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正数与负数完全解析一、引言正数与负数是数学中的基本概念，对于我们日常生活和各个领域的应用都具有重要意义。
本文将对正数与负数进行全面解析，包括其定义、性质以及相关应用等方面展开探讨。
二、正数与负数的定义正数是大于零的数，用正号"+"表示；负数是小于零的数，用负号"-"表示。
正数和负数在数轴上位于原点的两侧，它们之间的距离被定义为其绝对值。
三、正数与负数的性质1. 加法性质：- 正数与正数相加，结果仍然是正数；- 负数与负数相加，结果仍然是负数；- 正数与负数相加，结果可能是正数、负数或者零。
2. 减法性质：任何数减去相同数的结果都是零。
3. 乘法性质：- 两个正数相乘，结果是正数；- 两个负数相乘，结果是正数；- 正数与负数相乘，结果是负数。
4. 除法性质：- 正数除以正数，结果是正数；- 负数除以负数，结果是正数；- 正数除以负数，结果是负数。
5. 混合运算性质：正数与负数进行混合运算时，需要根据运算规则进行计算。
四、正数与负数的应用1. 数轴：正数和负数在数轴上有对称性，可以用来表示温度、海拔高度、财务收支等有方向性的数据。
2. 财务管理：正数和负数在财务管理中应用广泛，表示收入和支出，利润与亏损等，帮助进行财务分析和决策。
3. 温度计：正数和负数在温度计中用来表示高温和低温，帮助我们了解天气情况和控制环境温度。
4. 债务与资产：正数表示资产，负数表示债务，通过资产和债务的相对值可以了解个人或企业的财务状况。
五、正数与负数之间的运算法则1. 加法法则：- 正数与正数相加，结果仍然是正数，取两数之和的绝对值；- 负数与负数相加，结果仍然是负数，取两数之和的绝对值；- 正数与负数相加，结果的绝对值等于两数之差的绝对值。
2. 减法法则：正数与负数相减时，可以转化为加法运算进行计算。
3. 乘除法法则：正数与正数、负数与负数相乘或相除，结果均为正数；正数与负数相乘或相除，结果为负数。
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例初中数学竞赛中最值问题求法应用举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考差不多上必考内容。
现依照我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下： （一）依照非负数的性质求最值。
1、若M =（X ±a ）2 +b ，则当X ±a = 0时M 有最小值b 。
2、若M = －（X ±a ）2 + b ,则当X ±a = 0 时M 有最大值b 。
3、用（a ±b ）2≥0 ，∣a ∣≥0,a ≥0的方法解题。
【说明：那个地点用到的专门重要的思想方法是配方法和整体代换思想。
】例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a 2 + b 2 + c 2 = 9，则代数式 （a － b ）2+ （b —c ）2 +（c － a ）2的最大值是 （ ）A ．27B 、 18C 、15D 、 12 解：(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2= 2(a 2+b 2+c 2)－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－a 2－b 2－c 2－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－(a 2+b 2+c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca)=3(a 2+b 2+c 2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a 2+b 2+c 2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为0 。
当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。
【说明，本例的关键是划线部份的变换，采纳加减(a 2＋b 2＋c 2)后用完全平方式。
】 例题（2）、假如关于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N +1都能表示成K 个完全平方数的和，那么K 的最小值是 （ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X 2 （N ≥ 8），则3不能整除X ，因此X 能够表示成3P ±1的形式。
第60讲 非负数的性质
一、知识点分析：
非负数：若a 为实数，则2a ，a 均为非负数。
即02
≥a ，0≥a 。
非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0。
如：002===+b a b a ，则。
二、典例解析：
例1、若|x-1|+|y+2|=0，求x+y 的值．
【随堂练习】
已知n=4，且|x-5|+|y-2n|=0，求x-y+8的值．
例2、已知()()036322=-+-b a ，求b a 的值．
【随堂练习】
已知 ()()0432
2=-++y x ，求x-y 的值．
例3、一个两位数，个位数字和十位数学的和是x ，个位数字是y ．
