圆锥曲线与方程复习资料

期末专题复习：圆锥曲线（四）—轨迹与方程1．到点(0,4)F 的距离比它到直线5y =-的距离小1的动点M 的轨迹方程为( )A ．216y x =B ．216y x =-C ．216x y =D ．216x y =- 2．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，点P 满足0PM PN ⋅= ，则点P 的轨迹方程为( ) A ．22116x y += B ．224x y += C ．228y x -= D ．228x y += 3．方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0，表示的曲线是( )A ．一直线与一圆B ．一直线与一半圆C ．两射线与一圆D ．两射线与一半圆4．已知圆x 2＋y 2＝4，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4(－1≤x <12) B ．(x －1)2＋y 2＝4(0≤x <1) C ．(x －2)2＋y 2＝4(－1≤x <12) D ．(x －2)2＋y 2＝4(0≤x <1) 5．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．已知△ABC 中，A 、B 的坐标分别为(0,2)和(0，－2)，若三角形的周长为10，则顶点C 的轨迹方程是( )A ．x 29＋y 25＝1(y ≠0)B ．x 25＋y 29＝1(x ≠0)C ．x 236＋y 220＝1(y ≠0)D ．x 232＋y 236＝1(x ≠0) 7．设P (a ，b )是单位圆上的点，则Q (a ＋b ，ab )的轨迹方程是( )A ．(a ＋b )2＋a 2b 2＝1B ．x 2＝2y ＋1C ．a 2＋b 2＝1D ．x 2＝2y －18．如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x ′Oy ′(其中y ′轴与y 轴重合)所在的平面为β，∠xOx ′＝45°．(1)已知平面β内有一点P ′(22，2)，则点P ′在平面α内的射影P 的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C ′的方程是(x ′－2)2＋2y ′2－2＝0，则曲线C ′在平面α内的射影C 的方程是________．9．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程是________．10．点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆x 23＋y 24＝1上运动，则△PF 1F 2 的重心G 的轨迹方程___ _ ____．11．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2． 其中，所有正确结论的序号是________．12．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点．求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．13．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 与BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ．问：是否存在点P 使得△P AB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．。

圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是平面上的一类曲线，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。

