第十章101分类加法计数原理

《分类加法计数原理》讲义在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要计算数量的情况。

比如，从家到学校有 3 条不同的路可走，从学校到图书馆有 2 条不同的路可走，那么从家经过学校到图书馆一共有多少种不同的走法？要解决这类问题，就需要用到计数原理，其中分类加法计数原理是非常基础且重要的。

一、什么是分类加法计数原理简单来说，分类加法计数原理指的是：完成一件事，如果有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

为了更好地理解这个原理，我们来看几个具体的例子。

例 1：某班有男生 20 人，女生 15 人，从中选一名同学担任班长，有多少种不同的选法？在这个例子中，选班长这件事可以分成两类情况：选男生或者选女生。

选男生有 20 种不同的选法，选女生有 15 种不同的选法。

根据分类加法计数原理，总的选法一共有 20 ＋ 15 ＝ 35 种。

例 2：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数有多少个？要解决这个问题，我们可以把两位数按十位数字进行分类。

当十位数字是 1 时，个位数字可以是 2、3、4、5、6、7、8、9，共8 个。

当十位数字是 2 时，个位数字可以是 3、4、5、6、7、8、9，共 7 个。

当十位数字是 3 时，个位数字可以是 4、5、6、7、8、9，共 6 个。

……当十位数字是 8 时，个位数字只能是 9，共 1 个。

所以，个位数字大于十位数字的两位数一共有 8 ＋ 7 ＋ 6 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 36 个。

二、分类加法计数原理的特点1、完成一件事这意味着我们要有一个明确的目标事件，并且这个事件最终是要被完成的。

2、多种不同的办法这些办法是相互独立的，每一类办法都能够单独完成这件事。

3、类与类之间互斥也就是说，每一类办法之间不能有重叠的部分，不能既属于这一类又属于那一类。

《分类加法计数原理》讲义一、引入在我们的日常生活中，经常会遇到需要计算方法数或者可能性数量的问题。

比如，从家里去学校，有 3 条不同的公交线路可以选择，有 2 条不同的步行路线可以选择，那么从家里到学校一共有多少种不同的路线选择呢？这就涉及到我们要学习的分类加法计数原理。

二、概念分类加法计数原理：完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

这里需要注意几个关键点：1、“完成一件事”：这是前提条件，我们所讨论的方法数都是针对完成某一个特定的事情。

2、“n 类办法”：办法是相互独立的，每一类办法都能单独完成这件事。

3、“不同的方法”：每一类办法中的方法都是相互不同的。

三、实例分析为了更好地理解分类加法计数原理，我们来看一些具体的例子。

例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中，火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班。

那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析：从甲地到乙地这件事，有乘火车、乘汽车、乘轮船三类办法。

