS），∴∠M＝∠CDE，∴∠ADB＝∠CDE．（3）解：结论：BD＝AE+DE．理由：∵△CDE≌△CME，∴ME＝DE，∵AM＝AE+ME＝AE+DE，∵BD＝AM，∴BD＝AE+DE．5．（1）证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝FC+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：结论：AB∥DE，AC∥DF．理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF．6．证明：在△ABD与△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，在△ABE与△CBE中，△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE．7．解：DC＝BE，∵∠EBC＝∠BAC，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠ABE＝∠EBC+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABE，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴DC＝BE．8．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∴CD⊥AB，BE⊥AC，∵AO平分∠BAC，∴OD＝OE，在△BDO和△CEO中∴△BDO≌△CEO（ASA），∴OB＝OC．三角形中的四种常见说理类型1．证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF．2、证明：∵△ABC与△PCE为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝PC，∠BCA＝∠PCE＝60°，∴∠BCP＝∠ACE，在△BCP和△ACE中，，∴△CBP≌△CAE（SAS），∴∠CAE＝∠B＝60゜＝∠ACB，∴AE∥BC．3．证明：连ED，DF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BED和△CDF中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴DE＝DF，∵G是EF的中点，∴DG⊥EF．4．解：∠DBC＝∠BAC．设∠C＝β，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣2β，∠BAD＝∠ABC+∠C＝2β，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣2β，∴∠DBC＝90°﹣β，∴∠DBC＝∠BAC．5．（1）解：∵AE＝BE，BE⊥AC，∴∠BAE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣45°）＝67.5°；（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠1+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠2+∠C＝90°，∴∠1＝∠2，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH＝BC，∴AH＝2BD．6．证明：如图，在AC上截取AE＝AB，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DE＝BD，∠AED＝∠ABC，∵∠AED＝∠C+∠CDE，∠ABC＝2∠C，∴∠CDE＝∠C，∴CE＝DE，∵AE+CE＝AC，∴AB+BD＝AC．线段垂直平分线与角平分线的应用类型例1．（1）证明：连接AD、BD，∵AD是∠BCA的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵DG是AB边的垂直平分线，∴AD＝DB，在Rt△AED和Rt△DFB中，，∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL），∴AE＝BF；（2）由（1）得：CE＝CF＝＝7，∴AE＝EC﹣AC＝1，∵∠ECD＝∠EDC＝45°，∴DE＝CE＝7，由题意可得：AG＝BG＝5，∴AD2＝AE2+DE2＝50，∴DG2＝AD2﹣AG2＝25，∴DG＝5．1．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+BD+AD＝AC+AB，由题意得，，解得．∴AB和AC的长分别为8.5cm，5.5cm．2．解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，又∵△ADC的周长为16，∴AD+CD+AC＝16，即BD+CD+AC＝BC+AC＝16，又AB＝12，∴AB+BC+AC＝16+12＝28，则△ABC的周长为28；（2）∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠ABD，∵∠CAD：∠DAB＝2：5，设一份为x，即∠CAD＝2x，∠DAB＝∠ABD＝5x，又∠C＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，即2x+5x+5x＝90°，解得：x＝7.5°，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝5x+5x＝10x＝75°．3．解：如图，这所中学建在P点位置（点P为△ABC的外心）．连结AB、BC、AC，作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则点P到点A、B、C的距离相等．4．证明：（1）如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEC＝∠PFD＝90°．∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°．而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF在△PCE和△PDF中∴△PCE≌△PDF（AAS）∴PC＝PD；（2）∵∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，∴△POE与△POF为等腰直角三角形，∴OE＝PE＝PF＝OF，∵OP＝4，∴OE＝2，由（1）知△PCE≌△PDF ∴CE＝DF ∴OC+OD＝OE+OF＝2OE＝4．5．证明：∵DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD为三角形ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，而AD＝AD，∴△AED≌△AFD∴ED＝DF，AE＝AF∴△AEF为等腰三角形，AM为∠BAC的平分线∴AM是△AEF的高，即AM⊥EF．。

