全国卷历年高考不等式选讲真题归类分析(含答案)

高考真题分类汇编（2021—2021）数学专题19不等式选讲1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解析】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc =1a+1b+1c.所以1a +1b+1c≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3√(a+b)3(b+c)3(a+c)33=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2√ab)×(2√bc)×(2√ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以,a的取值范围是[1,+∞).3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1. 【解析】(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2], 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43, 当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43. (2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2], 故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a )23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a -23时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a )2.由题设知(2+a )23≥13,解得a≤-3或a≥-1.4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f(x)>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2].5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=1时, f(x)={2x +4,x ≤-1,2,-1<x ≤2,-2x +6,x >2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x ≤3}. (2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4可得a ≤-6或a ≥2.所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图像;(2)当x ∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b 的最小值. 【解析】(1)f(x)={-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5.7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.① 当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,从而-1≤x ≤1; 当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√172. 所以f(x)≥g(x)的解集为{x |-1≤x ≤-1+√172}. (2)当x ∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[-1,1].8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围. 【解析】(1)f(x)={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x ≤2;当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x ≥1}. (2)由f(x)≥x 2-x+m 得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x. 而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x| =-(|x |-32)2+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54.故m 的取值范围为(-∞,54]. 9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a+b)(a 5+b 5)≥4; (2)a+b ≤2.【解析】(1)(a+b)(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab(a 4+b 4) =4+ab(a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b )2(a+b)=2+3(a+b )34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.10.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在题图中画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)f(x)={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时, 可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5, 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x |x <13或x >5}. 所以|f(x)|>1的解集为 {x |x <13或1<x <3或x >5}.11.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| ≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a ≥3.① (分类讨论)当a ≤1时,①等价于1-a+a ≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a ≥3,解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2,+∞).12.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;(2)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|. 【解析】(1)f(x)={-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12.当x≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1; 当-12<x<12时,f(x)<2;当x≥1时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1. 所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}. (2)由(1)知,当a,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1, 从而(a+b)2-(1+ab)2=a 2+b 2-a 2b 2-1 =(a 2-1)(1-b 2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|.13.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解; 当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1; 当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集为{x |23<x <2}. (2)由题设可得f(x)={x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A (2a -13,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a 的取值范围为(2,+∞). 14.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(2)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.【解析】证明(1)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd , 由题设a+b=c+d,ab>cd 得(√a +√b )2>(√c +√d )2. 因此√a +√b >√c +√d .(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得√a+√b>√c+√d.②若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.15.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=1a +1b,证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【解析】证明由a+b=1a +1b=a+bab,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2√ab=2, 即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.16.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且1a +1b=√ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)由√ab=1a +1b≥√ab,得ab≥2,且当a=b=√2时等号成立.故a3+b3≥2√a3b3≥4√2,且当a=b=√2时等号成立.所以a3+b3的最小值为4√2.(2)由(1)知,2a+3b≥2√6√ab≥4√3.由于4√3>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.17.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=|x+1a|+|x- a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a 的取值范围.【解析】(1)证明由a>0,有f(x)=|x +1a|+|x-a|≥|x +1a-(x -a )|=1a+a≥2. 所以f(x)≥2.(2)解f(3)=|3+1a |+|3-a|. 当a>3时,f(3)=a+1a , 由f(3)<5,得3<a<5+√212. 当0<a≤3时,f(3)=6-a+1, 由f(3)<5,得1+√52<a≤3. 综上,a 的取值范围是(1+√52,5+√212). 18.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x 2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M;(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f(x)+x[f(x)]2≤14. 