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信息熵及其性质和应用复习课程

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《应用熵学》课件

《应用熵学》课件

熵的计算方法
1
热力学熵
通过热力学关系和热力学定律进行计算。
2
信息熵
使用信息论的基本公式计算信息熵。
3
统计熵
应用概率统计方法计算统计熵。
熵的意义与应用
系统的混乱程度
熵可以衡量系统的无序程度，用 于研究自然和人类社会等领域。
生态系统研究
熵可以用于分析和预测生态系统 的稳定性和可持续发展。
大数据分析
熵可应用于从海量数据中发现模 式、对信息进行分类和预测。
热力学第二定律与熵增原理
熵增原理表明，在孤立系统中，熵永远增加或保持不变，不会减小。
熵在社会系统中的应用
1 社会网络分析
通过熵的计算，揭示社交网络中的信息传递和社群结构。
2 金融分析
应用熵来评和迁移模式。
熵学的未来发展趋势
随着技术的进步和应用领域的扩展，熵学将在更多领域中发挥重要作用，如 人工智能、环境保护和商业管理。
总结与展望
《应用熵学》为我们提供了一种独特的视角，帮助我们理解混沌和复杂系统， 并在实践中发现新的可能性。
《应用熵学》PPT课件
介绍应用熵学的课件，探索熵在物理学、信息学和统计学中的应用，以及熵 与系统复杂度的关系。
熵的基本概念
热力学熵
描述系统的热平衡状态与宏观混乱程度的关系。
信息熵
用于衡量信息传递的不确定性和信息的平均压 缩程度。
统计熵
用于描述统计模型中数据的多样性和分布的不 规则性。
更多概念
还有其他类型的熵，如动力学熵和量子熵。

复习提纲信息论课件

复习提纲信息论课件

P(XY) 中的统计平均值。
I ( X ; Y )

i 1 j 1
nm
p ( x y ) I ( x ; y ) i j i j

i 1 j 1
nm
p ( x / y ) i j p ( x y ) log ij 2 p ( x ) i
I ( Y ; X )

H ( p ) [ p log p ( 1 p ) log ( 1 p )] 2 2
H(p) 1
0
0.5 图2.1.5 n=2时熵与概率的关系
1 p
离散序列信源
离散无记忆信源的扩展
离散无记忆信源 X 的 N 次扩展信源的熵等于离散
信源X 的熵的 N 倍，即
H(X)=H(XN)=NH(X)
信息等。在讨论熵差时，两个无限大量互相抵消。所以熵差具有信息 的特征； 连续信源的熵 Hc(X) 具有相对性，因此 Hc(X) 也称为相对熵。
第二部分
信道
信道疑义度—H(X/Y)：表示信宿在收到 Y 后，信源 X
仍然存在的不确定度。是通过有噪信道传输后引起的 信息量的损失，故也可称为损失熵。
X
离散平稳有记忆信源的极限熵：当 N→∞ 时，平均符号熵取
极限值称之为极限熵或极限信息量。用 H∞表示，即
极限熵的存在性：当离散有记忆信源是平稳信源时，极限熵
等于关联长度 N→∞时，条件熵H(XN/X1X2…XN-1)的极限值， 即
1 H lim H ( X X X ) 1 2 N N N
了解决在已知信源和允许失真度D 的条件下，使信源必 须传送给信宿的信息率最小。即用尽可能少的码符号尽 快地传送尽可能多的信源消息，以提高通信的有效性。 这是信源编码问题。

信息论总结与复习

信息论总结与复习

i 1 k 1
i 1
k 1
结论：N阶马氏信源稳态信息熵(即极限熵)等于N+1阶条件熵。
H lN iN 1 m H (X 1 X 2 X N 1 X N ) H (X N 1 |X 1 X 2 X N )
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
[例1] 已知二阶马尔可夫信源的条件概率：
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
（4）序列信息熵的性质：
《1》条件熵不大于无条件熵，强条件熵不大于弱
条件熵：H(X1) ≥ H(X2|X1) ≥ H(X3|X1X2) ≥ …
…… ≥H (XN|X1X2……XN-1)
《2》条件熵不大于同阶的平均符号熵:
HN ≥H (XN|X1X2……XN-1)
[例3]求对称信道
P00..32
0.3 0.2
0.2 0.3
00..23的信道容量。
解：C =log4-H(0.2,0.3,0.2,0.3)
=2+(0.2log0.2+0.3log0.3)×2 = 0.03 bit/符号；
第二部分、无失真信源编码
2.1 信源编码理论
第二部分、无失真信源编码
1.1 信源编码理论:
稳态方程组是：
QQ((EE32
) )
0.2Q(E1 0.6Q(E2
) )
0.6Q(E3 ) 0.2Q(E4 )
Q(E4 ) 0.4Q(E2 ) 0.8Q(E4 )
Q(E1) Q(E2 ) Q(E3 ) Q(E4 ) 1
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
可解得：
Q (E1 )
[例5] 以下哪些编码一定不是惟一可译码？写出每 种编码克拉夫特不等式的计算结果。

