信息熵权法及其应用

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熵权法

熵权法
熵权法的概述熵权法的基本原理熵权法的计算步骤熵权法的适用范围及优缺点
一、熵权法的概述
熵的概念源于热力学,表示不能用来做功的热能为热能的变化量除以温度所得的商。
在信息论中，信息是系统有序程度的一个度量，熵是系统无序程度的一个度量。二者绝对值相等，方向相反。
熵是对不确定信息的度量，如果一个指标的信息熵越小，该指标提供的信息量越大，在综合评价中所起的作用理应越大，权重就应该越高。
若系统可能处于多种不同的状态。而每种状态出现的概率为 fi （i=1,2,……,m）时，则该系统的熵就定义为：
m
H j fi ln fi i 1
现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始评
价矩阵 R rij mn 。对于某个指标j的信息熵：
m
Hj
fij ln fij， fij rij / m rij
j
j wj
n
j wj
j 1
当各备选项目在指标j上的值完全相同时,该指标的熵达到最大值1,其熵权为零。这说明该指标未能向决策者供有用的信息,即在该指标下,所有的备选项目对决策者说是无差异的,可考虑去掉该指标。熵权并非实际意义上的重要性系数，而是各指标在竞争意义上的相对激烈程度系数。
1、确定评价对象,建立评价指标体系,构造指标水
平矩阵 R 。
r11
R

r21 rm1
r12 r22 rm 2
r1n
r2n
rmn
mn
2、对评价矩阵R 进行标准化处理得矩阵 R rij mn
j为正指标： j为负指标：
i 1
i 1
从信息熵的公式可以看出：

指标无量纲化方法对熵权法评价结果的影响

指标无量纲化方法对熵权法评价结果的影响一、熵权法及其应用熵权法是一种基于信息熵理论的多指标综合评价方法，其原理是根据信息熵和权重的概念，对不同指标进行综合评价。

在熵权法中，首先需计算每个指标的信息熵和权重值，然后根据权重值对各指标进行加权求和，最终得到综合评价结果。

熵权法广泛应用于各行业领域，如企业绩效评价、项目选址评价、环境质量评价等。

其优点是可以很好地反映不同指标的重要程度，提高了评价结果的客观性和准确性。

由于熵权法对指标值的大小敏感，指标之间的量纲差异会对权重计算产生一定影响，影响评价结果的准确性，因此有必要对指标进行无量纲化处理。

二、指标无量纲化方法为了消除指标间的量纲差异，研究者提出了多种指标无量纲化方法，常见的包括极差法、标准化法和自然对数变换法等。

1. 极差法极差法是最简单的一种无量纲化方法，其原理是将指标值减去最小值，然后除以极差（即最大值减最小值），将指标值限制在[0,1]之间。

极差法具有简单易行、计算方便的优点，但受极值的影响较大，且对异常值敏感，容易出现误差。

2. 标准化法标准化法是将原始指标值减去均值，再除以标准差，使得指标值的均值为0，标准差为1。

标准化法可以消除不同指标之间的量纲差异，相对较为稳健，但受异常值的影响也较大。

3. 自然对数变换法自然对数变换法是将原始指标值取自然对数，通过对指标值进行对数变换，可以将指标值的波动幅度减小，更好地依标题的变化趋势。

自然对数变换法对异常值和数据的分布形态不敏感，但在实际应用中需要注意对负值和零值的处理。

三、影响评价结果的因素指标无量纲化方法对熵权法评价结果的影响主要受到以下因素的影响：1. 数据的分布形态不同指标的数据分布形态会影响无量纲化方法的选择，如对于偏态分布的指标，自然对数变换法相对更为适用；而对于正态分布的指标，标准化法效果较好。

