(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义

第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。

第1讲 有理数（1）1.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度.已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（ ） A .乙地比丙地高70米 B .乙地比甲地低90米 C .丙地最低 D .甲地高出海平面100米2.下列各组数中，大小关系正确的是（ ）A .752-<-<-B .752->->C .725-<-<-D .275->->-3.一个数在数轴上所对应的点向左移动6个单位后，得到它的相反数的点.则这个数是（ ） A .3 B .－3 C .6 D .－64.在数轴上点Ａ所表示的数是－3，点Ｂ与点Ａ的距离是5，那么Ｂ点所表示的有理数是（ ） Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．２ Ｄ．２或－８ ５．一个数是７，另一个数比它的相反数大３，则这两个数的和是（ ） Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ．－10 Ｄ．11 ６．如果2(3)x +与3(1)x -互为相反数，那么x 的值是（ ） Ａ．－８ Ｂ．８ Ｃ．－９ Ｄ．９ 7.若,0a b c a b c <<++=，则a b +的范围是（ ）A .0a b +>B .0a b +<C .0a b +≥D .0a b +≤8.如果a 、b 均为有理数，且0b <，则有（ ）A .a a b a b <+<-B .a a b a b <-<+C .a b a a b +<<-D . a b a b a -<+< 9.下列各数中：－6；5；＋2.5；0；－1；13-；100；10% 正数是：_________________________________； 负数是_________________________________.10.数－3；＋8；12-；＋0.1；0；－10；5；13中，正数有______________________个.11.将下列各数5；23-；2010；0.02-；6.5；0；2-填入相应的括号里.正数集合{} 负数集合{}12.最大的负整数是___________；小于3的非负整数是______________________.13.若12.332x -<≤，则x 的整数值有___________个.14.从数轴上表示1-的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后到达的终点所表示的数是___________.15.如果a 、b 互为相反数，那么a b +=___________，22a b +=___________.16.如果a 的相反数是最大的负整数，b 的相反数是最小的正整数,则a b +=___________.17.一个数的相反数大于它本身，那么这个数是___________,一个数的相反数等于它本身，这个数是___________,一个数的相反数小于它本身，这个数是___________.18.若果a 和b 是符号相反的两个数，在数轴上a 所对应的数和b 所对应的点相距6个单位长度，如果2a =-，则b 的值为___________.19.如果a 的相反数是2-，且234x a +=，求x 的值；20.数轴上Ａ点表示的数为＋４，Ｂ、C 两点表示的数互为相反数，且C 到A 的距离为2，点B 和点C 各表示什么数；21.已知A 、B 为数轴上的两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为多少？22.已知A 为数轴上的一点，将A 先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点Ｂ，若A 、B 两点对应的数恰好互为相反数，求Ａ点对应的数.23.小康水平的一个指标是年人均收入1000美元.2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的美元数用正数表示，不足1000美元的美元数用负数表示.此10户的年人均收入如下（单位：美元）：(1) 请你计算一下这10户有百分之几达到了小康指标？（2）10户年平均收入为多少美元？24.（1）照这样计算小亮家6月用电多少度？（2）供电部门规定：每月每户用电不超过200度，每度按0.5元收费，超过200度但不超过300度的，超过的部分每度按0.55元收费，超过300度的，超过部分每度按0.8元收费，则小亮家6月应缴电费多少？（3）7月份由于天气变热，用电量增大，小亮妈缴费时发现这个月用电每度平均0.63元，求小亮家7月份用电多少度？25.（1）通过计算，说明本周内那天粮库剩下的粮食最多？（2）若运进的粮食为购进的，购买价为2000元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为2300元/吨，则这一周的利润为多少？（3）若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库库存粮食为50吨？26.一串数：1121123211234321,,,,,,,,,,,,,,,1222333334444444------……根据以上规律：(1)请问：20132014是这一串数中的第几个数？(2)请问：这组数中的第2014个数是多少？27.考察下列一串有规律的数.（横排为行）根据上面的规律，解答下列问题： （1）第10行最后一个数是多少？（2）2015是第几行第几个数？（3）用n S 表示第n 行的所有数的和.观察1S 、2S 、3S ……，根据规律猜想n S 为多少？（用含n 的代数式表示，n 为正整数）；(4)第n 行第m 个数是多少？用含m 、n 的代数式表示. (29272523211917151311)97531第2讲 有理数（2）1.有理数(2)--，(2)-+，(2)+-，2--，2+-，a -中，一定是负数的个数是（ ） A .2个 B .3个 C .4个 D .5个2.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列关系中： （1）a b c <<；（2）0c >；（3）a c =；（4）0a <正确的是（ ）A .(1)(2)(3)B .(2)(3)(4)C .(1)D .(1)(4)3.下列说法：①若a 、b 互为相反数，则0a b +=；②若a b =-，则a 、b 互为相反数；③若a 、b 互为相反数，则1ab=-；④若a b =，则a 、b 互为相反数.其中正确的结论是（ ） A .②③④ B .①②③ C .①②④ D .①②4.给出下列结论：①一个数的3倍大于这个数.②绝对值最小的数是0. ③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ④如果a a =，那么0a >.其中正确的个数为（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个5.a 、b 是有理数，若3,4a b ==，则a b +=（ ）A . 1或7-B . 1-或7-C .1或7D . 1,7,17--或 6.若a 为有理数，则a --是（ ）A .正数B .负数C .非正数D .非负数 7.数轴上的点A 、B 分别表示12-和13，则线段AB 的中点所表示的数是（ ）A .512 B .112 C . 112- D . 16- 8.观察下面按次序排列的一组数，并按要求填空. 2,4,6,8,10,--______,_______,……，则第50个数是______________.9.若257x -=，则x 的值为____________;若4x -=-，则x ＝_________.10.已知A 、B 为数轴上两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为_______. 11.已知0,0,a b a b <>>，试用""<将a a b 、b 、-、-连接起来_____________________.12.一个数在数轴上对应的点先向右移动3个单位，再向左移动7个单位后，得到它的相反数对应的点，则这个数是___________.13.已知，在数轴上，Ａ点到原点的距离为３，P 点到A 点的距离为2，画出数轴并在数轴上直接标出Ｐ点所对应的数．14.已知，x 和212x -互为相反数.求x 的值.15.已知，x 与14互为倒数，y 的相反数是3-，50a -=，求x y a ++的值.16.若x 与2y -互为相反数，y 与z 互为倒数.m 是绝对值最小的数，求式子2243x y yz m -+-+的值.17.若a 是有理数，在a -与a 之间有2015个整数，求a 取值范围.18.若0,0,m n <>且m n >，试比较,,,m n m n n m ----的大小，并用“＞”号连接.dc ba19.某洗衣厂上月生产了30000 袋洗衣粉，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽取了20袋进行检测，记超过或不足标准重量的部分为“＋”和“”,记录如下：(2) 通过计算估计本厂上月生产的洗衣粉平均每袋多少克？(3)厂家规定超过或不足的部分大于5克时，不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？20.出租车司机小李某天下午从客运站出发后，所有营运都是在东西走向的人民大道上进行的.如果规定向东为正，向西为负，他这一天下午的行车情况如下（单位：千米）15,3,11,11,10,4,12,15,18,16+-+-++---+.根据记录，解答下列问题：（1）小李将最后一名乘客送到目的地时，他的位置在那？（2）若在出车前油箱内有10升油，汽车每千米的耗油量为0.08升，试问：小李将最后一名乘客送到目的地时，油箱内的余油量为多少？21.给出下列数阵（3） 如图，框出四个数请你用一个等式表示a 、b 、c 、d 四者的关系；（3）是否存在上述四数之和为①414；②10？若存在，请求出四个数；若不存在请说明理由.，B点对应的数为100.22.已知，如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为30（1）请写出AB中点M对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁Ｐ从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应点数是多少吗?请求出来.（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，另一只电子蚂蚁Ｑ恰好同时从A点出发，以3单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？请求出来.23. 已知，数轴上点Ａ在原点左边，到原点的距离为８，Ｂ在原点的右边，从Ａ走到Ｂ，要经过32个单位长度.（1）求Ａ、Ｂ两点所对应的数.（2）若点Ｃ也是数轴上的点，Ｃ到Ｂ的距离是Ｃ到原点的距离的３倍，求Ｃ对应的数．（３）已知，Ｍ从Ａ向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时Ｎ从Ｂ向右出发，速度为每秒2个单位长度，设ＮＯ的中点为Ｐ，则下列结论：①ＰＯ＋ＡＭ的值不变；②ＰＯ ＡＭ的值变化，其中只有一个是正确的，请选出并求出其值或说明理由.第3讲 有理数(3)知识理解1、下列各组数中，互为相反数的一组是 ( )A 、＋ (－2)和－( ＋ 2)B 、－|－2|和－| ＋ 2|C 、－(－2)和－|－2|D 、－( ＋ 2)和－| ＋ 2|2、数轴上的点A 、B 分别表示－2和3，则线段AB 的中点所表示的数是 ( ) A 、12 B 、12- C 、52- D 、523、已知a 、b 互为相反数，下列各式中成立的是 ( )A 、ab ＜0B 、a －|b |＝0C 、|a －b |＝|a | ＋ |b |D 、a ÷b ＝－1 4、a ， b 是有理数，若|a |＝2， |b |＝3，则|a ＋ b |＝ ( )A 、5B 、1C 、1或5D 、1，5，－1或－5 5、若|－x |＝4， |y |＝2，且x ＞y ，则xy 的值是 ( )A 、－8B 、8C 、－8或8D 、以上答案都不对 6、若a ＞0， b ＜0 ，化简3|||2|a b a b +-+得 ( )A 、bB 、5bC 、2a ＋ bD 、2a ＋ 5b7、一艘潜水艇的高度为－40米，如果它再下滑30米，则它这时所在的高度为__________.8、若|－x |＝2，则x ＝___________；若|x －3|＝0，则x ＝__________；若|x －3|＝1，则x ＝__________. 9、实数a ， b 在数轴上位置如图所示，则|a |， |b | 的大小关系是___________.10、比较下列各组有理数的大小：(1)－0.6________－60 (2) －3.8________－3.9 (3) 0________|－2| (4)34______45-- 11、绝对值小于122的所有整数为_____________，绝对值小于3的整数是__________. 12、已知|a |＝1，|b |＝2，且a ， b 异号，则3a ＋ b ＝__________.13、若|a |＝4，|b |＝3，且|a |＝－a ，则2a ＋ b ＝____________________. 输入 (1)2345…… 输出……13 26 311 418 527……当输入的数为10时，输出的数为___________.方法运用15、已知|a |＝|b |＝9，|a |＝2，求b 的值.16、已知a ＝3，|b |＝2，|c |＝1，且a ＜b ＜c ，求a ， b ， c 的值.17、已知|x |＝2003，|y |＝2002，且x ＞0 ，y ＜0，求x ＋y 的值.18、已知|x ＋y ＋3|＝0，求|x ＋y | 的值.19、|2||3||4|0a b c -+-+-=，求a ＋2b ＋3c 的值.20、如果a ， b 互为相反数，c ， d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式2a bx cd x+++的值.21、已知|a |＝3， |b |＝5， a 与b 异号，求|a －b |的值.22、已知|a ＋1|与|b －2|互为相反数，求式子()||a b a a ---的值.23、若2、2、5和a 的平均数是5，而3、4、5、a 和b 的平均数也是5， (1) 求a ， b ；(2) 若|c |＝－c ， 求||||c a b c ---的值.实际应用24、某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 误差，现抽查6瓶食请用绝对值知识说明：（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？综合思考25、在标有6，12，18，24，30……的卡片中，小明拿了相邻的3张.（1）若相邻的3张数字之和为342，求这3张卡片上各自的数字？（2）你能拿到数码相邻的3张卡片，使其上数字之和是86吗？试说明理由？26、有理数a，b，c，d在数轴上如图所示：①在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中4个，且在数轴上位置如图所示，如果3a＝4b－3，求c＋2d的值；②在数轴上，N点与原点的距离是N与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？27、有若干个数，123,,,n a a a a ，若112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”(1) =1a =2a (2) 求91011a a a ⋅⋅的值；(3) 是否存在M 的值，使111()n n n M a a a a -+÷⋅⋅=？若存在，请求出M 的值.第4讲 有理数(4)知识理解1、若2-=a ，24,0b ab =>，则||a b +＝( ) A 、0 B 、4 C 、－4 D 、0或4 2、若20,0a b a -><，下列各式中成立的是( )A 、2a b ＞0B 、0a b +>C 、20a ab +> D 、20ba > 3、若a ＜0，则下列各式不成立的是( )A 、22()a a =-B 、22()a a =-- C 、 22||a a =- D 、23||a a =-4、已知1234a b c d -=+=-=+，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ( ) A 、d b a c >>> B 、a c b d >>> C 、c a d b >>> D 、c b a d >>>5、已知0,0a b ab +=≠，则化简(1)(1)b aa b a b+++得 ( ) A 、2a B 、 2b C 、2 D 、－2 6、若a 、b 、c 为正整数，且23108ab c =，则a ＋ b ＋ c 的最大值为 ( ) A 、6 B 、32 C 、40 D 、1107、有理数a 、b 在数轴上的对应位置如图所示，则 ( )A 、0a b +<B 、0a b +>C 、0a b -=D 、0a b -> 8、计算1110(2)(2)-+-的值是 ( )A 、－2B 、(－2)21C 、0D 、－210 9、下列各式中正确的是 ( )A 、22()a a =- B 、33()a a =- C 、22||a a -=- D 、33||a a = 10、若(x ＋ 3)2与|y －5|互为相反数，则x ＋ y 的值为__________. 11、瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据9162536,,,5122132中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出接下来的两个数据是___________.12、在数－5、1，－3、5、－2中任取三个数相乘，其中最大的积是__________，最小的积是__________. 13、A 、B 两点在数轴上对应的数分别是－4，2，点P 到点B 的距离是点P 到点A 距离的2倍，则P 点在数轴上表示的数是__________.14、已知数m 小于它的相反数且数轴上表示数m 的点与原点的相距3个单位的长度，将该点m 向右移动5个单位长度后，得到的数是___________. 15、观察下列数列，找出规律后，写出数列下一项：0，3，－3，9，－15，33，－63，_____________________. 16、如果x －y ＝5，则|2－x ＋ y |＝__________；如果4 ＋ x ＋ y ＝0，那么－x ＋ 3－y ＝___________. 17、若a ＋ b ＜0，则||||||a b ab a b ab++＝___________. 方法运用18、如果规定符号“*”的意义是*aba b a b=+求2*(－3)*4的值.19、已知2|1|4,(2)4x y +=+=，求x ＋ y 的值.20、若a ， b ， c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||a c c b b a -+-+-的值.21、如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是－2，已知点A 、B 是数轴上的点，完成下列各题：（1）如果点A 表示数－3，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（2）如果点A 表示数是3，将点A 向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（3）一般地，如果点A 表示数为a ，将点A 向右移动b 个单位长度，再向左移动c 个单位长度，那么请你猜想终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是．__________22、同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2的差的绝对值，实际上也可理解5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5－（－2）|＝____________．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|x ＋ 5| ＋ |x －2|＝7成立的整数是______________．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|x －3| ＋ |x －6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．实际应用23、七年级一班某次数学测验的平均成绩为80分，数学老师以平均成绩为基准，记作0，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为 ＋ 10，－15，0， ＋ 20，－2，问这五位同学的实际成绩分别是多少分？24、已知水结成冰的温度是00C ，酒精冻结的温度是－1170C ，现有一杯酒精的温度为120C ，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低1.60C ，要使这杯酒精冻结，需要几分钟？(精确到0.1分钟)25、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：（1）这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？ （2）若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少克？综合思考26、已知：a ， b ，c 在数轴上的位置如图所示.0b a1(1)填空：a 、b 之间的距离为___________；b 、 c 之间的距离为___________；a 、c 之间的距离是__________.(2)化简|1||||1|a c b b +--+-(3)若0a b c ++=且b 与－1的距离和a 与－1的距离相等，求22(4)c b a c a b -+----的值.27、已知数轴上两点A、B对应的数为－1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，(1) 用x的式子表示线段P A、PB的长度；(2) 数轴上是否存在点P，使P A＋PB＝5？请求出x的值；若不存在，请说明理由.28、观察下面三行数：3，－9，27，－81，243，－729，…；①6，－6，30，－78，246，－726，…；②1，－3，，9，－27，81，－243，…；③(4)第①行按什么规律排列？(5)第②③行数与第①行数分别有什么关系？(6)写出每行第9个数，共计算这三个数的和.(7)第②行中是否存在连续的三个数，使得这三个数的和为－5094？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由；(5)是否存在一列数，使得其中的三个数的和为5106？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由.第5讲 整式（1）知识理解1.下列各式：－n ，a ＋b ，3ab ，x －1，3ab ，1x，其中单项式的个数是（ ）. A.2 B.3 C.4 D.52.下列各式：2＋x 2、2x 、xy 2、3x 2＋2x －1、abc 、1－2y 、3x y-中，其中多项式的个数是（ ）.A.2B.3C.4D.53. 若743x a b +与yba 24-是同类项，则y x 的值为（ ）A.9B.－9C.4 D －4. 4.已知－x ＋3y ＝5，则25(3)8(3)5x y x y ----的值是（ ） A.160 B.80 C.－170D.－905.三个有理数a ，b ，c 两两不等，那么a b b c--，b c c a --，c aa b --中负数的个数是 （ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.不能确定6. 已经a ＜－b ，且0ab>，化简|a |－|b |＋|a ＋b |＋|ab |＝（ ）.A.2a ＋2b ＋abB.－abC.－2a －2b ＋abD.－2a ＋ab7.已知535y ax bx cx =++-，当x ＝－3时，y ＝7，那么当x ＝3时，y ＝（ ）. A.－17 B.－7 C.－3 D.78.减去－3x 等于 2535x x --的代数式是（ ）.A. 255x -B. 2565x x --C. 2565x x --+D. 255x -+9.若关于x 、y 的多项式y bxy x x xy ax +--++222不含二次项，则5a －8b 的值为（ ）.A.－11B.21C.－21D.11 10.若3k x y 与2x y -是同类项，那么k ＝___________. 11.若32x a b 与yb a 43-是同类项，那么x ＋y ＝____________.12. 当x ＝____________时，||23x a 和42a -是同类项.13.如果2(5)b a mn +-是关于m 、n 的一个五次单项式，那么a _______，b ＝_________.14.如果a 、b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求代数式2a bx cd x+-+＝ ____________. 15. 三角形的第一边长为(a ＋b )，第二边比第一边长(a －5)，第三边长为2b ，那么这个三角形的周长是____________.16. 已知多项式：876253a a b a b a b -+-+…，按此规律写下去，这个多项式的第八项是____________.17.有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，其中某三个相邻数的和是－1701，那么这三个数中最小的数是 ____________.方法运用18.已知123a b x y +-与225x y 是同类项，求2221232a b a b a b +-的值19.若单项式84a b x y +与单项式239b a b x y -的和仍是一个单项式，求这两个单项式的和.20.化简求值：)]4(3[25222b a ab abc b a abc --+-其中a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的负整数，|c |＝18，且abc ＞0.21.已知s ＋t ＝21，3m －2n ＝9，求多项式(2s ＋9m )＋[－(6n －2t )]的值.22.化简求值：22225[4(31)3]x x x x -----，其中32x =-23.已知x －y ＝0，求3223x x y xy y --+的值.24.已知A ＝2x 2－3xy ＋2y 2，B ＝2x 2＋xy －3y 2，求3A －B 的值.25.a 、b 是有理数，|a |＝b ，|ab |＋ab ＝0，化简：|a |＋|－2b |－|3b －2a |.26.已知A ＝3m 2－4m ＋5，B ＝3m －2＋5m 2，且A －2B －C ＝0，求多项式C .实际应用分每吨收取较高的定额费用，已知今年7月张家用水量与李家用水量的比是2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么超出5吨部分的收费标准是每吨多少元？28. 张校长暑假将带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内的全部按全票价的6折优惠.”若全票价为240元.设学生人数为x ，甲旅行社的收费记为y 甲，乙旅行社的收费记为y 乙. (1) 分别用含x 的代数式表示两个旅行社的收费；(2) 若学生有200人，那么买哪个旅行社的票合算，为什么？综合思考29.若x 3＋x 2＋x ＝－1，求多项式x 2012＋x 2011＋…＋x 2＋x ＋1的值.30.观察下列数阵：(1) 观察以上数阵的变化规律，猜想第11行第4个数是 . (2) 第n 行第m 个数是 .(3) 请猜想第2015行正中间的数是 . (4) 求第100行所有数的和.31.a 、b 为有理数，且a ＋b 、a －b 在数轴上如图所示： (1) 判断a 、b 的符号及a 、b 的大小关系；(2) 若x ＝|2a ＋b |－3|b |－|3－2a |＋2|b －1|，求代数式x 2－6x ＋9的值； (3) 若c 为有理数，且345a b c==，ab ＋bc ＋ca ＝188，求代数式(a －b ＋c )2－abc 的值. a-b a+b O第6讲 整式（2）知识理解1.前年我国城镇固定资产投资为7509600元，用科学记数法表示为（ ）.（保留三个有效数字）A.7.51×107元B. 7.50×107元C. 7.51×106元D. 7.50×106元2.下列各式：－2；3x -；3x ；m ＋n ；－a 2b ；35xy-中，单项式的个数有（ ）. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.下列式子0、2mn 、 13x +、48a 2b 、1－x 、x 2＋2x ＋1、15xy -、3x 其中单项式共有（ ）.A.3个B.4个C.5个D.6个 4.下列合并同类项运算，结果正确的是 （ ）.5.下列各组数是同类项的是（ ）.A.x 2y 和xy 2B.3ab 和－abcC.2x 和12D.0和－5 6.下列说法：①2与－2是同类项；②2ab 与－3abc 是同类项；③3x 5与5x 3是同类项；正确的个数有 （ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.下列说法：①若1ab=-，则a ，b 互为相反数；②若a ＋b ＜0，ab ＞0，则|a －2b |＝2b －a ；③若m ＞n ，则m 2＞n 2；④一个数的倒数是它本身，则这个数是0和±1；⑤近似数1.80的有效数字是1、8、0；⑥－23ab 2的次数为6.其中正确说法的个数是 （ ）.A.2个B.3个C.4个D.5个8.下列结论：①若，则a 、b 互为相反数；②若|a |＞|b |，则a ≠b ；③多项式－22x 3y 3＋3x 2y 2－2xy －x ＋1的次数是6次；④若|x －6|＝|y －6|，且x ＞y ，则x ＋y ＝12；⑤1.60×106的有效数字有7个；⑥若一个数的倒数等于它的平方，则这个数为±1；其中正确的个数有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.写一个系数为负数，含三个字母的四次单项式为 .10.单项式－3x 3y 的次数是 ；单项式25ab-的系数是 . 11.单项式－6a 5b 2c 的系数是 ；它的次数是 .12.多项式－x 3y 2＋3x 2y 4－2xy 2的次数是 .13.三峡工程是具有防洪、发电、航运、养殖、供水等巨大综合利用效益的特大水利水电工程，其防洪库容量约为22150000000m 3，这个数用科学记数法可表示为 . 14.已知2a 3b 4与－3a 2m b n 是同类型，则m －n ＝ . 15.如果16a 3m ＋n b n 与6378a b -是同类型，则m －n ＝ . 16.去括号－2(3x ＋y －2z )＝ .17.如图，第一个图形有1个正方形；第二个图形有5个正方形；第三个图形有14个正方形……；则按此规律，第五个图形有 个正方形.方法运用18.先化简再求值：(x 2y －2y 2－xy －1)－(2xy ＋4x 2y －y 2)＋3，其中x ＝－1，y ＝－2.19.先化简再求值：(4x －2y 2)－[5x －(x －y 2)]－x ，其中x ＝－2，y ＝31.20.(1)根据条件列式：a 的2倍与b 的和减去b 的平方与a 的 半的差； (2) 在(1)的条件下，若a ＝－4，b ＝3，求上式的值.21.已知A ＝x 3＋2y 3－xy －3，B ＝－y 3＋x 3＋2xy ＋1，且2A －M ＝B ，求M .(8) 已知，A ＝2x 2－3xy ；B ＝2x 2＋xy －5，若M ＋B ＝2A ，求M .23.已知M ＝x －13y 2，N ＝－32x ＋12y 2－1. (1) 化简3M －2N . (2) 若|x －2|＝－(y －1)2，求－2N ＋3M 的值.实际应用24.某个体水果店经营某种水果，每千克进价2.80元，售价4.50元，10月1日至10月5日经营情况依次如下表：(1) 若9月30日晚库存为零，则10月1日晚库存为 kg ；(2) 就10月3日这一天的经营情况看，当天是赚了还是赔了多少钱？ (3) 10月1日到10月5日该个体户共赚多少钱？25.国庆节即将来临，张华高兴地看着2014年10月的日历，发现其中有很有趣的问题，他用笔在上面画如图所示的十字框，若设任意一个十字框里的五个数为a 、b 、c 、d 、k ，如图：试回答下列问题： (1) 此日历中能画出 个十字框？ (2) 若a ＋b ＋c ＋d ＝76，求k 的值.(3) 是否存在k26.数轴上，A 点表示的数为10，B 点表示的数为－6，A 点运动的速度为4单位/秒，B 点运动速度为2单位/秒.(1) B 点先向右运动2秒，A 点再开始向左运动，当它们在C 点相遇时，求C 点表示的数；(2) A 、B 两点都向左运动，B 点先运动2秒时，A 点于开始运动，当A 点到原点的距离和B 点到原点的距离相等时，求A 点运动的时间； k dcba10(3) A、B两点都向左运动，B先运动2秒，A再运动t秒时，求A、B两点之间的距离.第7讲 一元一次方程知识理解1、下列由等式的性质进行的变形，错误的是（ ）A 、如果b a =，那么33+=+b aB 、如果b a =，那么33-=-b aC 、如果b a =，那么a a 32= D 、如果a a 32=，那么3=a2、下列方程中：①312+=-x x ；②21=-x ；③123222=+；④3-x ；⑤6=+y x .其中是一元一次方程的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、已知方程x m x 743-=+的解为1=x ，则m 的值为（ ） A 、- 2 B 、- 5 C 、6 D 、- 64、若y x =，下列各式中：①33-=-y x ；②55+=+y x ；③88-=-y x ；④y x x +=2；其中正确的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、下列等式变形：①如果y x =，那么ay ax = B ；②如果y x =，那么a y a x =；③如果ay ax =，那么y x = ；④如果a y a x =，那么y x =.其中正确的是（ ）A 、③④B 、①②C 、①④D 、②③6、下列说法：①在等式42=x 两边都加上2，可得等式64=x ；②在等式42=x 两边都减去2，可得等式2=x ；③在等式42=x 两边都乘以21，等式变为2=x ；④等式两边都除以同一个数，等式仍然成立.其中正确的说法有（ ）7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）个正方体的重量.A 、2B 、3C 、4D 、58、已知a 是任意有理数，在下面各题：（1）方程0=ax 的解是1=x ；（2）方程a ax =的解是1=x ；（3）方程1=ax 的解是ax 1=；（4）方程a x a =的解是1±=x .其中结论正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、如果652=-x ，那么_________2=x ，其中依据是__________________________.10、若方程()0122=+++c bx x a 是关于x 的一元一次方程，则字母系数a 、b 、c 满足的条件是_____________________________.方法运用11、解方程：（1）23141x x x --=--； （2）214311--=++x x x ；（3）()x x x =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1151321 ； （4）121103121412+--=-+x x x ；12、已知1=x 是方程()x x a 2312=--的解，那么关于x 的方程()()3225-=--x a x a 的解是多少？13、某书有一道方程：x x =+*+132，*处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为5.2-=x ，那么*处被墨盖住的数应该是多少？14、若a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，此方程的解总是1=x ，求a 、b 的值.15、小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，数学老师在黑板上写了一个关于x 的一元一次方程：69312k x x a kx +--=--，方程中的常数a 老师已给出，但常数k 老师却未写出.数学老师让小组中的60名学生每人自己想好一个值()3≠k ，然后代入方程中，在解出方程.小明想了一个k 值后，很快解出了方程的解，他惊奇地发现，全班同学的答案竟然是一模一样，你能告诉小明这是什么原因吗？你知道题中老师给出的a 是多少吗？方程的解是多少吗？16、已知方程423523-=-x x （1）求方程的解；（2）若上述方程与关于x 的方程()a a x a 2383-+=+是同解方程，求a 的值；（3）在（2）的条件下，a 、b 在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求()2005c b a ++17、已知2=x 是关于x 的方程c b ax =+的解.（1）求()200312--+c b a （2）求ba c 2410+的值； （3）解关于x 的方程()()0242≠++=+cb ac x b a .18、已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三点，A 点对应的数位-200，B 点对应的数位为- 20 ，C 点对应的数为40.甲从C 出发，以6单位/秒的速度向左运动.（1）当甲在B 点、C 点之间运动，设运动时间为x 秒，请用x 的代数式表示；甲到A 点的距离：____________________；甲到B 点的距离：____________________；甲到C 点的距离：____________________；（2）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两人在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数；（3）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向左运动，设两人在数轴上的E 点相遇，求E 点对应的数.19、数轴上A 、B （A 左B 右）所对应的数为a 、b ，()01052=-++b a ，C 为数轴上一动点且对应的数位c ，O 为原点.（1）若2=BC ，求c 的值.（2）是否存在一点C使得CB=2CA，若存在求出对应的数位c，不存在说明理由.（3）是否存在一点C使得CA+CB=21，若存在求出对应的数位c，不存在说明理由.第8讲 一元一次方程（2）一、基础知识1、若3-=x 是方程()52=+k x 的解，求k 的值.2、讨论12=x 是不是方程14732+=x x 的解.3、已知3-=x 是1312-=--m x 的解，求代数式132--m m 的值.4、已知1-=y 是关于y 的方程08432=+++-m y y 的解，求式子mm m 122+-的值.5、已知方程()0243=+--a xa 是关于x 的一元一次方程，求a 的值.6、如果关于x 的方程06365=+-k x是一元一次方程，求k 的值.7、关于x 的方程()()0241122=-+-+-a x a x a 是一元一次方程求a 的值.8、方程432-=+x m x 与方程626-=-x 的解相同，求m 的值.9、已知：关于x 的方程1232-=---x a x a x 与方程()5423-=-x x 同解，求a 的值.10、若关于x 的方程①a x =+2和②a a x 32=-，若①的解比②的解大1，求a 的值.11、设关于x 的方程55=-m x ，m x 244=-，当m 为何值时，这两个方程的解互为相反数？12、方程()0132=+-x 的解与关于x 的方程x k x k 2232=--+的解互为倒数，求k 的值.13、当4=x 时，式子a x ax A 642--=的值是- 1，那么当5-=x 时，A 的值是多少？14、小明在解关于x 的方程1123=-x a 是，误将x 2-看成了x 2+，得到的解为2-=x ，请你帮小明算一算，方程正确的解为多少？二、列方程解应用题（行程问题和工程问题）15、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分，（1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人相遇？（2）如果两人同时相向开跑，多少分钟两人相遇？（3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人相遇？16、甲乙骑自行车，从相距60千米的两地相向而行，甲每小时走12千米，乙每小时走10千米，如果走15分钟后乙出发，问甲出发后几小时与乙相遇？17、某项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲先做了7天，乙来支援，由甲、乙合做完成余下的工程，求乙做多少天？18、整理一批或污物，由甲一人做需80小时完成，现由一部分人先做2小时后，在增加5人做8小时，恰好完成这项工作的43，怎样安排参与整理货物的具体人数？19、北京市为了能够成功举办2008年奥运会，市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务，其中一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲、乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？三、方案选择20、一件工程，甲工程队独做10天完成，每天需费用160元；乙工程队独做15天完成，每天需费用100元.（1）若由甲、乙两个工程队合做3天后，剩余 工程有乙工程队独做完成，求工程所需的总费用是多少元？（2）由于场地限制，两队不能同时施工.若先安排甲工程队单独施工做一部分工程再由乙工程队单独施工完成剩余工程，预计公付工程总费用1500元，你知道甲、乙两个工程队各做了工程的几分之几吗？（3）为了保证工程质量，工程指挥部决定安排一名质检员全程进行质量监督，每天需付给质检员工作、生活补助30元，请你安排甲、乙两个工程队进行施工，使工程所需的总费用最少？。

