最新非负数的性质及应用1华师大版.

实数中的“非负性”问题
在实数运算中，任何数的绝对值和偶次方都是一个“非负数”，即0，0a 2≥≥a n （n 为整数）.我们称其具有非负性.这两条性质常作为求解很多实数问题的隐含条件，我们要熟练掌握. 一、绝对值的非负性 例1、若m 、n 满足04n 6-m 3=++，则-m·n= . 解：∵04n ，06-m 3≥+≥， 又04n 6-m 3=++
∴3m-6＝0，n+4＝0 ∴m ＝2，n ＝-4
∴-mn ＝-2×（-4）＝ 8 .
例2、若02-ab 1-a =+，
求：)
2005)(2005(1...)2)(2(1)1)(1(11
+++++++++b a b a b a ab 的值. 解：∵02-ab ，01-a ≥≥， 又02-ab 1-a =+
∴a －1＝0，ab －2＝0 ∴a ＝1，b ＝2
原式＝2007
20061...431321211⨯+⨯+⨯+⨯ ＝2007
1-20061...41-3131-2121-1++++ ＝20071-
1＝20072006 二、偶次幂的非负性
例3、已知0)3(22=-
+-y x ，求：， y 2xy y -. 解：∵0)3(，022≥-≥-y x 又0)3(22=-+-y x
∴x －2＝0，,3－y ＝0 ∴x ＝2，y ＝3
＝＝8； y 2xy
y -＝13
3232=⨯-
由上面三道例题，我们可以看出：绝对值、偶次幂的非负性通常都是作为隐含条件出现的.解答这类问题的一般步骤是：①先根据绝对值或偶次幂的非负性，求出有关字母的值；
②再将所求得的字母值代入相应的代数式.求解时，还要注意突出分析过程，而不能直接赋值计算.。

非负数在解题中的应用大于等于0的数叫做非负数.将数从有理数扩充到实数后，非负数的含义是非负实数.非负数的类型有：（1）实数的绝对值是非负数；（2）非负数的算术平方根是非负数；（3）实数的偶次方是非负数。

非负实数有个重要性质：几个非负实数的和等于0时，各个非负数都等于0.非负数及其性质在解题中有广泛的应用，现举例如下：例1、若y=1-x+x-1,则x2009+2009y= .分析：要求该式的值，需求出x、y的值，而y的值依赖于x的值,只要求出x的值，y的值即可求出.两个二次根号下面都含有x,我们只能从被开方数的取值范围突破.解：由算术平方根被开方数的取值范围，得x-1≥0 （1）1-x≥0 (2)解这个不等式组得 x=1所以 y=1-1-x+x=11-=0+0=01-+1所以 x2009+2009y=12009+20090=1+1=2反思：要求出二次根号下面式中字母的值时，首先利用被开方数的取值范围列出不等式组，再紧紧抓住被开方数互为相反数的特点，通过解不等式组就可求出待求字母的值.例2、设x、y为实数，且已知1x+︱y-2︳=0,求x y的值.+分析：为了求x y的值，需求x、y的值.而x、y含在非负数1x、+︱y-2︳中、且这两个非负数的和为0，可根据非负数的性质知，1x+为0，︱y-2︳为0，进一步思考知，只有0的算术平方根是0、0的绝对值是0.所以能够得到X+1=0y-2=0 ，从而求出x、y的值.解:根据题意得X+1=0 解得 x=-1y-2=0 y=2所以x y=(-1)2=1.反思：已知几个非负数的和为0时，可考虑到几个非负数都为0而解决问题.常见的非负数有算术平方根a,绝对值︱a︳,偶次方根n a2及其被开方数a，偶次幂a2n.例3、若mx--2=y-199,求+3x+199×yx--y+25y3+mx-m的值.分析：经观察发现，等号左边为两个非负数之和，右边为两个非负数之积，且右边两个二次根号里面的被开方数互为相反数.为了使右边两个二次根式都有意义，只能两个被开方数都为大于等于0，通过解不等式组得到x+y=199,使的两根号中都为0，从而使整体变为两个非负数之和为0的形式.利用非负数的性质，再结合从右边两根式得到的x+y=199组成关于x、y、m的方程组将m求出来.解：由二次根式的意义得199-（x+y）≥0(x+y)-199 ≥0解关于x+y的不等式组,得x+y=199 (1)所以y-199=0×0=0 ,于是原式变为x+199×yx--x-3+m+32=0, 由非负数的性质得5y+2ym-x-3x+5y-2-m=0 (2)2x+3y-m=0 (3)解由（1）、（2）、（3）组成的方程组，得 x=396y=-197m=201所以m的值是201.反思：本题综合运用了非负数的意义及性质，将原问题转化为解关于x、y、m的方程组的问题，使原问题得到解决.可见，非负数的意义及性质对一些问题的解决起着重要作用.运用非负数的意义解题时，要特别注意同一式子中，两个偶次根式中被开方数是互为相反数的情形.综上所述，非负数的意义及其性质对一些问题的解决有着不可替代的作用.望各位同学、同事，对其作用加深认识，对其用法高度重视.。

