05_断裂力学基础知识

飞机结构损伤容限设计第5讲断裂力学基础知识内容概要1.断裂力学简介2.能量平衡理论3.应力强度因子理论4.裂纹尖端塑性区5.复合型准则6.断裂韧度试验结构断裂，起源于裂纹。

断裂力学：采用弹、塑性理论和新的试验技术研究裂纹尖端附近的应力、应变场和裂纹扩展的一门学科。

研究对象：带裂纹的材料和结构。

裂纹的生成裂纹的亚临界扩展断裂开始断裂传播断裂停止1921年Griffith探索“为什么玻璃等材料的实际断裂强度比用分子结构理论所预期的强度低得多？”通过系列研究，他认为物体内部存在细小的缺陷或裂纹，在外载作用下物体内部能量释放所产生的裂纹驱动力导致了裂纹的增长，同时物体内部也存在阻止形成新裂纹面积的阻力，即在裂纹增长过程中物体中驱动裂纹增长的动力与阻止裂纹增长的阻力是平衡的。

Griffith的上述研究分析促使了断裂力学的形成！Griffith 根据Inglis 对开孔薄板的应力场、位移场计算公式，计算出椭圆孔短轴尺寸趋于零(理想裂纹尖端)时，含孔裂纹板应变能的改变为：22224a tA U E E πσπσ==2A at =裂纹单侧自由表面的面积。

裂纹扩展动力！裂纹扩展后，形成两个新的自由表面，则其表面能增加了，设γ为表面能密度，则两个自由表面总的表面能为：2A γΓ=则含裂纹板相对于初始状态的总势能为：裂纹扩展阻力！2224A P U A E πσγ=−+Γ=−+裂纹处于不稳定平衡状态时，有：0P A∂=∂220P A ∂<∂有：22204P A A Etπσγ∂=−+=∂222AEtπσγ=Griffith 理论研究结果仅适用于完全脆性材料，而绝大多数金属材料断裂前都存在塑性区域，该理论不适用，这是Griffith 理论长期得不到重视的原因。

Orowan 对金属材料裂纹扩展过程进行研究后，指出裂纹扩展前在其尖端附件会产生一个塑性区，因而提供给裂纹扩展的能量不仅用于形成新的表面所需要的表面能，还用于引起塑性变形所需的能量，即“塑性功”，则：22224A P U A A E πσϕγ=−+Γ+Ψ=−++ψ为塑性功率。

有：()222AEt πσγϕ=+对于金属材料，通常ψ比γ大三个数量级，故而：24AEt πσϕ=从能量角度看，可有：d d d d W U =+Γ+Ψ裂纹扩展d A 时需要的能量：-d d d d d W U Π=−=Γ+Ψ则定义裂纹扩展时的能量释放率为：G=--W U A A A∂Π∂∂=∂∂∂定义裂纹扩展时所受到的阻力率为：==+C R G A A∂Γ∂Ψ∂∂对给定材料而言，裂纹扩展所消耗的塑性功和裂纹表面能都是材料常数，而与外载情况以及裂纹几何形状无关，因而G C 反映了材料抵抗断裂破坏的能力，称为材料的断裂韧度。

当材料的能量释放率G 达到其断裂韧度G C 时，裂纹将失去平衡，开始失稳扩展，所以能量释放率断裂判据为：=CG G 能量释放率G 的量纲：[力][长度]-1；其国际单位：牛顿·米-1(N·m -1)裂纹的静止、平衡或发展都与裂纹尖端的应力场有直接关系，因而对裂纹的应力分析最重要的是对在尖端的应力场和位移场进行分析。