乘火车有 4 种走法，乘汽车有 2 种走法，乘轮船有 3 种走法。

根据分类加法计数原理，不同的走法共有 4 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 9 种。

例 2：某班有男生 30 人，女生 20 人，从中选一名同学担任班长，有多少种不同的选法？分析：选班长这件事，可以选男生，也可以选女生。

选男生有 30种选法，选女生有 20 种选法。

所以不同的选法共有 30 ＋ 20 ＝ 50 种。

例 3：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数有多少个？分析：按个位数字分类。

个位数字是 2 时，十位数字可以是 1，有 1 个。

个位数字是 3 时，十位数字可以是 1、2，有 2 个。

10.1分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法.分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法.例1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例2.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？总结——分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事. 精选练习：1. 从数集{1,2,3}M =到数集{1,2,3,4}N =的不同的映射个数是多少？2. 4名运动员争夺三项冠军（无并列），不同的结果有多少种？3．4名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方式有多少种？4.1~200的自然数中，有多少个各位数上都不含数字5的个数？5.1122()()()n n a b a b a b +++ 的展开式中所有不同项的项数是多少个？10.2排列引入——问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？（元素）问题2：从,,,abcd 这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同排法？一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn A 表示.对问题1，是求从3个不同元素中取出2个不同的元素的排列数，它记为23A ，2332A =⨯ 对问题2，是求从4个不同元素中取出3个不同的元素的排列数，它记为34A ，34A 432=⨯⨯ 问：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？()mn A m n ≤呢？（按依次填空位的方法来考虑……）*,,n m N m n ∈≤）此公式称为排列数公式. （计算24426515886,,2,,nnA A A A A A -） n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列.这时排列数就记做nnA ,正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n ！表示.一般地，(1)321!(1)(2)(1)()21()!mn n n n A n n n n m n m n m ⋅-⋅⋅⋅⋅=---+==-⋅⋅⋅-当n m =时!nn A n =，为使上面公式在n m =例(A 组)联赛共有14对参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？例2.(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2) 有5种不同的书，要送3本给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例3.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？例4.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？精选练习：1. 人排成一排，根据下列条件，分别求各有多少种不同的排法？(1) 甲只能排中间(2)甲、乙两人必须排两头(3)甲不在两头2.(1) 男女生各排在一起(2)女生一定不相邻(插空法)(3)甲、乙两人相邻，其它条件不限3. 0到6七个数字组成没有重复数字的五位数，按下述要求，分别求出其个数：(1)大于25000；(2)能被5整除；(3)偶数45,,,,b c d e 规定,,a b c 次序一定，求有多少种不同排法？6由这六张卡片可以组成多少个不同的3位数？（首位数非零）10.3组合引入——问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的方法？一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.(组合与元素的顺序无关)从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示.对于“从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ”，可以这样理解：先考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；再对每一个组合中的3个不同元素作全排列，各有33A 个.根据分步记数原理，得333443A C A=⋅，因此，33443A C A =.一般地，m mn nm mA C A =(1)(2)(1)(1)21n n n n m m m ---+=-⋅ 得（其中*,,n m N m n ∈≤）(计算：37C ，710C ；证明：11mm n n m C C n m++=⋅-；写出从,,,,a b c de 5个元素中任取2个元素的所有组合) 01n C =例1.平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？有向线段呢？例2.一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个黑球，从口袋内取出3个球，共有多少种取例3.在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从中任意抽取3件，问：共有多少种不同练1.已知3272020n n C C +-=求n ；已知261515x x C C -=求x ；已知456,,n n n C C C 成等差数列，求3n C .练2. 解不等式46m m C C >. 练3. ；计算383321n nn n C C -++.练4. 计算433333445678C C C C C C +++++；1m m m m m m n C C C +++++ (答案用组合数表示)练按下列条件，各有多少种不同的分法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本(2)分成三堆，每堆两本(3)分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本(4) 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少得一本.练6.七个不同颜色的小球(1)放入两颜色不同的布袋(2) 放入两颜色相同的布袋，各有多少种不同的放法？练7.平面上有8个点，其中有4个点在一个圆上，其余任意四点不共圆，那么这8个点最多可确定的圆的个数是 （用数字作答）练8.5男4女共9人，他(她)们的身高各不相同，现排成一排，要求男、女生各从高到矮排列（左高右低或左低右高均可）.则共有 种不同的排法？练9.某幢楼从二楼到三楼的楼梯台阶共有10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有 种.练10.9人组成篮球对，其中7人善打锋，3人善打卫，现选出5人(三锋两卫，且锋分左、中、右，卫分左、右)组对出场，有多少种不同的组队方法？10.4二项式定理猜想加数学归纳法证明)其中右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式；r n r rn C a b -叫做二项展开式的通项，为第1r +项，记作1r T +rn C 叫第1r +项的二项式系数；展开式共有1n +项；前面的字母a 次数由高到低逐渐降低，b 次数由低到高逐渐升高.特别地，令1,a b x ==例1． 展开41(1)x+.例2． 展开6-. 例3． 求12()x a +的展开式中的倒数第四项.例4． （1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数.补充习题：求特殊项等——（1）求10(23)a b c +-展开式中含235a b c 的系数.2）求23(12)x x -+展开式中含4x 的系数.（3）求15-展开式中的常数项.（4）若1)n a +展开式中第三项含有2a ，求n.（5）求60+展开式中的有理项.二项式系数的性质：（1） 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；（2） 增减性与最大值：二项式系数是先增后减，在中间位置取到最大值.当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取到最大值；当n 是奇数时，中间的两项1122,n n nnCC-+相等且同时取最大值.（3） 各二项式系数的和：012(11)n n r nn n n nC C C C =+=+++++ （4） 在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 补充习题：1.