【解析】(1)解f(x)={3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1),当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43, 故1≤x≤43;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1. 所以f(x)≤1的解集为M={x |0≤x ≤43}. (2)证明由g(x)=16x 2-8x+1≤4, 得16(x -1)2≤4, 解得-14≤x≤34. 因此N={x |-14≤x ≤34}. 故M ∩N={x |0≤x ≤34}.当x ∈M ∩N 时,f(x)=1-x,于是 x 2f(x)+x ·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)] =x ·f(x)=x(1-x)=14−(x -12)2≤14.19.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x ∈[-a 2,12)时,f(x)≤g(x),求a 的取值范围.【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, 则y={-5x ,x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x ∈[-a 2,12)时,f(x)=1+a,不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a -2对x ∈[-a 2,12)都成立. 故-a 2≥a -2,即a≤43. 从而a 的取值范围是(-1,43].20.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤13;(2)a 2b+b 2c+c 2a ≥1.【解析】证明(1)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca, 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(2)因为a 2b +b≥2a,b2c +c≥2b,c 2a +a≥2c,故a 2b +b 2c+c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b 2c+c 2a ≥a+b+c .所以a 2b+b2c+c 2a≥1.21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=-3时,f(x)={-2x +5,x ≤2,1,2<x <3,2x -5,x ≥3.当x ≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x ≤1; 当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x ≥3时,由f(x)≥3,得2x-5≥3,解得x ≥4; 所以f(x)≥3的解集为{x|x ≤1}∪{x|x ≥4}. (2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x ∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a ≤x ≤2-a. 由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,即-3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≤-1},求a 的值. 【解析】(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x ≥3或x ≤-1}. (2)由f(x)≤0得|x-a|+3x ≤0.此不等式化为不等式组{x ≥a ,x -a +3x ≤0或{x ≤a ,a -x +3x ≤0,即{x ≥a ,x ≤a 4或{x ≤a ,x ≤-a 2.因为a>0,所以不等式组的解集为{x |x ≤-a2}. 由题设可得-a2=-1,故a=2.23.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空,求a 的取值范围.11 【解析】(1)由于f(x)={-2x +5,x <2,2x -3,x ≥2,则函数y=f(x)的图象如图所示. (2)(图象应用)由函数y=f(x)与函数y=ax 的图象可知,当且仅当a≥12或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax 的图象有交点.故不等式f(x)≤ax 的解集非空时,a 的取值范围为(-∞,-2)∪[12,+∞).。

不等式选讲专题答案1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．2.（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．（1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．不等式选讲专题答案1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象；（2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．2.（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-. 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭. （2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥， a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．（1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++ 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc ..【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩ 21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.。

分类汇编：不等式选讲2014年真题：1．[2014·卷] 不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________． 1．(－∞，－3]∪[2，＋∞)2．[2014·卷] 若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________．2．－33．[2014·卷] A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．3．A. 54．[2014·卷] 若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a的取值围是________．4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 5．[2014·卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．(1)C6．[2014·卷] (Ⅲ)选修4­5：不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 6. (Ⅲ)解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.7．[2014·卷] 选修4­5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.7．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34，因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.8．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4­5：不等式选讲若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.8.解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝ 2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4­5：不等式选讲设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值围．9．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－（x －a ）＝1a＋a ≥2，所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.10．[2014·卷] (1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3；(2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立条件．解：(1)当x ≤－1时，2(2－x )＋(x ＋1)＞3，得x ＜2，此时x ≤－1； 当－1＜x ≤2时，2(2－x )－(x ＋1)＞3，得x ＜0，此时 －1<x <0；当x >2时，2(x －2)－(x ＋1)＞3，得x >8，此时x >8. 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．(2)证明：由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立．2013年真题：1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（含答案））若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值围是_________【答案】(],8-∞2 ．（2013年高考卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.【答案】23 ．（2013年高考卷（理））(不等式选做题)在实数围,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,44 ．（2013年高考卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221xy z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.【答案】3147二、解答题5 ．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】6 ．（2013年数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.【答案】7 ．（2013年数学（理））不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = [来源:学科网] (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为38 ．（2013年卷（数学））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a())(22222b a b b a a --- [来源:Z|xx|] ())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a , ∴0)2)()((≥--+b a b a b a ∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥-9 ．