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一次函数的例题

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第1页（共14页）

一次函数的例题

一．选择题（共11小题）

1．小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16min到家，再过5min小东到达学校，小东始终以100m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：

①打电话时，小东和妈妈的距离为1400米；

②小东和妈妈相遇后，妈妈回家速度为50m/min；

③小东打完电话后，经过27min到达学校；

④小东家离学校的距离为2900m．

其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）

A．1元 B．2元 C．3元 D．4元

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3．甲、乙两人在直线道路上同起点，同终点，同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500m，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30s后，乙才出发，甲、乙两人的距离y（m）与甲出发的时间x（s）之间的关系如图所示，下列说法中错误的是（ ）

A．甲的速度是2.5m/s，乙的速度为3m/s

B．乙出发150秒后追上了甲

C．乙到达终点时，甲距终点250m

D．甲到达终点比乙晚了70s

4．一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，下列说法：

①甲、乙两地之间的距离为560km；

②快车速度是慢车速度的1.5倍；

③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；

④相遇时，快车距甲地320km

其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．在一次函数y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）

第3页（共14页）

A． B． C． D．

6．已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s=a+2b，则s的取值范围是（ ）

A．﹣5≤s≤﹣ B．﹣6＜s≤﹣ C．﹣6≤s≤﹣ D．﹣7＜s≤﹣

7．已知k＞0，b＜0，则一次函数y=kx﹣b的大致图象为（ ）

A． B． C． D．

8．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP=90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（ ）

A．3≤m≤4 B．2≤m≤4 C．0≤m≤ D．0≤m≤3

9．如图，在一次函数y=﹣x+6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有（ ）

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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．函数y1=|x|，．当y1＞y2时，x的范围是（ ）

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．x＞2

11．在一次函数y=﹣x+3的图象上取一点P，作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为，则这样的点P共有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二．填空题（共14小题）

12．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是 ．

13．如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是 ．

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14．已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第

象限．

15．如图，直线y=kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜x的解集为 ．

16．如图，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx+b＞mx﹣2的解集是 ．

17．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解是 ．

18．已知m是整数，且一次函数y=（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m= ．

第6页（共14页）

19．如图，直角坐标系中，点P（t，0）是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y=x，直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．

（1）当t=2时，正方形ABCD的周长是

．

（2）当点（2，0）在正方形ABCD内部时，t的取值范围是 ．

20．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为 ．

21．若点M（k﹣1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k﹣1）x+k的图象不经过第 象限．

22．无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则（2m﹣n+3）2的值等于 ．

23．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是 ．

24．若一次函数y=2（1﹣k）x+k﹣1的图象不过第一象限，则k的取值范围

第7页（共14页）

是

．

25．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则B，C两地相距 千米．

三．解答题（共15小题）

26．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：

（1）乙车的速度是 千米/时，t= 小时；

（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．

27．某酒厂每天生产A，B两种品牌的白酒共600瓶，A，B两种品牌的白酒每瓶

第8页（共14页）

的成本和利润如下表：

设每天生产A种品牌白酒x瓶，每天获利y元．

（1）请写出y关于x的函数关系式；

（2）如果该酒厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？

A B

成本（元/瓶） 50 35

利润（元/瓶） 20 15

28．甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回．请根据图象中的数据回答：

（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？

（2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？

（3）甲车从B地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？

29．如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．

（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为 L/km、

L/km．

（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．

（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？

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30．受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：

到超市的路程（千米） 运费（元/斤•千米）

甲养殖场 200 0.012

乙养殖场 140 0.015

（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？

（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？

31．甲、乙两人沿同一路线登山，图中线段OC、折线OAB分别是甲、乙两人登山的路程y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象．请根据图象所提供的信息，解答如下问题：

（1）求甲登山的路程与登山时间之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求乙出发后多长时间追上甲？此时乙所走的路程是多少米？

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32．如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；

（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？

33．某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．

（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；

（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；

（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？

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一次函数的应用(知识点+例题)

一次函数的应用(知识点+例题)

