高中数学 考点55 不等式选讲(含高考试题)新人教A版

【最新】高考数学《不等式选讲》专题解析一、141．设0x >，则()2142f x x x=--的最大值为（ ） A．4B．4C ．不存在D ．52【答案】D 【解析】 【分析】化简得到()214222x xf x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭当21222x x x ==即1x =时等号成立 故选：D 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.2．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x a x a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.3．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--，所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-， 所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.4．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，B ．(]1∞-， C ．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】2212,21n n a a S n +==++ ()*n N ∈，可得2n ≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围． 【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若存在x ,∈R ,使2x a 23x 1-+-≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]75--，B ．()57，C ．[]57，D ．][()57∞∞-⋃+，， 【答案】C 【解析】 【分析】先利用绝对值三角不等式求223x a x -+-的最小值，即得实数a 的取值范围. 【详解】由题得223=262|6|x a x x a x a -+--+-≥-，所以|6|1,161,57a a a -≤∴-≤-≤∴≤≤. 故选C 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和绝对值不等式的能成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈„，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P ⋃等于( )。

高中数学第六章-不等式 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│? §06. 不 等 式 知识要点 不等式的基本概念 不等（等）号的定义： 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. 同向不等式与异向不等式. 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）（对称性） （2）（传递性） （3）（加法单调性） （4）（同向不等式相加） （5）（异向不等式相减） （6） （7）（乘法单调性） （8）（同向不等式相乘） （异向不等式相除） （倒数关系） （11）（平方法则） （12）（开方法则） 3.几个重要不等式 （1） （2）（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号） 极值定理：若则： 如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当a=b=c时取等号） （当仅当a=b时取等号） （7） 4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）： 特别地，（当a=b时，） 幂平均不等式： 注：例如：. 常用不等式的放缩法：① ② （2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有 则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 （4）.指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想； 应用化归思想等价转化 注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ① ② 类似于，③。

高中数学《不等式选讲》知识点归纳一、141．若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则αβ-的值（ ） A ．与m 有关，且与n 有关 B ．与m 有关，但与n 无关 C ．与m 无关，且与n 无关 D ．与m 无关，但与n 有关【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先解出不等式2x m n -<的解集，再根据解集求出αβ-的值，即可判断其与,m n 之间的关系.【详解】2222m n m nx m n n x m n x -+-<⇒-<-<⇒<<Q ,22m n m nαβ∴-+==22m n m nn αβ-+-∴==-- 因此，αβ-的值与m 无关，但与n 有关.故选：D. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，形式如(0)x m a a -<> 的绝对值不等式，可以转化为a x m a -<-< 的简单不等式进行求解.2．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+-24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知集合{}|11A x x =-<，1|10B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}|12x x ≤< B ．{}|02x x << C ．{}|01x x <≤ D ．{}|01x x <<【答案】A 【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，()1011100{0x x x x x x -≥--≥⇒≥⇒≠，解得0,1x x <≥，故[)1,2A B ⋂=.