（—|"最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.：{…2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.，经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克|])【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（）&};?A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___}·【【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；—（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．《）"【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，，－，123,!%【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.。

B 0 2A考点一：正负数的运用例1、某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃,则该药品在（ ）范围内保存才合适． A ．18℃～20℃ B ．20℃～22℃ C ．18℃～21℃ D ．18℃～22℃例2、潜水艇在水下30米处记作—30米，如果上浮5米，这时他的位置可记作（ ）米。

1、小虎家上半年的用水情况如下：一月份15吨；二月份20吨；三月份18吨；四月份14吨；五月份16吨；六月份19吨。

①算出他们家上半年的平均用水吨数。

②如果把每月平均用水的吨数作为标准，超过平均用水的吨数用正数表示，不足平均用水的吨数用负数表示，请把表格填写完整。

一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水考点二：数轴例3、如图所示，A ，B 两点在数轴上，点A 对应的数为2．若线段AB 的长为3，则点B 对应的数为（ ）（思考：如果没有图，结果又会怎样？） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4 例4、若数轴上表示2的点为M ，那么在数轴上与点M 相距4个单位的点所对应的数是 。

例5、b a 、两数在数轴上位置如图3所示，将b a b a --、、、用“＜”连接，其中正确的是（ ） A ．a ＜a -＜b ＜b - B ．b -＜a ＜a -＜bC ．a -＜b ＜b -＜aD ．b -＜a ＜b ＜a -1、A 、B 两点在数轴上，点A 对应的数为2．若线段AB 的长为3，则点B 对应的数为（ ）A ．－4B ．－2C ．－3D ．－1或53、如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A 点，则A 点表示的数是 ．4、已知数轴上有A 和B 两点，它们之间的距离为1，点A 和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B 对应的数有 。

认识有理数专题一第一讲 DI YI JIANG典例全析随堂演练典例全析随堂演练-1 0 1图38-4GF E D C BA 5、如图所示，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A 表示－4，点G 表示8。