求和：01222r r n n n n n n C C C C +++++ ；012233222(1)2n n n n n n n nC C C C C -+-++-小结：组合数系数成等比，则必为某一个二项式的展开式.问：组合数系数成等差呢？2. 求和：01323(1)nn n n nC C C n C +++++ 3.求10(12)x +的展开式中的二项式系数之和，奇数项(偶数项)二项式系数之和，系数之和.4.求210(23)x x -+展开后的系数和；求2310(1)(1)(1)x x x ++++++ 的展开系数和.5.求5(23)a b -展开式的系数和，奇数项系数之和，偶数项系数之和.6.设481211011112(1)(4)(3)(3)(3)x x a x a x a x a ++=+++++++ ， 求02412a a a a ++++= . 复习课课堂练习：1. 已知(1)n x +展开式中，第5，6，7三项系数成等差数列，求展开式中系数最大项.2.100+的展开式有 个有理项.3.求10(12)x +的展开式中的系数最大项.4. 计算51.009（精确到0.001）5.证明22389n n +--能被64整除.解排列问题的常用技巧——解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行解答，同时，还要注意讲究基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解.（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素.例1.用0,1,2,3,4这五个数字，组成没有重复数字的二位数，其中偶数共有个.（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减.例2.七人排成一列，规定甲不能站排头，问有多少种排法？（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.例3.五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，则不同的站法有种. （四）相邻问题：捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”的元素与其他元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列.例4.7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？（五）不相邻问题：插空法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可.例5.7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻，分别有多少种不同的排法？（六）顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.例6.(1)五人排队甲在乙前面的排法有几种？(2)六人排队，甲乙丙顺序固定(可以不相邻)，问不同排法有几种？（七）分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理. 例7.7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法？（八）实验题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律有时也是行之有效的方法.例8.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种.（九）探索对情况复杂，不易发现其规律的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解决.例9.从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有.（十）消序例10.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(可以不相邻)，有多少种排法？ （十一）住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复.另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解的方法称为“住店法”.例11.七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能的种数有 . （十二）对应例12.在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛)，最后产生一名冠军，问要举行几场？(一场比赛对应淘汰一名) （十三）特征分析研究有约束条件的排数问题，须紧扣题目所提供的数字特征、结构特征，进行推理、分析求解.例13.由1,2,3,4,5,6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数. 例14.按下列要求，求排法总数：1)6人排成一排，甲乙丙三人都不在两端；2)五男两女站成一排，要求女生不能站在两端，且又要相邻； 3)5人排成一行，要求甲乙两人之间至少有一人； 4)6人排成一排，要求甲乙两人之间必有2人；5)一排6张椅子上坐3人，每两人之间有一张空椅子；6)8张椅子排成一排，有4人就坐，每人一个座位，其中恰有3个连续空位； 7)8名学生站成前后两排，每排4人，其中要求甲乙两人在后排，丙在前排； 8)8人站成一列纵队，要求甲乙丙三人不在排头且互相隔开；9)8位同学，其中有3位是三好学生，他们和班主任合影，要求班主任坐中间，而且左右两边都要有三好学生；10)六人并排拍照，要求甲不坐最左边，乙不坐最右边. 练习题：1(1).求满足方程10x y z ++=且,,*x y z N ∈的解的个数.(2).某校高二年级有六个班，现需从中选出10名学生参加运动队，规定每班至少要入选1人，问有多少种不同的分配方案？（名额分配问题）(3)推广：求满足方程10x y z ++=且,,x y z Z ∈且2,0,2x y z ≥-≥≥的解的个数. B 2 (1).从一楼到二楼的楼梯17级，上楼时可一步一级，也可一步两级，若要求11步走完这楼梯，则有多少种不同的走法？(2).如图从56⨯方格中的顶点A 到顶点B 的最短路线有多少条？ A3.一座桥上有编号为1,2,3,…,10的十盏灯,为节约用电又不影响照明,可以把其中的三盏关掉,但不能关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯.问不同关灯方法有多少种？4.从1,2,3,…,14中,按数从小到大的顺序取出123,,a a a ,使同时满足21a a -3=,323a a -=,则符合要求的不同取法有多少种？5.求四个杯子，四个杯盖均不对号入座的方法种数.6.有五件不同奖品发给4位先进工作者,每人至少一件,有多少种不同的发放方法？7.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法种数共有几种？8.从5个学生中选三人参加代表会，其中甲、乙两人至少一人在内，共有多少不同选法？ 9.将5列车停在5条不同的轨道上，其中a 列车不停在第一道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有几种？10.平面上有11个相异的点，过其中任意两点相异的直线有48条. (1)这11点中，含3个或3个以上的点的直线有几条？ (2)这11点构成几个三角形？11．一直线和圆相离，这条直线上有6个点，圆周上有4个点，通过任意两点作直线，最少可作直线的条数是 （ ） A ．37 B ．19 C ．13 D ．712．某团进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有 （ ） A ．5种 B ．11种 C ．14种 D ．23种13．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三只路灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄灯方法共有（ ）种A ．38CB ．38AC ．39CD ．39A14.已知直线21//l l ，在1l 上取3个点，在2l 上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在1l 和2l 之间的交点（不包括21,l l 上的点）最多有（ ）个A ．18B ．20C ．24D ．3615．某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽取10辆，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有 （ ）种 A56 B ．84 C ．80 D ．11416．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有 （ ） A ．240 B ．180 C ．120 D ．60 17．已知)(10N n n ∈≤。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理【要点梳理】要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)1．分类加法计数原理：完成一件事,有n 类办法.在第1类办法中有1m 种不同方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法.2．加法原理的特点是：① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n 类；② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。

