不等式选讲综合测试
海南 李传牛
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．若||||a c b -<，则下列不等式中正确的是（ ）．
A ．a b c <+
B ．a c b >-
C ．||||||a b c >-
D ．||||||a b c <+
1．D ||||||||c b a c b c b -<<+≤+．
2．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y
=+++，则,A B 的大小关系是（ ）． A ．A B = B ．A B < C ．A B ≤ D ．A B >
2．B 11111x y x y x y B A x y x y y x x y
+=+>+==++++++++，即A B <． 通过放大分母使得分母一样，整个分式值变小
3．设命题甲：|1|2x ->，命题乙：3x >，则甲是乙的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． A 命题甲：3x >，或1x <-，甲可推出乙．
4．已知,,a b c 为非零实数，则222222111()()a b c a b c
++++最小值为( ) ．
A ．7
B ．9
C ．12
D ．18
4．B 22222222111111()(
)()(111)9a b c a b c a b c a b c ++++≥?+?+?=++=， ∴所求最小值为9．
5．正数,,,a b c d 满足a d b c +=+，||||a d b c -<-，则有（ ）．
A ．ad bc =
B ．ad bc <
C ．ad bc >
D ．ad 与bc 大小不定
5．C 特殊值：正数2,1,4,3a b c d ====，满足||||a d b c -<-，得ad bc >．
或由a d b c +=+得222222a ad d b bc c ++=++，
∴2222()()22a d b c bc ad +-+=-，（1）
由||||a d b c -<-得222222a ad d b bc c -+<-+，（2）
将（1）代入（2）得2222bc ad bc ad -<-+，即44bc ad <，∴ad bc >．
6．如果关于x 的不等式250x a -≤的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a 的取值
范围是（ ）．
A ．4580a ≤<
B ．5080a <<
C ．80a <
D ．45a >
6．A 250x a -≤，得≤，而正整数解是1,2,3，则34≤<． 7．设,,1a b c >，则log 2log 4log a b c b c a ++的最小值为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
7．C log,log,log0
a b c
b c a>，
log2log4log6
a b c
b c a
++≥==．
8．已知|23|2
x-≤的解集与2
{|0}
x x ax b
++≤的解集相同，则（）．A．
5
3,
4
a b
==- B．
5
3,
4
a b
=-= C．
5
3,
4
a b
== D．
17
4
a b
+=
8．Ｂ由|23|2
x-≤解得
15
22
x
≤≤，因为|23|2
x-≤的解集与2
{|0}
x x ax b
++≤的解集相同，那么
1
2
x=或
5
2
x=为方程20
x ax b
++=的解，则分别代入该方程，得
11
3
42
5
255
04
42
a
a b
b
a b
?=-
++=?
???
?
??
=
??
++=?
??
．
9．已知不等式
1
()()9
a
x y
x y
++≥对任意正实数,x y恒成立，则正实数a的最小值为（）．A．2 B．4 C．6 D．8
9
．B ∵2
1
()()11)
a y ax
x y a
x y x y
++=+++≥
，∴21)9
≥，∴4
a≥．
10．设222
,,0,3
a b c a b c
≥++=，则ab bc ca
++的最大值为（）．
A．0 B．1 C．3 D
．
3
10．C 由排序不等式222a b c ab bc ac ++≥++，所以3ab bc ca ++≤．
11．已知2()3(1)32x x f x k =-+?+，当x R ∈时，()f x 恒为正，则k 的取值范围是（ ）．
A ．(,1)-∞-
B ．(,1)-∞
C ．(1,1)-
D ．(1,1)-
11．B 23(1)320x x k -+?+>，232(1)3x x
k +>+?，即23213x x k +>+，
得2313x x
k +≥>+，即1k <． 12．用数学归纳法证明不等式
111113123224n n n n +++???+>+++(2,)n n N *≥∈的过程中，由n k =逆推到1n k =+时的不等式左边（ ）
． A ． 增加了1项)1(21+k B ．增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“1
1+k ” C ．增加了2项)1(21121+++k k D ．增加了)1(21+k ，减少了1
1+k 12．B 注意分母是连续正整数．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．不等式2|
|1x x +<的解集为 ． 13．{|1}x x <- ∵0x ≠，∴|2|||x x +<，即22(2)x x +<，∴10x +<，1x <-，