1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC < 0，则为椭圆。

椭圆是一个封闭的曲线，其特点是到两个焦点的距离和固定。

椭圆在几何中有重要的应用，如椭圆的焦点在天文学中用于描述行星和卫星的轨道。

2. 双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC > 0，则为双曲线。

双曲线有两个分支，其特点是到两个焦点的距离差固定。

双曲线在几何中也有广泛的应用，如描述光线在反射和折射中的路径。

3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC = 0，则为抛物线。

抛物线是一个开口向上或向下的曲线，与焦点的距离等于到准线的距离。

抛物线在物理学、工程学和建筑学等领域中有重要的应用，如描述抛物面的形状。

4. 圆锥曲线的性质：(i) 对称性：圆锥曲线可以关于x轴、y轴、z轴和原点对称。

(ii) 焦点：圆锥曲线有1个或2个焦点，焦点是与曲线特定性质相关的重要点。

(iii) 准线：圆锥曲线有1条或2条准线，准线是与曲线特定性质相关的重要线。

(iv) 渐近线：双曲线有两条渐近线，抛物线有一条渐近线。

《圆锥曲线与方程》（理）知识点串讲一、椭圆1．椭圆的定义文字叙述：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．数学语言：集合，其中，，，，为常数，则集合表示以，为焦点的椭圆．注意：（1）与圆的定义（平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹）类比可知：二者的定义方式一致———都是通过对平面内与定点的距离满足某些条件的动点的轨迹研究得出的．（2）注意椭圆定义中的限制条件：当时，点的轨迹为线段；当时，点的轨迹不存在（或不表示任何图形）．2．两种标准方程（1），焦点在轴上；（2），焦点在轴上．注意：（1）参数关系：，，中最大．（2）判断焦点位置的方法：①椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；②椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．3．椭圆方程的一般形式，其焦点位置有如下规律：当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上．注意：在求椭圆的标准方程时，有时不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的标准方程为，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出的值即可．如：求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程．4．理解椭圆应注意的几点（1）椭圆的两个焦点总在它的长轴上．（2）离心率的大小对椭圆形状的影响：∵．∴当趋近于1时，变小且越接近于，椭圆越扁平；当趋近于时，变大且越接近于１，椭圆越圆．二、双曲线1．双曲线的定义文字叙述：在平面内到两个定点，距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．数学语言描述：集合，其中，，，为常数，则集合表示以，为焦点的双曲线．注意：（1）定义中的限制条件．当时，点的轨迹为以，为端点的两条射线；当时，轨迹不存在（或不表示任何图形）；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（2）定义中的“绝对值”必不可少．若有“绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若去掉“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支．2．两种标准方程（1），焦点在轴上；（2），焦点在轴上．注意：双曲线与椭圆标准方程的不同：（1）“＋”、“－”号不同：椭圆标准方程中是“＋”号，双曲线标准方程中是“－”号；（2）的大小关系不同：椭圆标准方程中，而双曲线中大小不确定；（3）关系不同：椭圆标准方程中，而双曲线中．3．双曲线方程的一般形式，其焦点位置有如下规律：当，时，焦点在轴上；当，时，焦点在轴上．注意：当不知焦点在哪个坐标轴上，求标准方程时常用此形式．如：求焦点在坐标轴上，且经过和的双曲线的标准方程．4．理解双曲线应注意的几点（1）椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当从接近1逐渐增大时，的值就从接近于逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大．（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．∵，∴把标准方程中的“1”用“”替换即可得出渐近线方程．（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：①渐近线方程为的双曲线的方程为：（且为常数）．②与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为（且为常数）．三、抛物线1．抛物线的定义平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，焦点到准线的距离（定长）叫做抛物线的焦参数．注意：（1）抛物线的定义还可叙述为“平面内与一个定点和一条定直线的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线”．（2）定义的实质可归结为“一动三定”．一个动点，一个定点（抛物线的焦点），一条定直线（抛物线的准线），一个定值（点与点的距离和它到直线的距离之比等于1．） （3）定点，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点垂直于直线的一条直线．2．抛物线的标准方程顶点在原点，轴与坐标轴重合的抛物线的标准方程有4种形式： 分别为：（其中）． 注意：（1）的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，故恒为正数．（2）焦点的横（纵）坐标是一次项系数的．（3）准线与坐标轴的交点与抛物线的焦点关于原点对称． 3．标准方程的求法 （1）在中，只含有一个参数，因此只要有一个独立的条件就可以求出其参数（常用待定系数法）．（2）求抛物线的标准方程时，首先要确定标准方程的形式，这是解题的关键． 4．理解抛物线应注意的几点（1）抛物线的性质与椭圆、双曲线差别较大：抛物线的离心率等于１，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，它不是中心对称图形，因而没有对称中心． （2）抛物线的开口大小：由方程可知，对于同一个值，值越大也越大，不妨说抛物线开口越大，这样可以较好地理解不同的值与其开口大小的关系．（3）抛物线定义的妙用：常利用抛物线的定义将点到焦点的距离与到准线的距离进行相互转化．5.直线 l 经过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，点A 、B 在准线上的射影分别为A ’、B ’． （1）若l 的倾斜角为 α ，求证：|AB|=22sin pα；（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明：221212,4p x x y y p ==-； （3）设|AF|=m ，|BF|=n ，证明：112m n p+= ； （4）求证：A ，O ，B ’三点共线；（5）设准线交x 轴于K ，求证：∠AKF=∠BKF ； （6）求证：以AB 为直径的圆与准线相切； （7）求证：∠A ’FB ’=90°．四、直线与圆锥曲线的关系1、设直线l:0Ax By C ++= 圆锥曲线C : 由(1)当0a = 时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点.此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行; 若圆锥曲线为抛物线，则直线与对称轴平行。

圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是数学中的一个重要分支，涉及到许多有趣而复杂的数学概念和方程。

在这篇文章中，我们将对圆锥曲线和方程的关键知识点进行总结。

一、圆锥曲线的定义与分类圆锥曲线是由一个平面和一个双曲面或椭球面相交而形成的曲线。

根据平面和曲面的相对位置和交叉方式，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。

椭圆是圆锥曲线中最简单也是最熟悉的一种形式。

它可以定义为平面上距离两个固定点之和为常数的点组成的集合。

椭圆有两个焦点，离焦点越远的点离圆心越远。

椭圆的方程是标准方程形式(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

双曲线是由与椭圆相似的方式定义而成的。

它可以定义为平面上距离两个固定点之差为常数的点组成的集合。

双曲线有两个焦点，离焦点越远的点离中心轴越远。

双曲线的方程是标准方程形式(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = -1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a 和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。

抛物线也是圆锥曲线中的一种形式。

它可以定义为平面上距离一个固定点和一个固定直线的距离相等的点组成的集合。

抛物线有一个焦点和一条准线。

抛物线的方程是标准方程形式y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数。

二、圆锥曲线的性质与应用除了定义和方程，圆锥曲线还有许多重要的性质和应用。

下面我们将介绍其中的一些。

1. 焦点和准线：焦点是圆锥曲线的一个重要特征。

在椭圆和双曲线中，焦点是使得曲线上的点满足焦点定义的关键。

在抛物线中，焦点是使得平面上的点满足距离定义的关键。

准线是抛物线上离焦点最近的直线，具有独特的性质和应用。

2. 相似与合称性：圆锥曲线具有相似性质，即它们的形状在适当的缩放下保持不变。