2. 指标间的相关性指标间的相关性也会对无量纲化方法产生影响，如果指标之间存在较强的相关性，选择合适的无量纲化方法则更为重要，以提高评价结果的准确性。

熵权法确定指标权重

熵权法确定指标权重熵权法是一种常用的确定指标权重的方法，它通过计算指标的信息熵来评估其重要性，并根据信息熵的大小确定权重。

本文将介绍熵权法的基本原理及其在指标权重确定中的应用。

一、熵权法的基本原理熵权法是基于信息熵理论的一种权重确定方法。

信息熵是热力学中的概念，用于衡量一个系统的无序程度。

在熵权法中，将指标的信息熵作为衡量指标重要性的依据，熵越大表示指标的信息量越大，重要性越高。

具体而言，熵权法的计算步骤如下：1. 首先，需要确定指标的数据矩阵。

数据矩阵由多个指标和多个样本组成，每个指标都有对应的样本值。

2. 计算每个指标的信息熵。

信息熵的计算公式为：熵 = -Σ(pi * log(pi))，其中pi表示第i个指标的权重。

3. 计算每个指标的熵权。

熵权的计算公式为：熵权 = (1 - 熵) / (n - Σ(1 - 熵))，其中n表示指标的个数。

4. 根据熵权计算每个指标的权重。

将每个指标的熵权除以所有指标的熵权之和，即可得到每个指标的权重。

二、熵权法在指标权重确定中的应用熵权法在指标权重确定中具有广泛的应用。

无论是在企业管理中的绩效评估，还是在环境评价中的指标体系构建，熵权法都可以起到重要的作用。

在企业管理中，熵权法可以用于确定各项指标在绩效评估中的权重。

通过对各项指标的数据进行分析，计算其信息熵，然后根据熵权确定各项指标的权重，可以避免主观因素的干扰，客观公正地评估企业的绩效。

在环境评价中，熵权法可以用于构建指标体系。

在评价环境质量时，需要考虑多个指标，如空气质量、水质状况、土壤污染等。

通过应用熵权法，可以确定每个指标的权重，从而建立综合评价模型，实现对环境质量的综合评价。

除此之外，熵权法还可以应用于金融风险评估、医疗质量评价等领域。

在金融风险评估中，可以利用熵权法确定各个风险指标的权重，从而更准确地评估金融风险的大小。

在医疗质量评价中，可以利用熵权法确定不同指标在评价体系中的重要性，从而更全面地评估医疗质量的优劣。

熵权法-指标权重确定

对指标相关性敏感
熵权法对指标间的相关性较为敏感，如果指标间存在高度相关性，会导致权重分配不合理。
对指标量纲敏感
熵权法对指标的量纲比较敏感，不同量纲的指标需要进行标准化处理，以消除量纲对权重确定的影响。
05
熵权法在实践中的应用案例
案例一：城市环境质量评价
总结词
熵权法在城市环境质量评价中，能够客观地确定各评价指标的权重，为城市环境质量的综合评价提供依据。
应用。
进一步研究熵权法的理论依据和数学推导，完善熵权法的计算方法和步骤，提高其准确性和可靠性。
将熵权法应用于更多的领域和实际问题中，不断拓展其应用范围和场景，为决策者提供更准确、可靠的决策依据。
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感谢您的观看
计算权重
根据信息熵值计算每个指标的权重，权重越大表示该指标越重要。
计算公式为：$w_i = frac{1 - e_i}{1 - e_1 + e_2 + ... + e_n}$。
权重排序
根据计算出的权重对所有指标进行排序，得到各指标的优先级顺序。
VS
可根据权重大小判断各指标在综合评价中的重要性，为决策提供依据。
要点二
复相关系数法
通过计算各指标与总体的复相关系数，确定各指标的客观权重。
主客观组合权重确定方法
乘法权重组合法
线性规划法
将主观权重和客观权重相乘，得到组合权重。
通过线性规划方法，将主观权重和客观权重相结合，得到最优组合权重。
加法权重组合法
将主观权重和客观权重相加，得到组合权重。
04
熵权法的优缺点分析
无量纲化
03
消除不同指标的量纲影响，使不同单位或量级的指标能够进行

熵权法的值-概述说明以及解释

熵权法的值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述熵权法是一种多属性决策分析方法，它将熵的概念引入到权重计算中，用以解决多属性决策问题。