∴原不等式的解集为{|1}x x <-．
14．已知函数2()1f x x ax =-+，且|(1)|1f <，那么a 的取值范围是 ．
14．13a << 2()1f x x ax =-+，(1)2f a =-，而|(1)|1f <，即|2|1a -<．
15．函数212()3(0)f x x x x
=+>的最小值为_____________．
15．9 22123312()3922x x f x x x x =+
=++≥=． 16．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是 ．
162222(111(111)()3a b c ≤++++=．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
3
a b c ++≥． 17．证明：∵2222222(111)()()a b c a b c ++++≥++，
∴2222
()39
a b c a b c ++++≥，
3
a b c ++≥． 18．（本小题满分10分）
无论,x y 取任何非零实数，试证明等式111x y x y
+=+总不成立．
18．证明：设存在非零实数11,x y ，使得等式1111
111x y x y +=+成立， 则11111111()()y x y x x y x y +++=，
∴2211110x y x y ++=，即221113()024
y x y ++=， 但是10y ≠，即221113()024
y x y ++>，从而得出矛盾． 故原命题成立．
19．（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 为ABC 的三边，求证：2222()a b c ab bc ca ++<++．
19．证明：由余弦定理得2222cos bc A b c a =+-，2222cos ac B a c b =+-， 2222cos ab C a b c =+-，
三式相加得2222cos 2cos 2cos bc A ac B ab C a b c ++=++， 而cos 1,cos 1,cos 1A B C ≤≤≤，且三者至多一个可等于1， 即2cos 2cos 2cos 222bc A ac B ab C bc ac ab ++<++，
所以2222()a b c ab bc ca ++<++．
20．（本小题满分12分）
已知,,a b c
都是正数，求证：2(3(23
a b a b c +++-≤．
20．证明：要证32()3()23a b a b c ab abc +++-≤-， 只需证323a b ab a b c abc +-≤++-，即323ab c abc -≤-，
移项得323c ab abc +≥，
∵,,a b c 都是正数，
∴33233c ab c ab ab c ab ab abc +=++≥??=，
∴原不等式成立．
21．（本小题满分12分）
某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，试问：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
21．解：如图，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S xy =，
由题意得40245203200x y xy +?+=，
应用二元均值不等式，
得32002409020x y xy ≥?+
∴6160S S +≤，即(16)(10)0S S +-≤，
160+>100≤，∴100S ≤．
因此，S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是4090x y =， 而100xy =，求得15x =，即铁栅的长应是15米．
22．（本小题满分12分）
已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，对于任意的,0m n >满足 ()()()f m f n f mn +=，且a ，b (0)a b <<满足|()||()|2|()|2
a b f a f b f +==． （1）求(1)f ；
（2）若(2)1f =，解不等式()2f x <；
（3）求证：32b <<
22．解：（1）因为任意的,0m n >满足()()()f m f n f mn +=，
令1m n ==，则(1)(1)(1)f f f +=，得(1)0f =；
（2）()211(2)(2)f x f f <=+=+，
而(2)(2)(4)f f f +=，
得()(4)f x f <，而()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数， 04x <<，得不等式()2f x <的解集为(0,4)；
（3）∵(1)0f =，()f x 在(0,)+∞上的单调递增，
∴(0,1)x ∈时，()(1)0f x f <=，(1,)x ∈+∞时，()(1)0f x f >=． 又|()||()|f a f b =，()()f a f b =或()()f a f b =-，
∵0a b <<，则()(),()()f a f b f a f b ≠<，∴()()f a f b =-，
∴()()()0(1)f a f b f ab f +===，
∴1ab =，得01a b <<<．
∵|()|2|(