第03讲简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)1．理解线段的垂直平分线的概念；2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点)3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点)4．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)5．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)知识点01线段的垂直平分线（简称中垂线）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.作法：作已知线段的垂直平分线.知识点02角平分线的性质1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.作已知角的角平分线.题型01根据线段垂直平分线的性质求解【例题】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在()ABC AB AC < 中，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，15cm AC =，ABE 的周长为24cm ，则AB 的长为．【变式训练】1．（2024·山东滨州·一模）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧相交于M ，N 两点；作直线MN 交AB 于点E ．若16AB =，8AC =，则BE 长为．2．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图所示，在ABC 中，DM EN 、分别垂直平分AB 和AC ，交BC 于D E 、．(1)若50DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；(2)若ADE V 的周长为19cm ，求BC 的长度．题型02线段垂直平分线的实际应用【例题】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，政府计划在,,A B C 三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（）A ．ABC 三边垂直平分线的交点B ．ABC 三条角平分线的交点C ．ABC 三条高所在直线的交点D ．ABC 三条中线的交点【变式训练】1．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边高线的交点处D ．A ∠，B ∠两内角平分线的交点处题型03作垂线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在ABC 中，90C ∠=︒．(1)尺规作图：作边AB 的垂直平分线，交BC 与点D ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不写作法）(2)若38ABC ∠=︒，求CAD ∠的度数．【变式训练】1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A ，B 所在的直线上建一图书室E ，并使图书室E 到本社区两所学校C 和D 的距离相等．已知CA AB ⊥，DB AB ⊥，垂足分别为A ，B ，且 2.5km AB =，1.5km CA =， 1.0km BD =．(1)请用直尺和圆规在图中作出点E （不写作法，保留作图痕迹）；(2)求图书室E 到居民区A 的距离．2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A ，B ，C 之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由．题型04根据角平分线的性质定理求解【例题】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，OP 平分AOB ∠，PC OB ⊥，如果6PC =，那么点P 到OA 的距离等于【变式训练】1．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，若6,2AC DE ==，则ACD 的面积为．2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知P 是AOB ∠平分线上一点，15AOP ∠=︒，CP OB ∥交OA 于点C ，PD OB ⊥，垂足为D ，且6PC =，则OPC 的面积等于．题型05根据角平分线的性质定理证明【例题】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 为BC 上一点，DE 平分ADC ∠，且AE 平分BAD ∠．(1)求证：ED AE ⊥；(2)求证：点E 为BC 的中点．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）教材第56页拓广探索12题：(1)如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线①求证：ABD ACD S AB S AC=△△；②另一方面，我们进一步探索，可以证明ABDACD S BD S CD= ．请你选择上述两结论中的其中一个进行证明；(2)由（1）的探索我们可以得到关于ABC 的角平分线AD 的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）；(3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ∥交BA 的延长线于点E ．求证：BD BA CD EA=．2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线．(1)在线段AD 上任意取一点F ，过点F 作MN AD ⊥，交AB 于点M ，交AC 于点N ，通过这样的作图能得到结论MF FN =，那么依据是_________．(2)如果=60B ∠︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，且AD 、CE 相交于点F ，求证：FE FD =．(3)如果100ACB ∠=︒，在边AB 上截取一点E ，连接CE ，使20ACE ∠=︒，连接DE ．请直接写出ADE ∠的度数．题型06角平分线的性质实际应用【例题】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（）A ．在边AC ，BC 两条高的交点处B ．在边AC ，BC 两条中线的交点处C ．在边AC ，BC 两条垂直平分线的交点处D ．在ABC ∠和ACB ∠两条角平分线的交点处【变式训练】1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线a ，b ，c ，表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处题型07作角平分线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，两条交叉马路OM ，ON 中间区域建有A ，B 两个温室花房．