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.4．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选：A 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．若关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(7,)+∞ B ．[)7,+∞C ．(1,)+∞D ．(1,7)【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值的意义可求得43x x -++的最小值为7，由此可得实数a 的取值范围，得到答案. 【详解】由题意43x x -++表示数轴上的x 对应点到4和3-对应点的距离之和，其最小值为7，再由关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，可得7a >， 即实数x 的取值范围是(7,)+∞，故选A. 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，以及函数绝对值不等式的有解问题，其中根据绝对值的意义，求得43x x -++的最小值为7是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.6．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0D ．∅【答案】B 【解析】解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。

考点50 不等式选讲一、 选择题1.(2017·天津高考理科·T8)已知函数f(x)=23,12,1x x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩设a ∈R,若关于x 的不等式f(x)≥2xa +在R 上恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A.47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2⎡⎤-⎣⎦D.3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式、二次函数最值、基本不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与综合运算能力.【解析】选A.不等式f(x)≥2x a +可化为-f(x)≤2x+a ≤f(x) ①, 当x ≤1,①式为-x 2+x-3≤2x +a ≤x 2-x+3, 即-x 2+2x -3≤a ≤x 2-32x+3, 又-x 2+2x -3=-214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-4716≤-4716, x 2-32x+3=234x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+3916≥3916,所以,-4716≤a ≤3916. 当x>1,①式为-x-2x ≤2x +a ≤x+2x ,所以-32x-2x ≤a ≤12x+2x,又-32x-2x =-322x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤12x+2x≥2,所以a ≤2, 综上-4716≤a ≤2.2.(2017·天津高考文科·T8)已知函数f(x)=2,12,1x x x x x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩设a ∈R,若关于x 的不等式 f(x)≥2xa +在R 上恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A.[-2,2]]【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与数形结合思想.【解析】选 A.方法一:因为函数f(x)=2,12,1x x x x x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩所以,令g(x)= 2x a +=22x a +,当x=-2a 时,g(x)取最小值,最小值为0,g(x)是斜率为±12的一簇折线,当x ≥1时,函数f(x)的最小值在时取到,最小值为,所以函数f(x)和g(x)的图象如图所示,所以要使f(x)≥2x a +恒成立,当a>0时,应满足2a ≤⎧≤0<a ≤2;当a=0时,f(x)≥2xa +恒成立;当a<0时,应满足-a ≤2,解得-2≤a<0.综上所述,a 的取值范围是-2≤a ≤2.方法二:满足题意时f(x)的图象恒不在函数y=2xa +下方, 当,函数图象如图所示,排除C,D 选项;当时,函数图象如图所示,排除B 选项,二、填空题1(2017·浙江高考·T17)已知a ∈R,函数f ()x =4x a x+-+a 在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 .【命题意图】本题主要考查基本不等式和求解绝对值不等式.【解析】当x ∈[]1,4时,x+4x ∈[]4,5. (1)当a ≥5时,f(x)=a-x-4x +a=2a-x-4x ,函数的最大值2a-4=5,所以a=92(舍去).(2)当a ≤4时,f(x)=x+4x -a+a=x+4x≤5,此时符合题意.(3)当4<a<5时,()max f x ⎡⎤⎣⎦=max {}4,5a a a a -+-+,则4545a a a aa a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩ 或4545a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩解得a=92或a<92,综上可得,实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.答案:9,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦三、简答题1.(2017·全国丙卷·文科·T23)同(2017·全国丙卷·理科·T23)[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=│x+1│-│x-2│.