第一讲数系扩张--有理数(一)
一、【问题引入与归纳】
1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。
2、有理数的两种分类:
3、有理数的本质定义,能表成m
n(0,,
n m n
≠互质)。
4、性质:①顺序性(可比较大小);
②四则运算的封闭性(0不作除数);
③稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质:
①
(0)
||
(0)
a a
a
a a
≥
?
=?
-≤
?②非负性2
(||0,0)
a a
≥≥
③非负数的性质:i)非负数的和仍为非负数。ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。
二、【典型例题解析】:
1、若
||||||
0,
a b ab
ab
a b ab
+-
f则
的值等于多少?
2.如果m是大于1的有理数,那么m一定小于它的()
A.相反数
B.倒数
C.绝对值
D.平方
3、已知两数a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值是2,求
220062007
()()()
x a b cd x a b cd
-+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置,如下图所示,那
么||||
a b a b
-++化简的结果等于(
A.2a
B.2a
- D.2b
5、已知
2
(3)|2|0
a b
-+-=,求b a的值是()
.3 C
6、有3个有理数a,b,c,两两不等,那么
,,
a b b c c a
b c c a a b
---
---中有几个负数?
7、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,
,
a b a
+的形式式,又可表示为0,
b
a,b
的形式,求
20062007
a b
+。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且||||||
||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac
=
+++++则32
1ax bx cx +++的值是多少? 9、若,,a b c 为整数,且2007
2007||
||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
三、课堂备用练习题。
1、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006
2、计算:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
3、计算:5917336512913248163264+++++-
4、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。
5、若三个有理数
,,a b c 满足||||||1
a b c a b c ++=,求||
abc abc 的值。
第二讲 数系扩张--有理数(二) 一、【能力训练点】: 1、绝对值的几何意义
① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。 ② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】: 1、 (1)若20a -≤≤,化简|2||2|a a ++-
(2)若0x p ,化简|||2||3|||x x x x ---
2、设0a p ,且
||a
x a ≤
,试化简|1||2|x x +--
3、a 、b 是有理数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件? (1)||||||;a b a b +=+ (2)||||||;ab a b = (3)||||;a b b a -=- (4)若||a b =则a b = (5)若||||a b p ,则a b p (6)若a b f ,则||||a b f
4、若|5||2|7x x ++-=,求x 的取值范围。
5、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ,如果||||||a b b c a c -+-=-,那么B 点在A 、C 的什么位置?
6、设a b c d p p p ,求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值。
7、abcde 是一个五位数,a b c d e p p p p ,求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。 8、设
1232006
,,,,a a a a L 都是有理数,令1232005()
M a a a a =++++L
2342006()a a a a ++++L ,
1232006()N a a a a =++++L 2342005()
a a a a ++++L ,试比较
M 、N 的大小。 三、【课堂备用练习题】:
1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-L 求()f x 的最小值。
2、若|1|a b ++与2
(1)a b -+互为相反数,求321a b +-的值。
3、如果0abc ≠,求
||||||
a b c a b c ++
的值。 4、x 是什么样的有理数时,下列等式成立?
(1)|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- (2)|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-
5、化简下式:||||
x x x -
第三讲数系扩张--有理数(三)
一、【能力训练点】:
1、运算的分级与运算顺序;
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
(1)加法法则:同号相加取同号,并把绝对值相加;异号相加取绝对值较大数的符号,并用较大绝对值减较小绝对值;一个数同零相加得原数。
(2)减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。
(3)乘法法则:几个有理数相乘,奇负得负,偶负得正,并把绝对值相乘。
(4)除法法则:除以一个数,等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题,养成良好思维习惯及解题习惯。
二、【典型例题解析】:
1、计算:
351 0.752(0.125)124
478??????
+-+++-+-
? ? ?
??????
2、计算:(1)、
()() 560.9 4.48.11 +-++-+
(2)、()+(+)+()+
(3)、(-42
3)+
111
362
324??????
-+++-
? ? ?
??????
3、计算:①
() 232
321 1.75
343
??????
------+
? ? ?
??????
②
111 142
243??????-+---
? ? ???????
4、化简:计算:(1)
7111
4543
8248????????---+--+
? ? ? ?????????
(2)
3512
3.7540.125
8623
??
??????
----+-+-
? ? ?
??
??????
??
(3)
()()
34 01154
77
??
????
+-----+--+-
? ?
??
????
??
(4)
235
713
346??????-?+÷-
? ? ???????
(5)×12+×12-36×(79-57618+
)
5、计算: (1)
()()()
3
24
2311-+?---
(2)
()()2
19981110.5333??
---??--?? (3)
22831210.52552142??????
÷--?--÷? ? ? ???????
6、计算:()3
413312100.51644??????????+--?-÷---??
?? ? ?????????????