（1）用含x ，y 的代数式表示这两个位数；
（2）若x ，y 满足（x-6）2+|x-2y-4|=0，求出这个两位数．
【随堂练习】 已知（2a-1）2+|b+1|=0，求2014211⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 。
例4、已知|2-b|与|a-b+4|互为相反数，求ab-2014的值．
【随堂练习】
已知|-x+7|与|-2y-1|互为相反数，求2y −x 的值．
例5、若|a+2|与（b-3）2互为相反数，求a b +3（a-b ）的值．
【随堂练习】
已知|a-1|与（b+2）2互为相反数，求（a+b ）2013+a 2014的值
例6、已知|a-2|+|3b-1|+|c-4|=0，求a+6b+2c 的值．
【随堂练习】
若|a-
21|+|b-31|+|c-4
1|=0．求a+b-c 的值．。
非负数的性质（两小时）【知识要点】1．二次根式的基本性质（式子a （a ≥0），叫做二次根式）。
2 对于非负数a ，有（a ）2=a （1）对于任意实数，则==a a 22、非负数即正数和0。
如果a 是实数，那么a ，)0(,2≥a a a 都是非负数，非负数主要的性质有： （1）非负数的和或积仍是非负数；（2）如果非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0。
【典型例题】例1、已知：25250x y x y +-+--=，（1）求x 与y 的值； （2）求y x +的平方根。
例2、若()2120a ab -+-=， 求()()()()1111119901990ab a b a b +++++++的值。
例3、若u,v 满足22343432u v v u v u v u v --=++++，求22u uv v -+的值。
a (a ﹥0)0 (a ﹦0)﹣a (a ﹤0)例4、已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=，求1ab -的值。
例5、若m 适合关系式y x y x m y x m y x --∙+-=-++--+19919932253。
试确定m 的值。
思考题：设a 、b 为实数，求2072416178222+--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 取得最小值时a 、b 的取值。
【练习与拓展】1、m -是有理数时，一定有（ ）A ．m 是完全平方数B ．m 是负有理数C ．m 是一个完全平方数的相反数D ．m 是一个负整数 2、计算2-a +a -2等于（ ）A ．0．B ．4-2aC ．4D ．2a-4 3、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为（ ） A.0. B.1. C.-1. D.-4.4、a 、b 、c 为三角形的三边长，化简a b c a b c a b c a b c ++-----+-+-的结果是（ ）A 、0B 、222a b c ++C 、4aD 、22b c -5、设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y+--+的值是（ ）A 、3B 、13 C 、2 D 、536、若式子2)4(a --有意义，则满足条件的a 有（ ）A 、0个B 、1个C 、4个D 、无数个7、若014)2003(2=++-y x ，则=+--y y x 3)2(102 。
培优专题3 非负数的性质及应用一个实数的绝对值、偶次方，一个非负数的偶次算术根（这里主要指算术平方根）都是非负数．非负数有一个重要性质：若几个非负数的和等于零，则只有在每个非负数均为零时，等式成立，这个性质应用特别广泛，它不但可以启迪我们的思维，还可以让我们感觉到数学变形的美妙．例1实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图3-1所示，化简a+│a+b ││b-c │． 分析 此题化简的关键是我们想办法根据a 、b 、c 在数轴上的位置，确定各自的性质，去掉绝对值符号和根号．解：∵a+b<0，c>0，b-c<0，∴原式=a-（a+b ）-│c │+（b-c ）．=a-a-b-c+b-c=2c ．练习11．若a<0，且x ≤||a a ，那么化简│x+1│-│x-2│=________． A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-32．已知a<0，ab<0=________． 3．已知abc ≠0，试求||a a +||b b +||c c 的值．例2设实数x、y、z满足x+y+z=4则x=_____，y=_______，z=_______．分析利用折项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数之和为零的形式，即a+│b│+=0，再由几个非负数之和为零则每个非负数必须为零来解决．解：由原方程，得．[222，）2+）2+）2=0．解得：x=9，y=9，z=7．练习21．实数x、y、z满足x+y+z=________． A．6 B．12 C．14 D．202，（a≥b，c≥0），那么a+b的值是_________．A．-2 B．0 C．2 D．43．已知a、b、c、x、y、z是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，的值．