1.（2013•鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：

（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？

（2）求线段CD对应的函数解析式．

（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．

一次函数的应用 知识点一：一次函数与坐标轴交点和面积问题

1：交点问题

一次函数bkxy的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点。

【典型例题】

1．直线y=－x+2与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是

2．直线y=－x－1与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是

3．函数y=x+1与x轴交点为（ ）

A．（0，-1） B．（1，0） C．（0，1） D．（-1，0）

4．直线y=-32x+3与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ）

A．3 B．6 C．34 D．32

5．直线y=-2x-4交x轴、y轴于点A、B，O为坐标原点，则S△AOB= 。

6．若直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b的值是 。

7．如图所示，已知直线y=kx-2经过M点，求此直线与x轴交点坐标和直线与两坐标轴围成三角形的面积．

2：面积问题

面积：一次函数y=kx+b与x、y轴所交的两点与原点组成的三角形的面积为2bk

(1)：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解。

(2)：复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）。

一次函数的经典例题

一次函数的经典例题

1 一次函数的经典例题

一次函数是数学中的基础概念之一，也是数学应用中常见的函数类型。下面给出一些经典的一次函数例题，帮助读者更好地理解和掌握一次函数的相关概念和性质。

例题1：设直线L过点A(2,3)和B(5,7)，求直线L的方程。

解析：根据直线上两点的坐标，我们可以先计算出直线的斜率k。斜率的计算公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。代入点A和B的坐标，得到斜率k=(7-3)/(5-2)=4/3。接下来，我们可以使用点斜式的方程形式来求解，即y-y1=k(x-x1)。代入点A的坐标和斜率，得到直线L的方程为y-3=(4/3)(x-2)。

例题2：已知直线L的方程为y=2x+1，求直线L与x轴和y轴的交点坐标。

解析：当直线与x轴相交时，y坐标为0；当直线与y轴相交时，x坐标为0。因此，我们可以分别令y=0和x=0，解方程求出交点坐标。首先，令y=0，代入直线方程得到0=2x+1，解方程可得x=-1/2。所以，直线L与x轴的交点坐标为(-1/2,0)。接下来，令x=0，代入直线方程得到y=2(0)+1，解方程可得y=1。所以，直线L与y轴的交点坐标为(0,1)。

例题3：已知一次函数y=3x-2，求函数图像与x轴和y轴的交点坐标，并画出函数图像。

解析：当函数与x轴相交时，y坐标为0；当函数与y轴相交时，x坐标为0。因此，我们可以分别令y=0和x=0，解方程求出交点坐标。首先，令y=0，代入函数方程得到0=3x-2，解方程可得x=2/3。所以，函数图像与x轴的交点坐标为(2/3,0)。

2 接下来，令x=0，代入函数方程得到y=3(0)-2，解方程可得y=-2。所以，函数图像与y轴的交点坐标为(0,-2)。

为了更好地理解该一次函数的特性，我们可以绘制其函数图像。根据函数的斜率和截距，我们可以确定函数图像的走势。斜率为正数3表示函数是一个上升的直线，而截距-2表示函数与y轴的交点坐标为(0,-2)。通过这些信息，我们可以在坐标系中画出该一次函数的图像。从交点(0,-2)开始，以斜率为3向右上方延伸，绘制一条直线。

一次函数经典例题

一次函数经典例题

类型一：正比例函数与一次函数定义

1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？

思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．

解：∵函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数，

∴ ∴m=-2.

∴当m=-2时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数．

举一反三：

【变式1】如果函数是正比例函数，那么（ ）.

A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0 D．m=1

【答案】：考虑到x的指数为1，正比例系数k≠0，即|m-1|=1；m-2≠0，求得m=0，选C

【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当x=4时，求y的值；

（3）当y=4时，求x的值．

解析：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．

把 x=2，y=7代入y-3=kx中，得

7-3＝2k，

∴ k＝2．

∴ y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．

（2）当x=4时，y=2×4+3=11．

（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=.

类型二：待定系数法求函数解析式

2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．

思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．

解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，

∵图象经过点（ 2，-1），

∴ -l=2×2+b．

∴ b=-5，

∴所求一次函数的表达式为 y=2x-5.

总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。

中考17题 一次函数应用(含答案)

中考17题 一次函数应用(含答案)

专题系列——行程问题

- 1 - 一次函数应用——行程问题

【例题】（重庆19年中考A卷） 某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是 ▲ 千米．

【答案】6米 由图知甲的速度为4000÷(12-2-2)=500米/分.乙的速度为4000÷(2+2)=1000米/分. 则乙回到公司时，用了4分钟，而此时甲前行了500×4=2000米

【变式】（重庆19年中考B卷） 一天，小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家.小明拿到书后以原速度的45快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）.两人之间相距的路程y(米)与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ▲ 米.

专题系列——行程问题

- 2 - 【答案】2080 提示：设小明原速度为x米/分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，

家校距离为11x+(23-11)×1.25x=26x.设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得：

11x=(16-11)y且(16-11)(1.25x+y)=1380.解得：x=80，y=176.

【例题1】 甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过15小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当甲车到达B地时，乙车距A地 ▲ 千米．