7、计算:3323
2002
13471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001-?+----÷++-
:
第四讲 数系扩张--有理数(四) 一、【能力训练点】:
1、运算的分级与运算顺序;
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
3、巧算的一般性技巧: ① 凑整(凑0); ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则; ④ 裂项法
4、综合运用有理数的知识解有关问题。 二、【典型例题解析】:
1、计算:23797
0.71
6.6 2.20.7 3.31173118?-?-÷+?+÷
2
、
1111111111
(1)()(1)
2319962341997231997
----?++++-----L L L
1111()2341996?++++L
3、计算:①223
2(2)|3.14|| 3.14|
(1)
π
π-+----
--- ②
{}
235324[3(2)(4)(1)]7-?-+?-?---÷--
4、化简:111
()(2)(3)(9)122389x y x y x y x y +++
++++???L 并求当2,x =9y =时
的值。
5、计算:
22222222
2131411
2131411n n S n ++++=++++----L 6、比较
1234248162n n n S =
+++++L 与2的大小。
7、计算:33232002
13471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001-?+----÷++-
8、已知a 、b 是有理数,且a b p ,含
23a b c +=
,23a c x +=,23c b
y +=,请将,,,,a b c x y
按从小到大的顺序排列。
三、【备用练习题】:
1、计算(1)1111142870130208++++ (2)222
1335
99101+++
???L
2、计算:
111111
20072006200520041232323-+-+-
L 3、计算:
1111(1)(1)(1)(1)
2342006-?-?-??-L 4、如果2(1)|2|0a b -++=,求代数式220062005
()()2()b a a b ab a b -++++的值。
5、若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,m 的绝对值为2,求2221
(12)a b m m cd
-+
÷-+的值。
第五讲代数式(一) 一、【能力训练点】:
(1)列代数式; (2)代数式的意义; (3)代数式的求值(整体代入法) 二、【典型例题解析】: 1、用代数式表示:
(1)比x y 与的和的平方小x 的数。 (2)比a b 与的积的2倍大5的数。
(3)甲乙两数平方的和(差)。 (4)甲数与乙数的差的平方。
(5)甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。 (6)甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。 (7)比a 的平方的2倍小1的数。 (8)任意一个偶数(奇数) (9)能被5整除的数。 (10)任意一个三位数。 2、代数式的求值:
(1)已知25a b a b -=+,求代数式
2(2)3()
2a b a b a b a b -+++-的值。 (2)已知225x y ++的值是7,求代数式
2364x y ++的值。 (3)已知2a b =;5c a =,求624a b c
a b c +--+的值(0)c ≠ (4)已知113
b a -=,求222a b ab a b ab ---+的值。
(5)已知:当1x =时,代数式31Px qx ++的值为2007,求当1x =-时,代数式
3
1Px qx ++的值。
(6)已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立,求A 、B 的值。
(7)已知223
(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++,求a b c d +++的值。
(8)当多项式210m m +-=时,求多项式32
22006m m ++的值。 3、找规律:
Ⅰ.(1)2
2
(12)14(11)+-=+; (2)2
2
(22)24(21)+-=+
(3)22(32)34(31)+-=+ (4)
22
(42)44(41)+-=+ 第N 个式子呢?
Ⅱ.已知
2222233+
=?; 233
3388+=?;
244441515+
=?; 若21010a a b b +=?
(a 、b 为正整数),求?a b +=
Ⅲ.
32332333211;123;1236;=+=++=33332123410;+++=猜想: 33333
1234?n +++++=L 三、【备用练习题】:
1、若()m n +个人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要多少天?
2、已知代数式2
326y y -+的值为8,求代数式2
312y y -+的值。
3、某同学到集贸市场买苹果,买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半,而余下的钱都买
了每千克2元的苹果,则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元?
4、已知
111
1n n a a +=
+
(1,2,3,,2006)
n =L 求当11a =时,122320062007?a a a a a a +++=L
第六讲 代数式(二) 一、【能力训练点】:
(1)同类项的合并法则; (2)代数式的整体代入求值。 二、【典型例题解析】:
1、 已知多项式
222
259337y x xy x nxy my +-++-+经合并后,不含有y 的项,求
2m n +的值。
2、当250(23)a b -+达到最大值时,求22149a b +-的值。
3、已知多项式3225a a a -+-与多项式N 的2倍之和是32
4224a a a -+-,求N ?
4、若,,a b c 互异,且x y a b b c c a Z
==
---,求x y Z ++的值。
5、已知210m m +-=,求32
22005m m ++的值。
6、已知2215,6m mn mn n -=-=-,求2232m mn n --的值。
7、已知,a b 均为正整数,且1ab =,求11a b
a b +
++的值。
8、求证
20061
20062
11112222
L L 12314243个个等于两个连续自然数的积。
9、已知1abc =,求111a b c
ab a bc b ac c ++
++++++的值。
10、一堆苹果,若干个人分,每人分4个,剩下9个,若每人分6个,最后一个人分到的少于3个,问多少人分苹果? 三、【备用练习题】: 1、已知1ab =,比较M 、N 的大小。
1111M a b =
+++, 11a b
N a b =+++。
2、已知2
10x x --=,求3
21x x -+的值。
3、已知x y z
K y z x z x y ===+++,求K 的值。
4、554433
3,4,5a b c ===,比较,,a b c 的大小。
5、已知22350a a --=,求432
412910a a a -+-的值。
第七讲 发现规律 一、【问题引入与归纳】
我国着名数学家华罗庚先生曾经说过:“先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上来证明这一规律的一般性,这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进,寻找规律的方法,对我们解某些数学问题有重要指导作用,下面举例说明。
能力训练点:观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。 二、【典型例题解析】 1、 观察算式:
(13)2(15)3(17)4(19)5
13,135,1357,13579,,2222
+?+?+?+?+=
++=+++++++=L 按规律填空:1+3+5+…+99= ?,1+3+5+7+…+(21)n -= ?
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律,写出第n 个小房子
用了多少块石子?
3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖(如图所示)的规律,拼成若干个图案:(1)第3个图案中有白色地面砖多少块?(2)第n 个图案中有白色地面砖多少块?
4、 观察下列一组图形,如图,根据其变化规律,可得
第10个图形中三角形的个数为多少?第n 个图形中三角形的个数为多少?
5、 观察右图,回答下列问题:
(1)图中的点被线段隔开分成四层,则第一层有1个点,第二层有3个点,第三层有多少个点,第四层有多少个点?
(2)如果要你继续画下去,那第五层应该画多少个点,第n 层有多少个点? (3)某一层上有77个点,这是第几层? (4)第一层与第二层的和是多少?前三层的和呢?前4层的和呢?你有没有发现什么规律?根据你的推测,前12层的和是多少?