信息论与编码-第4讲-第2章信源及信息度量(修改新编)PPT课件

信息论与编码-第4讲-第2章信源及信息度量(修改新编)PPT课件
信息论与编码理论基础
第4讲 信息熵及熵的基本性质
本讲主要内容：
1、信源熵 2、条件熵
3、联合熵 4、熵的基本性质和定理
本讲重点：
1、掌握信息熵的物理含义及数学表达式 2、熟悉条件熵和联合熵的定义 3、掌握信息熵的基本性质及定理
本讲难点：
信息熵的定义及熵的基本性质及定理
1 信源熵
1） 信源熵—平均信息量 2） 信源熵的三种物理含义
p(xi y j ) log2
1 p( y j / xi )
i1 j1
证明： 在给定 y j 条件下，x i 的条件自信息量为： I(x i | yj)=－log p(xi | yj)
集合X的条件熵为：
在给定Y（即各个yj）条件下，集合X的条件熵定义为
信道疑义度—H(X/Y)：表示信 宿在收到Y后，信源X仍然存在 的不确定度。是通过有噪信道 传输后引起的信息量的损失， 是传输失真造成的，故也可称 为损失熵。
Y P(Y )
0y.15,,0y.25
信息熵分别为
H(X)=-0.99log0.99-0.01log0.01=0.08 比特/符号
H(Y)=-0.5log0.5-0.5log0.5=1 比特/符号
可见
H(Y)>H(X)
本例结论
➢ 1、信源Y的二个输出消息是等可能性的，所以在信源没有 输出消息以前，事先猜测哪一个消息出现的不确定性要大 ；
)
]
p(xi
)
log
1 p( xi )
i1
为了求得整个信源所提供的平均信息量，首先 ，我们应当了解数学中有关三种不同类型的平均方 法以及它们各自的计算公式。这三种平均方法分别 是算术平均、统计平均和几何平均。

第二章教育信息熵

第二章教育信息熵
H=-6[（1/6）log（1/3）]=log3 于是条件熵H为log3 。
在不知道结局为单双数时，掷一次骰子的结局 的不确定性为log6 ，在仅告诉你结局是单数或 者双数时是没有全部解除你对结局的疑惑，但 是它确实给了一些信息，这个信息（以I表示） 就用无条件熵与条件熵的差来计量。于是有
I=log6-log3=log6/3=log2
这里的无条件熵就是log6 ，而已经知道结局 是单数或者双数的条件熵可以根据前面的条件 熵公式计算。
➢ 肯定是单点（双点）时它是各个点的概率 ( 条件概率）
123456 单数 1/3 0 1/3 0 1/3 0 双数 0 1/3 0 1/3 0 1/3
公式中的p(yj)有两种情况，一个指单数的出 现概率，一个是双数的出现概率。它们显然 都是1/2 ，因此
通过A、B系统信息熵的计算，有
H(Pa)=1(bit) H(Pb)=2(bit) 由此判定系统B的不确定程度是系统A的两倍。
四、信息熵的基本性质
1．单峰性 设某一系统包含两个事件A、B，其产生 的概率分别为P和1-P。该系统的熵为：
当p为0时，H=0 当p为1时，H=0 当p为1/2时，H有极大值 若系统中每一事件产生的概率相同，均为 1／n，这种系统的H为最大值。
我们称之为信息熵，简称为熵（entropy）。
设某一系统具有四种状态A1、A2、A3、A4，其率 分别为：
p1=1/2, p2=1/4, p3=1/8, p4=1/8 该系统的平均信息量为：
4
H pilo g2pi i1
1 2
lo g2
1 2
1 4
lo g2
1 4
1 8
l
o
g2
1 8