现要在两条马路OM ，ON 之间的空场处建鲜花交易中心P ，使得交易中心P 到两条马路OM ，ON 的距离相等，且到两个温室花房A ，B 的距离也相等．如何确定交易中心P 的位置?如图2，利用尺规作图求作点P （不写作法，保留作图痕迹）．【变式训练】1．（2024·广东茂名·一模）如图，已知ABC ，CA CB =，ACD ∠是ABC 的一个外角．(1)请用尺规作图法，求作射线CP ，使CP 平分ACD ∠．（保留作图痕迹，不写作法）(2)证明：CP AB ∥．2．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，AB CD ∥，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．(1)若110ACD ∠=︒，求MAB ∠的度数；(2)若CN AM ⊥，垂足为N ，求证：ACN MCN △≌△．一、单选题1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，100,BAC AB AC ∠=︒>．若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠的度数是（）A ．20︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，534BC AC AB ===，，，点D 是ABC ACB ∠∠，的角平分线的交点，则点D 到BC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．3.53．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图在ABC 中，边AB ，AC 的垂直平分线交于点P ，连结BP ，CP ，若50A ∠=︒，则BPC ∠=（）A ．100︒B ．95︒C ．90︒D ．50︒4．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在ABC 中，AB AC =，54B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧交AB 于点D ，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 长为半径作弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，交AB 于点F ，则ACF ∠的度数是（）A ．25︒B ．20︒C ．18︒D ．15︒5．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①ABE 的面积BCE =△的面积；②=AFG AGF ∠∠；③2FAG ACF ∠=∠；④AF FB =．A ．①③④B ．①②④C ．①②③D ．③④二、填空题6．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长．7．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4AC =，则ACG 的面积为8．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，ABC 的面积是12，8AB =，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是线段AD ，AC 上的动点，则CM MN +的最小值是．9．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在ABC 中，100A ∠=︒，点D 是BC 上的一点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，则EDF ∠=．10．（2023·四川泸州·二模）如图，已知线段6AB =，点P 为线段AB 上一动点，以PB 为边作等边PBC ，以PC 为直角边，CPE ∠为直角，在PBC 同侧构造Rt PCE △，点M 为EC 的中点，连接AM ，则AM 的最小值为三、解答题11．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）A 、B 是两个村庄，12L L 、是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．（不用写作法，但是要保留作图痕迹）12．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，且BD DE =，连接AE ．(1)求证：AB EC =；(2)若ABC 的周长为42cm ，16cm AC =，求DC 的长．13．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若75BAC ∠=︒，求B ∠的度数．14．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）感知：如图1，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒．90B Ð=°探究：如图2，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒．90B ∠<︒，求证：DB DC =．15．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在ABC 中，AC CB ≠，DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于点M 、N ，垂足分别为点D 、E ，分别延长DM 和EN ，相交于点F ．八年级的小明同学非常喜欢钻研数学问题，在学习线段垂直平分线时，他发现MCN ∠与ACB ∠存在一定的数量关系，于是他通过举例的方式进行研究：(1)当100ACB ∠=︒时，MCN ∠=________；当80ACB ∠=︒时，MCN ∠=________．(2)当ACB m ∠=时，求MCN ∠的度数（用含m 的代数式表示，写出推理过程）．(3)当50DFE ∠=︒时，MCN ∠=________°．16．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等边ABC ，点N 是边AB 上一点，以BN 为边向外作等边BNM ，连AM 、CN ．(1)如图1，求证：AM CN =；(2)如图2，若CN AB⊥，判断BC与MN的关系并证明；(3)如图3，在（2）下，连MC，以MC为边向下作等边MCP，设MC交AB于G，连PG，求证：12PMG PCGS S=△△．。

