北师大版高中数学必修一函数的单调性说课稿教案

§2.3.《函数的单调性》教学设计一【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。

在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力.二【学生分析】从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么,从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。

从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

三【教学目标】1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义. 掌握用定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.四【教学重点与难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．五【学法与教学用具】1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。

函数的单调性教学目标（1）理解掌握函数单调性与导数的关系；（2）能够利用导数的符号判断函数的单调性．教学重点，难点结合几何直观，探索函数单调性与导数的关系．教学过程一．问题情境1．情境：作为函数变化率的导数刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画．2．问题：那么导数与函数的单调性有什么联系呢？二．学生活动结合一个单调函数的图象，思考在函数单调递增的部分其切线的斜率的符号．三．建构数学如果函数()f x 在区间(,)a b 上是增函数，那么对任意1x ，2x ∈(,)a b ，当1x <2x 时，12()()f x f x <，即1x -2x 与12()()f x f x -同号，从而1212()()0f x f x x x ->-，即0y x ∆>∆．这表明，导数大于0与函数单调递增密切相关．一般地，我们有下面的结论：设函数()y f x =，如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数； 如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数；如果在某区间上()0f x '=，那么()f x 为该区间上的常数函数．上述结论可以用下图来直观理解．思考：试结合3y x =：如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0f x '>吗？说明：若()f x 为某区间上的增（减）函数，则在该区间上()0f x '>（()0f x '<）不一定成立．即如果在某区间上()0f x '>（()0f x '<）是()f x 在该区间上是增（减）函数的充分不必要条件．四．数学运用1．例题：例1．确定函数2()43f x x x =-+在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解：()24f x x '=-．令()0f x '>，解得2x >．因此，在区间(2,)+∞内，()f x 是增函数．同理可得，在区间(,2)-∞内，()f x 是减函数（如左图）．例2．确定函数32()267f x x x =-+在哪些区间内是增函数． 解：2()612f x x x '=-．令()0f x '>，解得0x <或2x >． 因此，在区间(,0)-∞内，()f x 是增函数；在区间(2,)+∞内，()f x 也是增函数．例3．确定函数()sin f x x =，[0,2]x π∈的单调减区间．解：()cos f x x '=．令()0f x '<，即cos 0x <，又[0,2]x π∈，所以3(,)22x ππ∈． 故区间3(,)22ππ是函数()sin f x x =，[0,2]x π∈的单调减区间．注意：所求的单调区间必须在函数的定义域内．例4．已知曲线323610y x x x =++-，（1）用导数证明此函数在R 上单调递增；（2）求曲线的切线l 的斜率的取值范围．（1）证明：2223663(21)33(1)30y x x x x x '=++=+++=++>恒成立．所以此函数在R 上递增．（2）解：由（１）可知2()3(1)33f x x '=++≥，所以l 的斜率的范围是3k ≥． 五．回顾小结：函数单调性与导数的关系：函数()y f x =，如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数； 如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数；如果在某区间上()0f x '=，那么()f x 为该区间上的常数函数．。

数学高一年级北师大版必修一2.3函数的单调性（第一课时）一、教材分析：本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一．二、学情分析：学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了初步的感性认识。

同时，学生也具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力。

但是，高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强。

如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度。

另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱。

这些都容易使他们的学习产生思维上的障碍．三、学习目标：通过以上分析及《课标》的要求，我确定本节课的学习目标为：1、能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）.2、通过对函数单调性定义的探究，感悟数形结合的思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力．3、通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．四、教学重点：让学生经历观察、讨论、交流、验证形成增（减）函数形式化定义；会用定义证明函数单调性．五、教学难点：在形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述是其中一个难点；用定义证明函数单调性时的代数推理论证过程是本节课的另一个难点． 六、教学策略：在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y 随x 的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证。

