数形结合法在函数零点问题中的应用
高三数学组2017年3月15日
【教学目标】函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难。本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决。
【教学思想、方法】数形结合分类讨论转化与化归函数与方程
【考向洞察】
1、针对题型
(1) 确定零点的大致范围，多出现在选择题中；
(2) 确定零点的个数问题，多出现在选择题中；
(3) 利用已知零点的个数求参数的范围，多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。
2、解决方案
(1) 直接画出函数图像，观察图像得出结论。
(2) 不能直接画出函数图像的，可以等价地转化为两个函数图像的交点，过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。
【例题讲解】
1
例1、设函数f (x) —x Inx，则函数y f (x) ( D )
3
1
A. 在区间(-,1)，(1,e)内均有零点
e
B. 在区间(1,1)，(1,e)内均无零点
e
1
C. 在区间(丄,1)内有零点，(1,e)内无零点
e
1
D. 在区间(-,1)内无零点，(1,e)内有零点
e
1 1 解 1： f '(x) 3 x 1 e
f (1) ： 0，
f(e) - 3 3
有零点。 1 1 ，f(x)在(-,e)单调递减，f(-) e
由零点存在定理知,
1 1
1 0，
e 3e 1
区间(丄,1)内无零点，(1,e)内
e 1 彳寸一
x 3
的图象，如右图，显然在区间 解 2:令 f(x) 0 , 1 x 和y
3
1
(,1)内无零点，(1,e)内有零点 e
In x ，作出函数y
例 2、设 f(x) (2) 2,x
°,则 y f(x) 2x 2, x 0 解：作出函数y f (x)和y x 的图象, y x 与函数f (x)的图象有两个交点，所以
x 的零点个数是 2
。
如右图，由图可知直线 y f (x) x 有2个零点。
例3、已知函数 f(x)
2
x ax, x 0
F(x)
2f (x) x 有2个零点，则实数a 的
ln(x 1),x 0
取值范围是
(
解1： x 0时， F(x) 2f (x) x 2ln( x 1) x ，则 F '(x) — 1」
x 1
1 x F(1) 0，
当0 F(4) x x 1,F(x)单调递增；当x 1 ,F(x)单调递减；而F(0)
0,F(x)max 2I n5 0时， 由2x 2
(2 a 4 0，此时有1个零点； F(x)，只有1个零点，则2x 2 1 2a 1)x 0解得x 0或x 解 2：令 F(x) 0,得 f(x) 当x 0时，x 2 ax x 恒成立,
2 -，作出 2 - 2
kx 1 x 0
例4、若函数f (x)
' 则当k 0时，函数y In x, x 0
A.1
B.2
C.3
解：令 f(x) t ，若 y f[f(x)] 1 0,则 f(t) 1 则 f(x) t i
( ,0) , f(x) t 2 (0,1) 对于f (x) t 1存在两个零点； 对于f (x) t 2存在两个零点；
综上可知，函数y f[f(x)] 1有4个零点。
例5、设f(x) (x 2)2e x ae x ，g(x) 2a x 2( e 为自然对数的底数)，若关 于x 的方程f (x) g(x)有且仅有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围是(D )
2
方程t 2at a 0在(0, e)上有两个不同的解 bt ?时可以满足题意
2
4a 4a 0
则0 t 对 a e
解得1 a
2
t(e) e 2ae a 0
)B. (e,)
解：由 f (x) g(x)得(x
C. (1,e) 2)2e x ae
2
D.(1,是) 2e 1
2a x 2
令t
x 2 e x h(x)，则 t 2 2at
a 0
(x 2)e x ,x 2
(x 1)e x ,x 2
h(x)
x
，h '(x)
x
(2 x)e ,x 2
(1 x)e , x 2
即(x 2)2e 2x 2ax 2e x a 0 h(x)的大致图象如右图:
2
e 2e 1
f[f(x)] 1的零点个数为(D )
【归纳小结】
1、解决此类问题的关键是数形结合；
2、还应把握两类知识：
(1) 灵活构造函数；
(2) 图象的各类变换：平移、伸缩、对称、周期性变换等。
【教学反思】数形结合思想是高中数学常用思想方法之一，可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化，变抽象思维为形象思维，有利于把握数学问题的本质.我国著名数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观，形少数时难人微;数形结合百般好，隔离分家万事休”，可见数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.作为中学数学教师，在函数零点问题教学时渗透数形结合的思想，并在平时的训练中不断领悟和总结，可以促使学生在解决零点问题的能力上得到改善和提高！