熵是信息论中的概念，衡量了信息的不确定性或混乱程度。

在熵权法中，熵被用来度量属性的不确定性，通过计算属性的熵值，进而确定属性的权重。

熵权法具有较强的普适性和灵活性，不依赖于具体问题的背景和特点，适用于各种类型的决策问题，包括社会经济、环境资源、工程管理等各个领域。

同时，熵权法可以有效地处理属性之间的相互影响，充分考虑属性之间的关联性，提高决策的准确性和可靠性。

该方法的原理相对简单直观，通过引入熵的概念，将属性的信息熵转化为权重，从而实现了对属性的排序和评价。

相比于传统的权重计算方法，熵权法能够避免主观因素的干扰，更加客观地评估属性的重要性，提高了决策结果的客观性和可靠性。

熵权法的应用领域广泛，可以在人才招聘、投资决策、项目评估等多个方面发挥作用。

通过对属性的熵值计算，可以确定各个属性对决策结果的影响程度，进而进行合理的决策、资源分配和风险评估。

然而，熵权法在实际应用中也存在一些局限性。

首先，该方法对原始数据要求较高，需要准确、全面的数据信息才能计算出准确的熵值。

其次，当属性之间存在非线性关系时，熵权法的效果可能受到一定的影响，需要结合其他方法进行综合分析。

尽管存在一些局限性，但熵权法作为一种简便、直观、有效的决策评价工具，具有较大的发展潜力。

未来，可以通过改进算法、完善理论框架，进一步拓展熵权法在多属性决策问题中的应用范围，提高决策过程的效率和准确性。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：在本篇文章中，主要介绍了熵权法（Entropy Weight method）的值。

本文将按照以下结构展开讨论：首先，引言部分将从概述、文章结构、目的和总结四个方面入手。

在概述部分，我们将简要介绍熵权法的概念和应用背景。

接着，文章结构部分将对整篇文章的结构进行详细介绍，包括各个章节的内容和布局。

excel熵权法

excel熵权法（原创版）目录1.熵权法的概念与原理2.熵权法在 Excel 中的应用3.熵权法的优势与局限性正文一、熵权法的概念与原理熵权法是一种基于信息熵的多属性决策方法，用于解决在多个属性之间进行权衡取舍的问题。

信息熵是信息论中的一个重要概念，用于衡量信息的不确定性或混乱程度。

在一个多属性决策问题中，熵权法通过计算各属性的熵值，确定各属性的重要性，进而为决策者提供依据。

二、熵权法在 Excel 中的应用在 Excel 中，我们可以通过以下步骤应用熵权法：1.准备数据：首先，我们需要整理好决策问题的相关数据，包括各属性的取值以及对应的权重。

2.计算信息熵：在 Excel 中，我们可以使用公式=SUM(LOG(COUNT(属性值)))/COUNT(属性值) 来计算每个属性的信息熵。

3.计算熵权：根据各属性的信息熵，我们可以计算每个属性的熵权，即信息熵除以总信息熵。

4.应用熵权：最后，我们可以将熵权应用于决策问题，根据各属性的熵权对其进行权衡取舍，从而得出最终的决策结果。

三、熵权法的优势与局限性熵权法作为一种多属性决策方法，在实际应用中具有一定的优势，如：1.科学性：熵权法基于信息论，具有较强的理论依据，能够较为科学地解决多属性决策问题。

2.客观性：熵权法能够客观地反映各属性的重要性，减少了决策者的主观干扰。

然而，熵权法也存在一定的局限性，如：1.数据要求：熵权法对数据的要求较高，需要决策问题具有明确的属性取值和权重。

2.计算复杂性：熵权法的计算过程较为复杂，需要掌握一定的数学知识。

总之，熵权法作为一种有效的多属性决策方法，在 Excel 中得到了广泛应用。

熵值法原理及应用实践 PPT

maxxi xi maxxi
3、 yi
x minxi xi
4、yi
xi mixni maxxi mixni
• Z-score法
1、 _
zi
xi s
x
• 比重法
1、 yi
xi xi
2、 yi
xi
x
2 i
曲线型
加法原理和乘法原理；原则：最常用的是加法合成法，其具体处理如下：
加法合成法
利用以上3个指标的权重和归一化指标值，计算上级指标的分数：手游认知能力得分= 0.336*手游历史付费金额
+0.212*手游访问次数 +0.452*手游访问天数。当然，模型其他部分的底层指标权重和一级指标权重均可以按以上步骤计算得到，并一层层由下往上进行加权，最终得到模型的综合得分。
主观赋权
客观赋权
• 往往依靠专家打分和定性分析
• 精确性不够 • 主观性太强
• 一般采用数理统计方法和技术
• 过于依赖数据，缺乏业务指导
• 很多方法不能反映指标对目标的影响方向
二者结合使用最有效
“熵”是一种客观的赋权方法
“熵”原本是物理中热力学概念，后来发展为信息
论的熵值法理论，在指标赋权方面的应用比较广泛
权
w H H H H 手游历 ( 1 史付手费游) 历 ( ( 1 1 史付手手费游游) ) 访历 ( 1 问史次付手数费游) 访问天
同理可以计算出 W 手游访问次数 W 和手游访问天数
熵值法的一般步骤之五：指标加权计算得分案例解说
方法：计算综合得分就是指标合成的过程，一般可以采用
计算出来的。下面具体看下模型中 “手游认知能力”部分指标权重的计