第1讲 有理数（1）1.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度.已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（ ） A .乙地比丙地高70米 B .乙地比甲地低90米 C .丙地最低 D .甲地高出海平面100米2.下列各组数中，大小关系正确的是（ ）A .752-<-<-B .752->->C .725-<-<-D .275->->-3.一个数在数轴上所对应的点向左移动6个单位后，得到它的相反数的点.则这个数是（ ） A .3 B .－3 C .6 D .－64.在数轴上点Ａ所表示的数是－3，点Ｂ与点Ａ的距离是5，那么Ｂ点所表示的有理数是（ ） Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．２ Ｄ．２或－８ ５．一个数是７，另一个数比它的相反数大３，则这两个数的和是（ ） Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ．－10 Ｄ．11 ６．如果2(3)x +与3(1)x -互为相反数，那么x 的值是（ ） Ａ．－８ Ｂ．８ Ｃ．－９ Ｄ．９ 7.若,0a b c a b c <<++=，则a b +的范围是（ ）A .0a b +>B .0a b +<C .0a b +≥D .0a b +≤8.如果a 、b 均为有理数，且0b <，则有（ ）A .a a b a b <+<-B .a a b a b <-<+C .a b a a b +<<-D . a b a b a -<+< 9.下列各数中：－6；5；＋2.5；0；－1；13-；100；10% 正数是：_________________________________； 负数是_________________________________.10.数－3；＋8；12-；＋0.1；0；－10；5；13中，正数有______________________个.11.将下列各数5；23-；2010；0.02-；6.5；0；2-填入相应的括号里.正数集合{} 负数集合{}12.最大的负整数是___________；小于3的非负整数是______________________.13.若12.332x -<≤，则x 的整数值有___________个.14.从数轴上表示1-的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后到达的终点所表示的数是___________.15.如果a 、b 互为相反数，那么a b +=___________，22a b +=___________.16.如果a 的相反数是最大的负整数，b 的相反数是最小的正整数,则a b +=___________.17.一个数的相反数大于它本身，那么这个数是___________,一个数的相反数等于它本身，这个数是___________,一个数的相反数小于它本身，这个数是___________.18.若果a 和b 是符号相反的两个数，在数轴上a 所对应的数和b 所对应的点相距6个单位长度，如果2a =-，则b 的值为___________.19.如果a 的相反数是2-，且234x a +=，求x 的值；20.数轴上Ａ点表示的数为＋４，Ｂ、C 两点表示的数互为相反数，且C 到A 的距离为2，点B 和点C 各表示什么数；21.已知A 、B 为数轴上的两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为多少？ 22.已知A 为数轴上的一点，将A 先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点Ｂ，若A 、B 两点对应的数恰好互为相反数，求Ａ点对应的数.23.小康水平的一个指标是年人均收入1000美元.2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的美元数用正数表示，不足1000美元的(1) 请你计算一下这10户有百分之几达到了小康指标？ （2）10户年平均收入为多少美元？24.（1（2） 供电部门规定：每月每户用电不超过200度，每度按0.5元收费，超过200度但不超过300度的，超过的部分每度按0.55元收费，超过300度的，超过部分每度按0.8元收费，则小亮家6月应缴电费多少？（3）7月份由于天气变热，用电量增大，小亮妈缴费时发现这个月用电每度平均0.63元，求小亮家7月份用电多少度？25.（1（2） 若运进的粮食为购进的，购买价为2000元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为2300元/吨，则这一周的利润为多少？（3）若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库库存粮食为50吨？26.一串数：1121123211234321,,,,,,,,,,,,,,,1222333334444444------……根据以上规律：(1)请问：20132014是这一串数中的第几个数？(2)请问：这组数中的第2014个数是多少？27.考察下列一串有规律的数.（横排为行）根据上面的规律，解答下列问题： （1）第10行最后一个数是多少？ （2）2015是第几行第几个数？（3）用n S 表示第n 行的所有数的和.观察1S 、2S 、3S ……，根据规律猜想n S 为多少？（用含n 的代数式表示，n 为正整数）；(4)第n 行第m 个数是多少？用含m 、n 的代数式表示. …………2927252321191715131197531第2讲 有理数（2）1.有理数(2)--，(2)-+，(2)+-，2--，2+-，a -中，一定是负数的个数是（ ） A .2个 B .3个 C .4个 D .5个2.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列关系中： （1）a b c <<；（2）0c >；（3）a c =；（4）0a <正确的是（ ）A .(1)(2)(3)B .(2)(3)(4)C .(1)D .(1)(4)3.下列说法：①若a 、b 互为相反数，则0a b +=；②若a b =-，则a 、b 互为相反数；③若a 、b 互为相反数，则1ab=-；④若a b =，则a 、b 互为相反数.其中正确的结论是（ ） A .②③④ B .①②③ C .①②④ D .①②4.给出下列结论：①一个数的3倍大于这个数.②绝对值最小的数是0. ③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ④如果a a =，那么0a >.其中正确的个数为（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个5.a 、b 是有理数，若3,4a b ==，则a b +=（ ）A . 1或7-B . 1-或7-C .1或7D . 1,7,17--或 6.若a 为有理数，则a --是（ ）A .正数B .负数C .非正数D .非负数7.数轴上的点A 、B 分别表示12-和13，则线段AB 的中点所表示的数是（ ） A .512 B .112 C . 112- D . 16-dc ba 8.观察下面按次序排列的一组数，并按要求填空. 2,4,6,8,10,--______,_______,……，则第50个数是______________.9.若257x -=，则x 的值为____________;若4x -=-，则x ＝_________.10.已知A 、B 为数轴上两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为_______. 11.已知0,0,a b a b <>>，试用""<将a a b 、b 、-、-连接起来_____________________.12.一个数在数轴上对应的点先向右移动3个单位，再向左移动7个单位后，得到它的相反数对应的点，则这个数是___________.13.已知，在数轴上，Ａ点到原点的距离为３，P 点到A 点的距离为2，画出数轴并在数轴上直接标出Ｐ点所对应的数．14.已知，x 和212x -互为相反数.求x 的值. 15.已知，x 与14互为倒数，y 的相反数是3-，50a -=，求x y a ++的值. 16.若x 与2y -互为相反数，y 与z 互为倒数.m 是绝对值最小的数，求式子2243x y yz m -+-+的值. 17.若a 是有理数，在a -与a 之间有2015个整数，求a 取值范围.18.若0,0,m n <>且m n >，试比较,,,m n m n n m ----的大小，并用“＞”号连接.19.某洗衣厂上月生产了30000 袋洗衣粉，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽取了20袋进行检测，记超过或不足标准重量的部分为“＋”和“-”,记录如下：(2) (3)厂家规定超过或不足的部分大于5克时，不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？20.出租车司机小李某天下午从客运站出发后，所有营运都是在东西走向的人民大道上进行的.如果规定向东为正，向西为负，他这一天下午的行车情况如下（单位：千米）15,3,11,11,10,4,12,15,18,16+-+-++---+.根据记录，解答下列问题：（1）小李将最后一名乘客送到目的地时，他的位置在那？（2）若在出车前油箱内有10升油，汽车每千米的耗油量为0.08升，试问：小李将最后一名乘客送到目的地时，油箱内的余油量为多少？ 21.给出下列数阵（3） 如图，框出四个数一个等式表示a 、b 、c 、d 四者的关请你用系； （3） 是否存在上述四数之和为①414 ； ②10 ？若存在，请求出四个数；若不存在请说明理由.22.已知，如图，A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为30-，B 点对应的数为100.（1）请写出AB 中点M 对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁Ｐ从B 点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，你知道C 点对应点数是多少吗?请求出来.（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，另一只电子蚂蚁Ｑ恰好同时从A 点出发，以3单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，你知道D 点对应的数是多少吗？请求出来.23. 已知，数轴上点Ａ在原点左边，到原点的距离为８，Ｂ在原点的右边，从Ａ走到Ｂ，要经过32个单位长度.（1）求Ａ、Ｂ两点所对应的数.（2）若点Ｃ也是数轴上的点，Ｃ到Ｂ的距离是Ｃ到原点的距离的３倍，求Ｃ对应的数．（３）已知，Ｍ从Ａ向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时Ｎ从Ｂ向右出发，速度为每秒2个单位长度，设ＮＯ的中点为Ｐ，则下列结论：①ＰＯ＋ＡＭ 的值不变；②ＰＯ-ＡＭ的值变化，其中只有一个是正确的，请选出并求出其值或说明理由.第3讲 有理数(3)知识理解1、下列各组数中，互为相反数的一组是 ( )A 、＋ (－2)和－( ＋ 2)B 、－|－2|和－| ＋ 2|C 、－(－2)和－|－2|D 、－( ＋ 2)和－| ＋ 2|2、数轴上的点A 、B 分别表示－2和3，则线段AB 的中点所表示的数是 ( ) A 、12 B 、12- C 、52- D 、523、已知a 、b 互为相反数，下列各式中成立的是 ( )A 、ab ＜0B 、a －|b |＝0C 、|a －b |＝|a | ＋ |b |D 、a ÷b ＝－1 4、a ， b 是有理数，若|a |＝2， |b |＝3，则|a ＋ b |＝ ( )A 、5B 、1C 、1或5D 、1，5，－1或－5 5、若|－x |＝4， |y |＝2，且x ＞y ，则xy 的值是 ( )A 、－8B 、8C 、－8或8D 、以上答案都不对 6、若a ＞0， b ＜0 ，化简3|||2|a b a b +-+得 ( )A 、bB 、5bC 、2a ＋ bD 、2a ＋ 5b7、一艘潜水艇的高度为－40米，如果它再下滑30米，则它这时所在的高度为__________.8、若|－x |＝2，则x ＝___________；若|x －3|＝0，则x ＝__________；若|x －3|＝1，则x ＝__________. 9、实数a ， b 在数轴上位置如图所示，则|a |， |b | 的大小关系是___________. 10、比较下列各组有理数的大小：(1)－0.6________－60 (2) －3.8________－3.9 (3) 0________|－2| (4)34______45-- 11、绝对值小于122的所有整数为_____________，绝对值小于3的整数是__________. 12、已知|a |＝1，|b |＝2，且a ， b 异号，则3a ＋ b ＝__________.13、若|a |＝4，|b |＝3，且|a |＝－a ，则2a ＋ b ＝____________________. 14、表格第一栏是输入的数，第二档是经过某种程序运算之后输出的数：当输入的数为10时，输出的数为___________.方法运用15、已知|a |＝|b |＝9，|a |＝2，求b 的值.16、已知a ＝3，|b |＝2，|c |＝1，且a ＜b ＜c ，求a ， b ， c 的值. 17、已知|x |＝2003，|y |＝2002，且x ＞0 ，y ＜0，求x ＋y 的值. 18、已知|x ＋y ＋3|＝0，求|x ＋y | 的值.19、|2||3||4|0a b c -+-+-=，求a ＋2b ＋3c 的值.20、如果a ， b 互为相反数，c ， d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式2a bx cd x+++的值. 21、已知|a |＝3， |b |＝5， a 与b 异号，求|a －b |的值.22、已知|a ＋1|与|b －2|互为相反数，求式子()||a b a a ---的值.23、若2、2、5和a 的平均数是5，而3、4、5、a 和b 的平均数也是5， (1) 求a ， b ；(2) 若|c |＝－c ， 求||||c a b c ---的值.实际应用24、某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 误差，现抽查6瓶食（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？ （2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？综合思考25、在标有6，12，18，24，30……的卡片中，小明拿了相邻的3张. （1）若相邻的3张数字之和为342，求这3张卡片上各自的数字？（2）你能拿到数码相邻的3张卡片，使其上数字之和是86吗？试说明理由？ 26、有理数a ， b ， c ， d 在数轴上如图所示：①在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a ，b ，c ，d 所表示的点是这些点中4个，且在数轴上位置如图所示，如果3a ＝4b －3，求c ＋ 2d 的值；②在数轴上，N 点与原点的距离是N 与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少？ 27、有若干个数，123,,,n a a a a ，若112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”(1) =1a =2a(2) 求91011a a a ⋅⋅的值；(3) 是否存在M 的值，使111()n n n M a a a a -+÷⋅⋅=？若存在，请求出M 的值.第4讲 有理数(4)知识理解1、若2-=a ，24,0b ab =>，则||a b +＝( ) A 、0 B 、4 C 、－4 D 、0或4 2、若20,0a b a -><，下列各式中成立的是( )A 、2a b ＞0B 、0a b +>C 、20a ab +> D 、20ba> 3、若a ＜0，则下列各式不成立的是( )A 、22()a a =-B 、22()a a =-- C 、 22||a a =- D 、23||a a =-4、已知1234a b c d -=+=-=+，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ( ) A 、d b a c >>> B 、a c b d >>> C 、c a d b >>> D 、c b a d >>>5、已知0,0a b ab +=≠，则化简(1)(1)b aa b a b+++得 ( ) A 、2a B 、 2b C 、2 D 、－2 6、若a 、b 、c 为正整数，且23108ab c =，则a ＋ b ＋ c 的最大值为 ( ) A 、6 B 、32 C 、40 D 、1107、有理数a 、b 在数轴上的对应位置如图所示，则 ( )A 、0a b +<B 、0a b +>C 、0a b -=D 、0a b -> 8、计算1110(2)(2)-+-的值是 ( )A 、－2B 、(－2)21C 、0D 、－210 9、下列各式中正确的是 ( )A 、22()a a =- B 、33()a a =- C 、22||a a -=- D 、33||a a = 10、若(x ＋ 3)2与|y －5|互为相反数，则x ＋ y 的值为__________. 11、瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据9162536,,,5122132中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出接下来的两个数据是___________.12、在数－5、1，－3、5、－2中任取三个数相乘，其中最大的积是__________，最小的积是__________. 13、A 、B 两点在数轴上对应的数分别是－4，2，点P 到点B 的距离是点P 到点A 距离的2倍，则P 点在数轴上表示的数是__________.14、已知数m 小于它的相反数且数轴上表示数m 的点与原点的相距3个单位的长度，将该点m 向右移动5个单位长度后，得到的数是___________. 15、观察下列数列，找出规律后，写出数列下一项：0，3，－3，9，－15，33，－63，_____________________.16、如果x －y ＝5，则|2－x ＋ y |＝__________；如果4 ＋ x ＋ y ＝0，那么－x ＋ 3－y ＝___________. 17、若a ＋ b ＜0，则||||||a b ab a b ab++＝___________. 方法运用18、如果规定符号“*”的意义是*aba b a b=+求2*(－3)*4的值. 19、已知2|1|4,(2)4x y +=+=，求x ＋ y 的值.20、若a ， b ， c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||a c c b b a -+-+-的值.21、如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是－2，已知点A 、B 是数轴上的点，完成下列各题：（1）如果点A 表示数－3，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（2）如果点A 表示数是3，将点A 向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（3）一般地，如果点A 表示数为a ，将点A 向右移动b 个单位长度，再向左移动c 个单位长度，那么请你猜想终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是．__________22、同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2的差的绝对值，实际上也可理解5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5－（－2）|＝____________．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|x ＋ 5| ＋ |x －2|＝7成立的整数是______________．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|x －3| ＋ |x －6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．实际应用23、七年级一班某次数学测验的平均成绩为80分，数学老师以平均成绩为基准，记作0，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为 ＋ 10，－15，0， ＋ 20，－2，问这五位同学的实际成绩分别是多少分？24、已知水结成冰的温度是00C ，酒精冻结的温度是－1170C ，现有一杯酒精的温度为120C ，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低1.60C ，要使这杯酒精冻结，需要几分钟？(精确到0.1分钟)25、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值（2）若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少克？综合思考26、已知：a ， b ，c 在数轴上的位置如图所示. (1)填空：a 、b 之间的距离为___________；b 、 c 之间的距离为___________；a 、c 之间的距离是__________. (2)化简|1||||1|a c b b +--+-(3)若0a b c ++=且b 与－1的距离和a 与－1的距离相等，求22(4)c b a c a b -+----的值. 27、已知数轴上两点A 、B 对应的数为－1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，(1) 用x 的式子表示线段P A 、PB 的长度；(2) 数轴上是否存在点P ，使P A ＋ PB ＝5？请求出x 的值；若不存在，请说明理由. 28、观察下面三行数：3， －9， 27， －81， 243， －729， …； ① 6， －6， 30， －78， 246， －726， …； ② 1，－3，，9，－27，81，－243，…；③(4) 第①行按什么规律排列？(5) 第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (6) 写出每行第9个数，共计算这三个数的和. (7) 第②行中是否存在连续的三个数，使得这三个数的和为－5094？