)|2a b f b f +=，且1b >，12a b +>=，()0,()02a b f b f +>>， ∴()2()2a b f b f +=，∴2()()()[()]222
a b a b a b f b f f f +++=+=， 得2()2
a b b +=，∴2242b a ab b =++， 即2242b b a --=，而01a <<，
∴20421b b <--<，又1b >，
∴32b <<
答案与解析：
备用题：
1．已知a b >，c d >，则下列命题中正确的是（ ）．
A ．a c b d ->-
B ．a b d c
> C ．ac bd > D ．c b d a ->- 1．D 令1,0,1,2a b c d ===-=-，可验证知D 成立，
事实上我们有a b b a >?->-①，c d >②，①﹢②可得c b d a ->-．
2．已知,a b R ∈，0h >．设命题甲：,a b 满足||2a b h -<；命题乙：|1|a h -<且|1|b h -<，
那么甲是乙的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分条件也不必要条件
2．B |1|a h -<，|1|b h -<，则|1||1|2a b h -+-<，而|1||1|||a b a b -+-≥-， 即||2a b h -<；命题甲：||2a b h -<不能推出命题乙：|1|a h -<且|1|b h -<．
3．证明11111234212
n n ++++???+>- ()n N *∈ ，假设n k =时成立，当1n k =+时，左端增加的项数是（ ）．
A ．1项
B ．1k -项
C ．k 项
D ．2k 项
3．D 从12121k k +-→-增加的项数是2k ．
4．如果|2||5|x x a -++>恒成立，则a 的取值范围是 ． 4．7a < |2||5|7x x -++≥，而|2||5|x x a -++>恒成立，则7a >，即7a <．
5．已知函数()log ()m f x m x =-在区间[3,5]上的最大值比最小值大1，则实数m = ．
5．36+ 显然0m x ->，而[3,5]x ∈，则5m >， 得[3,5]是函数()log ()m f x m x =-的递减区间，
max ()log (3)m f x m =-，min ()log (5)m f x m =-，
即log (3)log (5)1m m m m ---=，得2630m m -+=， 36m =±，而1m >，则36m =+．
6．要制作如图所示的铝合金窗架，当窗户采光面积为
一常数S 时（中间横梁面积忽略不计），要使所用的铝合 金材料最省，窗户的宽AB 与高AD 的比应为 ． 6．2:3 设宽AB 为x ，高AD 为y ，则xy S =，所用的铝合金材料为32x y +， 322626x y xy S +≥=，此时32x y =，:2:3x y =．
7．若01a b <<<，试比较1m a a =+
与1n b b =+的大小． 7．解：1111()()()()b a m n a b a b a b a b a b ab
--=+-+=-+-=-+， 即1()(1)m n a b ab -=--
，而01a b <<<，则101,1ab ab <<>， 得10,10a b ab
-<-<，即0m n ->，所以m n >． 8．已知0c >，设P ：函数x y c =在R 上单调递减，Q ：不等式|2|1x x c +->的解集
为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．8．解：∵x
y c
=在R上单调递减，∴01
c
<<，
又∵
22(2)
|2|
2(2)
x c x c
x x c
c x c
-≥
?
+-=?
<
?
的最小值是2c，
∴21
c>，即
1
2 c>，
由题设，当P为真Q为假时，有01
c
<<，且
1
2
c
<≤，
∴
1
2
c
<≤；
当P为假Q为真时，有1
c≥且
1
2
c>，∴1
c≥．
故c的取值范围是
1
(0,][1,)
2
+∞
U．
作者李传牛工作单位海南省海口市第十四中学邮政编码 570311联系手机 QQ交流
2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲 一、填空题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数x 的不等式 53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(],8-∞ 2 ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则 (am +bn )(bm +an )的最小值为_______. 【答案】2 3 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 【答案】[]0,4 4 ．（2013年高考湖北卷（理））设 ,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=,则x y z ++=_______. 【答案】 二、解答题 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 【答案】 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））选修4-5:不等式选讲 已知函数()f x x a =-,其中1a >.