第5讲信息熵课件

第5讲信息熵课件

1第5讲 随机变量的信息熵在概率论和统计学中，随机变量表示随机试验结果的观测值。

随机变量的取值是不确定的，但是服从一定的概率分布。

因此，每个取值都有自己的信息量。

平均每个取值的信息量称为该随机变量的信息熵。

信息熵这个名称是冯诺依曼向香农推荐的。

在物理学中，熵是物理系统的状态函数，用于度量一个物理系统内部状态和运动的无序性。

物理学中的熵也称为热熵。

信息熵的表达式与热熵的表达式类似，可以视为热熵的推广。

香农用信息熵度量一个物理系统内部状态和运动的不确定性。

信息熵是信息论的核心和基础概念，具有多种物理意义。

香农所创立的信息论是从定义和研究信息熵开始的。

这一讲我们学习信息熵的定义和性质。

1. 信息熵我们这里考虑离散型随机变量的信息熵，连续型随机变量的信息熵以后有时间再讨论，读者也可以看课本上的定义，先简单地了解一下。

定义1.1 设离散型随机变量X 的概率空间为1212......n n x x x X p p p P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦我们把X 的所有取值的自信息的期望称为X 的平均自信息量，通常称为信息熵，简称熵（entropy ），记为H(X)，即11()[()]logni i iH X E I X p p ===∑ (比特)信息熵也称为香农熵。

注意，熵H (X )是X 的概率分布P 的函数，因此也记为H (P )。

定义1.2 信息熵表达式中的对数底可取任何大于等于2的整数r ，所得结果称为r-进制熵，记为H r (X )，其单位为“r-进制单位”。

我们有2()()log r X H H rX =注意，在关于熵的表达式中，我们仍然约定0log 00 0log00x==， 信息熵的物理意义：信息熵可从多种不同角度来理解。

（1） H(X)是随机变量X 的取值所能提供的平均信息量。

（2） 统计学中用H(X)表征随机变量X 的不确定性，也就是随机性的大小。

例如，假设有甲乙两只箱子，每个箱子里都存放着100个球。

《状态函数-熵》课件

《状态函数-熵》课件
在等温过程中，内能的增加等于热量与温度的乘积，而熵的变化等于热量与温度的比值。因此，在等 温过程中，熵的变化量等于内能变化量与温度的比值。
熵与焓的关系
焓是热力学中描述系统能量的参数，包括内能和压力势能。 熵和焓都是状态函数，它们之间存在一定的关系。在等温、 等压过程中，焓的变化等于热量加上压力势能的变化。
熵的演化方程的意义
熵的演化方程揭示了系统内部无序程度的变化与热量转移和温度变化之间的联系。当系 统吸收热量时，如果温度升高，则系统的熵会增加；反之，如果系统放出热量时，温度
降低，则系统的熵会减少。
熵的变化规律
熵的单调性
在封闭系统中，如果没有外界的热量交换，系统的熵总是自发地 增加，即向着更加无序的方向演化。
02
在热传导过程中，熵增原理指出热量总是自发地从高温处流向
低温处，直至达到热平衡状态。
熵与热力学第二定律
03
熵增原理是热力学第二定律的核心内容，它揭示了能量转换过
程中不可避免地会产生热量损失和效率降低的现象。
熵在信息论中的应用
信息熵
信息熵用于度量信息的不确定性 或随机性，是信息论中的基本概
念。
熵与数据压缩
在开放系统中，系统的熵可以减少，但总体的熵会增加。
熵的广延性
对于由多个相同子系统组成的系统，其总熵等于各子系统熵的总和。
熵的广延性适用于微观态数目相同的子系统组成的系统。
01
熵的应用
熵在热力的状态，是判断系统是否达到
热平衡的重要依据。
熵与热传导
随着时间的推移，系统微观粒子状态 会发生变化，导致熵发生变化。
01
熵的性质
熵的物理性质
1 2
熵是状态函数
熵只与系统的状态有关，与达到该状态的过程无 关。