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由；(5)是否存在一列数，使得其中的三个数的和为5106？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由.第5讲 整式（1）知识理解1.下列各式：－n ，a ＋b ，3ab ，x －1，3ab ，1x，其中单项式的个数是（ ）. A.2 B.3 C.4 D.52.下列各式：2＋x 2、2x 、xy 2、3x 2＋2x －1、abc 、1－2y 、3x y-中，其中多项式的个数是（ ）.A.2B.3C.4D.53. 若743x a b +与yba 24-是同类项，则y x 的值为（ ）A.9B.－9C.4 D －4. 4.已知－x ＋3y ＝5，则25(3)8(3)5x y x y ----的值是（ ） A.160 B.80 C.－170D.－905.三个有理数a ，b ，c 两两不等，那么a b b c --，b c c a --，c aa b--中负数的个数是 （ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.不能确定6. 已经a ＜－b ，且0ab>，化简|a |－|b |＋|a ＋b |＋|ab |＝（ ）.A.2a ＋2b ＋abB.－abC.－2a －2b ＋abD.－2a ＋ab7.已知535y ax bx cx =++-，当x ＝－3时，y ＝7，那么当x ＝3时，y ＝（ ）. A.－17 B.－7 C.－3 D.78.减去－3x 等于 2535x x --的代数式是（ ）.A. 255x -B. 2565x x --C. 2565x x --+D. 255x -+9.若关于x 、y 的多项式y bxy x x xy ax +--++222不含二次项，则5a －8b 的值为（ ）.A.－11B.21C.－21D.1110.若3k x y 与2x y -是同类项，那么k ＝___________. 11.若32x a b 与yb a 43-是同类项，那么x ＋y ＝____________.12. 当x ＝____________时，||23x a 和42a -是同类项.13.如果2(5)b a mn +-是关于m 、n 的一个五次单项式，那么a _______，b ＝_________.14.如果a 、b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求代数式2a bx cd x+-+＝ ____________. 15. 三角形的第一边长为(a ＋b )，第二边比第一边长(a －5)，第三边长为2b ，那么这个三角形的周长是____________.16. 已知多项式：876253a a b a b a b -+-+…，按此规律写下去，这个多项式的第八项是____________. 17.有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，其中某三个相邻数的和是－1701，那么这三个数中最小的数是 ____________. 方法运用18.已知123a b x y +-与225x y 是同类项，求2221232a b a b a b +-的值19.若单项式84a b x y +与单项式239b a b x y -的和仍是一个单项式，求这两个单项式的和.20.化简求值：)]4(3[25222b a ab abc b a abc --+-其中a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的负整数，|c |＝18，且abc ＞0.21.已知s ＋t ＝21，3m －2n ＝9，求多项式(2s ＋9m )＋[－(6n －2t )]的值.22.化简求值：22225[4(31)3]x x x x -----，其中32x =-23.已知x －y ＝0，求3223x x y xy y --+的值.24.已知A ＝2x 2－3xy ＋2y 2，B ＝2x 2＋xy －3y 2，求3A －B 的值.25.a 、b 是有理数，|a |＝b ，|ab |＋ab ＝0，化简：|a |＋|－2b |－|3b －2a |.26.已知A ＝3m 2－4m ＋5，B ＝3m －2＋5m 2，且A －2B －C ＝0，求多项式C . 实际应用27.某自来水公司计算办法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费0.85元，超过5吨的，超出部分每吨收取较高的定额费用，已知今年7月张家用水量与李家用水量的比是2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么超出5吨部分的收费标准是每吨多少元？28. 张校长暑假将带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内的全部按全票价的6折优惠.”若全票价为240元.设学生人数为x ，甲旅行社的收费记为y 甲，乙旅行社的收费记为y 乙. (1) 分别用含x 的代数式表示两个旅行社的收费；(2) 若学生有200人，那么买哪个旅行社的票合算，为什么？ 综合思考29.若x 3＋x 2＋x ＝－1，求多项式x 2012＋x 2011＋…＋x 2＋x ＋1的值. 30.观察下列数阵：(1) 观察以上数阵的变化规律，猜想第11行第4个数是 .(2) 第n 行第m 个数是 .(3) 请猜想第2015行正中间的数是 . (4) 求第100行所有数的和.31.a 、b 为有理数，且a ＋b 、a －b 在数轴上如图所示： (1) 判断a 、b 的符号及a 、b 的大小关系；(2) 若x ＝|2a ＋b |－3|b |－|3－2a |＋2|b －1|，求代数式x 2－6x ＋9的值； (3) 若c 为有理数，且345a b c==，ab ＋bc ＋ca ＝188，求代数式(a －b ＋c )2－abc 的值. 第6讲 整式（2）知识理解1.前年我国城镇固定资产投资为7509600元，用科学记数法表示为（ ）.（保留三个有效数字）B. 7.50×107元C. 7.51×106元D. 7.50×106元2.下列各式：－2；3x -；3x ；m ＋n ；－a 2b ；35xy-中，单项式的个数有（ ）. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.下列式子0、2mn 、 13x +、48a 2b 、1－x 、x 2＋2x ＋1、15xy -、3x 其中单项式共有（ ）.A.3个B.4个C.5个D.6个 4.下列合并同类项运算，结果正确的是 （ ）.A.2＋x ＝2xB.x ＋x ＋x ＝x 3C.3ab －ab ＝3D.－x 2y ＋x 2y ＝0 5.下列各组数是同类项的是（ ）.A.x 2y 和xy 2B.3ab 和－abcC.2x 和12D.0和－56.下列说法：①2与－2是同类项；②2ab 与－3abc 是同类项；③3x 5与5x 3是同类项；正确的个数有 （ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.下列说法：①若1ab=-，则a ，b 互为相反数；②若a ＋b ＜0，ab ＞0，则|a －2b |＝2b －a ；③若m ＞n ，则m 2＞n 2；④一个数的倒数是它本身，则这个数是0和±1；⑤近似数1.80的有效数字是1、8、0；⑥－23ab 2的次数为6.其中正确说法的个数是 （ ）.A.2个B.3个C.4个D.5个8.下列结论：①若，则a 、b 互为相反数；②若|a |＞|b |，则a ≠b ；③多项式－22x 3y 3＋3x 2y 2－2xy －x ＋1的次数是6次；④若|x －6|＝|y －6|，且x ＞y ，则x ＋y ＝12；⑤1.60×106的有效数字有7个；⑥若一个数的倒数等于它的平方，则这个数为±1；其中正确的个数有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.写一个系数为负数，含三个字母的四次单项式为 .10.单项式－3x 3y 的次数是 ；单项式25ab-的系数是 . 11.单项式－6a 5b 2c 的系数是 ；它的次数是 . 12.多项式－x 3y 2＋3x 2y 4－2xy 2的次数是 .13.三峡工程是具有防洪、发电、航运、养殖、供水等巨大综合利用效益的特大水利水电工程，其防洪库容量约为000m 3，这个数用科学记数法可表示为 . 14.已知2a 3b 4与－3a 2m b n 是同类型，则m －n ＝ .15.如果16a 3m ＋n b n 与6378a b是同类型，则m －n ＝ . 16.去括号－2(3x ＋y －2z )＝ .17.如图，第一个图形有1个正方形；第二个图形有5个正方形；第三个图形有14个正方形……；则按此规律，第五个图形有 个正方形. 方法运用18.先化简再求值：(x 2y －2y 2－xy －1)－(2xy ＋4x 2y －y 2)＋3，其中x ＝－1，y ＝－2. 19.先化简再求值：(4x －2y 2)－[5x －(x －y 2)]－x ，其中x ＝－2，y ＝31. 20.(1)根据条件列式：a 的2倍与b 的和减去b 的平方与a 的 半的差； (2) 在(1)的条件下，若a ＝－4，b ＝3，求上式的值.21.已知A ＝x 3＋2y 3－xy －3，B ＝－y 3＋x 3＋2xy ＋1，且2A －M ＝B ，求M . (8) 已知，A ＝2x 2－3xy ；B ＝2x 2＋xy －5，若M ＋B ＝2A ，求M . 23.已知M ＝x －13y 2，N ＝－32x ＋12y 2－1. (1) 化简3M －2N . (2) 若|x －2|＝－(y －1)2，求－2N ＋3M 的值.实际应用24.某个体水果店经营某种水果，每千克进价2.80元，售价4.50元，10月1日至10月5日经营情况依次如下表：(1) 若9月30日晚库存为零，则10月1日晚库存为 kg ；(2) 就10月3日这一天的经营情况看，当天是赚了还是赔了多少钱？ (3) 10月1日到10月5日该个体户共赚多少钱？25.国庆节即将来临，张华高兴地看着2014年10月的日历，发现其中有很有趣的问题，他用笔在上面画如图所示的十字框，若设任意一个十字框里的五个数为a 、b 、c 、d 、k ，如图：试回答下列问题： (1) 此日历中能画出 个十字框？ (2) 若a ＋b ＋c ＋d ＝76，求k 的值.(3) 是否存在k26.数轴上，A 点表示的数为10，B 点表示的数为－6，A 点运动的速度为4单位/秒，B 点运动速度为2单位/秒.(1) B 点先向右运动2秒，A 点再开始向左运动，当它们在C 点相遇时，求C 点表示的数；(2) A 、B 两点都向左运动，B 点先运动2秒时，A 点于开始运动，当A 点到原点的距离和B 点到原点的距离相等时，求A 点运动的时间；k dcba(3) A 、B 两点都向左运动，B 先运动2秒，A 再运动t 秒时，求A 、B 两点之间的距离.第7讲 一元一次方程知识理解1、下列由等式的性质进行的变形，错误的是（ ）A 、如果b a =，那么33+=+b aB 、如果b a =，那么33-=-b aC 、如果b a =，那么a a 32= D 、如果a a 32=，那么3=a2、下列方程中：①312+=-x x ；②21=-x ；③123222=+；④3-x ；⑤6=+y x .其中是一元一次方程的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、已知方程x m x 743-=+的解为1=x ，则m 的值为（ ） A 、- 2 B 、- 5 C 、6 D 、- 64、若y x =，下列各式中：①33-=-y x ；②55+=+y x ；③88-=-y x ；④y x x +=2；其中正确的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、下列等式变形：①如果y x =，那么ay ax = B ；②如果y x =，那么a y a x =；③如果ay ax =，那么y x = ；④如果a y a x =，那么y x =.其中正确的是（ ）A 、③④B 、①②C 、①④D 、②③6、下列说法：①在等式42=x 两边都加上2，可得等式64=x ；②在等式42=x 两边都减去2，可得等式2=x ；③在等式42=x 两边都乘以21，等式变为2=x ；④等式两边都除以同一个数，等式仍然成立.其中正确的说法有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）个正方体的重量.A 、2B 、3C 、4D 、5 8、已知a 是任意有理数，在下面各题：（1）方程0=ax 的解是1=x ；（2）方程a ax =的解是1=x ；（3）方程1=ax 的解是ax 1=；（4）方程a x a =的解是1±=x .其中结论正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、如果652=-x ，那么_________2=x ，其中依据是__________________________.10、若方程()0122=+++c bx x a 是关于x 的一元一次方程，则字母系数a 、b 、c 满足的条件是_____________________________. 方法运用 11、解方程： （1）23141x x x --=--； （2）214311--=++x x x ；（3）()x x x =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1151321 ； （4）121103121412+--=-+x x x ； 12、已知1=x 是方程()x x a 2312=--的解，那么关于x 的方程()()3225-=--x a x a 的解是多少？ 13、某书有一道方程：x x=+*+132，*处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为5.2-=x ，那么*处被墨盖住的数应该是多少？14、若a 、b 为定值，关于x 的方程6232bkx a kx -+=+，无论k 为何值，此方程的解总是1=x ，求a 、b 的值.15、小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，数学老师在黑板上写了一个关于x 的一元一次方程：69312kx x a kx +--=--，方程中的常数a 老师已给出，但常数k 老师却未写出.数学老师让小组中的60名学生每人自己想好一个值()3≠k ，然后代入方程中，在解出方程.小明想了一个k 值后，很快解出了方程的解，他惊奇地发现，全班同学的答案竟然是一模一样，你能告诉小明这是什么原因吗？你知道题中老师给出的a 是多少吗？方程的解是多少吗？ 16、已知方程423523-=-x x （1）求方程的解；（2）若上述方程与关于x 的方程()a a x a 2383-+=+是同解方程，求a 的值；（3）在（2）的条件下，a 、b 在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求()2005c b a ++17、已知2=x 是关于x 的方程c b ax =+的解. （1）求()200312--+c b a （2）求ba c2410+的值；（3）解关于x 的方程()()0242≠++=+c b a c x b a .18、已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三点，A 点对应的数位-200，B 点对应的数位为- 20 ，C 点对应的数为40.甲从C 出发，以6单位/秒的速度向左运动.（1）当甲在B 点、C 点之间运动，设运动时间为x 秒，请用x 的代数式表示； 甲到A 点的距离：____________________； 甲到B 点的距离：____________________； 甲到C 点的距离：____________________；（2）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两人在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数；（3）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向左运动，设两人在数轴上的E 点相遇，求E 点对应的数.19、数轴上A 、B （A 左B 右）所对应的数为a 、b ，()01052=-++b a ，C 为数轴上一动点且对应的数位c ，O 为原点.（1）若2=BC ，求c 的值.（2）是否存在一点C 使得CB=2CA ，若存在求出对应的数位c ，不存在说明理由. （3）是否存在一点C 使得CA+CB=21，若存在求出对应的数位c ，不存在说明理由.第8讲 一元一次方程（2）一、基础知识1、若3-=x 是方程()52=+k x 的解，求k 的值.2、讨论12=x 是不是方程14732+=x x 的解. 3、已知3-=x 是1312-=--m x 的解，求代数式132--m m 的值.4、已知1-=y 是关于y 的方程08432=+++-m y y 的解，求式子mm m 122+-的值. 5、已知方程()0243=+--a xa 是关于x 的一元一次方程，求a 的值.6、如果关于x 的方程06365=+-kx 是一元一次方程，求k 的值.7、关于x 的方程()()0241122=-+-+-a x a x a 是一元一次方程求a 的值.8、方程432-=+x m x 与方程626-=-x 的解相同，求m 的值. 9、已知：关于x 的方程1232-=---x ax a x 与方程()5423-=-x x 同解，求a 的值. 10、若关于x 的方程①a x =+2和②a a x 32=-，若①的解比②的解大1，求a 的值.11、设关于x 的方程55=-m x ，m x 244=-，当m 为何值时，这两个方程的解互为相反数？12、方程()0132=+-x 的解与关于x 的方程x k xk 2232=--+的解互为倒数，求k 的值. 13、当4=x 时，式子a x ax A 642--=的值是- 1，那么当5-=x 时，A 的值是多少？14、小明在解关于x 的方程1123=-x a 是，误将x 2-看成了x 2+，得到的解为2-=x ，请你帮小明算一算，方程正确的解为多少？二、列方程解应用题（行程问题和工程问题）15、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分， （1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人相遇？ （2）如果两人同时相向开跑，多少分钟两人相遇？（3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人相遇？16、甲乙骑自行车，从相距60千米的两地相向而行，甲每小时走12千米，乙每小时走10千米，如果走15分钟后乙出发，问甲出发后几小时与乙相遇？17、某项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲先做了7天，乙来支援，由甲、乙合做完成余下的工程，求乙做多少天？18、整理一批或污物，由甲一人做需80小时完成，现由一部分人先做2小时后，在增加5人做8小时，恰好完成这项工作的43，怎样安排参与整理货物的具体人数？ 19、北京市为了能够成功举办2008年奥运会，市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务，其中一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲、乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？ 三、方案选择20、一件工程，甲工程队独做10天完成，每天需费用160元；乙工程队独做15天完成，每天需费用100元.（1）若由甲、乙两个工程队合做3天后，剩余 工程有乙工程队独做完成，求工程所需的总费用是多少元？（2）由于场地限制，两队不能同时施工.若先安排甲工程队单独施工做一部分工程再由乙工程队单独施工完成剩余工程，预计公付工程总费用1500元，你知道甲、乙两个工程队各做了工程的几分之几吗？ （3）为了保证工程质量，工程指挥部决定安排一名质检员全程进行质量监督，每天需付给质检员工作、生活补助30元，请你安排甲、乙两个工程队进行施工，使工程所需的总费用最少？21、一件工作，甲独做20天可以完成，乙独做30天可以完成.若由甲、乙共同完成这项工作，且两人工作平均按整数日安排，且甲每天需要工作费用80元，乙每天需要工作费用50元. （1）问共有多少种安排方案？（2）问完成这项工作的最低费用是多少？应该如何安排两队工作？ （3）要使工程的总费用不超过1540元，问甲最多工作多少天？22、某工厂生产某种产品，每件产品的出产价为1000元，其原材料成本价为550元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有10千克的废渣产生.为了达到国家环保要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理10千克废渣所用的原料费为50元，并且每月设备维护及损耗费为2000元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理10千克废渣需付100元的处理费.（1）设工厂每月生产x 件产品，用方案一处理废渣时，每月利润为__________________元；用方案二处理废渣时，每月利润为_________________元（利润=总收入-总支出）.（2）若每月生产30件和60件，用方案一和方案二处理废渣时，每月利润分别为多少元？ （3）如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最很划算？23、某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车则多出一辆，且其余客车恰好坐满，已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元.（1）学生人数是多少？原计划租用45座客车多少量？ （2）要使每名同学都有座位，怎样租用车辆更合算？第9讲 专题——期中考点训练（1）一、选择题 1．单项式113a b a x y +--与23x y 是同类项，则a b -的值为（ ） A ．2 B ．0 C ．－2 D ．12．下列式子中，abc ；372x -；9；－m ；3ab -；3x；ab mn -；10.11mp -；x y x y +- ，单项式有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．下列说法：① －2002与0是同类项；② 2ab 与－3abc 是同类项；③ 53x 与35x 是同类项；其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个。