非负数在二次根式中的作用我们知道：一般地，形如a (0)a ≥的式子叫做二次根式，而a (0)a ≥也表示a 的算术0,(0)a ≥.这里要注意的是两个非负数：a 是非负数，被开方数是非负数，那么它们在实际问题中有什么作用呢？1.被开方数的隐含条件例1 当a -11++a 有意义时，a 的取值范围是 .解析：此式中含有二次根式，被开方数为非负数，得0,a -≥含有分式，分母不为零，得01≠+a ， a 的取值应使以上二式都成立，∴据题意得010a a -⎧⎨+≠⎩≥ 解得：0,a ≤且1-≠a . 例2 1212+x 有意义，则x 的取值范围是 .解析：法一 据题意得：012>+x ，12->x ，当x 取任意实数时，上式都成立，∴x 的取值范围是全体实数.法二：∵20,x ≥ ∴211x +≥，即x 取任意实数，被开方数都是正数，原式都有意义，∴x 的取值范围是全体实数.点评：此题看似简单，学生却极易出错，错误原因往往是对法一中的12->x 不会处理，不知道解到此步，应得结论，却接着往下解，从而得出荒谬的结论.【小结】数学表达式中的条件，往往是列方程或列不等式的依据，从而求出所含字母的取值范围.0的双重非负性例3 若32-+y x 与1-xy 互为相反数，则22y x += .解析：据题意得， 32-+y x +1-xy =0，∴⎩⎨⎧=-=-+01032xy y x ， ∴⎩⎨⎧==+132xy y x ，∵xy y x y x 2)(222++=+，∴12)32(222⨯++=y x ， 1022=+y x .例4 若a a 21)12(2-=-，求a 的取值范围？ 解：∵2)12(-a 0≥，∴120a -≥， 解得：12a ≤.。