1．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于( )A．60° B．50° C．40° D．30°2．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的垂直平分线，BD为∠ADE的角平分线，若∠A＝58°，则∠ABD的度数为何？( )A．58 B．59 C．61 D．623．如图，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC于E，交AB于D，则图中60°的角共有( )A．6个 B．5个 C．4个 D．3个4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12cm，AC＝5cm，则AB＋BD＋DC＝cm；△ABC的周长是cm.5. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4.分别以点B和点C为圆心，以大于BC一半的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，直线MN交AB于点D，连接CD，则△ADC的周长为( )A．8 B．9 C．10 D．116. 线段是轴对称图形，它的一条对称轴是，线段本身所在的直线也是它的一条对称轴．7．线段垂直平分线的定义：一条线段，并且这条线段的直线，叫做该线段的垂直平分线(简称中垂线)．8．线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的相等．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( ) A．AB＝AD B．AC平分∠BCDC．AB＝BD D．△BEC≌△DEC10．如图，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为()A．24° B．30° C．32° D．36°11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAD＝4∶1，则∠B ＝.12．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是.13. 如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请作出它的对称轴．14. 如图，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽车站，A、B是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？15. 如图，M村、N村坐落在笔直的公路上，一条小河l在M村，N村同侧沿直线流过，现要在小河边修一座灌溉水坝P，要求水坝到M村、N村的距离相等，你认为水坝P应该修在什么位置，请在图中将P点画出来．16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.试说明：AB＝BC＋AD.17. 如图，△ABC中，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC 于点E，BC＝10cm.求：(1)△ADE的周长；(2)∠DAE的度数．参考答案：1—3 DDB4. 12 175. C6. 线段的垂直平分7. 垂直平分8. 两端点的距离9. C10. C11. 40°12. 313. 解：连结BB′，作BB′的垂直平分线即可．14. 解：建在AB的垂直平分线与公路的交点P处．15. 解：作线段MN的垂直平分线与l的交点即为P点．16. 解：∵E是CD中点，∴易证△AED≌△FEC，∴AE＝EF，AD＝CF，∵BE⊥AE，∴BE垂直平分AF，∴AB＝BC＋CF＝BC＋AD.17. 解：(1)∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴AD＝BD，AE＝EC，所以△ADE的周长等于10cm；(2)∵AD＝BD，AE＝EC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∴∠ADE＝2∠B，∠AED＝2∠C，而∠B ＋∠C＝70°，∴∠ADE＋∠AED＝140°，∴∠DAE＝40°.掌握的三个数学答题方法树枝答题法关注数学题的解题过程2014年上海市中考状元徐瑜卿认为,数学是一门思维学科,并不是平时做题多就一定会拿高分。

垂直平分线与角平分线综合 题集一、垂直平分线（1）（2）1.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．若，求的度数．若周长，，求长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵垂直平分，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．∵周长，，∴，即，∴．【标注】【知识点】作三角形的高，中线和角平分线（1）（2）2.的两边和的垂直平分线分别交于点、．若，求的周长．若，求．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵边、的垂直平分线分别交于、，∴，，∴的周长．∵的两边，的垂直平分线分别交于，，∴，，∴，．∵，①∴．∵，∴，即．②由①②组成的方程组．解得，故答案为：．【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题3.在中，，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵，，∴，∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，∴，，∴，，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．【标注】【知识点】等边三角形的构造4.已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】∵是的平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，，∵，，∴．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】角分线性质定理5.中，是线段的垂直平分线，垂足为点，是上一点，．求证：点在线段的垂直平分线上．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）连接，是线段的垂直平分线，，，，在的垂直平分线上．【标注】【知识点】线段的和差的证明【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】线段的垂直平分线的判定定理【知识点】等边三角形的性质【思想】数形结合思想【能力】运算能力【能力】推理论证能力6.如图，四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且．求证：点一定在的垂直平分线上．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵点是、的垂直平分线的交点，∴，，又∵，∴，∴点一定在的垂直平分线上．【标注】【知识点】作线段的垂直平分线（1）（2）7.如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接、，交于点．判断与的数量关系，并说明理由．求证：过点、的直线垂直平分线段．【答案】（1）（2）相等，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）．