3．图示分类加法计数原理：由A 到B 算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。

从图中可以看出，完成由A 到B 这件事，共有方法m+n 种。

要点诠释：用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。

要点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．2．乘法原理的特点：① 完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；② 完成每一步有若干种方法；③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。

3.图示分步乘法计数原理：由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。

要点诠释：从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。

分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种统计分析方法，用于计算数据中隐藏的信息。

它是一种简单但有效的方法，可以帮助我们了解数据集中的分布情况。

分类加法计数原理是基于一个简单的假设，即它假设每个观察值都是独立的，不受其他观察值的影响。

基于这种假设，它假设每个观察值的概率是相同的，因此可以使用概率计算来计算数据的分布情况。

分类加法计数原理可以用于统计分析的各个方面，包括描述统计、回归分析、统计推断、假设检验等。

例如，在描述统计中，它可以用来计算数据的极差、平均数、中位数等；在回归分析中，它可以用来计算数据点之间的线性关系；在统计推断中，它可以用来估计总体参数；在假设检验中，它可以用来验证数据集中的假设是否正确。

分类加法计数原理在统计学中是一种基本的概念，可以为我们提供有价值的信息。

它可以帮助我们更好地理解数据集中的分布情况，从而更好地分析和解释数据和结果。

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识重温】一、必记3个知识点1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…,在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝①____________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝②____________________种不同的方法．3．两个原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③____________________的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与④________有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与⑤________有关，各个步骤⑥________，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．二、必明2个易误点1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的．2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事,步步之间是相关联的．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．（）(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(）（4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(）二、教材改编2．已知集合M＝{1，－2，3},N＝{－4,5，6，－7｝，从M，N这两个集合中各取一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是(）A．12B．8C．6D．43.如图,从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A 城到C城有4条路,从C城到D城有5条路,则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．三、易错易混4．已知a，b∈｛2,3，4，5,6,7,8，9｝，则log a b的不同取值个数为________．5．某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为() A．3＋5 B．3×5 C．35D．53202210.1四、走进高考6．［2020·山东卷］6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(）A．120种B．90种C．60种D．30种考点一分类加法计数原理［自主练透型］1．[2021·湘赣十四校联考］有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为（）A．8B．15C．18D．302．椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5｝，n∈{1，2，3,4,5，6，7｝，则这样的椭圆的个数为________．3．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点）．悟·技法1。

分类加法计数原理和分布乘法计数原理一、回顾教材·知识梳理分类加法计数原理：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，.....在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.（对应微体验1、2）分布乘法计数原理:完成一件事需要n 个步骤，做第1步有N 1种不同的方法，做第2步有N 2种不同的方法，…做第n 步有N O 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.(对应微体验3、4)分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系都是完成一件事的不同方法种数的问题 区别 1、 分类2、 每类办法都是独立完成，并且只需一种方法就可完成这件事。

3、 互斥且独立1、 分步2、 “步步相依”即各个步骤是相互依存的，必须每步都完成了，才算做完这件事 注意分类要“不重不漏” 分步要“步骤完整” 二、基础检测·查漏补缺微体验1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 微体验2：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到,",#两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：问1：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？问2：在微体验2中,如果数学也是A 大学的强项专业,则A 大学共有6个专业可以选择,B 大学共有4个专业可以选择,那么用分类加法计数原理,得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题?微体验3：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以"1，"2…"9，#1，#2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？微体验4：某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?三、考点分类·全面突破考点一：分类加法计数原理的应用例1：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为（ ）变式1：设a ，b ，c∈{1,2,3,4}，若以a ，b ，c 为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有 个。