在断裂力学中，按裂纹受力情况将裂纹分为分为3种基本类型：张开型，I型：裂纹表面的位移垂直于裂纹面滑开型，II型：裂纹表面的位移在裂纹面内，且垂直于裂纹前缘撕开型，III型：裂纹表面的位移在裂纹面内，且平行于裂纹前缘根据线弹性力学，无限宽板受载荷作用后，裂纹尖端的应力场解析解为：3cos 1sin sin 2222x Y a rσθθθσπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠3cos 1sin sin 2222y Y a rσθθθσπ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠3cos sin cos 2222xy Y a rσθθθτπ=不同类型的裂纹模式，其裂纹尖端的应力场和位移场有相似之处，都可以简化写出如下形式：()(I)(I)I 2ij ij K f rσθπ=()(I)(I)I i ij r u K g θπ=σij 代表应力分量；u i 代表位移分量；(I)表示I 型裂纹；f (θ)，g (θ)代表极坐标角θ的函数。

应力场表达式特点：①裂纹尖端上(r = 0处)各应力分量趋于无穷大，应力在裂纹尖端出现奇异点；②应力σi 与参量KI成正比。

在同一变形状态下，不论其它条件怎样，只要KI值相同，则裂纹尖端邻域的应力场应力值σi 相同，所以KI反映了裂纹尖端弹性应力场的强弱，称为裂纹尖端应力场强度因子，简称应力强度因子。

③应力强度因子在裂纹尖端是有限量；④裂纹尖端附件区域的应力分布是r和θ的函数，与无限远处的应力和裂纹长度无关。

I K F aσπ=⋅鉴于裂纹尖端应力场的分布特点，若采用应力为参量来建立传统的强度条件已不合适，但应力强度因子是有限量，它不代表某一点的应力，而是代表应力场强度的物理量，所以采用它来描述带裂纹结构的破坏是合适的。

应力强度因子的一般表达函数：σ代表名义应力，即结构按照无裂纹计算的应力；a 代表裂纹尺寸；F 是形状函数，与裂纹大小、位置等有关。

应力强度因子描述了裂纹尖端的应力场，它随外载荷的增加而增加，当带裂纹结构断裂破坏时，此时的应力强度因子为:I ICc c K F a K σπ=⋅=上式中K IC 为结构断裂时应力强度因子的临界值，通过大量试验分析发现，该值对于给定的材料是一个定值，所以它是材料的一个属性常数，称其为材料的断裂韧性(或断裂韧度)。

应力强度因子K I和断裂韧性K IC的区别：①应力强度因子K I是描述裂纹尖端应力场强弱程度的力学度量，它不仅随外加应力以及裂纹长度而发生变化，也和裂纹形状类型，加载方式等有关，但它和材料本身固有性能无关；②断裂韧性K IC则是反映材料阻止裂纹扩展的能力，属于材料的自身特性；③通常K C是指平面应力的断裂韧性，它与试件厚度有关，只有厚度增加到平面应变状态时K C才趋于一稳定最低值K IC，此时与材料厚度无关，试验测试以及建立断裂判据时所采用的均是平面应变的断裂韧性K IC。

当实际构件中裂纹尖端附近区域应力强度因子达到临界值，也即K I =K IC 时，裂纹失稳扩展，发生脆性断裂，所以断裂韧性是判断裂纹是否失稳的一个指标，工程上一般以平面应变断裂韧性K IC 作为设计依据。

I ICK K ≤上述准则称为：断裂K 判据K准则适用条件：①断裂韧性K IC只适用于线弹性介质，也可近似使用小范围屈服的介质中，但不使用于大范围屈服情况，因此时已不是弹性应力场；②测试K IC必须保证试件处于平面应变状态而非平面应力状态，因为平面应变状态下裂纹尖端附近受三向拉应力作用，材料变脆，较之平面应力的两向应力状态裂纹更易扩展，此时的断裂韧性值最低，以此为判断指标可保证构件安全工作。

线弹性力学给出裂纹尖端应力场的表达式为：3cos 1sin sin 2222x Y a r σθθθσπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠3cos 1sin sin 2222y Y a rσθθθσπ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠3cos sin cos2222xyY a rσθθθτπ=当r →0时，应力趋于无穷大！而实际工程材料都不可能承受无穷大的应力，材料必然进入塑性，发生屈服，需要对材料的塑性区展开研究。