遥感影像处理中的熵权法及其应用

遥感影像处理中的熵权法及其应用遥感技术是以航空或卫星为平台采集地球表面信息的一种远距离探测技术，其数据处理和分析是遥感应用的重要环节。

熵权法是一种常用的遥感影像处理和分析的数学方法，其主要作用是在多变量数据间取得一种权重。

一、熵权法的基本原理熵权法，也称为信息熵权法，是一种用于处理多指标决策的数学方法。

在遥感应用中，它可以用来解决多源遥感数据融合时，如何获取各个指标权值的问题。

熵是一种物理量，它用于描述系统的不确定性。

在信息理论中，信息熵被定义为一个随机变量的不确定度。

熵权法基于信息熵理论，将信息熵的统计平均值反映为指标的重要程度，以此作为各个指标的权值。

熵权法的基本步骤包括：1.将各个指标的取值归一化，确保各指标具有相同的度量单位和范围；2.计算各个指标的熵值；3.计算各指标的权值。

二、熵权法在遥感应用中的应用遥感数据中存在多个指标，对这些指标进行融合可以更好地反映地球表面的信息。

熵权法作为一种数学方法，用于处理多指标融合问题，可以更好地进行分类和识别。

遥感影像在土地利用/覆盖分类和变化检测中应用广泛。

采用熵权法可以更好地融合多源数据，提高分类精度。

在土地覆盖分类中，一般采用决策树分类方法，通过建立分类模型对多通道影像数据进行分类，这样可以在不同波段上得到更好的可区分性。

而熵权法可用于决策树模型中，用于计算不同属性的重要程度。

在遥感影像变化检测中，可以通过熵权法实现多时相影像的变化检测，并可以将其与其它指标融合。

熵权法可以让我们计算出每个时间点的数据质量，并增加其权值，这样可以更好地反映变化的信息。

三、本文的结论总之，熵权法是遥感影像处理和分析中一种常用的数学方法，它主要用于处理多指标融合问题。

在遥感应用的分类和识别中，熵权法可以提高分类精度。

在多时相影像的变化检测中，熵权法可以计算数据质量，增加其权值，更好地反映变化的信息。

熵权法可以帮助我们更好地解决多指标融合问题，提高遥感数据的可用性，更好地应用于实际地面应用。

信息熵法和熵权法

信息熵法和熵权法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：信息熵法和熵权法是信息论领域中常用的两种方法，用于评估和度量信息的混乱程度和重要性。