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. (Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<. (Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+,∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a-≥2a -,即a ≤43,∴a 的取值围为(-1,43]. 2012年真题（部分）1.【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值围. 【答案】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩1x ⇔≤或4x ≥（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤2.【2012高考真题理15】A.（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值围是 .【答案】42≤≤-a .【解析】不等式3|1|||≤-+-x a x 可以表示数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和最小时即是x 在点a 和点1之间时，此时距离和为|1|-a ，要使不等式3|1|||≤-+-x a x 有解，则3|1|≤-a ，解得42≤≤-a . 3【2012高考真题理24】(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x 。

不等式选讲年份题号考点考查内容2011文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2012文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2013卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲多元不等式的证明2014卷1文理24不等式选讲基本不等式的应用卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2015卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲不等式的证明2016卷1文理24不等式选讲分段函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明卷3文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2017卷1文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理23不等式选讲不等式的证明卷3文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题2018卷1文理23不等式选绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法讲卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法2019卷1文理23不等式选讲三元条件不等式的证明卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明2020卷1文理23不等式选讲绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件不等式的证明考点出现频率2021年预测考点120绝对值不等式的求解23次考4次2021年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．考点121含绝对值不等式的恒成立问题23次考12次考点122不等式的证明23次考7次考点120绝对值不等式的求解1．(2020全国Ⅰ文理22)已知函数()3121f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()()1f x f x >+的解集．【解析】(1)∵()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图像，如图所示：(2)将函数()f x 的图像向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图像，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-，∴不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．2．(2020江苏23)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩，21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤，∴解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．3．(2016全国I 文理)已知函数()|1||23|f x x x =+--．(I)在图中画出()y f x =的图像；(II)求不等式|()|1f x >的解集．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤；当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<；当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >．综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．4．(2014全国II 文理)设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【解析】(I)由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，∴()f x ≥2．(Ⅱ)1(3)33f a a=++-．当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a ＜5212；当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12＜a ≤3．综上：a 的取值范围是(152+，5212+)．5．(2011新课标文理)设函数()3f x x a x =-+，其中0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥，由此可得3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．(Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x ax a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aax ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，∴不等式组的解集为{}|2a x x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．考点121含绝对值不等式的恒成立问题6．(2020全国Ⅱ文理22)已知函数()221f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．【思路导引】(1)分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；(2)利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果．【解析】(1)当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．7．(2019全国II 文理23)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--(1)当1a =时，求不等式()0f x <的解集；(2)若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【解析】(1)当a=1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥，∴不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．(2)因为()=0f a ，∴1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----∴a 的取值范围是[1,)+∞．8．(2018全国Ⅰ文理)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x 故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，∴21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．9．(2018全国Ⅱ文理)设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x 可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．(2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ．由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，∴a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．10．(2018全国Ⅲ文理)设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．11．(2018江苏)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．因为22=6x y z ++，∴2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，∴222x y z ++的最小值为4．12．(2017全国Ⅰ文理)已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤，∴()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤．(2)当[1,1]x ∈-时，()2g x =，∴()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，∴(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤，∴a 的取值范围为[1,1]-．13．(2017全国Ⅲ文理)已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．【解析】(1)3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤；当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．∴()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．