最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。

七年级数学上册培优训练第一讲有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m（ n 0, m, n互质）。

n4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（ 0 不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：① | a | a(a 0) ② 非负性 (| a |0, a20)a( a 0)③ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为 0，则他们都为 0。

二、【典型例题解析】：1 、若 ab f 0,则| a | |b | | ab |的值等于多少？a b ab2 ． 如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的（ ）A. 相反数B. 倒数C. 绝对值D. 平方3 、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2 ，求x 2 (a b cd ) x (ab)2006( cd ) 2007 的值。

4、如果在数轴上表示 a 、b 两上实数点的位置， 如下图所示，那么 | a b | | a b | 化简的结果等于（ )A. 2aB. 2aC.0D.2b5、已知 (a 3)2 |b2 | 0 ，求 a b 的值是（）A.2B.3C.9 D .66、有 3 个有理数 a,b,c ，两两不等，那么ab , bc , ca中有几个负数？b c c a a b7、三个互不相等的有理数，既可表示1，a b, a 的形式式，又可表示0，b， b 的形式，求a2006 b2007 。

a8 三个有理数a,b, c 的数，和正数，且X ab c | ab | | bc | | ac | ax3 bx2 cx 1 的是多少？| a | | b | |c | ab bc ac9、若a, b,c整数，且| a b |2007| c a |20071，求 | c a | | a b | |b c |的。