6、 读一读:式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,
由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表
示为100
1n n
=∑,这里“∑”是求和符号,例如“1+3+5+7+9+…+99”(即从1开始的100以内的
连续奇数的和)可表示为50
1
(21);
n n =-∑又如“3333333333
12345678910+++++++++”
可表示为10
3
1
n n
=∑,同学们,通过以上材料的阅读,请解答下列问题:
(1)2+4+6+8+10+…+100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符号可表示为 ;
(2)计算:5
2
1
(1)
n n
=-∑= (填写最后的计算结果)。
7、 观察下列各式,你会发现什么规律?
3×5=15,而15=42-1 5×7=35,而35=62-1 … … 11×13=143,而143=122-1 … …
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。
8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式,并算出13+23+33+…+1003的值。 三、【跟踪训练题】1 1、有一列数1234,,,,
n a a a a a L 其中:1a =6×2+1,2a =6×3+2,3a =6×4+3,4a
=6×5+4;…
则第n 个数n
a = ,当n
a =2001时,n = 。
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 ……
……
28
26
根据上面的规律,则2006应在 行 列。
3、已知一个数列2,5,9,14,20,x ,35…则x 的值应为:( )
4、在以下两个数串中:
1,3,5,7,…,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…,1990,1993,1996,1999,同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个。 .334 C 5、学校阅览室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2张方桌拼成一行能坐6人(如右图所示 )按照这种规定填写下表的空格:
拼成一行的桌子数 1 2 3 … n 人数 4
6
…
6、给出下列算式:
ΛΛΛΛΛ487938572835181322222222?=-?=-?=-?=-
观察上面的算式,你能发现什么规律,用代数式表示这个规律:7、通过计算探索规律:
152=225可写成100×1×(1+1)+25
252=625可写成100×2×(2+1)+25
352=1225可写成100×3×(3+1)+25
452=2025可写成100×4×(4+1)+25
…………
752=5625可写成
归纳、猜想得:(10n+5)2=
根据猜想计算:19952=
8、已知
()()1
2
1
6
1
3
2
12
2
2
2+
+
=
+
+
+
+n
n
n
n
Λ
,计算:
112+122+132+…+192= ;
9、从古到今,所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式,有位学者提出:当n 是自然数时,代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下,当n=40时,n2+n+41的值是什么?这位学者结论正确吗?
第八讲综合练习(一)
1、若
5
x y
x y
-
=
+,求
55
2233
x y x y
x y x y
-+
+
+-的值。
2、已知|9|
x y
+-与2
(23)
x y
-+互为相反数,求x y。
3、已知|2|20
x x
-+-=,求x的范围。
4、判断代数式||||
x x
x
-
的正负。
5、若||
1
abcd
abcd
=-
,求
||||||||
a b c d
a b c d
+++
的值。
6、若
2
|2|(1)0
ab b
-+-=,求
111
(1)(1)(2)(2)
ab a b a b
+++
++++
L 1
(2007)(2007) a b
++
7、已知23x -p p ,化简|2||3|x x +--
8、已知,a b 互为相反数,,c d 互为倒数,m 的绝对值等于2,P 是数轴上的表示原点的数,
求
10002
a b
P cd m abcd +-+
+的值。
9、问□中应填入什么数时,才能使|20062006|2006?-=W
10、,,a b c 在数轴上的位置如图所示,
化简:|||1||||1||23|a b b a c c b ++-------
11、若0,0a b f p ,求使||||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围。
12、计算:2481632(21)(21)(21)(21)(21)
21+++++-
13
、
已
知
200420042004200320032003
a ?-=-
?+,
200520052005200420042004
b ?-=-
?+,
200620062006
200520052005c ?-=-
?+,求abc 。
14、已知
999990
9911,99P q ==,求P 、q 的大小关系。 15、有理数,,a b c 均不为0,且0a b c ++=。设
||||||
|
|
a b c x b c c a a b =+++++,求代数式
19992008x x -+的值。
第九讲 一元一次方程(一) 一、知识点归纳:
1、等式的性质。
2、一元一次方程的定义及求解步骤。
3、一元一次方程的解的理解与应用。
4、一元一次方程解的情况讨论。 二、典型例题解析:
1、解下列方程:(1)2121
136x x -+=- (2)32122234x x ????--=+ ???????;
(3)
0.30.2 1.550.70.20.5x x --+
=
2、 能否从(2)3a x b -=+;得到
32b x a +=
-,为什么?反之,能否从3
2b x a +=
-得到
(2)3a x b -=+,为什么?
3、若关于x 的方程
2236kx m x nk
+-=+,无论K 为何值时,它的解总是1x =,求m 、n 的值。 4、若
5545410
(31)x a x a x a x a +=++++L 。求
543210
a a a a a a -+-+-的值。
5、已知1x =是方程11322mx x =-的解,求代数式22007
(79)m m -+的值。
6、关于x 的方程(21)6k x -=的解是正整数,求整数K 的值。
7、若方程
732465x x x --
=-与方程
3551
2246x x mx ---=-同解,求m 的值。 8、关于x 的一元一次方程
22
(1)(1)80m x m x --++=求代数式200()(2)m x x m m +-+的值。
9、解方程200612233420062007x x x x
++++=????L
10、已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +,求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解。 11、当a 满足什么条件时,关于x 的方程|2||5|x x a ---=,①有一解;②有无数解;③无解。
第十讲 一元一次方程(2) 一、能力训练点:
1、列方程应用题的一般步骤。
2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题(如经济问题、利润问题、增长率问题) 二、典型例题解析。
1、 要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克,今有98%的浓硫酸和10%的硫酸,问这两种硫酸分别应各取多少千克?
2、一项工程由师傅来做需8天完成,由徒弟做需16天完成,现由师徒同时做了4天,后因师傅有事离开,余下的全由徒弟来做,问徒弟做这项工程共花了几天?