(2)由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤，且当32x =时，2512=4x x x x +---+，故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．14．(2016全国III 文理)已知函数()|2|f x x a a =-+(Ⅰ)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(Ⅱ)设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当2a =时，()|22|2f x x =-+．解不等式|22|26x -+ ，得13x - ，因此()6f x ≤的解集为{|13}x x - ．(Ⅱ)当x R ∈时，()()|2||12|f xg x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+ |1|a a =-+，当12x =时等号成立，∴当x R ∈时，()()3f x g x + 等价于|1|3a a -+ ．①当1a 时，①等价于13a a -+ ，无解．当1a >时，①等价于13a a -+ ，解得2a ．∴a 的取值范围是[2,)+∞．15．(2015全国I 文理)已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．∴()1f x >的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，∴函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．∴a 的取值范围为(2,)+∞．16．(2014全国I 文理)若0,0ab >>，且11a b +=．(Ⅰ)求33a b +的最小值；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．【解析】(I)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号．故33ab+≥≥，且当a b ==∴33a b +的最小值为(II)由(I)知，23a b +≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．16．(2013全国I 文理)已知函数()f x =|21||2|x x a -++，()g x =3x +．(Ⅰ)当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；(Ⅱ)设a ＞-1，且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．(Ⅱ)当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤，∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．(2012新课标文理)已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．(Ⅰ)当|3-=a 时，求不等式()3f x 的解集；(Ⅱ)若()|4|f x x - 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+- 2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩ 或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 1x ⇔ 或4x ．(2)原命题()4f x x ⇔- 在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-- 在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--- 在[1,2]上恒成立30a ⇔- ．考点122不等式的证明18．(2020全国Ⅲ文理23)设,,,0,1a b c a b c abc ∈++==R ．(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)用{}max ,,a b c 表示,,a b c 的最大值，证明：{}3max ,,4a b c ≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．【思路导引】(1)根据题设条件,0=++c b a 两边平方，再利用均值不等式证明即可；(2)思路一：不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bc bc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明．思路二：假设出c b a ,,中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．【解析】(1)证明：().0,02=++∴=++c b a c b a ,0222222=+++++∴ca ac ab c b a 即()222222c b a ca bc ab ++-=++.0,0222<++∴<++∴ca bc ab ca bc ab (2)证法一：不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=，当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．证法二：不妨设403<<<≤c b a ，则,4,41133>=-->=c b a c ab而1132a b ->--≥>==矛盾，∴命题得证．19．(2019全国I 文理23)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc=1．证明：(1)222111a b c a b c++≤++；(2)333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++，∴222111a b c a b c++≤++．(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c ac 3≥⨯⨯⨯=24．∴333()()()24a b b c c a +++++≥．20．(2019全国III 文理23)设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x=53，y=–13，13z =-时等号成立．∴222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ ，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+- ，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立，因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a + ，解得3a - 或1a - ．21．(2017全国Ⅱ文理)已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【解析】(1)556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++()22244ab a b =+-≥．(2)∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+，∴3()8a b +≤，因此2a b +≤．22．(2017江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+=∴2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．23．(2016全国II 文理)已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．(I)求M ；(II)证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】(I)当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．(Ⅱ)当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．24．(2015全国II 文理)设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab >cd ，则a b c d +>+；(Ⅱ)a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件．【解析】(Ⅰ)∵2()2a b a b ab +=++，2()c d c d cd +=++由题设a b c d +=+，ab cd >得22()a b c d >+a b c d +>(Ⅱ)(ⅰ)若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，∴ab cd >，由(Ⅰ)得a b c d >(ⅱ)a b c d +>则22(a b c d >+，即a b ab c d cd ++>++因为a b c d +=+，∴ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-．因此||||a b c d -<-．a b c d +>||||a b c d -<-的充要条件．25．(2013全国II 文理)设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：(Ⅰ)13ab bc ca ++≤；(Ⅱ)2221a b c b c a++≥．【解析】(Ⅰ)2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=，∴()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤．(Ⅱ)∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥，∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222a b c a b c b c a ++≥++，∴2221a b c b c a ++≥．。