第1讲 有理数（1）1.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度.已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（ ） A .乙地比丙地高70米 B .乙地比甲地低90米 C .丙地最低 D .甲地高出海平面100米2.下列各组数中，大小关系正确的是（ ）A .752-<-<-B .752->->C .725-<-<-D .275->->-3.一个数在数轴上所对应的点向左移动6个单位后，得到它的相反数的点.则这个数是（ ） A .3 B .－3 C .6 D .－64.在数轴上点Ａ所表示的数是－3，点Ｂ与点Ａ的距离是5，那么Ｂ点所表示的有理数是（ ） Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．２ Ｄ．２或－８ ５．一个数是７，另一个数比它的相反数大３，则这两个数的和是（ ） Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ．－10 Ｄ．11 ６．如果2(3)x +与3(1)x -互为相反数，那么x 的值是（ ） Ａ．－８ Ｂ．８ Ｃ．－９ Ｄ．９ 7.若,0a b c a b c <<++=，则a b +的范围是（ ）A .0a b +>B .0a b +<C .0a b +≥D .0a b +≤8.如果a 、b 均为有理数，且0b <，则有（ ）A .a a b a b <+<-B .a a b a b <-<+C .a b a a b +<<-D . a b a b a -<+< 9.下列各数中：－6；5；＋2.5；0；－1；13-；100；10% 正数是：_________________________________； 负数是_________________________________.10.数－3；＋8；12-；＋0.1；0；－10；5；13中，正数有______________________个.11.将下列各数5；23-；2010；0.02-；6.5；0；2-填入相应的括号里.正数集合{} 负数集合{}12.最大的负整数是___________；小于3的非负整数是______________________.13.若12.332x -<≤，则x 的整数值有___________个. 14.从数轴上表示1-的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后到达的终点所表示的数是___________.15.如果a 、b 互为相反数，那么a b +=___________，22a b +=___________.16.如果a 的相反数是最大的负整数，b 的相反数是最小的正整数,则a b +=___________.17.一个数的相反数大于它本身，那么这个数是___________,一个数的相反数等于它本身，这个数是___________,一个数的相反数小于它本身，这个数是___________.18.若果a 和b 是符号相反的两个数，在数轴上a 所对应的数和b 所对应的点相距6个单位长度，如果2a =-，则b 的值为___________.19.如果a 的相反数是2-，且234x a +=，求x 的值；20.数轴上Ａ点表示的数为＋４，Ｂ、C 两点表示的数互为相反数，且C 到A 的距离为2，点B 和点C 各表示什么数；21.已知A 、B 为数轴上的两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为多少？22.已知A 为数轴上的一点，将A 先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点Ｂ，若A 、B 两点对应的数恰好互为相反数，求Ａ点对应的数.23.小康水平的一个指标是年人均收入1000美元.2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的美元数用正数表示，不足1000美元的美元数用负数表示.此10户的年人均收入如下（单位：美元）： ＋500－300＋200＋1000 －100＋400－200＋100＋100(1) 请你计算一下这10户有百分之几达到了小康指标？（2）10户年平均收入为多少美元？日电表上显示的读数（度）24.小亮家6月17时间1234567读数1120112711361146115311611168（1）照这样计算小亮家6月用电多少度？（2）供电部门规定：每月每户用电不超过200度，每度按0.5元收费，超过200度但不超过300度的，超过的部分每度按0.55元收费，超过300度的，超过部分每度按0.8元收费，则小亮家6月应缴电费多少？（3）7月份由于天气变热，用电量增大，小亮妈缴费时发现这个月用电每度平均0.63元，求小亮家7月份用电多少度？25.已知某粮库一周前存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日进、出记录＋35－30－40＋25－24＋50－26（1）通过计算，说明本周内那天粮库剩下的粮食最多？（2）若运进的粮食为购进的，购买价为2000元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为2300元/吨，则这一周的利润为多少？（3）若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库库存粮食为50吨？26.一串数：1121123211234321,,,,,,,,,,,,,,,1222333334444444------……根据以上规律：(1)请问：20132014是这一串数中的第几个数？(2)请问：这组数中的第2014个数是多少？27.考察下列一串有规律的数.（横排为行）根据上面的规律，解答下列问题： （1）第10行最后一个数是多少？（2）2015是第几行第几个数？（3）用n S 表示第n 行的所有数的和.观察1S 、2S 、3S ……，根据规律猜想n S 为多少？（用含n 的代数式表示，n 为正整数）；(4)第n 行第m 个数是多少？用含m 、n 的代数式表示. (29272523211917151311)97531第2讲 有理数（2）1.有理数(2)--，(2)-+，(2)+-，2--，2+-，a -中，一定是负数的个数是（ ） A .2个 B .3个 C .4个 D .5个2.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列关系中：（1）a b c <<；（2）0c >；（3）a c =；（4）0a <正确的是（ ）A .(1)(2)(3)B .(2)(3)(4)C .(1)D .(1)(4)3.下列说法：①若a 、b 互为相反数，则0a b +=；②若a b =-，则a 、b 互为相反数；③若a 、b 互为相反数，则1ab=-；④若a b =，则a 、b 互为相反数.其中正确的结论是（ ） A .②③④ B .①②③ C .①②④ D .①② 4.给出下列结论：①一个数的3倍大于这个数.②绝对值最小的数是0. ③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ④如果a a =，那么0a >.其中正确的个数为（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 5.a 、b 是有理数，若3,4a b ==，则a b +=（ ）A . 1或7-B . 1-或7-C .1或7D . 1,7,17--或 6.若a 为有理数，则a --是（ ）A .正数B .负数C .非正数D .非负数 7.数轴上的点A 、B 分别表示12-和13，则线段AB 的中点所表示的数是（ ）A .512 B .112 C . 112- D . 16- 8.观察下面按次序排列的一组数，并按要求填空. 2,4,6,8,10,--______,_______,……，则第50个数是______________.9.若257x -=，则x 的值为____________;若4x -=-，则x ＝_________.10.已知A 、B 为数轴上两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为_______. 11.已知0,0,a b a b <>>，试用""<将a a b 、b 、-、-连接起来_____________________.12.一个数在数轴上对应的点先向右移动3个单位，再向左移动7个单位后，得到它的相反数对应的点，则这个数是___________.13.已知，在数轴上，Ａ点到原点的距离为３，P 点到A 点的距离为2，画出数轴并在数轴上直接标出Ｐ点所对应的数．14.已知，x 和212x -互为相反数.求x 的值.15.已知，x 与14互为倒数，y 的相反数是3-，50a -=，求x y a ++的值.16.若x 与2y -互为相反数，y 与z 互为倒数.m 是绝对值最小的数，求式子2243x y yz m -+-+的值.17.若a 是有理数，在a -与a 之间有2015个整数，求a 取值范围.18.若0,0,m n <>且m n >，试比较,,,m n m n n m ----的大小，并用“＞”号连接.dc ba19.某洗衣厂上月生产了30000 袋洗衣粉，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽取了20袋进行检测，记超过或不足标准重量的部分为“＋”和“-”,记录如下：超过或不足（克）6-3-2-0 ＋1 ＋4 ＋5 袋数1116524(2) 通过计算估计本厂上月生产的洗衣粉平均每袋多少克？(3)厂家规定超过或不足的部分大于5克时，不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？20.出租车司机小李某天下午从客运站出发后，所有营运都是在东西走向的人民大道上进行的.如果规定向东为正，向西为负，他这一天下午的行车情况如下（单位：千米）15,3,11,11,10,4,12,15,18,16+-+-++---+.根据记录，解答下列问题：（1）小李将最后一名乘客送到目的地时，他的位置在那？（2）若在出车前油箱内有10升油，汽车每千米的耗油量为0.08升，试问：小李将最后一名乘客送到目的地时，油箱内的余油量为多少？21.给出下列数阵（3） 如图，框出四个数请你用一个等式表示a 、b 、c 、d 四者的关系；（3） 是否存在上述四数之和为①414 ； ②10 ？若存在，请求出四个数；若不存在请说明理由.22.已知，如图，A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为30 ，B 点对应的数为100. （1）请写出AB 中点M 对应的数；100-30B A（2）现有一只电子蚂蚁Ｐ从B 点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，你知道C 点对应点数是多少吗?请求出来.（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，另一只电子蚂蚁Ｑ恰好同时从A 点出发，以3单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，你知道D 点对应的数是多少吗？请求出来.23. 已知，数轴上点Ａ在原点左边，到原点的距离为８，Ｂ在原点的右边，从Ａ走到Ｂ，要经过32个单位长度.（1）求Ａ、Ｂ两点所对应的数.（2）若点Ｃ也是数轴上的点，Ｃ到Ｂ的距离是Ｃ到原点的距离的３倍，求Ｃ对应的数．1 3 5 7 9 112 4 6 8 10 123 5 7 9 11 13 468101214（３）已知，Ｍ从Ａ向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时Ｎ从Ｂ向右出发，速度为每秒2个单位长度，设ＮＯ的中点为Ｐ，则下列结论：①ＰＯ＋ＡＭ的值不变；②ＰＯ ＡＭ的值变化，其中只有一个是正确的，请选出并求出其值或说明理由.第3讲 有理数(3)知识理解1、下列各组数中，互为相反数的一组是 ( )A 、＋ (－2)和－( ＋ 2)B 、－|－2|和－| ＋ 2|C 、－(－2)和－|－2|D 、－( ＋ 2)和－| ＋ 2|2、数轴上的点A 、B 分别表示－2和3，则线段AB 的中点所表示的数是 ( ) A 、12 B 、12- C 、52- D 、523、已知a 、b 互为相反数，下列各式中成立的是 ( )A 、ab ＜0B 、a －|b |＝0C 、|a －b |＝|a | ＋ |b |D 、a ÷b ＝－1 4、a ， b 是有理数，若|a |＝2， |b |＝3，则|a ＋ b |＝ ( )A 、5B 、1C 、1或5D 、1，5，－1或－5 5、若|－x |＝4， |y |＝2，且x ＞y ，则xy 的值是 ( )A 、－8B 、8C 、－8或8D 、以上答案都不对 6、若a ＞0， b ＜0 ，化简3|||2|a b a b +-+得 ( )A 、bB 、5bC 、2a ＋ bD 、2a ＋ 5b7、一艘潜水艇的高度为－40米，如果它再下滑30米，则它这时所在的高度为__________.8、若|－x |＝2，则x ＝___________；若|x －3|＝0，则x ＝__________；若|x －3|＝1，则x ＝__________. 9、实数a ， b 在数轴上位置如图所示，则|a |， |b | 的大小关系是___________.10、比较下列各组有理数的大小：(1)－0.6________－60 (2) －3.8________－3.9 (3) 0________|－2| (4)34______45-- 11、绝对值小于122的所有整数为_____________，绝对值小于3的整数是__________. 12、已知|a |＝1，|b |＝2，且a ， b 异号，则3a ＋ b ＝__________.13、若|a |＝4，|b |＝3，且|a |＝－a ，则2a ＋ b ＝____________________. 14、表格第一栏是输入的数，第二档是经过某种程序运算之后输出的数： 输入 (1)2345…… 输出……13 26 311 418 527……当输入的数为10时，输出的数为___________.方法运用15、已知|a |＝|b |＝9，|a |＝2，求b 的值.16、已知a ＝3，|b |＝2，|c |＝1，且a ＜b ＜c ，求a ， b ， c 的值.17、已知|x |＝2003，|y |＝2002，且x ＞0 ，y ＜0，求x ＋y 的值.18、已知|x ＋y ＋3|＝0，求|x ＋y | 的值.19、|2||3||4|0a b c -+-+-=，求a ＋2b ＋3c 的值.20、如果a ， b 互为相反数，c ， d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式2a bx cd x+++的值.21、已知|a |＝3， |b |＝5， a 与b 异号，求|a －b |的值.22、已知|a ＋1|与|b －2|互为相反数，求式子()||a b a a ---的值.23、若2、2、5和a 的平均数是5，而3、4、5、a 和b 的平均数也是5， (1) 求a ， b ；(2) 若|c |＝－c ， 求||||c a b c ---的值.实际应用24、某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 误差，现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数，检查结果如下表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 误差＋0.0018－0.0023＋0.0025－0.0015＋0.0012＋0.0010请用绝对值知识说明：（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？综合思考25、在标有6，12，18，24，30……的卡片中，小明拿了相邻的3张.（1）若相邻的3张数字之和为342，求这3张卡片上各自的数字？（2）你能拿到数码相邻的3张卡片，使其上数字之和是86吗？试说明理由？26、有理数a，b，c，d在数轴上如图所示：①在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中4个，且在数轴上位置如图所示，如果3a＝4b－3，求c＋2d的值；②在数轴上，N点与原点的距离是N与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？27、有若干个数，123,,,n a a a a ，若112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”(1) =1a =2a (2) 求91011a a a ⋅⋅的值；(3) 是否存在M 的值，使111()n n n M a a a a -+÷⋅⋅=？若存在，请求出M 的值.第4讲 有理数(4)知识理解1、若2-=a ，24,0b ab =>，则||a b +＝( ) A 、0 B 、4 C 、－4 D 、0或4 2、若20,0a b a -><，下列各式中成立的是( )A 、2a b ＞0 B 、0a b +> C 、20a ab +> D 、20ba> 3、若a ＜0，则下列各式不成立的是( )A 、22()a a =- B 、22()a a =-- C 、 22||a a =- D 、23||a a =- 4、已知1234a b c d -=+=-=+，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ( ) A 、d b a c >>> B 、a c b d >>> C 、c a d b >>> D 、c b a d >>>5、已知0,0a b ab +=≠，则化简(1)(1)b aa b a b+++得 ( ) A 、2a B 、 2b C 、2 D 、－2 6、若a 、b 、c 为正整数，且23108ab c =，则a ＋ b ＋ c 的最大值为 ( ) A 、6 B 、32 C 、40 D 、1107、有理数a 、b 在数轴上的对应位置如图所示，则 ( )A 、0a b +<B 、0a b +>C 、0a b -=D 、0a b -> 8、计算1110(2)(2)-+-的值是 ( )A 、－2B 、(－2)21C 、0D 、－210 9、下列各式中正确的是 ( )A 、22()a a =- B 、33()a a =- C 、22||a a -=- D 、33||a a = 10、若(x ＋ 3)2与|y －5|互为相反数，则x ＋ y 的值为__________. 11、瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据9162536,,,5122132中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出接下来的两个数据是___________.12、在数－5、1，－3、5、－2中任取三个数相乘，其中最大的积是__________，最小的积是__________. 13、A 、B 两点在数轴上对应的数分别是－4，2，点P 到点B 的距离是点P 到点A 距离的2倍，则P 点在数轴上表示的数是__________.14、已知数m 小于它的相反数且数轴上表示数m 的点与原点的相距3个单位的长度，将该点m 向右移动5个单位长度后，得到的数是___________. 15、观察下列数列，找出规律后，写出数列下一项：0，3，－3，9，－15，33，－63，_____________________. 16、如果x －y ＝5，则|2－x ＋ y |＝__________；如果4 ＋ x ＋ y ＝0，那么－x ＋ 3－y ＝___________. 17、若a ＋ b ＜0，则||||||a b ab a b ab++＝___________. 方法运用18、如果规定符号“*”的意义是*aba b a b=+求2*(－3)*4的值.19、已知2|1|4,(2)4x y +=+=，求x ＋ y 的值.20、若a ， b ， c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||a c c b b a -+-+-的值.21、如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是－2，已知点A 、B 是数轴上的点，完成下列各题：B A2-2-11-3-4345（1）如果点A 表示数－3，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（2）如果点A 表示数是3，将点A 向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（3）一般地，如果点A 表示数为a ，将点A 向右移动b 个单位长度，再向左移动c 个单位长度，那么请你猜想终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是．__________22、同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2的差的绝对值，实际上也可理解5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5－（－2）|＝____________．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|x ＋ 5| ＋ |x －2|＝7成立的整数是______________．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|x －3| ＋ |x －6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．实际应用23、七年级一班某次数学测验的平均成绩为80分，数学老师以平均成绩为基准，记作0，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为 ＋ 10，－15，0， ＋ 20，－2，问这五位同学的实际成绩分别是多少分？24、已知水结成冰的温度是00C ，酒精冻结的温度是－1170C ，现有一杯酒精的温度为120C ，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低1.60C ，要使这杯酒精冻结，需要几分钟？