在和中，，∴≌，∴．∵，∴，由（）可知，∴，∴，∵，∴点、均在线段的垂直平分线上，即直线垂直平分线段．【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】SAS【知识点】全等三角形的对应边与角【能力】推理论证能力二、角平分线8.如图，平分，于，于，，．若，则．【答案】【解析】∵平分，，，∴，∵，，∴，即，解得．故答案为：．【标注】【知识点】角分线性质定理9.如图，在中，，平分，，，则点到的距离为．【答案】【解析】∵，，∴．∵平分，，∴点到的距离等于，即点到的距离等于．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.10.如图，的三边、、的长分别，，，是三条角平分线的交点，则（ ）．【答案】C 【解析】∵是三条角平分线的交点，∴点到各边的距离相等，即、、的高相等，∵、、的长分别，，，∴，故答案为．【标注】【知识点】与中线或等分线有关的等积变换A.B.C.D.11.如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）．在、两边高线的交点处在、两边中线的交点处在、两内角平分线的交点处在、两边垂直平分线的交点处【答案】C 【解析】内角平分线上的点到，距离相等，内角平分线上的点到，距离相等，∴要到三条公路距离相等，应在，内角平分线交点处满足到，，距离相等．故选．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.12.如图，点是的两外角平分线的交点，下列结论：①；②点到、的距离相等；③点到的三边的距离相等；④点在的平分线上．以上结论正确的个数是（）．【答案】C【解析】如图，过点作于，作于，作于，∵点是的两外角平分线的交点，，，∴点在的平分线上，故②③④正确，只有点是的中点时，，故①错误，综上所述，正确的是②③④．【标注】【知识点】角分线性质定理【知识点】角平分线判定定理三、角分线的角度模型（1）（2）（3）（4）13.完成下列各题：如图 ，、分别是中和的平分线，则与的关系是 (直接写出结论)．如图 ，、分别是两个外角和的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.如图 ，、分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.利用以上结论完成以下问题：如图，已知：，点 、 分别是射线、上的动点，的外角的平分线与角的平分线相交于点，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想．图图图图【答案】（1）（2）（3）（4）. ..的大小没有变化，证明见解析.【解析】（1）理由如下：如图 ，∵ ,,分别是,的角平分线，∴ ,∴．（2）（3）（4）图如图 ，∵ 平分 ，∴ ，同理可证： ,∴ ,∵ ,∴,∴ .图∵ 平分 ， 平分 ，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∴．根据⑶可得： ，∵ ，∴ ，∴ 的大小不会变化始终为 ．【标注】【知识点】三角形-内角角分线；三角形-外角角分线；三角形-内外角角分线（1）（2）（3）14.回答下列问题．探索发现：如图，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图迁移拓展：如图，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图应用创新：已知，如图，、相交于点，、、的角平分线交于点，，，则 ．图【答案】（1），证明见解析．（2）（3），证明见解析．【解析】（1）（2）（3）∵点是内角和外角的角平分线的交点，∴，，∵是的外角，∴，∴∴∵是的外角，∴，∴．∵是的外角，∴，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴．∵、、的角平分线交于点，∴由（）的结论知，，，∴，故答案为：．【标注】【知识点】三角形-内外角角分线（1）15.阅读下面的材料，并解决问题：已知在中，．如图(1)，、的角平分线交于点，则可求得．如图(2)，、的三等分线交于点、，则 ．如图(3)，、的等分线交于点、、……，则．；(用含的代数式)（2）（3）图图图如图，，、的三等分线交于点、，若，，求的度数；（要求写出解答过程）如图，，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数为 （不要求写出解答过程）．【答案】（1）（2）（3）; ;．【解析】（1）（2）（3）是的外角，，、是的三等分线，，在中，，又是的平分线，，．只需抓住加．则等分，下面两个小角之和为，．【标注】【知识点】三角形-内角角分线。

《简单的轴对称图形》练习一、选择——基础知识运用1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的〔〕A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点2．如图,△ABC中,∠BAC=100°,DF,EG分别是AB,AC的垂直平分线,则∠DAE等于〔〕A．50° B．45°C．30°D．20°3．如图,在△ABC中,DE是边AB的垂直平分线,BC=8cm,AC=5cm,则△ADC的周长为〔〕A．14cm B．13cm C．11cm D．9cm4．已知△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D,△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm,则△ABC的腰和底边长分别为〔〕A．24cm和22cm B．26cm和18cm C．22cm和26cm D．23cm和24cm 5．如图,已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P,且AP=2PC,现欲在线段AB上求作两点D,E,使其满足AD=DC=CE=EB,对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线,分别交AB于D、E,则D、E两点即为所求．下列说法正确的是〔〕A．甲、乙都正确B．甲、乙都错误C．甲正确,乙错误D．甲错误,乙正确二、解答——知识提高运用6．利用尺规作三角形的三条边的垂直平分线,观察这三条垂直平分线的位置关系,你发现了什么？再换一个三角形试一试。

7．如图,在△ABC中,∠C=40°,∠B=68°,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．求∠EAD 的度数。

8．在△ABC中,AB=AC,BC=12,∠B=30°,AB的垂直平分线DE交BC边于点E,AC的垂直平分线MN交BC于点N。

〔1〕求△AEN的周长；〔2〕求证：BE=EN=NC。