2013-2019年高考真题不等式选讲解答题全集（含详细解析）1．（2019•江苏）设x R ∈，解不等式|||21|2x x +->． 2．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-…成立，证明：3a -…或1a -…．3．（2019•新课标Ⅱ）已知()|||2|()f x x a x x x a =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）当(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．4．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明： （1）222111a b c a b c++++…； （2）333()()()24a b b c c a +++++…． 5．（2018•北京）设n 为正整数，集合1{|(A t αα==，2t ，)n t ⋯，{0k t ∈，1}，1k =，2，⋯，}n ，对于集合A 中的任意元素1(x α=，2x ，⋯，)n x 和1(y β=，2y ，)n y ⋯，记 (M α，111122221)[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y β=+--++--+⋯+--（Ⅰ）当3n =时，若(1α=，1，0)，(0β=，1，1)，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，(,)M αβ是奇数；当α，β不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，(,)0M αβ=，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．6．（2018•新课标Ⅰ）已知()|1||1|f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 7．（2018•新课标Ⅱ）设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x …的解集； （2）若()1f x …，求a 的取值范围．8．（2017•新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x …的解集；（2）若不等式()()f x g x …的解集包含[1-，1]，求a 的取值范围． 9．（2017•新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=．证明：（1）55()()4a b a b ++…； （2）2a b +…．10．（2017•新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--． （1）求不等式()1f x …的解集；（2）若不等式2()f x x x m -+…的解集非空，求m 的取值范围． 11．（2016•新课标Ⅲ）已知函数()|2|f x x a a =-+． （1）当2a =时，求不等式()6f x …的解集；（2）设函数()|21|g x x =-，当x R ∈时，()()3f x g x +…，求a 的取值范围． 12．（2016•江苏）设0a >，|1|3a x -<，|2|3ay -<，求证：|24|x y a +-<． 13．（2016•新课标Ⅱ）已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，|||1|a b ab +<+．14．（2015•福建）已知0a >，0b >，0c >，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． （1）求a b c ++的值；（2）求2221149a b c ++的最小值．15．（2015•江苏）解不等式|23|2x x ++…．16．（2015•江苏）已知集合{1X =，2，3}，{1n Y =，2，3，⋯，*)()n n N ∈，设{(,)|n S a b a =整除b 或b 整除a ，a X ∈，}n B Y ∈，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数． （1）写出f （6）的值；（2）当6n …时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明． 17．（2015•湖北）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()x f x g x e +=，其中e 为自然对数的底数．（1）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（2）设0a …，1b …，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-．18．（2015•湖南）设0a >，0b >，且11a b a b+=+．证明： （ⅰ）2a b +…；（ⅱ）22a a +<与22b b +<不可能同时成立．19．（2015•新课标Ⅱ）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（1）若ab cd >；（2||||a b c d -<-的充要条件． 20．（2015•新课标Ⅰ）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 21．（2014•福建）已知定义域在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a ． （1）求a 的值；（2）若p ，q ，r 为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++…． 22．（2014•新课标Ⅱ）设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->． （Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f （3）5<，求a 的取值范围．23．（2014•江苏）已知0x >，0y >，证明22(1)(1)9x y x y xy ++++…．24．（2014•重庆）设11a =，*1()n a b n N +∈（Ⅰ）若1b =，求2a ，3a 及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有的*n N ∈成立，证明你的结论．25．（2014•安徽）设实数0c >，整数1p >，*n N ∈． （Ⅰ）证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+；（Ⅱ）数列{}n a 满足11pa c >，111pn n n p c a a a p p-+-=+．证明：11p n n a a c +>>．26．（2014•新课标Ⅰ）若0a >，0b >，且11a b+=． （Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得236a b +=？并说明理由．27．（2013•新课标Ⅰ）已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+． （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （Ⅱ）设1a >-，且当[2a x ∈-，1]2时，()()f x g x …，求a 的取值范围． 28．（2013•江苏）已知0a b >…，求证：332222a b ab a b --…．29．（2013•辽宁）（1）证明：当[0x ∈，1]sin x x 剟； （2）若不等式322(2)cos 42x ax x x x ++++…对[0x ∈，1]恒成立，求实数a 的取值范围．30．（2013•安徽）设函数23222()1(,)23nn x x x f x x x R n N n +=-++++⋯+∈∈，证明：（1）对每个n N +∈，存在唯一的2[3x ∈，1]，满足()0n n f x =；（2）对于任意p N +∈，由（1）中n x 构成数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<． 31．（2013•辽宁）已知函数()||f x x a =-，其中1a > （1）当2a =时，求不等式()4|4|f x x --…的解集；（2）已知关于x 的不等式|(2)2()|2f x a f x +-…的解集{|12}x x 剟，求a 的值． 32．（2013•新课标Ⅱ）【选修45--；不等式选讲】 设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++…（Ⅱ）2221a b c b c a++…．33．（2013•福建）设不等式*|2|()x a a N -<∈的解集为A ，且31,22A A ∈∉（Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）求函数()|||2|f x x a x =++-的最小值．34．（2013•北京）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +⋯的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3⋯，是一个周期为4的数列（即对任意*n N ∈，4)n n a a +=，写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：(1n d d n =-=，2，3)⋯的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若12a =，1(1n d n ==，2，3，)⋯，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．2013-2019年高考真题不等式选讲解答题全集（含详细解析）参考答案与试题解析一．解答题（共34小题）1．（2019•江苏）设x R ∈，解不等式|||21|2x x +->． 【解答】解：131,21|||21|1,0231,0x x x x x xx x ⎧->⎪⎪⎪+-=-+⎨⎪-+<⎪⎪⎩剟， |||21|2x x +->，∴31212x x ->⎧⎪⎨>⎪⎩或12102x x -+>⎧⎪⎨⎪⎩剟或3120x x -+>⎧⎨<⎩， 1x ∴>或x ∈∅或13x <-，∴不等式的解集为1{|3x x <-或1}x >．2．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-…成立，证明：3a -…或1a -…．【解答】解：（1）x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=， 由柯西不等式可得2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4x y z x y z ++-++++-++++=…， 可得2224(1)(1)(1)3x y z -++++…，即有222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43； （2）证明：由1x y z ++=，柯西不等式可得22222222(111)[(2)(1)()](21)(2)x y z a x y z a a ++-+-+--+-+-=+…，可得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…，即有222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +，由题意可得2(2)133a +…，解得1a -…或3a -…．3．（2019•新课标Ⅱ）已知()|||2|()f x x a x x x a =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）当(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()|1||2|(1)f x x x x x =-+--， ()0f x <，∴当1x <时，2()2(1)0f x x =--<，恒成立，1x ∴<；当1x …时，()(1)(|2|)0f x x x x =-+-…恒成立，x ∴∈∅； 综上，不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a …时，()2()(1)0f x a x x =--<在(,1)x ∈-∞上恒成立； 当1a <时，(,1)x a ∈，()2()0f x x a =->，不满足题意， a ∴的取值范围为：[1，)+∞4．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明： （1）222111a b c a b c++++…； （2）333()()()24a b b c c a +++++…． 【解答】证明：（1）分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =． 要证（1）222111a b c a b c++++…；因为1abc =． 