讨论裂纹尖端塑性区的意义：¾断裂是裂纹的扩展过程，而裂纹扩展所需的能量主要消耗在塑性变形上，材料塑性区尺寸越大，消耗的塑性变形功越大，材料的断裂韧性也相应的越大；¾应力强度因子是采用线弹性获取，当裂纹尖端存在塑性区时，线弹性断裂理论不再适用，必须讨论不同应力状态的塑性区以及影响塑性区尺寸的因素。

裂纹尖端塑性区求解：材料裂纹尖端受载荷后发生屈服，屈服的Von -Mises 条件为()()()22221223312Sσσσσσσσ−+−+−≤对于材料的平面问题，由弹性力学知：()221,23312220x y x y xyσσσσστσσμσσ⎧+−⎛⎞⎪=±+⎜⎟⎪⎝⎠⎨=⎪⎪=+⎩平面应力平面应变结合裂纹尖端应力解，有I 1,2cos 1sin 22rK θθσπ⎛⎞=⋅±⎜⎟⎝⎠把上式代入材料的Von -Mises 屈服条件中，则得裂纹尖端的塑性区尺寸为：222I 2cos13sin 222SKr θθπσ⎛⎞=⋅+⎜⎟⎝⎠1) 平面应力状态2I0212SK r πσ=对应于裂纹尖端，即θ＝0，有()2222I 2cos123sin 222SKr θθμπσ⎛⎞=⋅−+⎜⎟⎝⎠2) 平面应变状态()22I 021122SKr μπσ=−对应于裂纹尖端，即θ＝0，有塑性区形状：1) 平面应力：区域大，近似”腰”形2) 平面应变：区域小，近似”8”字形Irwin认为，如果裂纹尖端塑性区尺寸远小于裂纹尺寸，大致说来，r/a<1/10，这时称为小范围屈服。

在这种情况下，只要将线弹性断裂力学得出的公式稍加修正，就可以获得工程上可以接受的结果。

基于这种想法，Irwin(欧文)提出等效模型概念。

裂纹尖端应力超过材料的屈服强度之后产生应力松弛。

应力松弛可以有两种方式，一是产生塑性变形，即使塑性区扩大；二是裂纹扩展，即当裂纹扩展了一小段距离后，同样可使裂纹尖端的应力集中得以松弛。

上述两种应力松弛的方式是等效的，为了计算K值，可以假设裂纹的长度增加了，由原来的a增加到，而裂纹尖端的原点由O a´=a+ry的距离达到了O´点。

点移动了ry此即Irwin等效模型，而a´=a+ry 为有效裂纹长度。

对于弹性－理想塑性材料，上图中A ，B ，C 处的应力均为材料的屈服应力σS ，因而有：则考虑裂尖屈服后，其应力分布为ABD 区域，但它与弹性解相比少了区域ABF ，而原弹性解满足静力平衡条件，故而由AB 区域少承担的载荷必须转移到部份弹性材料上，其结果是更多的材料进入屈服。

假设线弹性解在屈服区外仍然适用，设修正后的屈服区尺寸为R ，则CE 和BD 段的分布规律相同，所以CE 区域外的应力场可使用修正过后的弹性应力强度因子描述：y r r =所以在考虑裂纹尖端塑性屈服后，结构的应力强度因子被修正为：()I y K F a r σπ=⋅+而在裂纹线(θ= 0)上的应力为()I 0r R 2-y Sy r R K r r σσσπ=≤=≥应力松弛后屈服区的宽度R 求解：根据力平衡条件，上图中应力松弛前后的对x 轴的面积相同，即S FBD =S ABCE ，又假设松弛前后弹性区的应力分布规律相同，故有：S BD =S CE ，则S FB =S ABC ：00r r I 00d d 2S y K R x x xσσπ==∫∫有：2I 0S 12K R r απσ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠122α⎧⎪=⎨⎪⎩平面应力平面应变实际工程结构中，裂纹多处于复合型变形状态，如张开型和滑开型，张开型和扭转型并存等复合裂纹，因此研究复合型裂纹的失稳合扩展规律具有重要工程意义。