第2课时线段的垂直平分线1．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC(D)A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点2．(2019·广西梧州中考)如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是(B)A．12 B．13 C．14 D．153．(2019·山东济南槐荫区期末)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于D，E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为(B)A．130° B．95° C．90° D．85°4．(2019·广东佛山南海区期中)如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B ＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为(C)A．80° B．85° C．90° D．105°5．已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是(B)A．与AB距离相等的点在MN上B．MN上的点到点A和点B的距离相等C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN6．(2019·广东广州荔湾区一模)已知点P在线段AB的垂直平分线上，P A＝4 cm，则PB＝ 4 cm.7．(2019·山东枣庄峄城区期末)已知△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为直角三角形．8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E两点，连接AE，若AE平分∠BAC，求∠C的度数．解：因为DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，所以AE＝BE，所以∠BAE＝∠B＝30°.因为AE平分∠BAC，所以∠EAC＝∠BAE＝30°，所以∠BAC＝60°，所以∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－30°＝90°.9．线段是轴对称图形，它的一条对称轴为线段的垂直平分线．10．(2019·北京昌平区月考)如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N 分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？解：(1)如图，连接MN；(2)作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于点C，则点C即为所求．易错点未正确判断垂直平分线导致出错11．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，且BE＝DE，下列结论不一定成立的是(B)A．AB＝AD B．AC＝BDC．CA平分∠BCD D．△BEC≌△DEC12．(2019·福建厦门思明区月考)如图，以C为圆心，以大于点C到AB距离的长为半径作弧交AB于点D，E，再以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线CF，则(B)A．CF平分∠ACB B．CF⊥ABC．CF平分AB D．CF垂直平分AB13．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠BAC＝20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC 的交点，连接AD，则∠CAD＝(B)A．40° B．30° C．20° D．10°14．下列说法正确的有(B)①经过线段中点的直线只有一条②线段上任意一点到垂直平分线两端的距离相等；③线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等；④点P在线段AB外且P A＝PB，过点P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．①② B．③ C．⑤ D．②⑤15．(2019·山东滨州二模)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为 48° .16．(2019·广东深圳南山区期末)如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线分别交AB，BC的延长线于点F，E.求证：DF∥AC.证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC (角平分线的定义)．因为EF垂直平分AD，所以FD＝F A (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，所以∠BAD＝∠ADF，所以∠DAC＝∠ADF(等量代换)，所以DF∥AC( 内错角相等，两直线平行 )．17．(2019·山东滨州期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，作边AB的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N.(1)如图1，若∠A＝40°，则∠NMB＝ 20 度；(2)如图2，若∠A＝70°，则∠NMB＝ 35 度；(3)如图3，若∠A＝120°，则∠NMB＝ 60 度；(4)由(1)(2)(3)小题，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．解：(4)猜想：∠NMB＝12∠A.理由：因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A.因为MN⊥AB，所以∠MNB＝90°，所以∠NMB＝90°－(90°－12∠A)＝12∠A.18．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N，连接AE，AN.(1)如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；(2)如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；(3)若∠BAC＝α(α≠90°)，请直接写出∠EAN的度数．(用含α的代数式表示)解：(1)因为DE垂直平分AB，所以AE＝BE，所以∠BAE＝∠B.同理可得∠CAN＝∠C，所以∠EAN＝∠BAC－∠BAE－∠CAN＝∠BAC－(∠B＋∠C)．在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝80°，所以∠EAN＝100°－80°＝20°.(2)因为DE垂直平分AB，所以AE＝BE，所以∠BAE＝∠B.同理可得∠CAN＝∠C.所以∠EAN＝∠BAE＋∠CAN－∠BAC＝(∠B＋∠C)－∠BAC.在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝110°，所以∠EAN＝110°－70°＝40°.(3)当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°－2α；当90°<α<180°时，∠EAN＝2α－180°.。