3、某市场鸡蛋买卖按个数计价,一商贩以每个元购进一批鸡蛋,但在贩运途中不慎碰坏了12个,剩下的蛋以每个元售出,结果仍获利元,问该商贩当初买进多少个鸡蛋? :
4、某商店将彩电按原价提高40%,然后在广告上写“大酬宾,八折优惠”,结果每台彩电仍可获利270元,那么每台彩电原价是多少?
5、一个三位数,十位上的数比个位上的数大4,个位上的数比百位上的数小2,若将此三位数的个位与百位对调,所得的新数与原数之比为7:4,求原来的三位数?
6、初一年级三个班,完成甲、乙两项任务,(一)班有45人,(二)班有50人,(三)班有43人,现因任务的需要,需将(三)班人数分配至(一)、(二)两个班,且使得分配后(二)班的总人数是(一)班的总人数的2倍少36人,问:应将(三)班各分配多少名学生到(一)、(二)两班?
7、一个容器内盛满酒精溶液,第一次倒出它的1
3后,用水加满,第二次倒出它的
1
2后用水
加满,这时容器中的酒精浓度为25%,求原来酒精溶液的浓度。
8、某中学组织初一同学春游,如果租用45座的客车,则有15个人没有座位;如果租用同数量的60座的客车,则除多出一辆外,其余车恰好坐满,已知租用45座的客车日租金为每辆车250元,60座的客车日租金为每辆300元,问租用哪种客车更合算?租几辆车?
9、1994年底,张先生的年龄是其祖母的一半,他们出生的年之和是3838,问到2006年底张先生多大?
10、有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,已知用24部A型抽水机,6天可抽干池水,若用21部A型抽水机13天也可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,则至多只能用多少部A型抽水机抽水?
11、狗跑5步的时间,马能跑6步,马跑4步的距离,狗要跑7步,现在狗已跑出55米,马开始追它,问狗再跑多远马可以追到它?
12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流,在A处遇到逆水而上的快艇和轮船,因雾大而未被发现,1小时快艇和轮船获悉此事,随即掉头追救,求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间?
数形结合谈数轴
一、阅读与思考
数学是研究数和形的学科,在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题;反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种数与形之间的相
互作用叫数形结合,是一种重要的数学思想。
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主要体现在以下几个方面: 1、利用数轴能形象地表示有理数; 2、利用数轴能直观地解释相反数; 3、利用数轴比较有理数的大小;
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 二、知识点反馈
1、利用数轴能形象地表示有理数;
例1:已知有理数a 在数轴上原点的右方,有理数b 在原点的左方,那么( ) A .b ab < B .b ab > C .0>+b a D .0>-b a 拓广训练:
1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数,在a
b b a a b b a ---+,,2,中,负数的个数
有( ) (“祖冲之杯”邀请赛试题) A .1 B .2 C .3 D .4 3、把满足
5
2≤ 2、利用数轴能直观地解释相反数; 例2:如果数轴上点A 到原点的距离为3,点B 到原点的距离为5,那么A 、B 两点的距离为 。 拓广训练: 1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3,则._________3=-a 2、已知数轴上有A 、B 两点,A 、B 之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。(北京市“迎春杯”竞赛题) 3、利用数轴比较有理数的大小; 例3:已知0,0<>b a 且0<+b a ,那么有理数b a b a ,,,-的大小关系 是 。(用“<”号连接)(北京市“迎春杯”竞赛题) 拓广训练: 若0,0> m >,比较m n n m n m n m --+--,,,,的大小,并用“>”号连接。 例4:已知5 与4的大小 拓广训练: 1、已知3->a ,试讨论 a 与3的大小 2、已知两数b a ,,如果a 比b 大,试判断 a 与 b 的大小 4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 例5: 有理数c b a ,, c b b a b a -++++化简结果为 ( ) A .c b a -+32 B . c b -3 C .c b + D .b c - 拓广训练: 1、有理数c b a ,,c c a b b a ------+11的结果 为 2、已知 b b a b a 2=-++,在数轴上给出关于b a ,的四种情况如图所示,则成立的 ① ② ③ ④ 3、已知有理数c b a ,,在数轴上的对应的位置如下图:则b a c a c -+-+-1化简后的结 果是( ) (湖北省初中数学竞赛选拨赛试题) A .1-b B .12--b a C .c b a 221--+ D .b c +-21 三、培优训练 1、已知是有理数,且 ()()0 1212 2 =++-y x ,那以y x +的值是( ) A .21 B .23 C .21或23- D .1-或23 2、(07乐山)如图,数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B 位长度到达点C .若点C 表示的数为1,则点A 表示的数为( ) A.7 B.3 C.3- D.2- 3、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数d c b a ,,,且102=-a d ,那么数轴的原点应是( A .A 点 B .B 点 C .C 点 D .D 点 4、数d c b a ,,,所对应的点A ,B ,C ,D 在数轴上的位置如图所示,那么c a +与d b +的大小关系是( ) A .d b c a +<+ B .d b c a +=+ C .d b c a +>+ D .不确定的 5、不相等的有理数c b a ,,在数轴上对应点分别为A ,B ,C ,若 c a c b b a -=-+-,那 么点B ( ) A .在A 、C 点右边 B .在A 、 C 点左边 C .在A 、C 点之间 D .以上均有可能 6、设 1 1++-=x x y ,则下面四个结论中正确的是( )(全国初中数学联赛题) A .y 没有最小值 B .只一个x 使y 取最小值 C .有限个x (不止一个)使y 取最小值 D .有无穷多个x 使y 取最小值 7、在数轴上,点A ,B 分别表示31- 和51 ,则线段AB 的中点所表示的数是 。 8、若0,0<>b a ,则使 b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是 。 9、x 是有理数,则 22195 221100++- x x 的最小值是 。 10、已知d c b a ,,,为有理数,在数轴上的位置如图所示:且 , 64366====d c b a 求 c b a b d a -+---22323的值。 11、(南京市中考题)(1)阅读下面材料: 点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,,A 、B 两点这间的距离表示为AB ,当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图1,b a b OB AB -===;当A 、B 两点都 不在原点时, B (A) O ①如图2,点A 、B 都在原点的右边a b a b OA OB AB =-=-=-=②如图3,点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=; ③如图4,点A 、B 在原点的两边 ()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=。 综上,数轴上A 、B 两点之间的距离 b a AB -=。 (2)回答下列问题: ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ; ②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ,如果2 =AB ,那么x 为 ; ③当代数式2 1-++x x 取最小值时,相应的x 的取值范围是 ; ④求 1997 321-+???+-+-+-x x x x 的最小值。 聚焦绝对值 一、阅读与思考 绝对值是初中代数中的一个重要概念,引入绝对值概念之后,对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解;绝对值又是初中代数中一个基本概念,在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时,常常遇到含有绝对值符号的问题,理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面: 1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。 脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。 去绝对值符号法则: ()()()0000 <=>?? ???-=a a a a a a 2、恰当地运用绝对值的几何意义 从数轴上看 a 表示数a 的点到原点的距离; b a -表示数a 、数 b 的两点间的距离。 3、灵活运用绝对值的基本性质 ① ≥a ② 2 2 2a a a == ③ b a a b ?= ④ ()0≠=b b a b a ⑤ b a b a +≤+ ⑥ b a b a -≥- 二、知识点反馈 B A O o a B A O o 1、去绝对值符号法则 例1:已知 3 ,5==b a 且 a b b a -=-那么=+b a 。 拓广训练: 1、已知 , 3,2,1===c b a 且c b a >>,那么()=-+2 c b a 。(北京市“迎春 杯”竞赛题) 2、若 5 ,8==b a ,且0>+b a ,那么b a -的值是( ) A .3或13 B .13或-13 C .3或-3 D .