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第一讲 非负数内容提要1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a 是非负数，可记作0a ≥,读作a 大于或等于零，即a 不小于零.2. 初中学过的几种非负数：⑴实数的绝对值是非负数. 若a 是实数，则a ≥0.⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a 是实数，则2na ≥0（n 是正整数）.⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若a 是二次根式，则a ≥0， a ≥0.⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程20ax bx c ++= (0a ≠)有两个实数根， 则240b ac -≥. 若240b ac -≥ (0a ≠)， 则二次方程20ax bx c ++=有两个实数根.⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3. 非负数的性质：⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：2a 有最小值0（当a=0时）， 1+x 也有最小值0（当1x =-时）. ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若0a ≥且0a -≥，则0a =；如果0a b -≥且0b a -≥，那么0a b -=.⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若,,a b x 都是实数数，则220a b +≥,||||0a b ⨯≥,a ≥0. ⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如若21(3)0a b -++= 那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-0120)3(012c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-0120301c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==5.031c b a .例题例1.求证：方程423260x x x +++=没有实数根例2.a 取什么值时，根式)1)(2()1)(2(a a a a --+--有意义？例3. 要使等式21(2)034x x -+=-成立，x 的值是＿＿＿＿.例4 把根号外因式移到根号里：① -＿＿＿， ②=＿＿＿＿， ③-=＿＿＿＿. 练习1. 已知在实数集合里x x -+-33有意义，则x =____.2. 要使不等式2(1)0a +≤成立，实数a = _____.3. 已知1212+++-b b a ＝0，则a =＿＿, b =＿＿, 100101a b = ____.4.如果a b <,那么)()(3b x a x ++-等于（ ）（A ）(x a +. (B) (x a +.(C) (x a -+ (D) (x a -+.5．已知a 是实数且使=x , 则x =＿＿＿＿.6. 已知,a b 是实数且a 2111+-+-≤b b .=＿.7 已知：,141=-+-c a 且a -1,4-c 都是整数.求,a c 的值.8. 求方程2222640x y x y xy ++++=的实数解.9. 求适合不等式22244440x xy y x ++-+≤的未知数x 的值.10. 比较222a b c ++与ab bc ca ++的大小.11.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++a z xy a xz yz xy z y x 112的解,,x y z 都是非负数. 求a 的值.。
非负数的性质四川·阆中武成一、非负数的概念在实数范围内，非负数是指零和正数：绝对值、算术根的一个实数的偶次幂（底数不为零）都是非负数。
二、非负数的性质1、有限个非负数的和仍是非负数。
2、两个非负数的差不一定是非负数：当被减数小于减数时，其差为负数；当被减数大于或等于减数时，其差非为负数。
3、有限个非负数的积（包括乘方）仍是非负数。
4、非负数的商（除数不为零）仍是非负数。
5、非负数大于一切负数。
6、最小的非负数为零，没有最大的非负数。
7、若有限个非负数的和为零，则每个非负数都为零。
的基本形式为：若A2＋B2＝0，则A＝0，B＝0；若0=A，则A＝0，B＝0；+B若BA+＝0，则A＝0，B＝0。
还有由这些基本形式相互搭配而成的其它形式：若A2＋CB+＝0，则A＝0，B＝0，C＝0。
在非负数的这些性质中，运用最多的还是最后这一条性质。
这里我们就它的运用略举几例。
三、运用举例例1、已知0+ba，求a3－b3的值。
+2=11-解：由非负数的性质得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+01012b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a∴a 3－b 3＝33121-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ＝89-例2、若()092322=-+-a b a ，求实数a 的值。
（解题格式同上，略，以下同） 例3、若（x+1）2+（y －2）2＝0，求（x －1）2＋（y ＋2）2的值。
例4、设y=x 2－3x ＋a ，且024=-+-x y ，求a 的值。
四、练习1、如果x 、y 都是实数，且0212=++-x y ，则2xy ＝＝ 。
2、如果x 、y 都是实数，且（2x+1）2+（y －8）2＝0，求xy xy +-的值。
3、如果对于实数a 、b 有0455=-+-b a a ，求b a 的值。
4、设y=2x+a ，且有0)5(52=-++x y ，试将ab 2－8b+1分解因式。
五、思考：求满足等式x 2+y 2+2x －4y ＋5＝0的x 、y 的值。
非负数的性质与应用作者：谢妮娜来源：《学周刊》2017年第27期摘要：非负数是初中代数中一个重要的基本概念，通过对非负数性质介绍和应用举例，可以对初中数学中利用非负数解方程和几何应用问题加以分析，从中整理经验并指导教学。