《熵和互信息量 》课件

《熵和互信息量 》课件
通过熵和互信息量的结合，可以更好地理解随机变量之间的复杂关系，并进一步探 索信息几何学的深层结构。
THANKS
决策优化
互信息量可以用于决策优化，通过分析不同 决策之间的互信息量，可以找到最优的决策
方案。
机器学习与深度学习
数据表示
熵和互信息量可以用于数据表示，将数据转换为更有意 义的特征表示，从而提高机器学习模型的性能。
模型优化
熵和互信息量可以用于模型优化，通过分析模型参数的 熵和互信息量，可以找到最优的模型参数配置，提高模 型的泛化能力。
06 熵和互信息量的关系与区别
熵和互信息量的关系
01
熵是系统不确定性的度量，表示系统内部信息的平 均量。
02
互信息量用于衡量两个随机变量之间的相互依赖程 度。
03
当两个随机变量独立时，互信息量为零；当两个随 机变量完全相关时，互信息量达到最大值。
熵和互信息量的区别
01
熵是对整个系统不确定性的度 量，而互信息量是衡量两个随 机变量之间的相互依赖程度。
05 熵和互信息量的应用场景
信息压缩与编码
信息压缩
熵是衡量数据不确定性的度量，可用于信息压缩。通过去除 冗余信息，将数据压缩到更小的空间，从而提高存储和传输 效率。
数据编码
互信息量可以用于数据编码，通过对数据进行分类和编码， 降低数据的熵，从而实现更有效的数据传输和存储。
决策理论
风险评估
熵可以用于风险评估，衡量决策的不确定性 和风险。通过计算不同决策方案的熵值，可 以评估方案的优劣和风险大小。
VS
熵的单位
熵的单位是比特(bit)，这是因为log2 p(x)是以2为底的对数函数，其单位是比 特。
熵的物理意义

4. 熵概念初步-教科版选修1-2教案

4. 熵概念初步-教科版选修1-2教案

4. 熵概念初步-教科版选修1-2教案1. 教学内容本节课主要介绍熵概念，包括熵的定义、计算方法以及与物理化学、生物化学等领域的相关应用。

2. 教学目标1.了解和掌握熵的概念和定义；2.了解和掌握熵的计算方法；3.掌握熵在物理化学和生物化学等领域的应用；4.提高学生的独立思考和解决问题的能力。

3. 授课重点和难点授课重点1.熵的概念和定义；2.熵的计算方法；3.熵在物理化学和生物化学等领域的应用。

授课难点1.熵的概念和定义的理解；2.熵的计算方法的掌握；3.熵在不同领域中的应用的理解和运用能力。

4. 教学方法1.讲授法：通过讲解熵的概念、计算方法和应用，使学生掌握基本概念和基本计算方法；2.探究法：通过课堂实验和探究活动，让学生了解熵在不同情况下的变化趋势和规律；3.讨论法：通过小组讨论和展示，让学生了解熵在生物化学、物理化学等领域中的应用，并提高其独立思考和解决问题的能力。

5. 教学过程和内容安排第一步：导入（10分钟）1.课前自主学习：要求学生在课前完成相关阅读和预习，并对相关知识点进行简单梳理；2.导入活动：通过引入一个问题，如“为什么热量总是从高温物体流向低温物体？”来激发学生对熵的理解和探索。

第二步：讲授熵的概念和定义（20分钟）1.熵的概念：介绍熵的定义，即熵是一个系统的无序程度的度量，也可以理解为热力学中的混乱程度；2.熵的单位：介绍熵的国际单位制和常用单位，如焦耳/开尔文（J/K）等；3.熵变和熵增：通过例题说明熵变和熵增的概念，及其与系统状态和过程相关性的关系。

第三步：讲授熵的计算方法（30分钟）1.熵的计算方法：介绍熵计算公式，即ΔS = Q/T（ΔS表示系统熵的变化，Q 表示热量，T表示温度）；2.熵计算示例：通过实验或例题，让学生掌握熵计算的过程和方法；3.热力学第二定律：介绍热力学第二定律的概念，及其与熵的关系。

第四步：应用案例分析和讨论（30分钟）1.熵在物理化学领域的应用：介绍熵在化学反应中的应用和在化学平衡、热力学循环等中的运用；2.熵在生物化学领域的应用：介绍熵在生物化学反应、营养代谢等领域中的应用；3.讨论和总结：利用小组讨论和分享的方式，让学生分享自已的探索和发现，提高其独立思考和解决问题的能力。