-3或-13 2、恰当地运用绝对值的几何意义 例2: 1 1-++x x 的最小值是( ) A .2 B .0 C .1 D .-1 解法1、分类讨论 当1- ()()2 21111>-=--+-=-++x x x x x ; 当11≤≤-x 时,()2 1111=--+=-++x x x x ; 当1>x 时 ()221111>=-++=-++x x x x x 。 比较可知,1 1-++x x 的最小值是2,故选A 。 解法2、由绝对值的几何意义知 1 -x 表示数x 所对应的点与数1所对应的点之间的距离; 1 +x 表示数x 所对应的点与数-1所对应的点之间的距离; 1 1-++x x 的最小值是指x 点 到1与-1两点距离和的最小值。如图易知 当11≤≤-x 时,11-++x x 的值最小,最小值是2故选A 。 拓广训练: 已知 2 3++-x x 的最小值是a , 2 3+--x x 的最大值为b ,求b a +的值。 三、培优训练 1、如图,有理数b a ,在数轴上的位置如图所示: 则在 4 ,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中,负数共有( )(湖北省荆州市竞赛题) A .3个 B .1个 C .4个 D .2个 第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1.了解在平面内,两条直线的两种位置关系:相交与平行. 2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义,并能用图形或几何符号表示它们. 3.掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图,三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,一共构成哪 几对对顶角?一共构成哪几对邻补角? 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角:有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角:两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01.如右图所示,直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ,则: ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角,几对邻补角? 02.当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角; 当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角; 当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R 问:当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例2】如图所示,点O 是直线AB 上一点,OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC . ⑴求∠EOF 的度数; ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的定义,以及各角的数量关系,把它们转化为代数式 从而求解; 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC =21∠BOC ,∠FOC =21 ∠AOC ∴ ∠EOF =∠EOC +∠FOC =2 1∠BOC +2 1 ∠AOC =()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC +∠ AOC =180° ∴∠EOF =21 ×180°=90° ⑵∠BOE 的余角是:∠COF 、∠AOF ;∠ BOE 的补角是:∠AOE. 【变式题组】 01.如图,已知直线AB 、CD 相交于点O ,OA 平分∠EOC ,且∠EOC =100°,则∠BOD 的度数是( ) A .20° B . 40° C .50° D .80° C E F E A A C D O (第1题图) 1 4 3 2 (第2题图) 最新(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想. 3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前-7米⑵收人-50元⑶体重增加-3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量应该包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作() A.-18% B.-8% C.+2% D.+8% 02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( ) A.-5吨B.+5吨C.-3吨D.+3吨 03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚).如现在是北京时间15:00,纽约时问是_ ___ 【例2】在-错误!,π,0,0.033 . 3这四个数中有理数的个数( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ; (2)按整数、分数分类,有理数?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π= 3.1415926…是无限不循环小数,它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-错误!是分数,0.033 . 3是 无限循环小数可以化成分数形式,0是整数,所以都是有理数,故选C.【变式题组】 01.在7,0,15,-错误!,-301,31.25,-错误!,100,1,-3 001 中,负分数为,整数 为,正整数 . 02.(河北秦皇岛)请把下列各数填入图中适当位置15,-错误!,错误!,-错误!,0.1,-5.32,123, 2.333 【例3】(宁夏)有一列数为-1,错误!,-错误!,错误!,-错误!,错误!,…,找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律,首先找出不变量和变量,再依变量去发现规律.归纳去猜想,然后进行验证.解本题会有这样的规律:⑴各数的分子部是1;⑵各数的分母依次为1,2,3,4,5,6,…⑶处于奇数位置的数是负数,处于偶数位置的数是正数,所以第2007个数的分子也是1.分母是 第一讲数系扩张--有理数(一) 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成m n(0,, n m n ≠互质)。 4、性质:①顺序性(可比较大小); ②四则运算的封闭性(0不作除数); ③稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ① (0) || (0) a a a a a ≥ ? =? -≤ ?②非负性2 (||0,0) a a ≥≥ ③非负数的性质:i)非负数的和仍为非负数。ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若 |||||| 0, a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少? 2.如果m是大于1的有理数,那么m一定小于它的() A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值是2,求 220062007 ()()() x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置,如下图所示,那 么|||| a b a b -++化简的结果等于( A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0 a b -+-=,求b a的值是() A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b --- ---中有几个负数? 7、设三个互不相等的有理数,既可表示为1, , a b a +的形式式,又可表示为0, b a,b 的形式,求 20062007 a b +。 七年级数学培优讲义 目录 第01讲与有理数有关的概念...................(3--9)第02讲有理数的加减法......................(10--16)第03讲有理数的乘除、乘方..................(17--23)第04讲整式................................(24--31)第05讲整式的加减..........................(32--37) 第06讲一元一次方程概念和等式性质...........(38--44) 第07讲一元一次方程解法...................(45--52) 第08讲实际问题与一元一次方程..............(53--60) 第09讲多姿多彩的图形......................(61--70) 第10讲直线、射线、线段....................(71--78) 第11讲角..................................(79--86) 第12讲与相交有关概念及平行线的判定........(87--95) 第13讲平行线的性质及其应用................(96--106) 第14讲平面直角坐标系(一)...............(107--112) 第15讲平面直角坐标系(二)...............(113--118) 第16讲认识三角形.........................(119--126) 第17讲认识多边形.........................(127--133) 第18讲二元一次方程组及其解法.............(134--142) 第19讲实际问题与二元一次方程组...........