第20讲 非负数的应用一、学习目标1．进一步掌握非负数的概念,理解非负数的意义.2．能够熟练地掌握非负数的性质,并能够运用非负性解决问题.考情分析非负数包括负数和0，由于0的特殊性，以及在平方、开平方和二次根式的性质中的特殊规定，常常被很多人所忽略，因此中考中对其的考查经常被赋予其他的一些目的，解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决.二、基础知识·轻松学1. 非负数的概念 正数和零统称为非负数.【精讲】初中学过的几种非负数： ⑴实数的绝对值.即若a 是实数，则0≥a . ⑵实数的偶数次幂. 即若0≥a 是实数，则02≥na（n 是正整数）.⑶算术平方根，且被开方数也是非负数. 即若a 是二次根式，则0≥a 且0≥a . (4)数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.如图:2. 性质①非负数a ≥0，则a 的最小值为0； ②有限个非负数的和与积仍是非负数；③有限个非负数的和为0即每个非负数都等于0；④有限个非负数的积为0，则其中至少有一个非负数为0．【精讲】(1)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，可以用公式表示为： 若A 2＋B 2＝0，则A ＝0，B ＝0；若0=+B A ，则A ＝0，B ＝0； 若B A +＝0，则A ＝0，B ＝0.若A 2＋C B +＝0，则A ＝0，B ＝0，C ＝0． (2)最小非负数为零，没有最大的非负数．三、重难疑点·轻松破1. 若0=+B A ，则A ＝0，B ＝0．根据绝对值的定义, 数轴上一个数所对应的点与原点（点零处）的距离叫做该数绝对值.所以绝对值只能为非负数.用代数式表示为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩例1已知320x y -+-=，求x y +的值？解析：由题意得⎩⎨⎧=-=020-3y x ∴⎩⎨⎧=-=-0203y x 3x =，2y =；325x y ∴+=+=所以x y +的值为5.点评: 由于a ≥0，所以已知条件可以分成四种情况: ①00+= ；②0+= ；③00+=；④000+=，其中成立的有④000+=，据此可解.变式1若实数a 、b 满足2b 40a ++-=，则ba 2= ．2.若A 2＋B 2＝0，则A ＝0，B ＝0．计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，如果式子符合两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍的形式，可以考虑化成完全平方式；若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用平方的非负性进行计算.例2 已知()()2224130x y ++-=，求2x y +的值.解析：由题意得240x +=；130y -=；12;.3x y ∴=-=52.3x y ∴+=-所以2x y +的值为53-. 点评：因为20a ≥；所以本题是两个非负数相加的形式，分别求出x y 和的值，从而使问题得解.变式2 已知：224250a b a b +--+=，求ba 的值 3.若B A +＝0，则A ＝0，B ＝0．对于算术平方根来说，被开方数必须是非负数，即a ≥0.即当被开方数是非负数时，才有意义.当被开方数是一个代数式时，依据a ≥0来确定字母的取值范围.例3 0=，求,x y 的值？ 解析：由题意得320;x -= 20;x y +=33;;24x y ∴==-所以x 的值为32；y 的值为34-．点评：式子a 表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：（１）a ≥0；（２）a ≥０．运用这两个简单的非负性，再结合非负数的性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题．变式3已知x ，y 为实数，1y 3=+求yx的值. 4.混合型如果以上几种非负数形式以和的形式交叉混合,例如:根号+平方；绝对值+平方；根号+平方；则根据前面的几种情况综合分析即可解决.例4: 若|x ﹣y ＋3|＋(x ＋y ﹣1999)2=0，则2x yx y+﹣= ．解析：由题意，得：3019990xy x y +=⎧⎨+=⎩﹣﹣，解得9981001x y =⎧⎨=⎩．∴2x yx y+﹣=﹣1000． 故答案为：﹣1000．点评: 这些由基本形式相互搭配而成的形式可以概括成：若A 2＋C B +＝0，则A ＝0，B ＝0，C ＝0.在非负数的这些性质中，运用最多的还是最后这一条性质.只要分别利用平方的非负性,开平方的非负性和绝对值的非负性化整为零,各个击破即可.四、课时作业·轻松练A.基础题组1.任意有理数a ，式子1﹣|a|，|a ＋1|，|﹣a|＋a ，|a|＋1中，值不为0的是( )A 、1﹣|a|B 、|a ＋1|C 、|﹣a|＋aD 、|a|＋12.对于实数x ，=（ ） A ．0 B ．2000 C ．﹣2000 D ．3. 已知（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=0，则xy 的值为（ ） A ．﹣1 B.0 C.1 D.2 4. 若+有意义，则= _________ ．5.已知，则a b= ．6.已知|x ﹣6|+（3y ﹣8）2+|z+2|=0，则式子x+3y+z 的值是 _________ ． 7.已知0112=-++b a ，求a 3－b 3的值．8.已知a 2+b 2﹣10a ﹣6b+34=0，求的值．B.提升题组9.若△ABC 三边长a ，b ，c 25a b +﹣|b ﹣a ﹣1|＋(c ﹣5)2=0，则△ABC 是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形10.已知（a ﹣2）2+|b+1|=0，求的值．11．如果（a+1）2+（2b ﹣3）2+|c ﹣1|=0，求的值．12.若实数x 、y 满足|4|80x y -+-=，则以x 、y 的值为边长的等腰三角形的周长为 ．中考试题初体验1.（2013贵州黔西南州）已知，则a b= ．2.(2013年广东省)若实数a 、b 满足042=-++b a ，则=ba 2________.3.（20132231210a a b b -+-+=，则221||a b a+-＝＿＿＿＿＿ 五、我的错题本参考答案变式练习变式1.1 解析:因为|2|+a 和4b -都是非负数，所以由2b 40a ++-=,可得a=－2，b=4，把这两个数代入ba 2=1，故答案填1变式2解析： 因为a 2+b 2-4a-2b+5=0，所以a 2-4a+4+b 2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0． (a-2)2=0，且 (b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以ba =2.变式3 解析： 因为x ，y 为实数，要使y 的表达式有意义，必有410140x x -≥⎧⎨-≥⎩，所以410x -=，所以14x =，所以13y =，所以y x =34. A.基础题组1.D.解析：当a=1或﹣1时，|a|=1，则1﹣|a|=0； 当a=﹣1时，a ＋1=0，则|a ＋1|=0； 当a=0时，|﹣a|=|a|=0，则|﹣a|＋|a|=0；对于任意数a ，都有|a|≥0，则|a|＋1≥1，值不是0．． 故选D ．2.D. 解析：要使所给式子有意义， 则须2000020000x x -≥⎧⎨-≥⎩（1）（2）， 由（1）得x≤2000， 由（2）得x≥2000， ∴x=2000． ∴原式=0+0+12000=12000． 故选D ．3.C.解析:由题意得：x-1=0,y-1=0, ∴x=1,y=1, xy=1,故选C.4.12.解析：依题意有108108x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩， ，解得x=18，125.1.解析：根据题意得，a ﹣1=0，a+b+1=0， 解得a=1，b=﹣2， 所以，a b=1﹣2=1． 故答案为：16.12.解析：∵|x-6|+（3y-8）2+|z+2|=0， ∴x-6=0，3y-8=0，z+2=0，即x=6，y=83，z=-2， ∴原式=6+3×83-2=6+8-2=12． 故答案为：12． 7.89-.解析：由非负数的性质得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+01012b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a∴a 3－b 3＝33121-⎪⎭⎫⎝⎛- ＝89-8.4. 解析：∵a 2+b 2-10a-6b+34=0 ∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3， ∴a b a b +-=5353+-=4． B.提升题组9.C.解析：∵△ABC 三边长a ，b ，c 满足25a b +﹣＋|b ﹣a ﹣1|＋(c ﹣5)2=0，且25a b +﹣≥0，|b ﹣a ﹣1|≥0，(c ﹣5)2≥0∴a ＋b ﹣25=0，b ﹣a ﹣1=0，c ﹣5=0， ∴a=12，b=13，c=5， ∵122＋52=132， ∴△ABC 是直角三角形． 故选C ．10.解析：由题意得：a-2=0，b+1=0，即a=2，b=-1，∴=（-2+1）2010+28（-12）9=1-12=1211.解析：根据题意得，a+1=0，2b-3=0，c-1=0，a=-1，b=32，c=1， ∴ab c +a c b -=3121-⨯+1132--=-32-43=． 12. 20 解析： 由题意得: 40,80.x y -=⎧⎨-=⎩解得4,8.x y =⎧⎨=⎩所在所求的等腰三角形的两边分别为4和8,所以这个等腰三角形的周长为8+8+4=20.中考试题初体验1.解析：根据题意得，a ﹣1=0，a+b+1=0， 解得a=1，b=﹣2， 所以，a b=1﹣2=1． 故答案为：12.解析：由绝对值及二次根式的意义，可得：2040a b +=⎧⎨-=⎩，所以24a b =-⎧⎨=⎩，=b a 213.解析：原方程变为：2(1)0b -=，所以，23101a ab ⎧-+=⎨=⎩，由2310a a -+=得：1a a +＝3，两边平方，得：221a a+＝7，所以，原式＝7－1＝6[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。