《信息量和熵》课件

《信息量和熵》课件

信息量和熵的发展趋势和挑战
发展趋势：随着科技的发展，信息量和熵的概念和应用将更加广泛和深入 挑战：如何有效处理和利用大量信息，提高信息处理效率和准确性 挑战：如何应对信息泄露和网络安全问题，保护个人隐私和企业机密 挑战：如何平衡信息量和熵的关系，实现信息资源的合理配置和利用
THANKS
汇报人：PPT
信息增益在机器学习中的应用
信息增益用于特征选择，提高模型泛化能力 信息增益用于决策树构建，提高模型预测准确性 信息增益用于分类和回归问题，提高模型处理复杂数据的能力 信息增益用于优化模型参数，提高模型训练效率
Part Six
信息量和熵的未来 发展
信息量和熵的理论研究前景
信息量和熵在数 据压缩和信息传 输中的应用
信息增益的概念
信息增益：在信息论中，信息增益是指通 过增加信息量来提高信息传输效率的过程。
熵增原理：在热力学中，熵增原理是指在 一个封闭系统中，熵总是增加的。
信息增益与熵增原理的关系：信息增益 可以看作是熵增原理在信息论中的应用， 通过增加信息量来降低系统的熵。
信息增益的应用：信息增益在信息检索、 机器学习等领域有着广泛的应用，如决 策树、随机森林等算法中都使用了信息 增益的概念。
信息量与概率分布有关，概率 越大，信息量越小
信息量与信息熵有关，信息熵 是信息量的期望值
信息量与信息传递有关，信息 量越大，信息传递越困难
信息量的数学定义
信息量公式：I(X) = log(P(X))
信息量：描述一个事件发生 的概率
信息量单位：比特（bit）
信息量与概率的关系：概率 越大，信息量越小；概率越
小，信息量越大
信息量的微观解释
信息量是描述信息不确定性的度量 信息量与概率分布有关，概率越大，信息量越小 信息量与信息熵有关，信息熵是信息量的期望值 信息量与信息增益有关，信息增益是信息量的增加量

信息论基础第24次课_总复习

信息论基础第24次课_总复习

本章考点
1. 信息率失真函数的含义。 2. 信息率失真函数的定义域。对应到最大失真度和 最小失真度的信道矩阵。P129. 4.1、4.2、4.10 3. 信息率失真函数的性质：下凸性、连续性、非负 性、单调递减。 4. 保真度准则下的信源编码定理。
第5章 信源编码

异前置码的充要条件：Craft不等式
在信源给定以后，总希望在允许一定失真的情况下，传送
信源所必须的信息率越小越好。从接收端来看，就是在满 足保真度准则 D D 的条件下，寻找再现信源消息必须的 最低平均信息量，即平均互信息的最小值。
当 p ( a i ) 一定时，互信息 I 是关于 p ( b j / a i )
的下凸函数，存在
C max R max I ( X ;Y )
p ( ai ) p ( ai )
第3章 信道容量

具有扩展功能的有噪无损信道 p p 0 0 0 0 0 p p p 0
b1 a1 b2 a1 b3 a1 b4
0 pb7 a3 0
0
其码字平均长度 K 满足：
H(X ) H(X ) 1 K log 2 m log 2 m
(2.4.5)
其码字平均信息率R满足：
H(X ) R H(X )
(2.4.6)
本章考点
1. 各种熵的计算。如：P69. 2.11; 2. 一阶马尔可夫信源的状态极限概率及极限熵。如： P69. 2.16, 2.17 3. 各种熵的性质：

平均互信息：
I ( X ; Y ) p(aib j ) log
i 1 j 1
n m
n
m
p(ai b j ) p(ai )