例3．分析要解决没有明确条件限制的有关字母化简问题，•要充分挖掘题目中的隐含条0，-a3≥0．解：∵-a3≥0，∴a≤0．0，∴a≠0．∴a<0．∴原式．练习31=_________．2．已知1a-│a│=1，那么代数式1a+│a│的值为________．3例4若a、b满足│b│=7，则│b│的取值范围是_____．分析│b│的方程组，利用其有界性求出S的范围．解：，①│b│=S．②①×3+②×5得．①×2-②×3得19│b│=14-3S．由21501430SS+≥⎧⎨-≥⎩得：215143SS⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩故-215≤S≤143．练习41．已知a、b、x、y满足y+=1-a2，│x-3│=y-1-b2，则2x+y+3a+b的值为_______．2．如果│x+2│+x-2=0，则x的取值范围是_________．3．求使72为自然数的整数a的值．例5 已知a<b<c，求y=│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值．分析由绝对值的几何意义可知：│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值的几何意义就是在数轴上，求到a、b、c所对应的三点距离之和最小的点所表示的数．解：设a、b、c、x在数轴上对应的点分别是A、B、C、X，则│x-a│、│x-b│、│x-c│分别表示线段AX、BX、CX的长，现在要求│x-a│、│x-b│、│x-c│之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使X到A、B、C三点的距离之和最小，•如图3-2．显然，当X点与B点重合时，（∵B点在A、C点之间），该距离和y最小．这时，y=│x-a│+│x-b│+│x-c│=│x-a│+│x-c│=x-a+c-x=-a+c．所以，y的最小值等于c-a．练习51．若x为有理数，求│x+23│+│x-23│的最小值．2．已知│x-1│+│x-5│=4，求x的取值范围．3．若x为有理数，求│x-1│+│x-2│+…+│x-1999│的最小值．答案:练习11．D23．∵abc≠0，∴a≠0，b≠0，c≠0．（1）若a、b、c都为正数时，原式=3；（2）若a、b、c中有两个正数时，原式=1；（3）若a、b、c都有一个正数时，原式=-1；（4）若a、b、c都为负数时，原式=-3．练习21．D 2．B3．∵a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，∴a2+b2+c2+x2+y2+z2=2ax+2by+2cz．∴a2-2ax+x2+b2-2by+y2+c2-2cz+z2=0．∴（a-x）2+（b-y）2+（c-z）2=0．∴a-x=0，b-y=0，c-z=0．∴x=a，y=b，z=c．练习31．1 23．∵-a2≥0，∴a2≤0．∴a=0．∴原式．练习41．17 2．x≤23．设9-4a=m2（m为整数），于是，4a+m2=9．∵4a为偶数，9为奇数，∴m2必为奇数，即m必为奇数．又即7||2m->0．∴│m│<7．∴-7<m<7．∴m=±1，±3，±5．故a=0，2，4．练习51．432．1≤x≤53．设x在数轴上的对应点P0，而1，2，…，1999在数轴上对应点分别为P1，P2，…，P1999，•如图所示:则│x-1│+│x-2│+│x+3│+…+│x-1999│=P0P1+P0P2+P0P3+…+P0P1999．当P0运动到P1000，即P0与P1000重合时，P0P1+P0P2+P0P3+…+P0P1999最短，也就是│x-1│+│x-2│+│x-3│+│x-4│+…+│x-1999│有最小值，设这个最小值为S最小．则S最小=│1000-1│+│1000-2│+│1000-3│+…+│1000-1999│=999+998+997+…+2+1+0+1+2+…+998+999=2+999(9991)2⨯+=999×1000=999000．。
二次根式两个非负性的运用四川倪先德)0a≥的式子叫做二次根式．正确理解并灵活运用二次根式的这一定义，是解一些与二次根式相关的问题的关键．)0a≥是一个非负数．这个非负数可用数表示，也可用代数式表示，如5)3a≥等．这里实质包含两个非负性：a非负和a 非负．)0a≥表示非负数到本单元为止，已学习三个非负数：绝对值、平方数、算术平方根，它们有独特性质：若几个非负数的和为零，则它们分别为零，它还有一些性质，以后还要继续研究，非负数及它的性质，是重要的解题方法之一，务必要熟练掌握，才能灵活应用．例1．若1+-ba与42++ba互为相反数，则=+2004)(ba_____．解：∵1+-ba与42++ba互为相反数，∴10a b-+=．又∵10a b-+≥0，∴⎩⎨⎧=++=+-421baba，解之得：⎩⎨⎧-=-=12ba．∴200420042004()(21)3a b+=--=．二、若有a存在，则0a≥由于只有非负数才有平方根和算术平方根，负数没有平方根和算术平方根．所以0a≥是a 存在的必要前提．例2．要使代数式32-x有意义，则x的取值范围是（）A．2≠x B．2x≥C．2>x D．2x≤解：要使代数式32-x有意义，就要求：20x-≥，所以，2x≥；选B．三、若有2a-存在，则0a=0=由于2a-存在，则20a-≥．即20a≤，而2a是非负数，所以0a=．例3．2004x-值．解：∵2)2005(--x存在，∴20050x-=即2005x=0=，2004200520041x-=-=．四、若a与a-同时存在，则0a=0==例4．若200420052005+-+-=xxy，求x y-的值．解：因为2005-x和x-2005同时存在，所以20052004x y==，．所以200520041x y -=-=．。