就要证：222abc abc abc a b c a b c++++…； 即证：222bc ac ab a b c ++++…； 即：222222222bc ac ab a b c ++++…； 2222222220a b c bc ac ab ++---…222()()()0a b a c b c -+-+-…；a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．2()0a b ∴-…；2()0a c -…；2()0b c -…恒成立；当且仅当：1a b c ===时取等号． 即222()()()0a b a c b c -+-+-…得证．故222111a b c a b c++++…得证． （2）证333()()()24a b b c c a +++++…成立； 即：已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =． ()a b +为正数；()b c +为正数；()c a +为正数；333()()()3()()()a b b c c a a b b c c a ++++++++…；当且仅当()()()a b b c c a +=+=+时取等号；即：1a b c ===时取等号；a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．()a b +…()b c +…()c a +…当且仅当a b =，b c =；c a =时取等号；即：1a b c ===时取等号； 333()()()3()()()382424a b b c c a a b b c c a abbcac abc ∴++++++++⨯==厖；当且仅当1a b c ===时取等号；故333()()()24a b b c c a +++++…．得证． 故得证．5．（2018•北京）设n 为正整数，集合1{|(A t αα==，2t ，)n t ⋯，{0k t ∈，1}，1k =，2，⋯，}n ，对于集合A 中的任意元素1(x α=，2x ，⋯，)n x 和1(y β=，2y ，)n y ⋯，记 (M α，111122221)[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y β=+--++--+⋯+--（Ⅰ）当3n =时，若(1α=，1，0)，(0β=，1，1)，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，(,)M αβ是奇数；当α，β不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，(,)0M αβ=，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【解答】解：(I ) (,)1102M αα=++=，(,)0101M αβ=++=． ()II 考虑数对(k x ，)k y 只有四种情况：(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)，相应的||2k k k k x y x y +--分别为0、0、0、1，所以B 中的每个元素应有奇数个1，所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）:(1，0，0，0 )、(0，1，0，0)、(0，0，1，0)、(0，0，0，1)， (0，1，1，1)、(1，0，1，1)、(1，1，0，1)、(1，1，1，0)，对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足(,)M αβ是偶数，所以四元集合{(1B =，0，0，0)、(0，1，0，0)、(0，0，1，0)、(0，0，0，1)}满足 题意，假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α， 则互补元素中含有1个1的元素β与之满足(,)1M αβ=不合题意， 故B 中元素个数的最大值为4．（Ⅲ）{(0B =，0，0，0)⋯，(1，0，0⋯，0)，(0，1，0，0)⋯，(0，0，10)⋯⋯， (0，0，0，⋯，1)}，此时B 中有1n +个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足(,)0M αβ=，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有多于1n +个元素，由于(0α=，0，0，⋯，0)与任意元素β都有(,)0M αβ=， 所以除(0，0，0，⋯，0)外至少有1n +个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足i i x y l ==，此时(,)1M αβ…不满足题意， 故B 中最多有1n +个元素．6．（2018•新课标Ⅰ）已知()|1||1|f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，2,1()|1||1|2,112,1x f x x x x x x >⎧⎪=+--=-⎨⎪-<-⎩剟， 由()1f x >，∴2111x x >⎧⎨-⎩剟或211x >⎧⎨>⎩，解得12x >， 故不等式()1f x >的解集为1(2，)+∞，（2）当(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立， |1||1|0x ax x ∴+--->，即1|1|0x ax x +--->， 即|1|1ax -<， 111ax ∴-<-<， 02ax ∴<<，(0,1)x ∈， 0a ∴>，20x a∴<<， 2a x∴<22x>， 02a ∴<…，故a 的取值范围为(0，2]．7．（2018•新课标Ⅱ）设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x …的解集； （2）若()1f x …，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，24,1()5|1||2|2,1226,2x x f x x x x x x +-⎧⎪=-+--=-<<⎨⎪-+⎩……．当1x -…时，()240f x x =+…，解得21x --剟， 当12x -<<时，()20f x =…恒成立，即12x -<<，当2x …时，()260f x x =-+…，解得23x 剟， 综上所述不等式()0f x …的解集为[2-，3]， （2）()1f x …，5|||2|1x a x ∴-+--…， |||2|4x a x ∴++-…，|||2||||2||2||2|x a x x a x x a x a ∴++-=++-++-=+…， |2|4a ∴+…，解得6a -…或2a …，故a 的取值范围(-∞，6][2-，)+∞．8．（2017•新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x …的解集；（2）若不等式()()f x g x …的解集包含[1-，1]，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，2()4f x x x =-++，是开口向下，对称轴为12x =的二次函数， 2,1()|1||1|2,112,1x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩剟，当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++=，解得x =()g x 在(1,)+∞上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减，∴此时()()f x g x …的解集为(1； 当[1x ∈-，1]时，()2g x =，()(1)2f x f -=…．当(,1)x ∈-∞-时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且(1)(1)2g f -=-=． 综上所述，()()f x g x …的解集为[1-； （2）依题意得：242x ax -++…在[1-，1]恒成立，即220x ax --…在[1-，1]恒成立，则只需221120(1)(1)20a a ⎧--⎨----⎩……，解得11a -剟， 故a 的取值范围是[1-，1]．9．（2017•新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=．证明：（1）55()()4a b a b ++…； （2）2a b +…．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：5552332()())()4ab a b b b a b +++=+， 1a b ==时取等号， （2）332a b +=，22()()2a b a ab b ∴+-+=， 2()[()3]2a b a b ab ∴++-=， 3()3()2a b ab a b ∴+-+=，。

不等式选择题：1．（福建卷）不等式01312>+-x x 的解集是（ A ）A ．}2131|{>-<x x x 或 B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x xD ．}31|{->x x2．（福建卷）下列结论正确的是（ B ） A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>x x x 时当C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 3．（湖北卷）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．44. （辽宁卷）6．若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ C ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(5. （辽宁卷）在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ C ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 6. (全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（B ）（A ）)0,(-∞（B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a7. （山东卷）01a <<，下列不等式一定成立的是（ A ）（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ （C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+8. （天津卷）9．设)(1x f-是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（A ）A ．),21(2+∞-a aB ． )21,(2a a --∞C ． ),21(2a aa - D ． ),[+∞a 9. （天津卷）已知b 21log ＜a 21log ＜ c 21log ，则A ．2b ＞2a ＞2cB ．2a ＞2b ＞2cC ．2c ＞2b ＞2aD ．2c ＞2a ＞2b10. (重庆卷)不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2|2|22x x 的解集为 (C )(A) (0,3)；(B) (3,2)；(C) (3,4)；(D) (2,4)。