《信息熵及其应用》课件

《信息熵及其应用》课件
信息熵及其应用
在这份PPT课件中，我们将深入探讨信息熵的概念、应用和性质，以及信息 熵在通信、数据压缩和密码学等领域中的重要作用。
什么是信息熵？
定义
信息熵是衡量一个随机变量的不确定性的度量。
单位
信息熵的单位是比特（bit）或纳特（nat），取决于所使用的对数底数。
离散和连续型信号的熵计算
对于离散型信号，熵的计算需要使用概率论的相关概念；对于连续型信号，熵的计算则需要 使用微积分的工具。
3
序列迭代和熵压缩
序列迭代和熵压缩是一种利用信息熵的计算规则来进行数据压缩的方法。
总结与展望
信息熵的优缺点与应用 前景
信息熵作为随机变量不确定 性的度量，可以在各个领域 中发挥重要作用，但也存在 展， 信息熵的研究也在不断拓展 和挑战。
未来信息熵领域的研究 方向
条件熵
条件熵是在给定一定条件下的信息熵，用于描述更复杂的信息系统。
香农熵、交叉熵和相对熵
香农熵是信息熵的一个特例，交叉熵和相对熵是用于衡量两个概率分布之间的差异。
信息熵的扩展
1
联合熵、互信息和条件互信息
这些是信息熵的扩展概念，用于描述多变量系统中的信息量和相关性。
2
最大熵原理及其应用
最大熵原理是一种在概率模型中寻找最可能的分布的方法，广泛应用于统计学和机器学习领 域。
信息熵的应用
通信领域
信息熵在通信中用于衡量信道的 容量和噪声对信息传输的影响。
数据压缩
信息熵是数据压缩算法中的一个 重要指标，用于衡量数据压缩的 效果。
密码学
信息熵在密码学中用于生成随机 密钥和衡量密码算法的安全性。
信息熵的性质
非负性和有限性质
信息熵始终大于等于零，且对于有限个离散型符号，信息熵是有界的。

第二章信源信息熵(第二讲)

第二章信源信息熵(第二讲)

第二章 信源与信息熵（第二讲）（2课时）主要内容：（1）信源的描述（2）信源的分类 重点：信源的分类，马尔可夫信源。

难点：信源的描述，马尔可夫信源。

作业：2.1, 2.2, 2.3说明：本堂课推导内容较多，枯燥平淡，不易激发学生兴趣，要注意多讨论用途。

另外，注意，解题方法。

多加一些内容丰富知识和理解。

2．1 信源的描述与分类在通信系统中收信者在未收到消息以前对信源发出什么消息是不确定的，是随机的，所以可用随机变量、随机序列或随机过程来描述信源输出的消息，或者说用一个样本空间及其概率测度——概率空间来描述信源。

信源：产生随机变量、随机序列和随机过程的源。

信源的基本特性：具有随机不确定性。

信源的分类离散信源：文字、数据、电报——随机序列 连续信源：话音、图像——随机过程离散信源：输出在时间和幅度上都是离散分布的消息。

消息数是有限的或可数的，且每次只输出其中一个消息，即两两不相容。

发出单个符号的无记忆信源离散无记忆信源： 发出符号序列的无记忆信源离散信源离散有记忆信源： 发出符号序列的有记忆信源发出符号序列的马尔可夫信源 概率论基础：无条件概率，条件概率和联合概率的性质和关系： 非负性0()()(/)(/)()1i j j i i j i j p x p y p y x p x y p x y ≤≤，，，， 完备性111111()1,()1,(/)1,(/)1,()1n m nijiji j i mm nji i j j j i p x p y p x y p yx p x y ===========∑∑∑∑∑∑11()(),()()n mijjijii j p x y p y p x y p x ====∑∑联合概率()()(/)()(/)()()()(/)()(/)()i j i j i j i j i j i j j i j i j i p x y p x p y x p y p x y X Y p x y p x p y p y x p y p x y p x =====当与相互独立时，，贝叶斯公式11()()(/)(/)()()i j i j i j j i nmijiji j p x y p x y p x y p y x p x y p x y ====∑∑，2.1.1 无记忆信源：例如扔骰子，每次试验结果必然是1～6点中的某一个面朝上。