(1)求不等式f(x)≥1的解集.(2)若不等式f(x)≥x2-x +m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解;当-1<x<2时,f(x)=x+1+(x-2)=2x-1,令2x-1≥1,得x≥1,所以1≤x<2,当x≥2时,f(x)=x+1-(x-2)=3,因为3>1,所以x≥2.综上所述,f(x)≥1的解集为[1,+∞).(2)原式等价于存在x∈R,使f(x)-x2+x≥m成立,即[f(x)-x2+x]max≥m,设g(x)=f(x)-x2+x,由(1)知g(x)=2223,131,123,2x xx xx xxxx⎧-+-≤-⎪⎪-+--<<⎨⎪-++≥⎪⎩当x≤-1时,g(x)=-x2+x-3,其开口向下,对称轴为x=12>-1,所以g(x)≤g(-1)=-5;当-1<x<2时g(x)=-x2+3x-1,其开口向下,对称轴为x=32,所以g(x)≤g32⎛⎫⎪⎝⎭=54,当x≥2时g(x)=-x2+x+3,其开口向下,对称轴为x=12, 所以g(x)≤g(2)=1, 综上:g(x)max =54,即m 的取值范围为4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.2.(2017·全国乙卷理科·T23)[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x-1│. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集.(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及恒成立问题的解决策略. 【解析】方法一:(1)当a=1时,f ()x =-x 2+x+4,是开口向下,对称轴x=12的二次函数.g ()x =1x ++1x -=2,12,112,1x x x x x >⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩当x ∈(1,+∞)时,令-x 2+x+4=2x,解得g ()x 在(1,+∞)上单调递增,f ()x 在(1,+∞)上单调递减, 所以此时f ()x ≥g ()x解集为⎛ ⎝⎦. 当x ∈[]1,1-时,g ()x =2,f ()x ≥f ()1-=2. 当x ∈(),1-∞-时,g ()x 单调递减,f ()x 单调递增, 且g ()1-=f ()1-=2.综上所述,f ()x ≥g ()x的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)依题意得:-x 2+ax+4≥2在[]1,1-恒成立.即x 2-ax-2≤0在[]1,1-恒成立.则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-≤⎪⎨----≤⎪⎩解得-1≤a ≤1. 故a 取值范围是[]1,1-.方法二:将函数g(x)=|x+1|+|x-1|化简,可得g(x)=2,12,112,1x x x x x >⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩(1)当a=1时,作出函数图象可得f(x)≥g(x)的范围在F 和G 点中间,联立224y xy x x =⎧⎨=-++⎩可得点G 112⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,因此可得解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)即f(x)≥g(x)在[-1,1]内恒成立,故而可得-x 2+ax+4≥2⇒x 2-2≤ax 恒成立,根据图象可得:函数y=ax 必须在l 1,l 2之间,故而可得-1≤a ≤1.3.(2017·全国乙卷文科·T23)[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x-1│. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集.(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及恒成立问题的解决策略. 【解析】方法一:(1)当a=1时,f ()x =-x 2+x+4,是开口向下,对称轴x=12的二次函数.g ()x =1x ++1x -=2,12,112,1x x x x x >⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩当x ∈(1,+∞)时,令-x 2+x+4=2x,解得g ()x 在(1,+∞)上单调递增,f ()x 在(1,+∞)上单调递减,所以此时f ()x ≥g ()x解集为⎛ ⎝⎦. 当x ∈[]1,1-时,g ()x =2,f ()x ≥f ()1-=2. 当x ∈(),1-∞-时,g ()x 单调递减,f ()x 单调递增, 且g ()1-=f ()1-=2.综上所述,f ()x ≥g ()x的解集为⎡-⎢⎣⎦. (2)依题意得:-x 2+ax+4≥2在[]1,1-恒成立.即x 2-ax-2≤0在[]1,1-恒成立.则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-≤⎪⎨----≤⎪⎩解得-1≤a ≤1. 故a 取值范围是[]1,1-.方法二:将函数g(x)=|x+1|+|x-1|化简,可得g(x)=2,12,112,1x x x x x >⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩(1)当a=1时,作出函数图象可得f(x)≥g(x)的范围在F 和G 点中间,联立224y xy x x =⎧⎨=-++⎩可得点G 1⎫-⎪⎪⎝⎭,因此可得解集为⎡-⎢⎣⎦.(2)即f(x)≥g(x)在[-1,1]内恒成立,故而可得-x 2+ax+4≥2⇒x 2-2≤ax 恒成立,根据图象可得:函数y=ax 必须在l 1,l 2之间,故而可得-1≤a ≤1.4.(2017·全国甲卷文·T23)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a>0,b>0,a 3+b 3=2,证明:(1)(a+b)(a 5+b 5)≥4. (2)a+b ≤2.【命题意图】不等式的证明、基本不等式的运用,意在考查学生的推理论证能力和转化与化归的思想方法.