(精确到0.1分钟)25、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值与标准质量的差值（单位：g ）－5 －2 0 1 3 6 袋 数143453（1）这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？ （2）若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少克？综合思考26、已知：a ， b ，c 在数轴上的位置如图所示.c 0b a-11(1)填空：a 、b 之间的距离为___________；b 、 c 之间的距离为___________；a 、c 之间的距离是__________.(2)化简|1||||1|a c b b +--+-(3)若0a b c ++=且b 与－1的距离和a 与－1的距离相等，求22(4)c b a c a b -+----的值.27、已知数轴上两点A 、B 对应的数为－1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，B A2-2-11-3-4345(1) 用x 的式子表示线段P A 、PB 的长度；(2) 数轴上是否存在点P ，使P A ＋ PB ＝5？请求出x 的值；若不存在，请说明理由.28、观察下面三行数：3， －9， 27， －81， 243， －729， …； ① 6， －6， 30， －78， 246， －726， …； ② 1，－3，，9，－27，81，－243，…；③(4) 第①行按什么规律排列？(5) 第②③行数与第①行数分别有什么关系？(6) 写出每行第9个数，共计算这三个数的和.(7) 第②行中是否存在连续的三个数，使得这三个数的和为－5094？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由；(5)是否存在一列数，使得其中的三个数的和为5106？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由.第5讲 整式（1）知识理解1.下列各式：－n ，a ＋b ，3ab ，x －1，3ab ，1x，其中单项式的个数是（ ）. A.2 B.3 C.4 D.52.下列各式：2＋x 2、2x 、xy 2、3x 2＋2x －1、abc 、1－2y 、3x y-中，其中多项式的个数是（ ）.A.2B.3C.4D.53. 若743x a b +与yba 24-是同类项，则y x 的值为（ ）A.9B.－9C.4 D －4. 4.已知－x ＋3y ＝5，则25(3)8(3)5x y x y ----的值是（ ） A.160 B.80 C.－170D.－905.三个有理数a ，b ，c 两两不等，那么a b b c --，b c c a --，c aa b--中负数的个数是 （ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.不能确定 6. 已经a ＜－b ，且0ab>，化简|a |－|b |＋|a ＋b |＋|ab |＝（ ）. A.2a ＋2b ＋ab B.－ab C.－2a －2b ＋ab D.－2a ＋ab7.已知535y ax bx cx =++-，当x ＝－3时，y ＝7，那么当x ＝3时，y ＝（ ）. A.－17 B.－7 C.－3 D.78.减去－3x 等于 2535x x --的代数式是（ ）.A. 255x -B. 2565x x --C. 2565x x --+D. 255x -+ 9.若关于x 、y 的多项式y bxy x x xy ax +--++222不含二次项，则5a －8b 的值为（ ）. A.－11 B.21 C.－21 D.11 10.若3k x y 与2x y -是同类项，那么k ＝___________. 11.若32x a b 与yb a 43-是同类项，那么x ＋y ＝____________. 12. 当x ＝____________时，||23x a 和42a -是同类项.13.如果2(5)b a mn +-是关于m 、n 的一个五次单项式，那么a _______，b ＝_________. 14.如果a 、b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求代数式2a b x cd x+-+＝ ____________. 15. 三角形的第一边长为(a ＋b )，第二边比第一边长(a －5)，第三边长为2b ，那么这个三角形的周长是____________.16. 已知多项式：876253a a b a b a b -+-+…，按此规律写下去，这个多项式的第八项是____________.17.有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，其中某三个相邻数的和是－1701，那么这三个数中最小的数是 ____________.方法运用 18.已知123a b x y +-与225x y 是同类项，求2221232a b a b a b +-的值19.若单项式84a b x y +与单项式239b a b x y -的和仍是一个单项式，求这两个单项式的和.20.化简求值：)]4(3[25222b a ab abc b a abc --+-其中a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的负整数，|c |＝18，且abc ＞0.21.已知s ＋t ＝21，3m －2n ＝9，求多项式(2s ＋9m )＋[－(6n －2t )]的值.22.化简求值：22225[4(31)3]x x x x -----，其中32x =-23.已知x －y ＝0，求3223x x y xy y --+的值.24.已知A ＝2x 2－3xy ＋2y 2，B ＝2x 2＋xy －3y 2，求3A －B 的值.25.a 、b 是有理数，|a |＝b ，|ab |＋ab ＝0，化简：|a |＋|－2b |－|3b －2a |.26.已知A ＝3m 2－4m ＋5，B ＝3m －2＋5m 2，且A －2B －C ＝0，求多项式C .实际应用分每吨收取较高的定额费用，已知今年7月张家用水量与李家用水量的比是2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么超出5吨部分的收费标准是每吨多少元？28. 张校长暑假将带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内的全部按全票价的6折优惠.”若全票价为240元.设学生人数为x ，甲旅行社的收费记为y 甲，乙旅行社的收费记为y 乙. (1) 分别用含x 的代数式表示两个旅行社的收费；(2) 若学生有200人，那么买哪个旅行社的票合算，为什么？综合思考29.若x 3＋x 2＋x ＝－1，求多项式x 2012＋x 2011＋…＋x 2＋x ＋1的值.30.观察下列数阵：(1) 观察以上数阵的变化规律，猜想第11行第4个数是 . (2) 第n 行第m 个数是 .(3) 请猜想第2015行正中间的数是 . (4) 求第100行所有数的和.31.a 、b 为有理数，且a ＋b 、a －b 在数轴上如图所示： (1) 判断a 、b 的符号及a 、b 的大小关系；(2) 若x ＝|2a ＋b |－3|b |－|3－2a |＋2|b －1|，求代数式x 2－6x ＋9的值； (3) 若c 为有理数，且345a b c==，ab ＋bc ＋ca ＝188，求代数式(a －b ＋c )2－abc 的值. 3-3a-b a+b O第6讲 整式（2）知识理解1.前年我国城镇固定资产投资为7509600元，用科学记数法表示为（ ）.（保留三个有效数字）A.7.51×107元B. 7.50×107元C. 7.51×106元D. 7.50×106元 2.下列各式：－2；3x -；3x ；m ＋n ；－a 2b ；35xy-中，单项式的个数有（ ）. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.下列式子0、2mn 、13x +、48a 2b 、1－x 、x 2＋2x ＋1、15xy -、3x 其中单项式共有（ ）.A.3个B.4个C.5个D.6个4.下列合并同类项运算，结果正确的是 （ ）.5.下列各组数是同类项的是（ ）.A.x 2y 和xy 2B.3ab 和－abcC.2x 和12D.0和－5 6.下列说法：①2与－2是同类项；②2ab 与－3abc 是同类项；③3x 5与5x 3是同类项；正确的个数有 （ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.下列说法：①若1ab=-，则a ，b 互为相反数；②若a ＋b ＜0，ab ＞0，则|a －2b |＝2b －a ；③若m ＞n ，则m 2＞n 2；④一个数的倒数是它本身，则这个数是0和±1；⑤近似数1.80的有效数字是1、8、0；⑥－23ab 2的次数为6.其中正确说法的个数是 （ ）.A.2个B.3个C.4个D.5个8.下列结论：①若，则a 、b 互为相反数；②若|a |＞|b |，则a ≠b ；③多项式－22x 3y 3＋3x 2y 2－2xy －x ＋1的次数是6次；④若|x －6|＝|y －6|，且x ＞y ，则x ＋y ＝12；⑤1.60×106的有效数字有7个；⑥若一个数的倒数等于它的平方，则这个数为±1；其中正确的个数有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.写一个系数为负数，含三个字母的四次单项式为 . 10.单项式－3x 3y 的次数是 ；单项式25ab-的系数是 . 11.单项式－6a 5b 2c 的系数是 ；它的次数是 .12.多项式－x 3y 2＋3x 2y 4－2xy 2的次数是 .13.三峡工程是具有防洪、发电、航运、养殖、供水等巨大综合利用效益的特大水利水电工程，其防洪库容量约为22150000000m 3，这个数用科学记数法可表示为 . 14.已知2a 3b 4与－3a 2m b n 是同类型，则m －n ＝ . 15.如果16a 3m ＋n b n 与6378a b -是同类型，则m －n ＝ . 16.去括号－2(3x ＋y －2z )＝ .17.如图，第一个图形有1个正方形；第二个图形有5个正方形；第三个图形有14个正方形……；则按此规律，第五个图形有 个正方形.方法运用18.先化简再求值：(x 2y －2y 2－xy －1)－(2xy ＋4x 2y －y 2)＋3，其中x ＝－1，y ＝－2.19.先化简再求值：(4x －2y 2)－[5x －(x －y 2)]－x ，其中x ＝－2，y ＝31.20.(1)根据条件列式：a 的2倍与b 的和减去b 的平方与a 的 半的差； (2) 在(1)的条件下，若a ＝－4，b ＝3，求上式的值.21.已知A ＝x 3＋2y 3－xy －3，B ＝－y 3＋x 3＋2xy ＋1，且2A －M ＝B ，求M .(8) 已知，A ＝2x 2－3xy ；B ＝2x 2＋xy －5，若M ＋B ＝2A ，求M .23.已知M ＝x －13y 2，N ＝－32x ＋12y 2－1. (1) 化简3M －2N . (2) 若|x －2|＝－(y －1)2，求－2N ＋3M 的值.实际应用24.某个体水果店经营某种水果，每千克进价2.80元，售价4.50元，10月1日至10月5日经营情况依次如下表：1日2日3日4日5日购进(kg ) 55 50 55 50 40 售出(kg ) 46 49 51 48 41 损耗(kg )43422(1) 若9月30日晚库存为零，则10月1日晚库存为 kg ；(2) 就10月3日这一天的经营情况看，当天是赚了还是赔了多少钱？ (3) 10月1日到10月5日该个体户共赚多少钱？25.国庆节即将来临，张华高兴地看着2014年10月的日历，发现其中有很有趣的问题，他用笔在上面画如图所示的十字框，若设任意一个十字框里的五个数为a 、b 、c 、d 、k ，如图：试回答下列问题： (1) 此日历中能画出 个十字框？ (2) 若a ＋b ＋c ＋d ＝76，求k 的值.(3) 是否存在k 的值，使得a ＋b ＋c ＋d ＝84，请说明理由.日一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829303126.数轴上，A 点表示的数为10，B 点表示的数为－6，A 点运动的速度为4单位/秒，B 点运动速度为2单位/秒.(1) B 点先向右运动2秒，A 点再开始向左运动，当它们在C 点相遇时，求C 点表示的数；10-6O(2) A 、B 两点都向左运动，B 点先运动2秒时，A 点于开始运动，当A 点到原点的距离和B 点到原点的距离相等时，求A 点运动的时间；k dcba-6O10(3) A、B两点都向左运动，B先运动2秒，A再运动t秒时，求A、B两点之间的距离.-6O10第7讲 一元一次方程知识理解1、下列由等式的性质进行的变形，错误的是（ ）A 、如果b a =，那么33+=+b aB 、如果b a =，那么33-=-b aC 、如果b a =，那么a a 32=D 、如果a a 32=，那么3=a2、下列方程中：①312+=-x x ；②21=-x ；③123222=+；④3-x ；⑤6=+y x .其中是一元一次方程的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、已知方程x m x 743-=+的解为1=x ，则m 的值为（ ） A 、- 2 B 、- 5 C 、6 D 、- 64、若y x =，下列各式中：①33-=-y x ；②55+=+y x ；③88-=-y x ；④y x x +=2；其中正确的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、下列等式变形：①如果y x =，那么ay ax = B ；②如果y x =，那么a y a x =；③如果ay ax =，那么y x = ；④如果a y a x =，那么y x =.其中正确的是（ ）A 、③④B 、①②C 、①④D 、②③6、下列说法：①在等式42=x 两边都加上2，可得等式64=x ；②在等式42=x 两边都减去2，可得等式2=x ；③在等式42=x 两边都乘以21，等式变为2=x ；④等式两边都除以同一个数，等式仍然成立.其中正确的说法有（ ）7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）个正方体的重量.A 、2B 、3C 、4D 、58、已知a 是任意有理数，在下面各题：（1）方程0=ax 的解是1=x ；（2）方程a ax =的解是1=x ；（3）方程1=ax 的解是ax 1=；（4）方程a x a =的解是1±=x .其中结论正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、如果652=-x ，那么_________2=x ，其中依据是__________________________.10、若方程()0122=+++c bx x a 是关于x 的一元一次方程，则字母系数a 、b 、c 满足的条件是_____________________________.方法运用11、解方程：（1）23141x x x --=--； （2）214311--=++x x x ；（3）()x x x =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1151321 ； （4）121103121412+--=-+x x x ；12、已知1=x 是方程()x x a 2312=--的解，那么关于x 的方程()()3225-=--x a x a 的解是多少？13、某书有一道方程：x x =+*+132，*处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为5.2-=x ，那么*处被墨盖住的数应该是多少？14、若a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，此方程的解总是1=x ，求a 、b 的值.15、小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，数学老师在黑板上写了一个关于x 的一元一次方程：69312k x x a kx +--=--，方程中的常数a 老师已给出，但常数k 老师却未写出.数学老师让小组中的60名学生每人自己想好一个值()3≠k ，然后代入方程中，在解出方程.小明想了一个k 值后，很快解出了方程的解，他惊奇地发现，全班同学的答案竟然是一模一样，你能告诉小明这是什么原因吗？你知道题中老师给出的a 是多少吗？方程的解是多少吗？16、已知方程423523-=-x x （1）求方程的解；（2）若上述方程与关于x 的方程()a a x a 2383-+=+是同解方程，求a 的值；（3）在（2）的条件下，a 、b 在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求()2005c b a ++17、已知2=x 是关于x 的方程c b ax =+的解.（1）求()200312--+c b a （2）求ba c 2410+的值； （3）解关于x 的方程()()0242≠++=+cb ac x b a .18、已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三点，A 点对应的数位-200，B 点对应的数位为- 20 ，C 点对应的数为40.甲从C 出发，以6单位/秒的速度向左运动.（1）当甲在B 点、C 点之间运动，设运动时间为x 秒，请用x 的代数式表示；甲到A 点的距离：____________________；甲到B 点的距离：____________________；甲到C 点的距离：____________________；（2）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两人在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数；（3）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向左运动，设两人在数轴上的E 点相遇，求E 点对应的数.19、数轴上A 、B （A 左B 右）所对应的数为a 、b ，()01052=-++b a ，C 为数轴上一动点且对应的数位c ，O 为原点.（1）若2=BC ，求c 的值.（2）是否存在一点C使得CB=2CA，若存在求出对应的数位c，不存在说明理由.（3）是否存在一点C使得CA+CB=21，若存在求出对应的数位c，不存在说明理由.第8讲 一元一次方程（2）一、基础知识1、若3-=x 是方程()52=+k x 的解，求k 的值.2、讨论12=x 是不是方程14732+=x x 的解.3、已知3-=x 是1312-=--m x 的解，求代数式132--m m 的值.4、已知1-=y 是关于y 的方程08432=+++-m y y 的解，求式子mm m 122+-的值.5、已知方程()0243=+--a xa 是关于x 的一元一次方程，求a 的值.6、如果关于x 的方程06365=+-k x是一元一次方程，求k 的值.7、关于x 的方程()()0241122=-+-+-a x a x a 是一元一次方程求a 的值.8、方程432-=+x m x 与方程626-=-x 的解相同，求m 的值.9、已知：关于x 的方程1232-=---x a x a x 与方程()5423-=-x x 同解，求a 的值.10、若关于x 的方程①a x =+2和②a a x 32=-，若①的解比②的解大1，求a 的值.11、设关于x 的方程55=-m x ，m x 244=-，当m 为何值时，这两个方程的解互为相反数？12、方程()0132=+-x 的解与关于x 的方程x k x k 2232=--+的解互为倒数，求k 的值.13、当4=x 时，式子a x ax A 642--=的值是- 1，那么当5-=x 时，A 的值是多少？14、小明在解关于x 的方程1123=-x a 是，误将x 2-看成了x 2+，得到的解为2-=x ，请你帮小明算一算，方程正确的解为多少？二、列方程解应用题（行程问题和工程问题）15、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分，（1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人相遇？（2）如果两人同时相向开跑，多少分钟两人相遇？（3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人相遇？16、甲乙骑自行车，从相距60千米的两地相向而行，甲每小时走12千米，乙每小时走10千米，如果走15分钟后乙出发，问甲出发后几小时与乙相遇？17、某项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲先做了7天，乙来支援，由甲、乙合做完成余下的工程，求乙做多少天？18、整理一批或污物，由甲一人做需80小时完成，现由一部分人先做2小时后，在增加5人做8小时，恰好完成这项工作的43，怎样安排参与整理货物的具体人数？19、北京市为了能够成功举办2008年奥运会，市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务，其中一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲、乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？三、方案选择20、一件工程，甲工程队独做10天完成，每天需费用160元；乙工程队独做15天完成，每天需费用100元.（1）若由甲、乙两个工程队合做3天后，剩余 工程有乙工程队独做完成，求工程所需的总费用是多少元？（2）由于场地限制，两队不能同时施工.若先安排甲工程队单独施工做一部分工程再由乙工程队单独施工完成剩余工程，预计公付工程总费用1500元，你知道甲、乙两个工程队各做了工程的几分之几吗？（3）为了保证工程质量，工程指挥部决定安排一名质检员全程进行质量监督，每天需付给质检员工作、生活补助30元，请你安排甲、乙两个工程队进行施工，使工程所需的总费用最少？。