(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集; (II)已知关于x 的不等式()(){} 222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值. 【答案】 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式 *2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12 A ?. (1)求a 的值; (2)求函数()2f x x a x =++-的最小值. 【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ?,所以322a -<,且122 a -≥ 解得1322 a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = [来源:12999数学网] (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--= 当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为3 8 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））D.[选修4-5: 不定式选讲]本小题满分10分. 已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥- [必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a () )(22222b a b b a a ---
不等式 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 22分 12分 10分 5分 5分 5分 (2008年高考广东卷第10小题) 设a 、b ∈R ，若a － |b | > 0，则下列不等式中正确的是（D ） A. b － a > 0 B. a 3 + b 3 < 0 C. a 2 － b 2 < 0 D. b + a > 0 (2008年高考广东卷第12小题) 若变量x 、y 满足24025000 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?，则32z x y =+的最大值是__70_____。 (2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x （单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则 ()()21601000010800 56048560482000f x x x x x ?=++=++()10,x x Z +≥∈ ()2 10800 48f x x '=- , 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此 当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。 (2010年高考广东卷第19小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19．解：设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，所花的费用为z ，则依题意得：
选修4-5 不等式选讲 考点不等式选讲 1.（2017?新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x ﹣1|．（10分） (1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； (2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．1.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数， g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ， 当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g （x）的解集为（1，]； 当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在
[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是[﹣1，1]． 2.（2017?新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当= ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴=ab， 由均值不等式可得：=ab≤（）2， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴（a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立． 3.（2017?新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
选修4-5不等式选讲高考题汇编 1. (2008广东理) 已知R a ∈，若关于x 的方程04 12=+-++a a x x 有实根， 则a 的取值范围是_______. 2、(2008海南、宁夏理)已知函数|4||8|)(---=x x x f 。（1）作出函数)(x f y =的 图像；（2）解不等式2|4||8|>---x x 。 3、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：3 3 3 11123a b c + + +abc ≥． 4、（2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知c b a ,,均为正数，证明：3 6)111( 2 2 2 2≥+ + +++c b a c b a ，并确定c b a ,,为何 值时，等号成立。 5、（10年福建）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-。 （Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值 范围。 选修4-5不等式选讲高考题汇编 1、(2008广东理) 已知R a ∈，若关于x 的方程04 12=+-++a a x x 有实根， 则a 的取值范围是_______. 2、(2008海南、宁夏理)已知函数|4||8|)(---=x x x f 。（1）作出函数)(x f y =的 图像；（2）解不等式2|4||8|>---x x 。 3、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：3 3 3 11123a b c + + +abc ≥． 4、（2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知c b a ,,均为正数，证明：3 6)111( 2 2 2 2≥+ + +++c b a c b a ，并确定c b a ,,为何 值时，等号成立。 5、（10年福建）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-。 （Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值 范围。
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
不等式选讲专题答案 1.（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 2.（2020?全国2卷）已知函数2 ()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 3.（2020?全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1． （1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0； （2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c } 4.（2020?江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．
不等式选讲专题答案 1.（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6? ?-∞- ??? . 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ??+≥??=--<
（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示： 由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6??-∞- ?? ?． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题． 2.（2020?全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ? ≤??或112x ?≥??；（2）(][),13,-∞-+∞. 【解析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()2 1f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时， ()43f x x x =-+-. 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3 2x ≤； 当34x <<时， ()4314f x x x =-+-=≥，无解；