第七讲 非负数的性质及应用【知识要点】1、二次根式的基本性质（式子()0≥a a 叫做二次根式）（1）()⎪⎩⎪⎨⎧===a a ，a a a ，22则对于任意实数有对于非负数（2）若a>b>0，则b a >。

2、最简二次根式要满足下列条件的根式是最简二次根式：（1）被开方数的每一个因式的指数是1。

（2）被开方数不含有分母。

3、二次根式运算法则（1）()00*≥≥=，b a b a ab ；（2）()00≥≥=，b a ba b a ； （3）()()0≥=a a a n n ； （4）()04≥=a a a ；4、复合二次根式2b a ±的化简：设法找到两个正数x ，y （x>y ），使x ＋y=a ，x ·y=b ，则 ()y x y x b a ±=±=±22 5、非负数的三种形式：绝对值a 、平方项2a 、算术平方根()0≥a a 。

【典型例题】例1-1 已知c y x y x =-++-+425，求xy 的值。

()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0000a a a a a例2 化简32-+-a a 。

例3-1 设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a 。

试判断△ABC 的形状。

例4-1 已知321--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求 z y x ++的值。

例4-2 已知1511--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求z y x ++的值。

例7 若u ，v 满足23342342++-++-=v u u v v u v u v ，求22v uv u +-的值。

例8-2 化简222323-++。

【课堂练习】一、选择题。

1已知x ，y 是实数，09432=++++y y x ，若y x a x y =-3，则实数a 的值是（ ）。