信息熵讲义

信息熵讲义

a1 a2 aq [ A, pi ] p p p 2 q 1
p
i 1
q
i
1
一般情况，我们用概率的倒数的对数函数来表示 某一事件（某一符号）出现所带来的信息量。 每个符号的自信息量：
1 I (ai ) log pi
符号集的平均信息量就用信息熵来度量。
信宿
信源 编码 加密
信道 编码 干扰源
信道 译码 解密 解密钥
信源 译码
加密钥
提出的背景： 在香农信息论出现以前，没有系统的通信理论。
是香农，开创了信息论的研究，奠定了一般性通信
理论的基础。对数字通信技术的形成有很大贡献。 （不论什么样的干扰信道，抓住了本质问题。）
( Shannon, 1916－2001)
新的教材： 在广义信息论、网络信息论方面的内容有所增加。
第一讲
信息熵
1-1 1-2 1-3 信息论的主要内容 信息的度量－信息熵 信息熵的性质
1－1. 信息论的主要内容
香农信息论最初是为了解决通信问题而提出的。 通信的重要意义是勿庸置疑的。 人类传递思想、表达情感，就需要相互交流。 人类的劳动、生产、政治、文化、日常生活等都离不 开通信。
就能够不失真地传输消息（可靠性），也能够解决有效
性问题。 “香农信息与消息的内容无关”，并不是不传输消息内 容而只传输信息。传送的还是经过处理的消息（编码），
只是“如何处理”是从保持信息的角度来考虑的。
信息论与其它学科的联系： 统计物理（热力学，热力学第二定律：热熵不减）；
计算机科学（Kolmogorov复杂性，或算法复杂性）；
现在推广为：一位二进制数为1 bit，八位为1 byte
例：对于二元符号集X＝{0,1}, 如果
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信息熵及其性质和应用青岛农业大学本科生课程论文论文题目信息熵及其性质和应用学生专业班级信息与计算科学09级2班学生学号姓名 20093992指导教师吴慧完成时间2012年06月25日2012 年 06 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目信息熵及其性质和应用论文内容（需明确列出研究的问题）：研究信息熵的目的就是为了更深入的了解信息熵，更好的了解信息熵的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。

文中介绍了信息熵的定义和性质及其应用。

使我们对信息熵有跟深入的了解。

资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。

文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。

内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。

参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。

发出任务书日期 06月15日完成论文日期 06月25日教研室意见（签字）院长意见（签字）信息熵及其性质和应用信息与计算科学专业指导教师吴慧摘要：信息熵是随机变量不确定性的度量，文中从信息熵的定义出发，结合信息熵的性质，介绍了目前信息熵在具体问题中的应用。

信息是一个十分通俗而又广泛的名词，它是人类认识世界、改造世界的知识源泉。

人类社会发展的速度，在一定程度上取决于人类对信息利用的水平，所以对信息的度量就很有必要。

香农提出信息的一种度量，熵的定义形式，它是随机变量不确定性的度量，文中主要介绍熵的性质及其应用。

关键词；信息熵性质应用Information entropy and its properties and Application Student majoring in Information and Computing Science Specialty dongqiangTutor WuHuiAbstract：information entropy is a measure of uncertainty of random variable, this paper from the definition of information entropy, combined with the nature of information entropy, information entropy, introduced the specific issues in the application rmation is a very popular and widely noun, it is human understanding of the world, transforming the world knowledge source . The human society development speed, depend on on certain level the human make use of information level, so the measurement information is necessary.Shannon put forward the informa-tion a kind of measurement, the definition of entropy form, it is the uncertainty of random variable metric, this paper mainly introduces the property of entropy and its application.Key words:information entropy properties application引言:作为一种通俗的解释，熵是一种不规则性的测量尺度．这一种解释起源于香农在通讯理论的研究中，为确定信息量而提出的一种熵测度．对于离散概率分布p=(p 1,p …，p n )，香农熵定义为H(X)=E[I(i x )]=∑-i p log i p 在p 1+p 2+p 3+…p k =1的条件下，为使H （X ）最大，显然是p i ＝1/k （i=1,2,…，k ），即在等概率分布情况下H(X)达到最大值，换句话说，熵的值与不规则度（如果以等概率分布作为不规则性的极端表现）是一致的．这是熵作为一个概率测度的理论基础．物理学的发展为熵理论提供了更为现实的应用背景，热力学的第二法则既是所谓熵增大的法则，对孤立的系统，系统的热力学状态只能假定在熵增大的方向上起变化，Boltzmann 原理把熵引入了热力学的研究领域，他所提供的著名关系式S=klogw （ｗ是系统状态的概率）是后来Planck 的量变论及爱因斯坦的光量子理论开展的基础．人们对熵的认识和应用很长一段时间内都局限于理论物理领域，直到本世纪中叶，一些人开始注意到熵对系统不确定性度量的一般性，试图在行为科学和社会科学中更广泛地引用熵，对一些复杂现象加以刻划。

信息熵(entropy )的概念 设一个离散型随机变量和它的概率分布为∑+++=≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11211211,10 )(n i i n n n n p p p p p p x x x x x p X任意随机事件的自信息量定义为该事件发生概率的对数的负值，即I(i x ) =-log i p 。