(143--154) 第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组...(155--165) 第21讲一元一次不等式(组)的应用..........(166--174) 第22讲一元一次不等式(组)与方程(组)的结合.(175--184) 第23讲数据的收集与整理...................(185--197) 模拟测试一..................................(198--202) 模拟测试二..................................(203--206) 模拟测试三..................................(207--210) 第一讲 数系扩张--有理数(一) 一、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2. 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A .相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D .6 6、 有3个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数? 7、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示 为0,b a , b 的形式,求20062007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少? 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算:59173365129 132******** +++++ - 4、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足 ||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc h i n j c A A A学而思初一数学资料培优汇总(精 华) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一讲 数系扩张--有理数(一) 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成m n (0,,n m n ≠互质)。 4、性质:① 顺序性(可比较大小); ② 四则运算的封闭性(0不作除数); ③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ① (0)||(0)a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质: i )非负数的和仍为非负数。 ii )几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少? 2. 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图 所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ,两两不等,那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数? 7、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为 0,b a , b 的形式,求20062007a b +。 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成(互质)。 4、性质:①顺序性(可比较大小); ②四则运算的封闭性(0不作除数); ③稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ①②非负性 ③非负数的性质:i)非负数的和仍为非负数。 ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若的值等于多少? 2.如果是大于1的有理数,那么一定小于它的() A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数,、互为倒数,的绝对值是2,求 的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置,如下图所示,那 么化简的结果等于( A. B. C.0 D. 5、已知,求的值是() A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c,两两不等,那么中有几个负数? 7、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,的形式式,又可表示为0,,的形式,求。 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成(互质)。 4、性质:①顺序性(可比较大小); ②四则运算的封闭性(0不作除数); ③稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ①②非负性 ③非负数的性质:i)非负数的和仍为非负数。 ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若的值等于多少? 2.如果是大于1的有理数,那么一定小于它的() A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数,、互为倒数,的绝对值是2,求 的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置,如下图所示,那 么化简的结果等于( A. B. C.0 D. 5、已知,求的值是() A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c,两两不等,那么中有几个负数? 7、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,的形式式,又可表示为0,,的形式,求。 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想. 3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前-7米⑵收人-50元⑶体重增加-3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作( ) A . -18% B . -8% C . +2% D . +8% 02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( ) A . -5吨 B . +5吨 C . -3吨 D . +3吨 03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚).如现在是北京时间l5:00,纽约时问是____ 【例2】在-227 ,π,0.033. 3这四个数中有理数的个数( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数;按整数、分数分类,有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π=3.1415926… 是无限不循环小数,它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式,0是整数,所以都是有理数,故选C . 【变式题组】 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想. 3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前-7米⑵收人-50元⑶体重增加-3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作( ) A . -18% B . -8% C . +2% D . +8% 02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( ) A . -5吨 B . +5吨 C . -3吨 D . +3吨 03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚).如现在是北京时间l5:00,纽约时问是____ 【例2】在-22 7 ,π,0.033. 3这四个数中有理数的个数( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数;按整数、分数 分类,有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π=…是无限 不循环小数,它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-22 7 是分数0.033. 3是无限循 环小数可以化成分数形式,0是整数,所以都是有理数,故选C . 【变式题组】 七年级数学 上册 培优训练 第一讲 有理数(一) 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成 m n (0,,n m n ≠互质)。 4、性质:① 顺序性(可比较大小); ② 四则运算的封闭性(0不作除数); ③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质: i )非负数的和仍为非负数。 ii )几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2. 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ,两两不等,那么,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数? 7、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为0, b a , b 的形式,求20062007a b +。 8三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少? 