最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。

新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。

新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。

数轴、相反数、绝对值（讲义）一、知识点睛1．比较大小的三种方法_____________________________________________________________________ _______________________________________2．去绝对值______________________________________________________3．分类讨论______________________________________________________4．绝对值的几何意义______________________________________________________二、精讲精练【板块一】比较大小和最值1．作差法比较大小：（1）2a a（a＞0）（2）a+b a-b（b＞0）（3）5b-b（b＜0）（4）a2a（a＜0）2．如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则a，b，-a，-b这4个数从小到大的顺序是______________________________________．3．如果a＜0，b＞0，b＞|-a|，则a，b，-a，-b这4个数从小到大的顺序是______________________________________．4．若0＜a＜1，则a，-a，a2，1a按照从大到小的顺序排列______________________________________．5．若-1＜a＜0，则a，-a，a2，1a按照从大到小的顺序排列______________________________________．6．因为|a|____0，所以|a|有最___值是___，进而|a|+2有最___值是_____；因为-|a|___0，所以-|a|有最___值是____，进而-|a|+10有最___值是____．类似的，因为a2____0，所以a2有最___值是___，a2-2有最___值是___．【板块二】去绝对值7．若|a|=a，|b|=-b，且ab≠0，则|b-a|=________．8．已知|m|=-m，化简|m-1|-|m-2|．9．已知a+b＜0，化简|a+b-1|-|3-a-b|．10．设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|b-a|+|c|-|a+c|-2|a|．c11．设有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简|a+b|-|a|-|1-b|+|-b|．12．设有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简|a|-|1-b|-|a+1|-|-b|．b13．已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简：|b|-|a+b|+|c-a|+|b+c|．14．已知a＜0＜c，ab＜0，|a|＞|c|＞|b|，化简：|a|-|a+c|-|b-c|-|-b|．【板块三】分类讨论15．若|x-1|=5，|y|=1，则|x-y|的值为．16．若|x+2|=4，|y|=3，则|x+y|的值为．17．若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，则a-b的值是多少？18．若|x |=3，|y |=2，且|x -y |=y -x ，则x +y 的值是多少？19．若ab ≠0，则a ba b+的值是多少？20．若abc ≠0，则ccb b a a ++的值是多少？【板块四】绝对值的几何意义21．x 为有理数，则|x -1|+|x -2|的最小值为______． 22．x 为有理数，则|x +1|+|x -2|的最小值为______． 23．x 为有理数，则|x -1|+|x -2|+|x -3|的最小值为______．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．比较大小的三种方法：①作差法；②数轴法；③特殊值法．2．去绝对值：①看整体，依法则；②去符号，留括号；③化简验证．3．分类讨论：①画树状图，分类；②筛选，排除．4．绝对值的几何意义：|a-b|表示数a，b两点之间的距离二、精讲精练1．（1）＞，（2）＞，（3）＜，（4）＞；2．b＜-a＜a＜-b；3．-b＜a＜-a＜b；4．1a＞a＞a²＞-a；5．-a＞a²＞a＞1a；6．≥，小，0，小，2；≤，大，0，大，10；≥，小，0，小，-2；7．a-b；8．-1；9．-2；10．–b；11．b-1；12．-2a-2b；13．-b；14．0；15．3，5，7；16．1，3，5，9；17．6或2；18．-1或-5；19．0或2或-2；20．3或1或-1或-3；21．（1）1；（2）3；（3）2；数轴、相反数、绝对值（随堂测试）24．已知00a b <>，且a b >，借助于数轴如下图，试把a ，-a ，b ，-b 四个数用“＜”连接起来．b25．已知22x x -=，化简14x x +-+的值．26．若|m |=4，|n |=5，且|m -n |=n -m ，那么m +n 的值是 ．27．若ab ≠0，求a b ab abab-+的值是多少？【参考答案】1. a ＜-b ＜b ＜-a2. -33. 1或94. 1或-3数轴、相反数、绝对值（作业）28．比较大小：（1）-113（2）54- 87-（3）3b -2b （b ＜0） （4）a +3b 2a +3b （a ＜0） 29．若a ＞1，则a ，-a ，a 2，1a这4个数从大到小的顺序是 ．30．如果a ＞0，b ＜0，|a |＜|b |，则a ，b ，-a ，-b 这4个数从小到大的顺序是______________________________________．31．因为|m |____0，所以|m |有最_____值是___，进而|m |-1有最____值是_____；因为-|m |____0，所以-|m |有最_____值是 ，进而-|m |+5有最 值是 ．32．若|a |=-a ，|-b |=b ，则|b -2a |=________． 33．若ab ab -=-，则必有（ ） A ．a ＜0，b > 0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．0ab ≥D ．0ab ≤34．若x 的绝对值小于1，则化简11x x -++得（ ） A ．0B ．2C ．2xD ．-2x35．设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简c a a c a b --+--．36．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|||1|+|2+|+||a b a b a +---ab37．若23x -=，21y =+，那么x y +的值为 ． 38．若|a|=2，|b+1|=3，且|a -b|=b -a ，那么a +b 的值是 ． 39．若ab ＜0，求b a ab+的值是多少？40．若ab ≠0，求a b ab abab++的值是多少？41．x 为有理数，则|x +3|+|x -2|的最小值为______．【参考答案】1．（1）＞（2）＜，（3）＜，（4）＞； 2． a aa a ->>>12； 3．b ＜-a ＜a ＜-b ；4．≥，小，0；小，-1；≤，大，0；大，5； 5．b -2a ； 6．D ； 7．B ；8．a +b ； 9．1–a ；10．2，4； 11．0，4； 12．0；13．3，-1；14．5有理数混合运算（讲义）一、知识点睛1.有理数混合运算要点：____________________________________________________________________________________________________________ 2.有理数运算技巧：______________________________________________________二、精讲精练板块一：有理数混合运算基础训练1．222118(3)(4)9(0.75)-÷-+-÷÷-2．20141416(2)8()23--÷-⨯-÷-3．()32221123340.20.5-+-------4．21111531352⎛⎫÷---- ⎪⎝⎭5．练习： （1）2221110.56330.5---÷-÷-（）（2）2213(3)(6)76÷-+-⨯-+（3）33(1)6(64)23--÷-++-+（4）3323138(2)1(3)(2)0.25⎡⎤--÷--+-⨯-÷⎣⎦板块二：运用运算律解题6．1+2-3-4+5+6-7-8+…+97+98-99-1007．()()2013111124146812⎛⎫-⨯-+---- ⎪⎝⎭8．()()2113700.2524.5525%(2)42⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯+-⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．()()()()()523.2289 3.772939+1+3⨯-+-⨯+-⨯--10．()()43510.7(1)(2)150.7159494⨯+⨯-+⨯+⨯-板块三：运用技巧解题 11．1111+13355720112013+++⨯⨯⨯⨯12．计算：1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．计算：231002222S=++++三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1．有理数混合运算要点：①看结构，划部分；②平均分配工作量；③注意检验．2．有理数运算技巧：①裂项相消；②倒序相加；③错位相减．二、精讲精练1．-1；2．132；3．27；4．109；5．（1）-3，（2）7，（3）7，（4）-43；6．-100；7．8；8．96；9．-82；10．-43.6；11．10062013；12．885；13．10122-有理数混合运算（随堂测试）1. 有理数运算：（1）()24113333----÷⨯（2）()3211328540.125⎛⎫⎛⎫-÷-÷---÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()232127322632⎛⎫---+-⨯-÷- ⎪⎝⎭【参考答案】1．（1）53- （2）-39 （3）-52有理数混合运算（作业）14．21922.5(1)0.245⎡⎤÷--+⨯-⎢⎥⎣⎦15．4251(3)()036-----⨯-⨯16．325112911()(1)(3)()623283⎡⎤÷--+÷---⨯-⎢⎥⎣⎦17．()3116223322÷---⨯-÷⨯18．()321122+124⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．()()20111347154++1620512⎛⎫-⨯⨯---- ⎪⎝⎭20．8÷()21075.--2303758.-+321．()()2112232+102543.⎛⎫-÷⨯--⨯- ⎪⎝⎭22．()()32013151521212÷--⨯+-23．()()22012123110.53⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯---⨯ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦24．()313310.752343⎛⎫+-÷-⨯⨯-÷- ⎪⎝⎭25．211×(-455)+365×455-211×545+545×36526．111144*********+++⨯⨯⨯【参考答案】1．252； 2．53-； 3．-9； 4．354-； 5．0； 6．5； 7．152； 8．43-； 9．-1； 10．76-； 11．4； 12．154000； 13．6712014．代数式求值（讲义）一、知识点睛1．整式加减：___________________________________________2．整体代入：___________________________________________3．数位表示： __________________________________________二、精讲精练【板块一】整式加减1. 化简：()222518464(1)24m m m m m ⎡⎤---+--⎢⎥⎣⎦.2. 化简：22225111124244228a b a b ab ab a b ab ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 3. 若关于x 、y 的多项式2mx 2-x 2+5x +8-(7x 2-3y +5x )的值与x 无关，求m 2-[2m 2-(5m -4)+m ]的值．4. 化简：3(a +b )2-2(a +b )2-(a +b )-(a +b )2+3(a +b )+1.【板块二】整体代入5. 若a 2+2a =1，则代数式2(a 2+2a )3-5(a 2+2a )-7的值是 .6. 若252m n m n -=+，则代数式3(2)2322m n m n m n m n-+-++-的值是 .7. 若代数式2a 2+3b 的值是6，则代数式4a 2+6b +8的值是_____.8. 若x 3-4x +4=0，则代数式3x 3-12x +10的值是_______.9. 当x =1时，代数式px 3+qx +1的值是2012；则当x =-1时，代数式px 3+qx +1的值是________.10. 当x =7时，代数式ax 3+bx -5的值是7；则当x =-7时，代数式ax 3+bx -5的值是_______.11.当x=2时，代数式ax3-bx+1的值是-17；则当x=-1时，代数式12ax-3bx3-5的值是_______.【板块三】数位表示12.一个三位数，中间数字为9，百位上数字为a，个位上数字是b，用代数式表示这个三位数是______________________.13.一个三位数，个位数字为a，十位数字比个位数字大b，百位数字比个位数字的平方小2，用代数式表示这个三位数是______________________.14.若a表示一个两位数，b表示一个一位数，把b放在a的左边组成一个三位数，则这个三位数用代数式可表示为______________________.15.若x表示一个两位数，y表示一个三位数，把x放在y的左边组成一个五位数，则这个五位数用代数式可表示为______________________.16.一个两位数，十位上的数字为x，个位上的数字为y，交换这个两位数十位上的数字和个位上的数字，得到一个新的两位数，这两个两位数的差能被9整除吗？说明理由.三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1．①去括号；②合并同类项．2．①做判断（无法求出单个字母值时考虑整体代入）；②找整体；③巧表示（含有字母的项放到等号左边，不含字母的项放到等号右边）.3．①画数位表；②找计数单位．二、精讲精练1．-9m -2；2．2ab 2； 3．-4； 4．2a +2b +1； 5．-10； 6．4175（895）； 7．20； 8．-2； 9．-2010； 10．–17； 11．22；12．100a +b +90；13．100a 2+11a +10b -200； 14．100b +a ； 15．1000x +y ；16．能被9整除，因为这两个两位数的差为9(x -y )或9(y -x )代数式求值（随堂测试）1． 化简：223122(1)3(2)6()223x y x x y y y ⎡⎤-+---+⎢⎥⎣⎦．2． 当x =-2时，代数式31ax bx ++的值为6；则当x =2时，代数式31ax bx ++的值是________．3． 若代数式-2a +3b +8的值为18，则代数式9b -6a +2的值等于___．4． 若m 表示一个一位数，n 表示一个四位数，把n 放在m 的左边组成一个五位数，则这个五位数用代数式可表示为_________．【参考答案】1．-x -5； 2．-4； 3．32； 4．10n +m .代数式求值（作业）1．化简：()111211424x x x x ⎡⎤⎛⎫----- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．2．化简：223122[(1)]3(2)6()223m n m m n n n -+---+．3．如果关于x 的多项式4(3x 2+2mx -x +1)-(2x 2-mx +5)-2(5x 2-4mx -6x )的值与x 的取值无关，试确定m 的值．4．化简：-3(m -n )2-(m -n )2-3(m -n )+4(m -n )2+2(m -n )-12012．5．若a 2+a =2，则代数式2a 2+2a +2007的值是 ．6．若5a b a b-=+，则代数式2()15()a b a b a b a b -+-+-的值是 ． 7．若代数式a 2+2b +1的值是5，则代数式3a 2+6b -8的值是 ．8．若代数式3x 2-4x +6的值是9，则代数式x 2-463x +的值是 ． 9．当x =-3时，代数式535ax bx cx ++-的值是7；则x =3时，代数式535ax bx cx ++-的值是 ．10．一个三位数，十位数字为x ，个位数字比十位数字少3，百位数字是个位数字的3倍，用代数式表示这个三位数是_______．11．若x 表示一个两位数，把数字3放到x 的左边组成一个三位数，则这个三位数用代数式可表示为__________________．12．若a 表示一个一位数，b 表示一个两位数，把a 放到b 的左边组成一个三位数，则这个三位数用代数式可表示为_________．13．若x 表示一个一位数，y 表示一个三位数，把y 放到x 的左边组成一个四位数，则这个四位数用代数式可表示为_________．【参考答案】1．3144x -； 2．-m -5； 3．m=-817； 4．-m +n -1； 5．2011； 6．7； 7．4； 8．7；9．-17； 10．311x -903；11．x +300； 12．100a +b ； 13．10y +x ；规律探索专练（讲义）一、知识点睛1.数与式的规律：_________________________________________________________________ _____________________________________2.图形规律：_________________________________________________________________ _____________________________________3.循环规律：_________________________________________________________________ _____________________________________二、精讲精练【板块一】数与式的规律1.直接写出下列数的第n项：（1）4，6，8，10，12，…，则它的第n个数是________；（2）6，18，54，162，…，则它的第n个数是_________；（3）9，27，81，243，…，则它的第n个数是_________；（4）2，6，12，20，30，…，则它的第n个数是________；（5）0，3，8，15，24，…，则它的第n个数是________；（6）-2，3，-4，5，-6，…，则它的第n个数是_________；（7）13，25-，37，49-，…，则它的第n个数是_______.2.直接写出下列数的第n项：（1）5，8，11，14，17，…，则它的第n个数是________；（2）4，8，16，32，64，…，则它的第n个数是_________；（3）32，34，38，316，…，则它的第n个数是_________；（4）2，5，10，17，26，…，则它的第n个数是________；（5）32，54-，78，916-，…，则它的第n个数是______.3. 观察表1，寻找规律．（1）表2、表3分别是从表1中选取的一部分，则a +b 的值为________； （2）表4、表5分别是从表1中选取的一部分，则c +d 的值为________．711317112………………………12358155304954a475553b31c3941d4847表1 表2 表3 表4 表54. 如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.……………936353433323130292827262524232221201918171615141312111087654321（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数. 5. 观察下列等式：①1＝12；②2＋3＋4＝32；③3＋4＋5＋6＋7＝52；④4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；…； 请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ） A ．1005＋1006＋1007＋…＋3016＝20112 B ．1005＋1006＋1007＋…＋3017＝20112 C ．1006＋1007＋1008＋…＋3016＝20112 D ．1007＋1008＋1009＋…＋3017＝20112【板块二】图形规律n 个图案中白色正方形个数为 ．8. 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个五角星，第2个图形一共有8个五角星，第3个图形一共有18个五角星，…，则第6个图形中五角星的个数为____，第n 个图形中五角星的个数为______.③图②图①★★ ★★★★★★★★★★ ★★★★ ★★★★★★★★ ★★★★图1 图2 图3 9. 如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 ．图1 图2 图3 图410. 如图，下面是按照一定规律画出的一行“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A 1多出了2个“树枝”，图A 3比图A 2多出了4个“树枝”，图A 4比图A 3多出了8个“树枝”，…，照此规律，则图A 6比图A 2多出_______个“树枝”.A 43A 2A 1111098765432111. 图1是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图2铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整的菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图3，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图4，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n ×n 的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10图1 图2 图3 图412. 如图，广场地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第13个正方形组成，第27个正方形组成，…，那么组成第6个黑色 ）A ．22B ．23C ．24D ．25 【板块三】循环规律13. 如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“2”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2012次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 .14. 如图，四个电子宠物排座位：一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号的座位上，以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后，再左右两列交换位置，第三次是在第二次交换位置后，再上下两排交换位置，第四次是在第三次交换位置后，再左右两列交换位置，…，这样一直继续交换位置，第2012次交换位置后，小鼠所在的座号是_____.？？？？兔兔猴猴鼠鼠猫猫猫兔猴鼠4321…15. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D ．请你按图中箭头所指方式(即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到14时，对应的字母是 ；当字母C 第2012次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是_________(用含n 的代数式表示)．16. 如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，… （1）“17”在射线 上；（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律； （3）“2012”在哪条射线上？三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________AC DB【参考答案】一、知识点睛1.数与式的规律：①标序号；②找结构；③处理符号。