专题15 不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，．（1）解不等式()10f x >；（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4x >或1x <-；（2）40a -≤≤【解析】（1）不等式等价于34610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨->⎩解得4x >或1x <-．（2）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域．46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[2,)+∞．()442(4)(42)2g x x a x x a x a =-++≥--+=+，当且仅当4x a -与42x +异号时取等号，所以()g x 的值域为[2,)a ++∞，由题[2,)+∞⊆[2,)a ++∞，所以22a +≤，解得40a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()2f x ax =-，不等式()4f x ≤的解集为{}|26x x -≤≤． （1）求实数a 的值；（2）设()()(3)g x f x f x =++，若存在x ∈R ，使()2g x tx -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(,1][,)2t ∈-∞-+∞．【解析】（1）由42ax -≤得－4≤2ax -≤4，即－2≤ax ≤6，当a >0时，26x a a -≤≤，所以2266a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a ＝1；当a <0时，62x a a ≤≤-，所以6226a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解．所以实数a 的值为1．（2）由已知()()(3)g x f x f x =++＝|x ＋1|＋|x －2|＝()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式g （x ）－tx ≤2转化成g （x ）≤tx ＋2，由题意知函数()g x 的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ， 又因为k AM ＝－1，12BM k =， 所以t ≤－1或12t ≥， 即t ∈（－∞，－1]∪[12，＋∞）． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数()|1|f x x =+． （1）若+2>2f x x （），求实数x 的取值范围；（2）设=+>1g x f x f ax a （）（）（）（），若g x （）的最小值为12，求a 的值． 【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）2a =． 【解析】（1）()22f x x +>，即1>22x x+-⇔101>22x x x +≥⎧⎨+-⎩或10122x x x+<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>， ∴实数x 的取值范围是13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （2）∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，，，， 易知函数()g x 在1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递减，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． ∴1112a -=，解得2a =． 【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数21f x x a g x x =+=-（），（）．（1）若2f x g x +（）（）的最小值为1，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式1f x g x +<（）（）的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4．（2）312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）当1b =时，()()1|||1||1||1|2222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4．（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3ax a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力． 9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对12x x ∀∈∃∈R R ，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|01x x ≤≤；（2）1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．【解析】（1）不等式等价于132x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11222x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩， 解得x φ∈或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式2f x x ≤+（）的解集为{}|01x x ≤≤．（2）由311()212132x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，知，当12x =时，min 13()()22f x f ==， 323121g x x m x m ≥---=-（）（）（），当且仅当(32)(31)0x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数()f x x a =-．（1）当2a =-时，解不等式()1621f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[0,2]，求证：()(2)2f x f x ++≥． 【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ≥（2）见解析 【解析】（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥， 当2x ≤-时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-， 当122x -<≤时，原等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥； 不等式的解集为17{|3x x ≤-或5}x ≥．（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]02，，所以1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，从而()1f x x =-． 于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证112x x -++≥，因为111x x x -++=-1112x x x ++≥-++= 所以112x x -++≥，证毕．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数()2f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；（2）当x y ∈R ，时，2()()2()f y f x f y -+≤≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）3{|}2x x >；（2）[]31--，【解析】（1）当a =1时，31()121232x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，，，， 可得()2f x <-的解集为3{|}2x x >； （2）当x y ∈R ，时，[][]ma min 2()()2()()()2()()2x f y f x f y f x f y f x f x -+≤≤+⇔-≤⇔-≤，因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤． 所以21a +≤，所以31a -≤≤-． 所以a 的取值范围是[–3，–1]．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用． 12．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数2f x x =-（）．（1）求不等式1f x x x <++（）的解集；（2）若函数()2log 32f x f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦（）（）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．【解析】（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++， 当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >； 当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解． 综上可得所求不等式的解集为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．（2）要使函数()()2log 32y f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦的定义域为R ， 只需()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可．又()12212232g x x x a x x a a =++--≥+-+-=-，当且仅当[]12x ∈-，时取等号． 所以只需320a ->，即32a <． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数()211f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）{}11x x x ≤-≥或；（2）914．【解析】（1）由题意，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩．解得1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或； （2）由（1）可知，当12x =时，()f x 取得最小值32， 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时，即369,,141414a b c ===时等号成立． 所以222a b c ++的最小值为914．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型．14．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知000a b c >>>，，设函数f x x b x c a x =-+++∈R （），．（1）若1a b c ===，求不等式5f x <（）的解集； （2）若函数f x （）的最小值为1，证明：14918a b c a b b c c a++≥+++++（）． 