非负数的性质与应用作者：谢妮娜来源：《学周刊》2017年第27期摘要：非负数是初中代数中一个重要的基本概念，通过对非负数性质介绍和应用举例，可以对初中数学中利用非负数解方程和几何应用问题加以分析，从中整理经验并指导教学。
关键词：非负数；代数式；方程中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）27-0102-02DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.27.063对于初中数学这个大家庭而言，“非负数”是一个不可或缺的重要成员。
从数轴，绝对值，到乘方，完全平方公式，再到开方，二次根式，到处都能看到“非负数”的身影。
那到底什么是非负数呢？所谓非负数，就是指零和正实数，这是从数的层面下的定义；从几何层面来理解，非负数是指在数轴上，原点与原点右边的点所表示的数。
一、常见的非负数初中数学重点学习的非负数主要有三种：1.任何实数的绝对值：a？叟0；2.任何实数的平方：a2？叟0；3.任何非负实数的算术平方根（二次根式）：？叟0（a？叟0）。
二、非负数常用的性质1.有限个非负数之和是非负数；2.有限个非负数之和是0，则每一个均为0，即所谓的“0+0=0”。
三、非负数的应用在初中阶段，非负数的应用集中在对其知识点性质的相关运用。
此类应用在解题时通常需要挖掘题目中暗藏的非负性条件，利用配方、倍分、拆项、添项等变形技巧，通过列方程或不等式解决问题。
（1）化简例1、设2x-4解：∵2x-4∴原式=+=x-3+x-2=3-x+2-x=5-2x（2）求最值例2、求二次函数y=-2x2-8x+3的最大值解：y=-2x-8x+3=-2（x+4x）+3=-2（x+4x+4）+11=-2（x+2）+11∵（x+2）？叟0∴-2（x+2）？燮0∴ y？燮11故y的最大值是11。
（3）求代数式的值在求代数式的值时，必须先求出字母的值，再代入代数式求值。
但在求每个字母的值时，如果已知条件的个数少于其字母的个数，就经常需要根据非负数的性质，将已知条件划分开，求出每个字母的值或找到字母之间的关系，从而求出代数式的值。
第七讲 非负数的性质及应用【知识要点】1、二次根式的基本性质（式子()0≥a a 叫做二次根式）（1）()⎪⎩⎪⎨⎧===a a ，a a a ，22则对于任意实数有对于非负数（2）若a>b>0，则b a >。
2、最简二次根式要满足下列条件的根式是最简二次根式：（1）被开方数的每一个因式的指数是1。
（2）被开方数不含有分母。
3、二次根式运算法则（1）()00*≥≥=，b a b a ab ；（2）()00≥≥=，b a ba b a ； （3）()()0≥=a a a n n ； （4）()04≥=a a a ；4、复合二次根式2b a ±的化简：设法找到两个正数x ，y （x>y ），使x ＋y=a ，x ·y=b ，则 ()y x y x b a ±=±=±22 5、非负数的三种形式：绝对值a 、平方项2a 、算术平方根()0≥a a 。
【典型例题】例1-1 已知c y x y x =-++-+425，求xy 的值。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0000a a a a a例2 化简32-+-a a 。
例3-1 设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a 。
试判断△ABC 的形状。
例4-1 已知321--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求 z y x ++的值。
例4-2 已知1511--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求z y x ++的值。
例7 若u ，v 满足23342342++-++-=v u u v v u v u v ，求22v uv u +-的值。
例8-2 化简222323-++。
【课堂练习】一、选择题。
1已知x ，y 是实数，09432=++++y y x ，若y x a x y =-3，则实数a 的值是（ ）。
第八讲非负数所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，a n为非负数，则a1＋a2＋…＋a n≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，a n为非负数，且a1＋a2＋…＋a n=0，则必有a1＝a2＝…＝a n＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．解得a=3，b=-2．