函数的单调性说课稿府谷中学呼建强今天，我说课的内容是《普通高中课程标准实验教科书必修1》第二章第三节——函数的单调性.我将根据新课程标准的理念和高一学生的认知特点设计本节课的教学.下面，我将从四个方面阐述我对这节课的理解和设计.一、教学内容的分析1．教材的地位和作用首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图像的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三以导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图像观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.再次，从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用.最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.2．教学的重点和难点对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:首先，要求用准确的数学符号语言去刻画图像的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求，本节课的教学重点是函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性；难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性；关键点是增函数遇见函数的概念的理解.二、教学目标的确定根据本课教材的特点、课程标准对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我从三个维度确定了以下教学目标：知识与技能目标：1、从形与数两方面理解函数单调性的概念；2、初步掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.过程与方法目标：1、经历从直观的图形感受到抽象概括的符号语言的研究过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、学习数形结合数学思想方法，提高推理论证能力.情感态度价值观：通过知识的探究过程，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯.三、教学方法的选择1．教学方法本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，采用学案导学法，通过课前设计和发放学案，让学生课前预习，带着疑问来到课堂，在主动探究与释疑中学习.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力.2．教学手段教学中使用了多媒体投影和数学软件—几何画板来辅助教学．目的一是充分发挥计算机快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，加深学生对问题的理解和认识；二是利用几何画板中图形的动态变化，让学生理解函数单调性定义中取值的任意性．四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为六个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握证法，适当延展；归纳小结，提高认识；当堂练习，评价学习；作业布置，巩固提升.具体过程如下：(一)创设情境，引入课题概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从具体材料——有关人口出生率的例子出发，而不是从抽象语言入手来引入函数的单调性.使学生体会到研究函数单调性的必要性，明确本课我们要研究和学习的课题，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神．我国的人口出生率变化曲线（如下图），请同学们观察说出人口出生的大致变化情况.我们可以很方便地从图像观察出人口出生的变化情况，对今后的工作具有一定的指导意义.再如：水位涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的问题，下面我们开始研究函数在这方面的主要性质之一―――函数的单调性设计意图：由于数学的一切发展都不同程度地归结为现实的需要，因此，创设实际生活的情境，能够让学生切实感受到数学是源于生活的，激发学生学习数学知识的兴趣，调动学生学习数学知识的欲望，唤起学生的“主角”意识.）然后，我指出生活中我们关心很多数据的变化，并让学生举出一些实际例子（如燃油价格等）. 随后进一步引导学生归纳：所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．(二)归纳探索，形成概念在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的发生与发展过程和数形结合的数学思想，经历观察、归纳、抽象的探究过程，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了三个环节,引导学生分别完成对单调性定义的三次认识.1、借助图像，直观感受本环节的教学主要是从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的常见函数的图像出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.在本环节的教学中，引导学生，根据自己课前在学案预习部分上绘制的函数()2f x x =+、2()f x x =的图像，完成学习探究任务中的思考问题.思考：根据()2f x x =+、2()(0)f x x x =>的图像进行讨论：随x 的增大，函数值y 怎样变化？当x 1<x 2时，f (x 1)与f (x 2)的大小关系怎样？设计意图：由初中知识过度到今天要学的知识，对初中知识进行深化，激起学生新的认知冲突，从而调动学生积极性.2、 探究规律，理性认识在此环节中，我利用几何画板设计了两个函数动画，通过对两个函数进行观察、归纳、抽象，将函数的单调性研究从研究函数图像过渡到文字语言的表述，使学生对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识．教师演示动画 （1）函数()2f x x =+随自变量x 变化的情况；（2）函数2()(0)f x x x =>随自变量x 变化的情况；学生总结两个函数随自变量x 的变化而变化的共同特征.设计意图：让学生在动态的函数图像变化中感受数学的魅力，在观察的基础上进行归纳函数单调性的特征，实现从“图形语言”到“文字语言”的转换，加深对函数单调性的认识.3、 抽象思维，形成概念本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第三次认识.教学中，我将引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.教师演示动画 （1）函数()2f x x =+在R 上的任意两个值x 1，x 2对应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小与x 1，x 2的大小的关系；（2）函数2()(0)f x x x =>任意两个值x 1，x 2对应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小与x 1，x 2的大小的关系.引导学生用严格的数学符号语言归纳、概括函数递增的定义.抽象概括：在函数y =f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1,x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),那么，就称函数y=f(x)在区间A 上是增加的，有时也称函数y=f(x)在区间A 上递增的.让学生类比得到函数递减的定义.指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.并让学生思考下面几个问题.思考：① 图像如何表示单调递增、单调递减？② 所有函数是不是都具有单调性？③ 函数2()f x x =的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 试试：如图，定义在[-5,5]上的f (x )，根据图像说出单调区间及单调性.通过对思考的讨论，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．从而加深学生对定义的理解，完成本阶段的教学.（三）掌握证法，适当延展本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法，同时引导学生探究定义的等价形式，对证明方法做适当延展.例1 证明函数f(x)=3x+2在R 上是增函数.证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤.1．难点突破对于函数单调性的证明，由于前边有对函数()2f x x =+在R 上为增函数的研究作铺垫, 大部分学生能完成取值和求差两个步骤:因此学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔；另一方面部分学生在变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论.针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论，引导学生回顾函数()2f x x =+在R 上为增函数的说明过程，明确变形的主要思路是因式分解.然后我引导学生从已有的认知出发，合并同类项，即把形式相同的项分在一起，变形后容易找到公因式（x 1-x 2）,提取后即可考虑判断符号.2．详细板书在上面分析的基础上，我对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯.证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，（取值）则f(1x )－f(2x )=(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ), （作差变形）由1x <2x ,得1x －2x <0 ,于是f(1x )－f(2x )<0 （定号）即 f(1x )<f(2x ). ∴f(x)=3x+2在R 上是增函数. （判断结论）3．归纳步骤在板书的基础上，我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤(取值,做差变形,定号,定论，判断结论)。