关键词：非负数；代数式；方程中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）27-0102-02DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.27.063对于初中数学这个大家庭而言，“非负数”是一个不可或缺的重要成员。
从数轴，绝对值，到乘方，完全平方公式，再到开方，二次根式，到处都能看到“非负数”的身影。
那到底什么是非负数呢？所谓非负数，就是指零和正实数，这是从数的层面下的定义；从几何层面来理解，非负数是指在数轴上，原点与原点右边的点所表示的数。
一、常见的非负数初中数学重点学习的非负数主要有三种：1.任何实数的绝对值：a？叟0；2.任何实数的平方：a2？叟0；3.任何非负实数的算术平方根（二次根式）：？叟0（a？叟0）。
二、非负数常用的性质1.有限个非负数之和是非负数；2.有限个非负数之和是0，则每一个均为0，即所谓的“0+0=0”。
三、非负数的应用在初中阶段，非负数的应用集中在对其知识点性质的相关运用。
此类应用在解题时通常需要挖掘题目中暗藏的非负性条件，利用配方、倍分、拆项、添项等变形技巧，通过列方程或不等式解决问题。
（1）化简例1、设2x-4解：∵2x-4∴原式=+=x-3+x-2=3-x+2-x=5-2x（2）求最值例2、求二次函数y=-2x2-8x+3的最大值解：y=-2x-8x+3=-2（x+4x）+3=-2（x+4x+4）+11=-2（x+2）+11∵（x+2）？叟0∴-2（x+2）？燮0∴ y？燮11故y的最大值是11。
（3）求代数式的值在求代数式的值时，必须先求出字母的值，再代入代数式求值。
但在求每个字母的值时，如果已知条件的个数少于其字母的个数，就经常需要根据非负数的性质，将已知条件划分开，求出每个字母的值或找到字母之间的关系，从而求出代数式的值。
第4讲 非负数及其应用【知识要点】1.非负数即正数和零。
常见非负数有：（1）若a 是实数，则0||≥a ；（2）若a 是实数，则01(022≥=≥a n n a n 时，为正整数），当；（3）若n a （n 为正整数）在实数范围内有意义，则.0,02≥≥a a n2.非负数有下列性质：（1）有限个非负数之和是非负数;（2）有限个非负数之和是0,则每一个均为0.【典型例题】【例1】已知的值。
求x y y x y x ,042|5|=-++-+【例2】已知的值。
求ab b a b a ,0)22(322=-++--【例3】 的值。
求满足若22,23342342,v uv u v u u v v u v u v v u +-++-++-=【例4】 若m 适合关系式 y x y x m y x m y x --∙+-=-++--+19919932253，求 m 的值。
【例5】设△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a ，试判断△ABC 的形状。
【例6】设a 、b 、c 是实数，若 ,14261412--++++=++c b a c b a 求a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)的值。
【例7】设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中y x a ,,是两两不等的实数，求22223y xy x y xy x +--+的值。
【例8】若x 为有理数，求|32||32|-++x x 的最小值。
练 习1.若的值。
互为相反数，试计算与y x y x y x ++++--)1()2(222.若.,054222ba b a b a b a -+=+--+求3.若的值。
求代数式y xy x yxy x y xy x 4353,02-++-=+-4.若的值。
求z y x z y x z y x ,,,21(2++=-+-+5.已知的值。
第七讲 非负数的性质及应用【知识要点】1、二次根式的基本性质（式子()0≥a a 叫做二次根式）（1）()⎪⎩⎪⎨⎧===a a ，a a a ，22则对于任意实数有对于非负数（2）若a>b>0，则b a >。
2、最简二次根式要满足下列条件的根式是最简二次根式：（1）被开方数的每一个因式的指数是1。
（2）被开方数不含有分母。
3、二次根式运算法则（1）()00*≥≥=，b a b a ab ；（2）()00≥≥=，b a ba b a ； （3）()()0≥=a a a n n ； （4）()04≥=a a a ；4、复合二次根式2b a ±的化简：设法找到两个正数x ，y （x>y ），使x ＋y=a ，x ·y=b ，则 ()y x y x b a ±=±=±22 5、非负数的三种形式：绝对值a 、平方项2a 、算术平方根()0≥a a 。
【典型例题】例1-1 已知c y x y x =-++-+425，求xy 的值。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0000a a a a a例2 化简32-+-a a 。
例3-1 设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a 。
试判断△ABC 的形状。
例4-1 已知321--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求 z y x ++的值。
例4-2 已知1511--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求z y x ++的值。
例7 若u ，v 满足23342342++-++-=v u u v v u v u v ，求22v uv u +-的值。
例8-2 化简222323-++。
【课堂练习】一、选择题。
1已知x ，y 是实数，09432=++++y y x ，若y x a x y =-3，则实数a 的值是（ ）。
非负数性质及应用(初二)
李其明
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2005(000)011
【摘要】且看“非负数”的家族成员:一个实数的偶次幂是非负数;一个实数的绝对值是非负数;一个正数或0的算术根是非负数;偶次根式的被开方数是非负数;在数轴上原点及原点右侧的一切点所表示的数是非负数;一元二次方程有实数根,则其判别式是非负数;
【总页数】2页(P)
【作者】李其明
【作者单位】山东省枣庄市第十五中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.非负数性质在解题中的应用
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