利用基本不等式求最值的技巧

利用基本不等式求最值问题

几个重要的不等式：（1）),(222Rbaabba；

（2）),(2同号baabba；

（3）),()2(2Rbabaab；

（4）),(1122222Rbabaabbaba

1. 若正实数a,b满足a+b=1，则（ ）。

A.ba11有最大值4 B.ab有最小值41 C.ba有最大值2 D.22ba有最小值22

2. 若正数yx,满足xyyx53，则yx43的最小值是 ；

3. 已知Ryx,，且满足143yx，则xy的最大值为 ；

4. 已知0,0yx，且191yx，则yx的最小值为 ；

5. 已知正数yx,满足02xyyx，那么yx2的最小值 ；

6. 设正实数a,b满足a+b=2，则baa81的最小值为 ；

7. 已知实数yx,满足122xyyx，则yx的最大值为 ；

8. 设a>0,b>1，a,b为正常数，则xbxa1222的最小值为 ；

9. 若正数yx,满足xyyx11，则xy的最小值为 ；

10. 已知0,0ba且a+b=1，则ba121的最小值为 ；

11. 已知23x，则11222xxx的最小值为 ；

12. 已知Ryx,，满足62422xyyx，则224yxz的最小值为 。

13. 若Rba,，0ab，则abba1444的最小值为 。

14.

基本不等式应用

一：直接应用求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2

（2）y＝x＋1x

解：（1）y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6

，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x

＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－

x－1x ）≤－2x·1x

=－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

二：凑项

例2：已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5,5404xx，11425434554yxxxx231

当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

变式 12,33yxxx

三：凑系数

例3.

当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式1：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy

当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。

变式2：已知x，y为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x1＋y 2 的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 22 。

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用基本不等式求最值的技巧

作者：吴雨飞

来源：《中学教学参考·理科版》2019年第12期

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[摘;;;要]文章结合实例分析研究用基本不等式求最值的方法、技巧，以提高学生的解题能力.

[关键词]基本不等式;最值;技巧

[中图分类号];;;;G633.6;;;;;;;;[文献标识码];;;;A;;;;;;;;[文章编号];;;;1674-6058（2019）35-0016-02

基本不等式在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是函数最值问题.利用基本不等式求最值的关键之一是抓住“一正二定三相等”;关键之二就是合理变形，将已知表达式等价转变成含有基本不等式结构的式子.那么，在遇到具体问题时还需用到哪些技巧呢？

技巧一：凑项

函数表达式具备基本不等式的“特征”，是利用基本不等式求函数最值的基本要求.当所求式子不完全符合基本不等式的“特征”时，“凑项”是值得一试的方法.

[例1]当[x<54]时，试问函数[y=4x-2+14x-5]有最大值吗？若有，请求出结果. 龙源期刊网

分析：由于[4x-5<0]，故需“调整”符号，但[（4x-2）·];[14x-5]不是常数，故必须对[4x-2]进行变形.

解：[∵x<54;，∴5-4x>0]，[∴y=4x-2+14x-5=];;;;[-5-4x+15-4x+3][≤-2+3=1].当[5-4x=15-4x]时，即[x=1]时，等号可以取到，所以当[x=1]时，[ymax=1].

技巧二：凑系数

在基本不等式应用中，为了使两式的和为定值，往往需要先凑相关项的系数.

[例2]已知[x∈0，13]，求函数[y=x1-3x]的最大值.

分析：本题是求正数积的最大值，因此其和必须为定值.但是[x+1-3x=1-2x]也含有变量为[x].为了使“和”为定值，必须使[x]的个数增加为三个，通过配凑系数，问题解决自然水到渠成.

陆家高级中学2013届高三数学一轮复习讲义-------不等式

1 课题：七．不等式 3．利用基本不等式求最值 主备课人：戴立先

备课时间：11-21 授课时间：11-28

教学目标：理解基本不等式的适用条件，掌握利用基本不等式解决最值问题.

教学重点：结合配凑、换元、常量代换、消元法等利用基本不等式求最值.

教学难点：把式子变形,使其符合“一正，二定，三相等”的要求.

考点要求：

一． 基础回归：

1．已知，，)0(,ba若1ab，则ba的最小值为_______；若1ba，则ab的最大值为________．

2.下列正确结论的有 ．(填序号)

①若xR， 则1xx的最小值为2； ②若0x时，则12xx；

③若0,x，则sin22sinxx最小值为2； ④当20x时，xx1无最大值．

3.（1）若1a那么11aa的最小值是 .

（2）若xyR，，且14yx，则yx的最大值是 ； (1)xx的最大值 .

答案：1题： 2，14； 2题：②； 3题：（1）3；（2）116，12

设计意图：通过1题回顾基本不等式的两种变形：)00(2babaab， ②22baab ；

通过2题回顾求最值时，必须满足“一正、二定（积定和最小、和定积最大）、三相等”三个条件，三者缺一不可.

二． 例题选讲：

例1：当23x时，求函数328xxy的最大值. 解析：答案：52

法1：“配凑法”.

3433433435()()[()]2().3332222222()()()222fxxxxxxx