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算:5917336512913248163264 +++++- 4、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。 5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc 的值。 第一讲 数系扩张--有理数(一) 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成 m n (0,,n m n ≠互质)。 4、性质:① 顺序性(可比较大小); ② 四则运算的封闭性(0不作除数); ③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质: i )非负数的和仍为非负数。 ii )几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2. 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ,两两不等,那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数? 7、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为 0,b a ,b 的形式,求20062007a b +。 有理数初步(一) 板块一有理数基本概念 【知识导航】 正数:像3、1、+0.33 等的数,叫做正数。在小学学过的数,除0外都是正 数。正数都大于0。 负数:像-1、-3.12、 17 5 -、-2012等在正数前加上“-”(读作负)号的数,叫 做负数。负数都小于0。 0既不是正数,也不是负数。 如果正数表示某种意义,那么负数表示它的相反的意义。 如:南为正方向,向南1km表示为+1km,那么向北3km表示为-3km。 有理数:整数与分数统称为有理数。 无理数:无限不循环小数,如π。 注意:⑴正数和零统称为非负数; ⑵负数和零统称为非正数; ⑶正整数和零统称为非负整数; ⑷负整数和零统称为非正整数。 【例1】 ⑴下列各组量中,具有相反意义的量是() A.节约汽油10升和浪费粮食B.向东走8公里和向北走8公里 C.收入300元和支出100元D.身高1.8米和身高0.9米 ⑵如果零上5C 记作5C + ,那么零下5C 记作() A.-5 B.-10 C.5C - D.10C - ⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m,那么水位下降3m记作___,水位 不升不降时水位变化记为____m ⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米,-150米,那么甲地比乙地高出() A.200米B.50米C.300米D.350米 ⑸学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030() ml ±”字样, 请问“30ml ±”是什么意思?质监局对该产品抽查3瓶,容量分别为 589,573,627 ml ml ml,问抽查产品的容量是否合格? 【例2】 ⑴一种零件的长度在图纸上是0.05 0.05 (20) + - 米,表示这种零件加工要求最大不超 过_______,最小不小于_____. ⑵1是() A.最小的整数B.最小的正整数 C.最小的自然数 D.最小的有理数 1 第一讲 数系扩张--有理数(一) 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成 m n (0,,n m n ≠互质)。 4、性质:① 顺序性(可比较大小); ② 四则运算的封闭性(0不作除数);③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质: i )非负数的和仍为非负数。 ii )几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少? 2. 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求2 20062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2 (3) |2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数? 7、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为0, b a ,b 的形式,求2006 2007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则32 1ax bx cx +++的值是多少? 9、若,,a b c 为整数,且2007 2007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算: 59173365129 132******** +++++- 4、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc 的值。 5、(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-,3与5,2-与6-,4-与3. 并回答下列各题: (1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答:____ . (2)若数轴上的点A 表示的数为x ,点B 表示的数为―1,则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________。 6、结合数轴求得23 x x -++的最小值为_____,取得最小值时x 的取值范围为____________。 第三节 一元一次不等式及其应用 一、课标导航 二、核心纲要 1.一元一次不等式的解法步骤 (1)去分母:在不等式的两边都乘以各分母的最小公倍数; 注:不要漏乘不含分母的项,分子是个整体,含有多项式时应加上括号. (2)去括号:一般地,先去小括号,再去中括号,最后去大括号; 注:不要漏乘括号里的项,不要弄错符号. (3)移项:把含有未知数的项都移到不等式的一边,不含未知数的项移到不等式的另一边; 注:①移项要变号;②不要丢项. (4)合并同类项:把不等式化成ax >b (或彻(或a b x <). 注:①不要把分子、分母位置颠倒;②当a<0时,系数化1要变号. 2.一元一次不等式的实际应用 (1)审:审清已知、未知及关键字词和语句; (2)找:找出题目中的不等关系; (3)设:设适当的未知数; (4)列:列不等式; (5)解:解不等式; (6)答:检验是否符合题意,作答. 3.一元一次不等式的综合应用 (1)-元一次不等式的特殊解; (2)-元一次不等式与方程; *(3)含字母系数的不等式. 对于不等式ax >b , ①若a>0,则;a b x > ②若a<0,则;a b x < ③若a=0,b<0,则不等式的解集是任意实数; 若a-0,b≥O,则不等式无解. * (4)含有绝对值的不等式的解法(a>O ). ①l x la 的解集是x<一a 或x>a. 注:可利用数轴来确定在一定条件下的特殊解. 4.数学思想 . 优秀是训练出来的 理想教育初一(上)数学培优 扎实基础 提升能力 1 初一数学培优专题讲义四---几何图形初步 典型问题:(一)数线段——数角——数三角形 问题1、直线上有n 个点,可以得到多少条线段? 问题2.如图,在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ,则图中小于平角的角共有( )个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 拓展:1、 在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个? 类比:从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个? 类比联想:如图,可以得到多少三角形? (二)与线段中点有关的问题 线段的中点定义: 文字语言:若一个点把线段分成相等的两部分,那么这个点叫做线段的中点 图形语言:M 几何语言: ∵ M 是线段AB 的中点 ∴ 12 AM BM AB ==,22AM BM AB == 典型例题:1.由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是( ) (A )AP= 21AB (B )AB =2PB (C )AP =PB (D )AP =PB=2 1AB 2.若点B 在直线AC 上,下列表达式:①AC AB 21=;②AB=BC ;③AC=2AB ;④AB+BC=AC . 其中能表示B 是线段AC 的中点的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.如果点C 在线段AB 上,下列表达式①AC=12 AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知线段MN ,P 是MN 的中点,Q 是PN 的中点,R 是MQ 的中点,那么MR = ______ MN . 5.如图所示,B 、C 是线段AD 上任意两点,M 是AB 的中点,N 是CD 中点,若MN=a ,BC=b ,则线段AD 的长是( ) A 2(a-b ) B 2a-b C a+b D a-b (三)与角有关的问题 D 最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想. 3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前-7米⑵收人-50元⑶体重增加-3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量应该包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作() A.-18% B.-8% C.+2% D.+8% 02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( ) A . -5吨 B . +5吨 C . -3吨 D . +3吨 03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚). 