代入代数式得解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3 已知x，y为实数，且解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5 已知x，y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因为x，y为实数，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当时，u有最小值2，此时x=1，y=2．例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．对于任意实数x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．例7 求方程的实数根．分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．解之得经检验，均为原方程的解．说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．例8 已知方程组求实数x1，x2，…，x n的值．解显然，x1=x2=…=x n=0是方程组的解．由已知方程组可知，在x1，x2，…，x n中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=x n=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，x n≠0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得又因为x i为实数，所以经检验，原方程组的解为例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以解得例10 当a，b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？解因为方程有实数根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11 已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac ≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．解用比差法．(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．例13 已知a，b，c为实数，设证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C 中至少有一个大于零．例14 已知a≥0，b≥0，求证：分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明因为a≥0，b≥0，所以又因为所以原不等式成立．例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为a，b，c，d都是实数，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习八1．求x，y的值：4．若实数x，y，z满足条件5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。
初中数学中的“非负数”问题(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）初中数学中的三个“非负数”问题巴州区大和小学李平：636031我们知道：绝对值、偶次方、二次根式都是一个“非负数，即≥0，≥0（n为整数）、。
我们称其具有非负性。
这三条性质常作为求解很多实数问题的隐含条件，对于解答“0+0=0”形的代数问题非常重要，要求学生要熟练掌握。
一、绝对值的非负性例1若m、n满足，则－ｍ·ｎ= 。
解：∵，又∴3m－６＝０ｎ+４＝０∴ｍ＝２ｎ＝－４∴—ｍｎ＝－２×（－４）＝８。
例2若，求：的值解：∵，又∴a－１＝０ａｂ－２＝０∴ａ＝１ｂ＝２原式＝＝＝１－＝二、偶次幂的非负性例３已知，求：⑴；⑵解：∵，又∴ｘ－２＝０３－ｙ＝０∴ｘ＝２ｙ＝３∴⑴＝＝８⑵＝三、二次根式的非负性例4 已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，则每个非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．例5 若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．例6 已知实ａ满足，求ａ-2021的值．解：由ａ-20210，得ａ2021。
故已知式可化为ａ-2021+=ａ，∴=2021，两边平方并整理，得：ａ-2021＝2021．例7 在实数范围内，求代数式的值．解：考虑被开方数，得从而，又，故＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．例8 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝＝.由上面八道例题，我们可以看出：绝对值、偶次幂、二次根式的非负性通常都是作为隐含条件出现的。
解答这类问题的一般思路是：①先根据绝对值、偶次幂、二次根式的非负性，求出有关字母的值；②再将所求得的字母值代入相应的代数式。