自信息量I(i x )是指某一信源X 发出某一消息信号i x 所含有的信息量，发出的消息不同，它们所含的信息量也就不同，因此自信息量是一个随机变量，它不能用来作为整个信源的信息测度。

香农将平均自信息量定义为信息熵，简称为熵。

即H(X)=E[I(i x )]=∑-i p log i p 。

二、信息熵的性质1、对称性：设某一概率系统中n 个事件的概率分布为n p p ,,1 ，当对事件位置的顺序进行任意置换后，得到新的概率分布为//1,,n p p ，并有以下关系成立: H(n p p ,,1 )=H (//1,,n p p )它表示概率系统中事件的顺序虽不同，但概率系统的熵值是不变的，即概率系统的熵与事件的顺序无关。

2、非负性： 因为每个p<1，所以它们的以不小于1的数为底的对数是不大于零的。

3、确定性：设信息系统中，任一事件产生的概率为1，则其他事件产生的概率为0。

这是一种确定的系统，对于这样的系统有:H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0,0)=…=H (1,0,0,…,0)=0若信源中只要有一个事件是必然事件，则其余事件为不可能事件。

此时，信源中每个事件对熵的贡献都为0，因而熵总为零。

4、扩展性：若集合X 有n 个事件，另一集合Y 中有n+1 个事件，但集合X 和Y 的差别只是多了一个概率近于零的事件，则两个集合的熵值是一样的。

即一个事件),,(21≥q p p p H的概率和集合中其它事件相比很小时，它对于集合的熵值的贡献就可以忽略不计。

式子表达如下：()()n n n n p p p H p p p H Lim ,,,,.,,212110=-+→εεε5、可加性与强可加性： （涉及到了两个变量！） H （XY ）为两个随机变量的联合熵。

可加性：H （XY ）等于 X 的无条件熵，加上已知 X 时 Y 的条件概率的熵的平均值，即条件熵对于 X 与 Y 独立的情况有： （强可加性）6、递增性：（子集再划分，第 n 个分为 m 个）按照定义证明：)|()()(X Y H X H XY H +=∑∑===q i i j i j q j i x y p x y p x p X Y H 11)|(1log )|()()|()()()(Y H X H XY H +=yx x p p x y P x P xy P ⋅==)|()()(;01;01),,(),,(log )()(log log log log )(log )()(1112121,.,.,.,.≥=≥=+=--=--=-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===ij mj iji ni i ni im i i m i n n n iijij mji n im jj i i mn ji ijij i m n j i i ij i mn ji iji ij i m n ji j i j i nm p p p p p p p H p p p p H p p p y x p p p p p p p p p p p p y x p y x p XY H ∑∑==---+==+=mj nj n i i n m n n m n n n n m n m n p q p p q p q p q H p p p p p H q q q p p p H 1121121211211,1),,,,(),,,,(),,,,,( mnmi i i m n i n i i i i i m n q q p p p p p H +==∑∑∑=-+=-=-+1111111log1log 1log )(例题：计算7、极值性：可利用两个引理证明；（以后再利用Jensen 证明。

） 引理 1 ：对于 x > 0 引理 2 ： 其中：8、上凸性：是 P 的上凸函数 即对于 和两个概率矢量 ，有：函数f 的图象)61,61,31,31(H )/(918.1)21,21()32,31()21,21(2132)21,21(32)32,31()41,41,21(32)32,31()61,61,31,31(symbol bit H H H H H H H =+=⨯++=+=qq q q H p p p H q log )1,1,1(),,(21=≤ 1l n 11-≤≤-x x xii qi q q p p p p H log ),,(121∑=-≤ ∑∑==ii ii q p 1;1)(),,(21P H p p p H q = ,10<<θ21,P P )P (H )1()P (H )P )1(P (H 2121 θθθθ-+≥-+9、1 证明离散平稳信源有()()12213X X H X X X H ≤，试说明等式成立的条件。

解：()()()213321213log x x x P x x x P X X X H ∑∑∑-= ()()()21321321log 312x x x P x x x P x x P x x x ∑∑∑-= ()()()2321321log 312x x P x x x P x x P x x x ∑∑∑-≤=()23X X H根据信源的平稳性，有()23X X H =()12X X H ，因此有()()12213X X H X X X H ≤ 等式成立的条件是()=213x x x P ()23x x P9、2 证明离散信源有()()()()()N N X H X H X H X H X X X H +++≤32121，并说明等式成立 的条件。