信息熵法是基于信息熵的概念，用于计算信息的不确定性和随机性。

而熵权法则是根据信息熵的概念，将其应用到决策问题中，用来确定各个因素的重要性和权重。

熵权法则是将信息熵的概念应用到决策问题中，用来确定各个因素的重要性和权重。

在熵权法中，我们首先计算各个因素的信息熵，然后根据信息熵的大小确定各个因素的重要性，进而确定各个因素的权重。

熵权法常用于多属性决策问题和综合评价问题中，通过确定各个因素的重要性，可以更准确地进行决策和评价。

信息熵法和熵权法在实际应用中有着广泛的应用领域和意义。

在金融领域中，信息熵法和熵权法可以用来评估和预测股票价格的波动，帮助投资者进行决策和风险管理。

在医疗领域中，信息熵法和熵权法可以用来分析疾病的发生和传播规律，辅助医生制定治疗方案和预防措施。

在商业领域中，信息熵法和熵权法可以用来评估市场需求和竞争优势，帮助企业制定营销策略和产品研发方向。

信息熵法和熵权法是两种重要的信息论方法，对于度量信息的混乱程度和重要性具有重要意义。

通过信息熵法和熵权法，我们可以更准确地评估和分析数据，辅助决策和优化方案，促进科学发展和社会进步。

希望信息熵法和熵权法在未来能够得到更广泛的应用和深入研究，为人类带来更多的益处和发展机遇。

【这里可以适当添加更多相关内容，丰富文章内容】第二篇示例：信息熵法和熵权法是两种在信息论和决策科学领域中常用的方法，它们在处理不确定性和评估决策权重方面具有重要作用。

在接下来的文章中，我们将深入探讨这两种方法的原理、应用以及优缺点。

信息熵法是一种基于信息熵理论的多准则决策方法。

信息熵是信息论中的一个重要概念，表示在一个信息源发出的信息中所含有的不确定性的度量。

在信息熵法中，我们将决策问题转化为一个多准则优化问题，通过计算每个决策准则的信息熵来评估其重要性，进而确定每个准则的权重，并最终进行决策。

指标权重确定方法之熵权法(计算方法参考

指标权重确定方法之熵权法一、熵权法介绍熵最先由申农引入信息论，目前已经在工程技术、社会经济等领域得到了非常广泛的应用。

熵权法的基本思路是根据指标变异性的大小来确定客观权重。

一般来说，若某个指标的信息熵越小，表明指标值得变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所能起到的作用也越大，其权重也就越大。

相反，某个指标的信息熵越大，表明指标值得变异程度越小，提供的信息量也越少，在综合评价中所起到的作用也越小，其权重也就越小。

二、熵权法赋权步骤1.数据标准化将各个指标的数据进行标准化处理。

假设给定了k个指标，其中。

假设对各指标数据标准化后的值为，那么。

2.求各指标的信息熵根据信息论中信息熵的定义，一组数据的信息熵。

其中，如果，则定义。

3.确定各指标权重根据信息熵的计算公式，计算出各个指标的信息熵为。

通过信息熵计算各指标的权重：。

三、熵权法赋权实例1.背景介绍某医院为了提高自身的护理水平，对拥有的11个科室进行了考核，考核标准包括9项整体护理，并对护理水平较好的科室进行奖励。

下表是对各个科室指标考核后的评分结果。

但是由于各项护理的难易程度不同，因此需要对9项护理进行赋权，以便能够更加合理的对各个科室的护理水平进行评价。

2.熵权法进行赋权1）数据标准化根据原始评分表，对数据进行标准化后可以得到下列数据标准化表表2 11个科室9项整体护理评价指标得分表标准化表科室X1X2X3X4X5X6X7X8X9A 1.000.00 1.000.000.50 1.00 1.00 1.00 1.00B 1.00 1.000.00 1.000.50 1.00 1.00 1.00 1.00C0.00 1.000.33 1.000.50 1.00 1.00 1.00 1.00D 1.00 1.000.00 1.000.50 1.000.87 1.00 1.00E 1.000.00 1.00 1.00 1.000.00 1.00 1.000.00F 1.00 1.00 1.00 1.000.50 1.00 1.000.00 1.00G 1.00 1.000.00 1.000.50 1.000.00 1.00 1.00H0.50 1.000.33 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00I 1.00 1.000.67 1.000.00 1.00 1.00 1.00 1.00J 1.000.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 K 1.00 1.000.67 1.000.50 1.00 1.00 1.00 1.002）求各指标的信息熵根据信息熵的计算公式，可以计算出9项护理指标各自的信息熵如下：表3 9项指标信息熵表X1X2X3X4X5X6X7X8X9信息熵0.950.870.840.960.940.960.960.960.963）计算各指标的权重根据指标权重的计算公式，可以得到各个指标的权重如下表所示：表4 9项指标权重表W1W2W3W4W5W6W7W8W9权重0.080.220.270.070.110.070.070.070.073.对各个科室进行评分根据计算出的指标权重，以及对11个科室9项护理水平的评分。