【证明】(1)(a+b)(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab(a 4+b 4)=4+ab(a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=2+3ab(a+b)≤2+()234a b + (a+b)=2+()334a b +,所以(a+b)3≤8,因此a+b ≤2.5.(2017·全国丙卷·理科·T23)[选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=│x+1│-│x-2│. (1)求不等式f(x)≥1的解集.(2)若不等式f(x)≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围. 【解析】(1)当x ≤-1时,f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解. 当-1<x<2时,f(x)=x+1+(x-2)=2x-1. 令2x-1≥1, 得x ≥1, 所以1≤x<2. 当x ≥2时,f(x)=x+1-(x-2)=3. 因为3>1, 所以x ≥2.综上所述,f ()x ≥1的解集为[1,+∞).(2)原式等价于存在x ∈R,使f ()x -x 2+x ≥m 成立,即()2max f x x x ⎡⎤-+⎣⎦≥m.设g(x)=f(x)-x 2+x,由(1)知g()x=2223,131,123,2x x xx x xx x x⎧-+-≤-⎪-+--<<⎨⎪-++≥⎩当x≤-1时,g()x=-x2+x-3,其开口向下,对称轴为x=12>-1,所以g()x≤g()1-=-5.当-1<x<2时g()x=-x2+3x-1,其开口向下,对称轴为x=32,所以g()x≤g32⎛⎫⎪⎝⎭=54.当x≥2时g()x=-x2+x+3,其开口向下,对称轴为x=12,所以g()x≤g()2=1.综上:g ()maxx=54,即m的取值范围为5,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦.6.(2017·全国甲卷理科·T23).[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4.(2)a+b≤2.【命题意图】不等式的证明、基本不等式的运用,意在考查学生的推理论证能力和转化与化归的思想方法.【证明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+23()4a b+(a+b)=2+33()4a b+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.7.(2017·江苏高考·T21)D.[选修4-5:不等式选讲]已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【命题意图】主要考查不等式的证明方法,突出考查柯西不等式的应用,考查推理论证能力. 【证明】由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),因为a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,所以(ac+bd)2≤64, 因此ac+bd ≤8.【反思总结】柯西不等式的一般形式:设a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n 为实数,则()22212n aa a +++()22212n b b b +++≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当b i =0或存在一个数k,使a i =kb i (i=1,2,…,n)时,等号成立.。

不等式选讲一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知的解集是，则实数，的值是（ ） A ．， B ．， C ．，D ．，2．设，是满足的实数，那么（ ） A ． B ． C ．D ．3．设，则“”是“”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．，则的取值范围为（ ）A ．或B ．C ．D ．或5．若存在实数，使成立，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．6．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．7．若关于的不等式4个整数解，则实数的取值范围是（ ） ABC D 8．两圆和恰有三条公切线，若，x a b -<{|39}x x -<<a b 3a =-6b =3a =-6b =-6a =3b =3a =6b =a b 0ab <a b a b +>-a b a b +<-a b a b -<-a b a b -<+R x ∈12x x -＞10+1x ≤R S T =a 2a ≤-1a ≥21a -≤≤21a -<<2a <-1a >x 13x a x -+-≤a []2,1-[]2,2-[]2,3-[]2,4-x R m ()(),64,-∞-+∞()(),46,-∞-+∞()6,4-[]4,6-x k 222240x y ax a +++-=2224140x y by b +--+=R a ∈，且）A BC ．1D ．39．设实数，，，，满足关系：，，则实数的最大值为（）A ．2B C ．3 D 10．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．已知，，，且） AB C 12） ABCD ．不确定二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．14．已知函数函数，则不等式的解集为________．15．若实数，则的最小值为__________．16．若关于的不等在上恒成立，则实数的取值范围是__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知函数．R b ∈0ab ≠a b c d e 8a b c d e ++++=2222216a b c d e ++++=e 2223x x a a +--≤-x a (][)14-∞-+∞，，(][)25-∞-+∞，，[]1,2(][)12-∞+∞，，a b ()0,1c ∈1ab bc ac ++=a b ≠())R f x a ∈R a ()()2211 11x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩()()()g x f x f x =+-()2g x ≤1x y z ++=22223x y z ++x []1,2b ()1f x x a x =-++（1）若，求函数的最小值；（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．