分类汇编：不等式选讲 2014年真题： 1．[2014·卷] 不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________． 1．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 2．[2014·卷] 若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为? ????? x －53＜x ＜13，则a ＝________． 2．－3 3．[2014·卷] A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2 的最小值为________． 3．A. 5 4．[2014·卷] 若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2 ＋12 a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值围是________． 4.? ?????－1，12 5．[2014·卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．(1)C 6．[2014·卷] (Ⅲ)选修4-5：不等式选讲 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值； (2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2 ≥3. 6. (Ⅲ)解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数， 所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2 ＝9， 即p 2＋q 2＋r 2 ≥3. 7．[2014·卷] 选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2 －8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ； (2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2 ≤14 . 7．解：(1)f (x )＝? ????3x －3，x ∈[1，＋∞）， 1－x ，x ∈（－∞，1）. 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤4 3 ； 当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集M ＝? ????? x 0≤x ≤43. (2)由g (x )＝16x 2 －8x ＋1≤4得16? ?? ??x －142≤4，解得－14≤x ≤34， 因此N ＝? ????? x －14≤x ≤34，
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D
不等式选讲综合测试 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若||||a c b -<，则下列不等式中正确的是（ ）． A ．a b c <+ B ．a c b >- C ．||||||a b c >- D ．||||||a b c <+ 2．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y =+++，则,A B 的大小关系是（ ）． 2．B 11111x y x y x y B A x y x y y x x y +=+>+==++++++++，即A B <． 3．设命题甲：|1|2x ->，命题乙：3x >，则甲是乙的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知,,a b c 为非零实数，则222222111()()a b c a b c ++++最小值为( ) ． A ．7 B ．9 C ．12 D ．18 4．B 22222222111111()()()(111)9a b c a b c a b c a b c ++++≥?+?+?=++=， ∴所求最小值为9． 5．正数,,,a b c d 满足a d b c +=+，||||a d b c -<-，则有（ ）． A ．ad bc = B ．ad bc < C ．ad bc > D ．ad 与bc 大小不定 5．C 特殊值：正数2,1,4,3a b c d ====，满足||||a d b c -<-，得ad bc >． 或由a d b c +=+得222222a ad d b bc c ++=++， ∴2222()()22a d b c bc ad +-+=-，（1） 由||||a d b c -<-得222222a ad d b bc c -+<-+，（2） 将（1）代入（2）得2222bc ad bc ad -<-+，即44bc ad <，∴ad bc >． 6．如果关于x 的不等式250x a -≤的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a 的取值 范围是（ ）． A ．4580a ≤< B ．5080a << C ．80a < D ．45a > 6．A 250x a -≤，得≤，而正整数解是1,2,3，则34≤<． 7．设,,1a b c >，则log 2log 4log a b c b c a ++的最小值为（ ）．
不等式选讲知识点归纳及近年高考真题 考点一：含绝对值不等式的解法 例1．(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集. 解：（I ）3, 2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤?? =---=-<+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{} 1-≤x x ，求a 的值。
【2010 课标卷】设函数f(x)= 2x 4 1 （Ⅰ) 画出函数y=f(x) 的图像； （Ⅱ）若不等式f(x) ≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围. 【答案】 【2011 课标卷】设函数 f ( x) x a 3x , 其中a 0。 （Ⅰ）当a 1时，求不等式 f (x) 3x 2 的解集 （Ⅱ）若不等式 f (x) 0的解集为x| x 1 ，求 a 的值。 解：（Ⅰ）当a 1时，f (x) 3x 2可化为| x 1| 2。 由此可得x 3或x 1。故不等式 f (x) 3x 2的解集为{ x | x 3或x 1} 。( Ⅱ) 由f (x) 0得：x a 3x 0 x a x a 此不等式化为不等式组x a x a 3x 0 或 x a a x 3x 0 即 a x 或 4 a a 2 a 因为 a 0，所以不等式组的解集为| x x 由题设可得 2 a 2 = 1，故a 2 1
【2012 课标卷】已知函数 f (x) x a x 2 （1）当a 3时，求不等式 f ( x) 3的解集； （2）若 f (x) x 4 的解集包含[1,2] ，求a 的取值范围。【解析】（1）当a 3时， f ( x) 3 x 3 x 2 3 x 2 3 x 2 x 3 或 2 x 3 或 3 x x 2 3 x 3 x 3 x 2 3 x 1或x 4 （2）原命题f (x) x 4 在[1,2] 上恒成立x a 2 x 4 x在[1,2] 上恒成立 2 x a 2 x在[1,2] 上恒成立 3 a 0 【2013 课标Ⅰ卷】已知函数 f (x) =|2x 1| | 2x a |, g(x) = x 3 . （Ⅰ）当 a =2 时，求不等式 f (x) ＜g( x) 的解集； （Ⅱ）设 a ＞-1, 且当x ∈[ a 2 ， 1 2 ) 时， f (x) ≤g(x) , 求a 的取值范围. 【解析】当 a =-2 时，不等式 f (x) ＜g (x) 化为|2x 1| | 2x 2 | x 3 0 ， 5x, x 1 2 设函数y =|2x 1| |2x 2 | x 3 ，y = 1 x 2, x 1 2 ，3x 6, x 1 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x (0,2) 时，y ＜0 ∴原不等式解集是{ x | 0 x 2} . a （Ⅱ）当x ∈[ ， 2 ∴x a 2对x∈[ 1 2 ) 时， f (x) =1 a ，不等式 f (x) ≤g( x) 化为1 a x 3， 4 a 1 a ) 都成立，故， a 2，即a ≤ ， 2 2 2 3 ∴a 的取值范围为（-1 ，4 3 ]. 【2013 课标Ⅱ卷】设a、b、c均为正数，且 a b c 1，证明：
高考真题选修不等式选 讲 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
选修4-5 不等式选讲 考点不等式选讲 1.（2017?新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x） =|x+1|+|x﹣1|．（10分） (1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； (2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 1.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数， g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ， 当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]； 当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g （﹣1）=f（﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]． 2.（2017?新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当= ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴=ab， 由均值不等式可得：=ab≤（）2， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴（a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立． 3.（2017?新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
近四年全国卷高考试题不等式选讲汇编2016全国一卷理科 (24)(本小题满分10分)，选修4 —5 :不等式选讲 已知函数f(x)= I x+1 I - I 2x-3 I . (I)在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像; (II)求不等式I f(x) I> 1的解集 2016全国二卷理科 (24)(本小题满分10分)，选修4 —5 :不等式选讲 1 1 已知函数f(x)= I x- I + I x+ I, M为不等式f(x) v 2的解集2 2 (I)求M ; (II)证明：当a,b€ M 时，I a+b I vI 1+ab I。 2016全国三卷理科
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x) |2x a | a (I)当a=2时，求不等式f(x) 6的解集； (II)设函数g(x) 12x 1|,当x R时，f(x)+g( x)》3求a的取值范围 2015全国一卷理科 (24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|, a>0. (I)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； (U)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围2015全国二卷理科24.(本小题满分10分) 选修4 - 5 :不等式选讲 设a, b, c, d均为正数，且 a + b = c + d，证明： (1 )若ab > cd;则Ja . b 、.c Jd ; (2) . a ,;b . c . d 是| a b | | c d | 的充要条件。 2014全国一卷理科 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