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( x1 , x 2 ) ∈ G =
1 y = G 的面积 L 一般情况 y =
V
∫∫
G
∫∫
G
f ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
f ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫∫
G
dx 1 dx
2
y = f ( x1 , x 2 , L , x n )
( x1 , x 2 , L , x n ) ∈ V
信息能否度量？
认识问题的过程：认识问题的过程：当我们对一问题毫无了解时，当我们对一问题毫无了解时，对它的认识是不确定的，在对问题的了解过程中，认识是不确定的，在对问题的了解过程中，通过各种途径获得信息，通过各种途径获得信息，逐渐消除了不确定性，获得的信息越多，定性，获得的信息越多，消除的不确定性也越多。我们可以用消除不确定性的多少也越多。我们可以用消除不确定性的多少来度量信息量的大小。来度量信息量的大小。
最大似然估计即为最小
熵估计
应用3：应用：群体遗传学
记两个等位基因为设基因型概率分布为 A, a ;
A a
A a
AA Aa aA aa b b a 1− a − b 2 2 1b 1b b 则基因 A 的概率为 + =a+ a+ 22 22 2 问在基因 A 的概率确定 (设为 p )的情况下 , 基因型分布的熵何时最大？
i =1
n
1 ∫∫L∫ dt1dt2 L dtn = n! Ω
0
1 1
1
0
1
1
0
1
∫∫L∫ (−t ln t ) dt dt
Ω i i 1 n
2
L dt n
n
1 n +1 1 = ∫∫L∫ [−(1 − ∑ ti ) ln(1 − ∑ ti )] dt1dt2 L dtn = ∑ (n + 1)! i = 2 i Ω i =1 i =1 H n +1 =
应用2：应用：熵与参数估计的似然函数
设 X 的分布律为 P ( X = x i ) = p i (θ ) ~ 、 ~ 、、 ~ 为来自总体的样本，将 x x L x
1 2 n
i = 1, 2 , L , m 相同的写在一起 ,
设 x i 有 k i 个， k1 + k 2 + L + k m = n 似然函数为 L = 取对数 ln L =
应用1：识别假币
枚外形相同的硬币，有12枚外形相同的硬币，其枚外形相同的硬币中一枚是假币（中一枚是假币（重量略有不），如何用没有砝码的天同），如何用没有砝码的天平用最少次数找出假币？平用最少次数找出假币？
每个硬币可能是真，也可能是假，每个硬币可能是真，也可能是假，且假币可能重一些，也可能轻一些，且假币可能重一些，也可能轻一些，故共有24种可能不确定性为ln24。种可能，故共有种可能，不确定性为。
基因型概率分布为
AA a
Aa b 2
b b b b f ( a , b ) = − a ln a − ln − ln − (1 − a − b ) ln( 1 − a − b ) 2 2 2 2 b 即在 a + = p 条件下 , 求函数 f ( a , b ) 最大值 2 解得 : a = p 2 , b = 2 p (1 − p )
问题的解决
• 提出了平均信息熵的概念 • 推导了计算公式、性质 • 给出了应用：作为信源提供信息量多少的评价依据。
平均值概念的推广
一元函数 1 y = b − a 二元函数 y = f (x) x ∈ [a, b]
∫
a
b
f ( x ) dx =
∫
a
b
f ( x ) dx /
∫ dx
a
b
y = f ( x1 , x 2 )
m
∏
i =1 i
n
k k P ( X = ~i ) = p1k1 p 2 2 L p mm x
∑k
i =1
ln p i = − n ( − ∑
i =1
m
ki ln p i ) n
当 n 较大时，频率近似为概 ln L ≈ − n ( − ∑ p i ln p i )
i =1 m
k 率， i ≈ p i n
∑
n +1 i =1
• X的信息熵定义为“加权平均信息量”
I i = − ln p i H n +1 = − ∑ p i ln p i
i =1 n +1
信息熵的直观意义
X P H 甲赢 0.9 乙赢 0.1 0.325 X P H 甲赢 0.5 乙赢 0.5 0.693