八年级数学经典讲解第八讲非负数所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则a1＋a2＋…＋an≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．解得a=3，b=-2．代入代数式得解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3 已知x，y为实数，且解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5 已知x，y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因为x，y为实数，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当时，u有最小值2，此时x=1，y=2．例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．对于任意实数x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．例7 求方程的实数根．分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．解之得经检验，均为原方程的解．说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．例8 已知方程组求实数x1，x2，…，xn的值．解显然，x1=x2=…=xn=0是方程组的解．由已知方程组可知，在x1，x2，…，xn 中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=xn=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，xn≠0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得又因为xi为实数，所以经检验，原方程组的解为例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以解得例10 当a，b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？解因为方程有实数根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11 已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．解用比差法．(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．例13 已知a，b，c为实数，设证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．例14 已知a≥0，b≥0，求证：分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明因为a≥0，b≥0，所以又因为所以原不等式成立．例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为a，b，c，d都是实数，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习八1．求x，y的值：4．若实数x，y，z满足条件5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。
冰山一角——非负数的性质教学谈摘要】非负数有一条重要的性质：有限个非负数的和为0，则每一个非负数均为0。
对于这条性质，单纯从数的角度看很好理解，但学生很容易遗忘，只能靠机械重复学习去掌握。
非负数性质的题设实际上是一个多元方程，在方程的视角下，非负数的性质与多元方程有唯一解的情形对应起来。
通过这种对应，将非负数的性质纳入到了方程知识体系当中。
教学上，依据学生已有的方程知识基础，通过探究式、随机进入式的教学，能使学生比较容易地理解掌握非负数的性质。
【关键词】初中数学；非负数性质；方程的解；随机进入式教学中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2019）10-065-02非负数是正数和零的统称。
初中数学重点学习的非负数主要有三类：1.任意实数的绝对值|a|；2.任意实数的平方a2；3.任意非负实数的算木平方根(二次根式) (a≥0）。
非负数常用的性质有两条：1.有限个非负数之和仍是非负数；2.有限个非负数的和为0，则每一个非负数均为0[1]。
对于第一条性质，学生理解与运用的难度都不大，后文将不再探讨。
对于第二条性质，表面看似乎也很好理解与运用，但实际上问题多多，除开学优生不论，一般学生往往到毕业时也只会依葫芦画瓢，远达不到理解掌握的程度。
一、教学中出现的问题（一）学生遗忘快以新人教版初中数学教材为例（下同），非负数的性质没有在教材中明确提出过，而各种教辅资料则在第一章就有相关的题目出现。
学生初次接触非负数的性质，由于没有其他相关知识的干扰，因此依靠教师提示，再通过自己猜测验证，也能很快接受并运用于解题。
但是，学生对非负数的这条性质非常容易遗忘，下次见到相应的题目很难与非负数联系起来，又需要给予提示才行，教学效率极其低下。
一般来说，孤立的、缺乏背景的知识点很容易遗忘。
科学记数法就是一个典型的例子。
不管教学时如何精心用力，一段时间后，许多学生面对问题时又是一脸的茫然无知。