【答案】（1）(2,2)-；（2）详见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即|1||1|4x x -++<， 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-， 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<， 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<，∴解集为(2,2)-；（2）()f x x b x c a =-+++x c x b a ≥+--+（）（）b c a =++，∵000a b c >>>，，，∴min ()1f x a b c =++=， ∴149a b b c c a ++=+++149a b b c c a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭a b c ++（） 11492a b b c c a ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭a b b c a c +++++（）22212⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦222⎡⎤++⎣⎦212≥1818a b c ==++（）． 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()21f x x x =-+，且a b c ∈R ，，． （1）若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值；（2）若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+．【答案】（1）73；（2）见解析 【解析】（1）由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=， 即()()()f a f b f c ==的最小值为73； （2）因为1x a -<，所以()()()()22•11f x f a x a x a x a x a x a -=---=-+-<+-()()()()212112121x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+，故结论成立．【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >．（1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．【答案】（1）不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）3a =【解析】（1）当3a =时，()51f x x ≥+可化为231x -≥，由此可得1x ≤或2x ≥，故不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-， 此不等式化等价于2250a x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+≤⎩或()2250a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+≤⎩， 解得27a x a x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或23a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3ax x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-，此不等式化等价于525x x a x ≤-≤-，即为不等式组5225x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩，解得37a x a x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3a x x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为{|1}x x ≤-是不等式()0f x ≤的解集，所以1x =-是方程()0f x =的根，把1x =-代入250x a x -+=得37a a ==-或，因为0a >，所以3a =．【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小．17．【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x ，y 满足x +y =1．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211(1)(19x y --≥）． 【答案】（1）1[16，）．（2）见解析． 【解析】（1）∵1x y +=，且0x >，0y >， ∴0152522212x x y x y x x <<⎧⎪++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩， 01011112121222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩（）， 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1[16，）． （2）解法1：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y+-+---=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x y y x =++59≥=． 当且仅当12x y ==时，等号成立． 解法2：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222221111(1)(1)x y x y x y----=⋅ 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xy xy+++=21xy =+2219()2x y ≥+=+，当且仅当12x y ==时，等号成立． 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题．对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法．而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式．。

专题19不等式选讲近三年高考真题1．（2023•甲卷（文））设0a ，函数()2||f x x a a ．（1）求不等式()f x x 的解集；（2）若曲线()y f x 与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【解析】（1）0a ∵， 当x a 时，()2()23f x x a a x a ，当x a 时，()2()2f x x a a x a ，则当x a 时，由()f x x 得23x a x ，3x a ，此时3a x a ，当x a 时，由()f x x 得2x a x ，3a x ，此时3ax a ，综上33a x a ，即不等式的解集为(3a，3)a ．（2）作出()f x 的图象如图：则(2a A ，0)，3(2a B ，0)，(,)C a a ，则3||22a a AB a ，则ABC 的高h a ，则122ABC S a a，得24a ，即2a ．2．（2023•乙卷（文））已知()2|||2|f x x x ．（1）求不等式()6f x x 的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y所确定的平面区域的面积．【解析】（1）当2x 时，()2232f x x x x ，当02x 时，()222f x x x x ，当0x 时，()2232f x x x x ，则当2x 时，由()6f x x 得326x x ，得48x ，即2x ，此时2x ．当02x 时，由()6f x x 得26x x ，得24x ，即2x ，此时02x ．当0x 时，由()6f x x 得326x x ，得24x ，即2x ，此时20x ．综上22x ，即不等式的解集为[2 ，2]．（2）不等式组()60f x y x y 等价为2|||2|60y x x x y，作出不等式组对应的平面区域如图：则(0,2)B ，(0,6)D ，由602x y y x ，得24x y ，即(2,4)C ，由6032x y y x ，得28x y，即(2,8)A ，则阴影部分的面积11(62)2(62)244822ABD BCD S S S．3．（2023•甲卷（理））已知()2||f x x a a ，0a ．（1）解不等式()f x x ；（2）若曲线()y f x 与x 轴所围成的面积为2，求a ．【解析】（1）()2||f x x a a ∵，0a ，()f x x 可化为：2||x a a x ，2||x a x a ，()2()x a x a x a ， 33x ax a，又0a ，33ax a ， 原不等式的解集为(3a，3)a ，其中0a ；（2）23,()2||2,x a x af x x a a a x x a ∵，0a ，()f x 的对称轴为x a ，且最低点的坐标为(,)a a 令()2||0f x x a a ，可得()f x 的两零点分别为2a x 和32a x ，函数图象大致如下：曲线()y f x 与x 轴所围成的面积为13(2222a aa ， 解得2a ．4．（2022•乙卷（文））已知a ，b ，c 都是正数，且3332221a b c ，证明：（1）19abc ；（2）a b c b c a c a b【解析】（1）证明：a ∵，b ，c 都是正数，333222a b c233a b c时，等号成立．因为3332221a b c ，所以1213()abc ，所以121()3abc ，所以19abc，得证．（2）根据基本不等式b c ，a c ，a b ，333333222222a b c b c a c a b，当且仅当a b c 时等号成立，故得证．5．（2022•甲卷（文））已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ，证明：（1）23a b c ；（2）若2b c ，则113a c．【解析】证明：（1）a ∵，b ，c 均为正数，且22243a b c ， 由柯西不等式知，2222222(4)(111)(2)a b c a b c ，即233(2)a b c ，23a b c ；当且仅当2a b c ，即1a b ，12c时取等号；（2）法一、由（1）知，23a b c 且2b c ，故043a c ，则1143a c，由权方和不等式可知，2211129344a c a ca c，当且仅当124a c ，即1a ，12c 时取等号，故113a c．法二、由（1）知，43a c ，当且仅当21a c 等号成立，11111111()3()(4)33a c a c a c a c141(5)5)333c a a c ，当且仅当21a c 等号成立，故113a c．6．（2021•乙卷（文））已知函数()|||3|f x x a x ．（1）当1a 时，求不等式()6f x 的解集；（2）若()f x a ，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a 时，22,3()|1||3|4,3122,1x x f x x x x x x，()6f x ∵， 3226x x或3146x 或1226x x，4x 或2x ，不等式的解集为( ，4][2 ，) ．（2）()|||3||3||3|f x x a x x a x a ，若()f x a ，则|3|a a ，当0a 时，不等式恒成立；当0a 时，0a ，不等式|3|a a 两边平方可得2269a a a ，解得302a ，综上可得，a 的取值范围是3(2，) ．。