变量的不确定性越大，熵也就越大，变量的不确定性越大，熵也就越大，把它搞清楚所需要的信息量也就越大。所需要的信息量也就越大。一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一个系统越是混乱，信息熵就越高。所以，系统越是混乱，信息熵就越高。所以，信息熵也可以说是系统有序化程度的一个度量。说是系统有序化程度的一个度量。
由此可见，无论第一代基因型概率分布为何值，第二代基因型熵即达到最大
A a 多对等位基因也有相同的结论 B b B b A a
Hardy–Weinberg 平衡 (H–W平衡)定律
一个随机交配的群体中，等位基因频率保持不变，基因型频率至多经过一个世代也将保持不变。
问题的提出
• 在信息论中，如何评价信源提供信息量的多少，是一个值得探讨的问题。 • 现在用的是相对率的概念，是以信息熵与最大信息熵之比作为依据的。
熵的性质
• • • • • 连续非负性对称性扩展性可加性极值性：
H n = ln n
当p1 = p2 = L = pn时, 即事件发生的可能性相同时，熵取得最大值
• 1948年，Shannon提出了熵的概念，并以此作为信息的度量，宣告了信息论作为一门科学学科的诞生。 • 近年来，随着计算机应用的发展和信息时代的来临，信息论理论和应用的研究更显示出其重要意义。
例：会堂有20排、每排20个座位。找一个人。甲告诉消息(A)：此人在第10排；乙告诉消息(B)：此人在第10排、第10座。
总不确定性 ln N = ln 400 = 5 . 991 1 1 P ( A) = , I = − ln = 2 . 996 20 20 1 1 P(B) = , I = − ln = 5 . 991 20 × 20 400
(1 + , 0 , L , 0 ) (1 − , 0 , L , 0 )
L ( 0 , L , 0 ,1 + ) L ( 0 , L , 0 ,1 − )
将硬币分成3份其中部分在将硬币分成份，其中2部分在天平的两边。实验结果有3种可天平的两边。实验结果有种可能性：假币在天平左边、右边、能性：假币在天平左边、右边、不在天平上。不在天平上。当3种可能性概率相同时，种可能性概率相同时，种可能性概率相同时熵最大，熵最大，因此每次实验提供的最大信息熵为ln3。的最大信息熵为。设至少秤k次少秤次， k次实验提供的次实验提供的信息熵最多为kln3, 信息熵最多为可得k至少为有ln24=kln3可得至少为。可得至少为3。
1948年，美国数学家、信息论的年美国数学家、创始人Shannon在题为“通讯的在题为“ 创始人在题为数学理论”的论文中指出：数学理论”的论文中指出：“信息是用来消除随机不定性的东应用概率论知识和逻辑西”。并应用概率论知识和逻辑方法推导出了信息量的计算公式方法推导出了信息量的计算公式
∫∫L∫ H
V
n +1
( p1 , p2 ,L , pn ) dp1dp2 L dpn
1 2 n V
∫∫L∫ dp dp L dp
n +1 i =1 i i 1 2 V
∫∫L∫ ∑ (− p ln p ) dp dp L dp = ∫∫L∫ dp dp L dp
1 2 n V
n
n + 1 n +1 1 1 n +1 1 = ∑ i / n! = ∑ i (n + 1)! i = 2 i =2
H n ( X ) / ln n
• 问题：该值多大才算提供较多的信息量？
问题的设想
• 提出平均信息熵作为评价依据。
• 以学习成绩比较为例，众所周知，成绩好坏，除了与最高分比较，更多的是与平均成绩比较，当某个学生的成绩超过平均成绩时，说明该生的成绩较好，否则说明应该发奋努力了。 • 在信息论中也是如此，当信源提供的信息量达到或超过平均信息熵时，可认为已提供了较多的信息。
平均信息熵公式
• 公式：
H
n
=
∑
I = −c ⋅ log a p
I = − ln p
为应用方便，可取c=1，a=e，单位为奈特（nat）
如何体现不确定性的消除？信息量函数 I= -lnp 如何体现不确定性的消除？
M = p, 其中 N为基本事件总数，设P ( A) = N M为事件 A所包含的基本事件数将N看成总的不确定性， M为事件 A所包含的不确定性从而获知事件 A发生后，共消除的不确定性为 N − M 将变量取对数后，不影响数值大小的单调性，又能和事件发生的概率联系起来 ln 将 ln N看成总的不确定性， M为事件 A所包含的不确定性从而获知事件 A发生后，共消除的不确定性为 ln N − ln M = − ln p
由信息量公式 I= -lnp 可知 I 是 p 的单调下降函数
信息熵(entropy )的概念