【高中数学】数学《不等式》复习资料 一、选择题 1．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r 恒 成立，则实数t 的取值范围是（ ）. A ．33 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? B ．2323 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? C ．23,3?? +∞ ? ??? D ．3,3?? +∞ ? ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0
当且仅当 时，等号成立，故选C. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．若33 log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．83 C ． 163 D ． 173 【答案】C 【解析】 【分析】 由33 log (2)1log a b ab +=+21 3b a +=，且0,0a b >>，又由 12142(42)3a b a b b a ?? +=++ ??? ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】 因为33 log (2)1log a b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=， 所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21 3b a +=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333 a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a =，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题. 4．设x ，y 满足约束条件21210 x y x y x y +≤??+≥-??-≤? ，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ? ?的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80 C ．90 D ．120 【答案】B 【解析】 【分析】 画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.
高三数学复习 不等式选讲 题型剖析·真题训练 题型1:含绝对值的不等式的解法 【典型例题】 【例1】?(1)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3. ?(2)(2013江西)不等式||x －2|－1|≤1的解集为 ． ?(3)(2013重庆)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|-1,且当1[,)22 a x ∈-时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围.
【例3】(1)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m. (I)当m＝5时,求f(x)>0的解集； (II)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围． ?(2)已知函数f(x)＝|x－a|. (I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5},求实数a的值； (II)在(I)的条件下,若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围．
【变式训练】 1.(2012山东)若不等式|kx-4|≤2解集为{x|1≤x≤3},则k=___. 2.不等式|x＋1| |x＋2| ≥1的实数解为__________． 3.(2015山东理)不等式|1||5|2 x x ---<的解集是 (A)(,4) -∞(B) (,1) -∞(C) (1,4)(D) (1,5) 4.(2013辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|,其中a＞1. (1)当a＝2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值． 5.[2011课标]设函数f(x)＝|x－a|+3x,其中a>0. (I)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集； (II)若不等式f(x)≤0的解集为{|1} x x≤-,求a的值.
【2010课标卷】设函数f(x)=241x -+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围. 【答案】 【2011课标卷】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。 （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值。 解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。 由此可得 3x ≥或1x ≤-。故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。 ( Ⅱ) 由()0f x ≤得： 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥??-+≤?或30x a a x x ≤??-+≤? 即 4x a a x ≥???≤?? 或2x a a a ≤???≤-?? 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤- 由题设可得2a -= 1-，故2a =
【2012课标卷】 已知函数()2f x x a x =++- （1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥?-+-≥ 2323x x x ≤???-+-≥?或23323x x x <??? ， 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0 ∴原不等式解集是{|02}x x <<. （Ⅱ）当x ∈[2a -，12 )时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+， ∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2 a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为（-1，43]. 【2013课标Ⅱ卷】设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明：
《不等式选讲》历年高考真题专项突破 整理人：毛锦涛 命题角度1．含有绝对值不等式的解法 1．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2| （1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集； （2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围． 3．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 （Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值． 4．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a． （1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集； （2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围． 5．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|． （1）证明：﹣3≤f（x）≤3； （2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集． 命题角度2．含有绝对值的函数的图像与应用 6．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
7．设函数f（x）=|2x﹣4|+1． （Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象： （Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围． 8. 已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|． （Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集． 命题角度3．不等式的证明与最值 9．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2； （Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围． 10．若a＞0，b＞0，且+=． （Ⅰ）求a3+b3的最小值； （Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由． 11．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明： （1）若ab＞cd，则+＞+；
2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题 解答题 1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知()|1||1|f x x ax =+--． (1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．
3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像； (2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值． 4．（2017新课标Ⅰ）已知函数2 ()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集； (2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．
5．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明： (1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤． 6．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--． (1)求不等式()1f x ≥的解集； (2)若不等式2 ()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．