如现在是北京时间15:00,纽约时问是_ ___ 【例2】在-22 7 ,π,0,0.033.3这四个数中有理数的个数( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数; (2)按整数、分数分类,有理数????????????????? 正整数 整数0负整数正分数分数负分数;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π=3.1415926…是无限不循环小数,它不能写成分数的形式, 所以π不是有理数,-22 7 是分数,0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式,0 是整数,所以都是有理数,故选C . 【变式题组】 01.在7,0,15,-12,-301,31.25,-1 8 ,100,1,-3 001中,负分数为 , 培优数学试题 1、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为0,b a , b 的形式,求20062007a b +。 2、三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且|||| || ||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则32 1ax bx cx +++的值是多少? 3、 若|||||| 0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少? 4、如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 5、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 22006200()()()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 6、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数,求321a b +-的值。 7、(1)123456-+-+-+…20012002+-的值是__________________。 (2)如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所 示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( ) A.2a B.2a - C.0 D.2b (3)已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 8、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 9、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。 10、已知|a b -2|与|a -1|互为相互数,试求下式的值. ()()()()()()1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想. 3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前-7米⑵收人-50元⑶体重增加-3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作( ) A . -18% B . -8% C . +2% D . +8% 02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( ) A . -5吨 B . +5吨 C . -3吨 D . +3吨 03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚).如现在是北京时间l 5:00,纽约时问是____ 【例2】在-227 ,π,0.033.3这四个数中有理数的个数( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数0???????????????正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数;按整数、分数分类,有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π=3.1415926…是无限不循环小数,它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-227是分数0.033.3 是无限循环小数可以化成分数形式,0是整数,所以都是有理数,故选C . 【变式题组】 01.在7,0.1 5,-12,-301.31.25,-18 ,100.l ,-3 001中,负分数为 ,整数为 ,正整数 . 02.(河北秦皇岛)请把下列各数填入图中适当位置 15,-19,215,-138 ,0.1.-5.32,123, 2.333 【例3】(宁夏)有一列数为-1,12,-13,14.-15,16 ,…,找规律到第2007个数是 . 【解法指导】从一系列的数中发现规律,首先找出不变量和变量,再依变量去发现规律.击归纳去猜想,然后进行验证.解本题会有这样的规律:⑴各数的分子部是1;⑵各数的分母依次为1,2,3,4,5,6,…⑶处于奇数位置的数是负数,处于偶数位置的数是正数,所以第2007个数的分子也是1.分母是2007,并且是一个负数,故答案为-12007 .学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版新编)
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学而思初一数学资料培优汇总精华
七年级数学培优讲义
初一数学资料培优汇总(精华)
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学而思初一数学培优之有理数初步(一)
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第三节 一元一次不等式及其应用-学而思培优
人教版七年级数学下册培优资料教师版
第 12 讲 与相交有关概念及平行线的判定
【解】⑴∵OE、OF 平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC= 1 ∠BOC,∠FOC= 1 ∠AOC ∴
2
2
考点·方法·破译
1.了解在平面内,两条直线的两种位置关系:相交与平行. 2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义,并能用图形或几何符 号表示它们.
∠EOF=∠EOC+∠FOC= 1 ∠BOC+ 1 ∠AOC= 1 BOC AOC 又∵∠BOC+∠
2
2
2
AOC=180° ∴∠EOF= 1 ×180°=90° ⑵∠BOE 的余角是:∠COF、∠AOF;∠BOE 2
的补角是:∠AOE.
3.掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
【变式题组】
经典·考题·赏析
01.如图,已知直线 AB、CD 相交于点 O,OA 平分∠EOC,且∠EOC=100°,则∠BOD
的度数是(
)
【例 1】如图,三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O,一共构成哪几对对顶角?一共
A.20° B. 40° C.50°
D.80°
构成哪几对邻补角? 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
AE
D
E D
1
4
⑵对顶角:有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两
边的反向延长线. ⑶邻补角:两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线. 有 6 对对顶角. 12 对邻补角.
C
B
F
A
O
A
C (第 1 题图)
32 (第 2 题图)
【变式题组】
02.(杭州)已知∠1=∠2=∠3=62°,则∠4=
.
01.如右图所示,直线 AB、CD、EF 相交于 P、Q、R,则:
C
E
【例3】如图,直线 l1、l2 相交于点 O,A、B 分别是 l1、l2 上的点,试用三角尺完成下
⑴∠ARC 的对顶角是 邻补角是
. .
列作图:
A
P
⑴经过点 A 画直线 l2 的垂线.
⑵中有几对对顶角,几对邻补角? 02.当两条直线相交于一点时,共有 2 对对顶角;
当三条直线相交于一点时,共有 6 对对顶角;
A
Q
F
RB D
⑵画出表示点 B 到直线 l1 的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线,垂线段是一条线段. 【变式题组】
O
B
l2
当四条直线相交于一点时,共有 12 对对顶角. 问:当有 100 条直线相交于一点时共有
对顶角.
01.P 为直线 l 外一点,A、B、C 是直线 l 上三点,且
PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则点 P 到直线 l 的距
l1
【例2】如图所示,点 O 是直线 AB 上一点,OE、OF 分别
离为(
)
平分∠BOC、∠AOC. ⑴求∠EOF 的度数; ⑵写出∠BOE 的余角及补角.
A.4cm
B. 5cm C.不大于 4cm
D.不小于 6cm
F
C
E 02 如图,一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶,M、N 为位于公路两侧的村
庄;
【解法指导】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的
⑴设汽车行驶到路 AB 上点 P 的位置时距离村庄 M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位
定义,以及各角的数量关系,把它们转化为代数式从而求解;
A
O
B
置时,距离村庄 N 最近,请在图中的公路上分别画出点 P、Q 的位置.
精选范本初一数学培优专题讲义--线段和角
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初一数学上培优试题(绝对经典)汇编
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