18．（12分）已知函数 （1）求不等式的解集；（2）若对于恒成立，求的取值范围．19．（12分）已知函数（1）当，求函数的定义域；（2）当时，求证：．2a =()f x x ()2f x <a ()2223f x x x =-++()15f x <()2f x a x x ≥-+R x ∈a ()f x =1a =()f x []1,2a ∈()2215f x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭20．（12分）已知，且．（1）试利用基本不等式求的最小值；（2）若实数，，满足，求证：．21．（12分）已知函数，关于的不等式的解集记为． （1）求；（2）已知，，求证：．0a b >>()1m a a b b=+-m t x y z 2224x y z t ++=23x y z ++≤()1f x x =-x ()321f x x <-+A A a b A ∈()()()f ab f a f b >-22．（12分）已知，，．若函数的最小值为2． （1）求的值； （2）证明：．不等式选讲答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】由题得，所以，因为的解集是， 所以且，所以，．故选D ．0a >0b >0c >()f x x a x b c =++-+a b c ++11194a b b c c a ++≥+++b x a b --＜＜a b x a b -+＜＜x a b -<{|39}x x -<<3a b -=-9a b +=3a =6b =2．【答案】B【解析】用赋值法．令，，代入检验；A ．选项为不成立， C ．选项为不成立，D ．选项为不成立，故选B ． 3．【答案】A【解析】当时，由得，得，此时无解， 当时，由得，得，综上，不等式的解为．由得，所以，所以不等式的解为． 因为，则“”是“”的必要不充分条件，故选A ．4．【答案】B【解析】，，所以，故选B ． 5．【答案】D【解析】由，不等式有解，可得，即，求得，故选D ． 6．【答案】A【解析】或，故选A ． 7．【答案】B【解析】本题可用排除法，当时，解得有无数个整数解，排除D等式化为5数个整数解，排除C为4数个整数解，排除A ，故选B ． 8．【答案】C【解析】因为两圆的圆心和半径分别为，，，，所以由题设2a =2b =-04＞04＞44＜0x >12x x ->12x x ->1x <-0x ≤12x x ->12x x -->13x <-12x x ->13x <-10+1x ≤10x +<1x <-10+1x ≤1x <-1{|1}|3x x x x ⎧⎫<-⊆<-⎨⎬⎭⎩12x x ->10+1x ≤{|32}S x x x =<->或{|44}T x a x a =-<<+432142a a a ⎧-≤-⇒-≤+≥⎩≤⎨()()111x a x x a x a -+----=-13x a x -+-13a -313a --24a -4m >6m <-1k =1x >()2291620x x -->()224920x x -->()1,0C a -12r =()20,2C b 21r =，故C ． 9．【答案】B 【解析】解：根据柯西不等式可知：，∴，即，∴B ． 10．【答案】A【解析】结合绝对值三角不等式的性质可得：， 即的最大值为4，由恒成立的条件可得：，解得：或，即实数的取值范围为．故选A ． 11．【答案】D【解析】用基本不等式公式求得，利用柯西不等式公式求得D ． 12．【答案】BB ．二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】 【解析】因为函数的定义域为，所以恒成立，又，2249a b +=()()()()22222222241111a b c d a b c d a b c d +++=++++++≥+++()()224168e e -≥-226446416e e e -≥-+25160e e -≤()()22224x x x x +--≤+--=22x x +--234a a -≥4a ≥1a ≤-a (][)14-∞-+∞，，(][)28-∞-+∞，，())R f x a ∈R 35x x a -+-≥()()333x x a x x a a -+-≥---=-则，即或，即或，即实数的取值范围是． 14．【答案】【解析】，， 所以，所以的解集为．故答案为． 15．【解析】由柯西不等式得，，即的最小值为【解析】由式子可知，显然，在上恒成立， 即存在，，在上恒成立，， 在，即，当，即，上单调递减，在上单调递增。

【人教A 版】2020年高考数学二轮复习《不等式选讲》讲义及拔高题型精讲卷一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.三、知识点精讲(一).不等式的性质1.同向合成（1）,a b b c a c >>⇒>；（2）,c a b d a c b d >>⇒+>+；（3）0,c 0a b d ac bd >>>>⇒>.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）0,0,a b c ac bc c ac bc >⇔>>⇔<<；（3）11000a b a b b a >>⇔>>⇔>>.（变形后为充要条件）3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-<(二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a>>⇔>><-或（2）22||||a b a b >⇔>（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论(三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）（2）0,0,22a ba b ab +>>≥（当且仅当等号成立条件为a b =）；30,0,0,3a b c a b c abc++>>>≥（当且仅当a b c ==时等号成立）（3）柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）①几何意义：2222||ad bc a b c d ⋅⇔+≤++a b a b ||||||≤②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ .当且仅当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.四、解答题题型总结核心考点:利用柯西不等式证明解不等式柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1.二维形式的柯西不等式设1212,,,x x y y ∈R，2222211221212()()()x y x y x x y y ++≥+.等号成立1221x y x y ⇔=.证明设1122(,),(,)x y x y ==a b ，由|cos ⋅=a b a ||b |a,b，得cos |⋅=a ba,b a ||b |，又|cos |1≤a,b ，即1|⋅≤|a b |a ||b |，|⋅≤|a b |a ||b |，故2222212121122()()()x x y y x y x y +≤++等号成立即1221x y x y =.2.一般形式的柯西不等式设12,,,na a a 及12,,,nb b b 为任意实数，则21122()n n a b a b a b +++≤ 2222221212()()n n a a a b b b ++++++ ，当且仅当1212n na a ab b b === （规定i a =时i b =，1,2,,i n = ）时等号成立.证法一：当ia 全为0时，命题显然成立.否则21nii a=>∑，考查关于x 的二次函数21()()ni i i f x a x b ==-∑，显然()0f x ≥恒成立.注意到222111()()2()nnnii i ii i i f x a x a b x b====-+∑∑∑，而()0f x ≥恒成立，且21nii a=>∑，故()f x 的判别式不大于零，即2221114()40nn n i i ii i i i a b a b ===∆=-⋅≤∑∑∑，整理后得222111()n nniii i i i i a ba b ===⋅≥∑∑∑.证法二：向量的内积证法.令12(,,,)n a a a = a ，12(,,,)n b b b = b ，θ为a 与b 的夹角.因为|cos ⋅=a b a ||b |a,b ，且|cos |1≤a,b ，所以|cos ||⋅=≤|a b |a ||b ||a,b a ||b |222|⇒⋅≤|a b |a ||b |，即21122()n n a b a b a b +++≤ 2222221212()()n n a a a b b b ++++++ ，等号成立0θ⇔=︒或180︒⇔a,b 平行1212n na a ab b b ⇔=== .柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.1已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-.①求m 的值；②若,,a b c +∈R ，且11123m a b c ++=，求证：239a b c ++≥.解析①因为(2)||f x m x +=-，(2)0f x +≥等价于||x m ≤.由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤.又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-，故1m =.②由①知111123a b c ++=，又,,a b c +∈R ，由柯西不等式得11123(23)()23a b c a b c a b c ++=++++2111(23)923a b c a b c ≥⋅+⋅+⋅=.2.已知1a b c ++=，0,0,0a b c >>>，求证：31313132a b c +++++≤.解析由柯西不等式有()()2313131313131(111)18a b c a b c ++++++++++⋅++=≤.当且仅当313131a b c +=+=+即13a b c ===时等号成立.故31313132a b c +++++≤.3.已知0,0,0a b c >>>，22cos sin a b c θθ+<.求证：22cos sin a b c θθ+<.解析由柯西不等式及0a >,0b >,0c >,2222222(cos sin )(cos sin )(cos sin )a b a b θθθθθθ++≥+.即222(cos sin )c a b θθ>+,又因为0c >,所以22cos sin a b c θθ+<.4.设实数,,a b c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c ---++≥.解析由柯西不等式，222222(23)[1(2)+(3)][(2)(3)]9a b c a b c ++≤+++=2.所以233a b c ++≤，所以33(23)3392733331a b ca b c ----++-++≥≥=.5.已知n *∈N ,且2n ≥，求证：1111112172342122n n <-+-++-<- .解析因为111111234212n n -+-+⋯+--111111(1)2()232242n n =+++⋯+-++⋯+111111(1)()23212n n =+++⋯+-++⋯+111122n n n =++⋯+++.所以原不等式等价于4111271222n n n <++⋯+<++.由柯西不等式有2111()[(1)(2)(2)]122n n n n n n n ++⋯+++++⋯+>++.故2111241122(1)(2)(2)73n n n n n n n n ++⋯+>=≥++++++⋯++.又由柯西不等式有2222222111111()(111)[]122(1)(2)(2)n n n n n n ++⋯+<++⋯+++⋯+++++()()()()1111[]112212n n n n n n n <++⋯++++-1111()22n n n =-=.所以11121222n n n ++⋯+<++.6.已知正实数,,a b c 满足1abc =，求证：3331113()()()2a b c b c a c a b ++≥+++.解析由1abc =,得()2221b c a b c ab ac=++,从而原不等式等价于22222232b c c a a b ab ac bc ba ca cb ++≥+++.左边()()()()2bc ca ab ab ac bc ba ca cb ++≥+++++()12ab bc ca =++()333322abc ≥=.7.已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。