课 题：2.3.1 函数的单调性1教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体 教材分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数3x y =的图象进行了删除，教学中始终以23+=x y 、2x y =、xy 1=等函数为例子进行讨论研究 教学过程： 一、复习引入：⒈ 复习：按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数xy =3x y =的图象. 2x y =的图象如图1，3x y =如图2.⒉ 引入：从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0,+ ∞)上是增函数. 图象在y 轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大， 相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（-∞，0），得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数. 函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课： ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 三、讲解例题：例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数. 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴23)(+=x x f 在R 上是增函数. 例3 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f >∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数. 四、练习：1：课本P59练习：1，2答案：)(x f 的单调区间有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；)(x f 在区间[-2,-1]，[0,1]上是增函数，在区间[-1,0]，[1,2]上是减函数.)(x g 的单调区间有[-π,-2π]，[-2π,2π]，[2π, π]；)(x g 在区间[-π,-2π]，[2π，π]上是减函数，在区间[-2π，2π]上是增函数. 说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.2判断函数23)(+-=x x f 在R 上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =(-31x +2)-(-32x +2)=3(2x -1x ), 又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴23)(+-=x x f 在R 上是减函数. 3判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数. 能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？ 答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.3判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数.第4（1）题能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？ 答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.4 ⑴ 判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由.解：⑴设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =(k 1x +b)-(k 2x +b)=k(1x -2x ).若k>0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴b kx x f +=)(在R 上是增函数.若k<0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴b kx x f +=)(在R 上是减函数.五、小结 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性. 六、课后作业：课本补充：⑴)(x f =41252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 是以(25,41-)为顶点、对称轴平行于y 轴、开口向上的抛物线（如图）;它的单调区间是(-∞,25]与[25,+ ∞);它在(-∞,25]上是减函数，在[25,+ ∞)上是增函数.证明：设1x <2x ≤25,则 )(1x f －)(2x f =21x -22x -5(1x -2x )第4（2）题=(1x +2x -5) (1x -2x ) ∵1x <2x 25≤,∴1x +2x <5，1x -2x <0，∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f ..∴)(x f =2x -5x +6在(-∞,25]上是减函数.类似地，可以证明)(x f 在[25,+∞)上是增函数. ⑵)(x f =-2x +9的图象是以(0,9)为顶点、y 轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是(-∞,0]与[0,+∞)，它在(-∞,0]上是增函数，在[0,+∞)上是减函数.证明：设1x <2x ≤0,则)(1x f －)(2x f =-21x +22x =(1x +2x ) (2x -1x ) ∵1x <2x ≤0,∴1x +2x <0，2x -1x >0， ∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f .∴)(x f =9-2x 在(-∞,0]上是增函数.类似地，可以证明)(x f 在[0,+∞)上是减函数. 七、板书设计（略） 八、课后记：。

§3函数的单调性教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程： 阅读与思考 ♦ 1、阅读教材♦ P36的实例分析及思考交流止。

20406080100120140160180421423425427429501503505507509511513515517519♦ 2、思考问题（1）从P36图2-15 （全国从20120421-20120519每日新增艾滋病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转？（2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 时间间隔 记忆保持量 刚刚记忆完毕 100% 20分钟之后 58.2% 1小时之后 44.2% 8-9小时之后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 一个月后 21.1% ……艾宾浩斯遗忘曲线问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？问题1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:保持量（百分数）天数1 2 3 420 40 60 80 100 (1) 1y x =+(2) 22y x =-+2(3) y x =-1(4) y x=问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗？ 在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势 当x 的值增大时，函数值y 也增大图象在该区间呈下降趋势 当x 的值增大时，函数值y 反而减小如何用x 与 f(x)来描述上升的图象？Oxy2x 2+-=21yOxx1y =Oy1+=x y 1-1yOx2xy -=那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）单调区间如果函数y=f(x)在区间I 是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）练一练1例３、求证：函数在区间上是单调增函数．()1f x x=--()0-∞，证明：设是（0，+∞）上的任意两个实数，且．21,x x 21x x <12121221121111()()(1)(1)x x f x f x x x x x x x --=-----=-=则1212120,0,()()x x x x f x f x -<>∴<()1()10f x x=--+∞故在区间，上是单调增函数．）上是增函数。

§3函数的单调性教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程： 阅读与思考♦ 1、阅读教材♦ P36的实例分析及思考交流止。

20406080100120140160180421423425427429501503505507509511513515517519♦ 2、思考问题 （1）从P36图2-15 （全国从20120421-20120519每日新增艾滋病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转？（2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据艾宾浩斯遗忘曲线问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？问题1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗？ 在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势 当x 的值增大时，函数值y 也增大 图象在该区间呈下降趋势 当x 的值增大时，函数值y 反而减小 如何用x 与 f(x)来描述上升的图象？保持量（百分数）xx(1) 1y x =+(2) 22y x =-+2(3) y x=-1(4) y x =那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）单调区间如果函数y=f(x)在区间I 是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2） ）上是增函数。

函数的单调性设计老师：贵溪市实验中学郑美兰教学年级：高一年级课程学科：数学版本：（北师大版）高一（必修1）【三维目标】1.知识与技能(1)了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思, 并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间。

(2)启发学生能够发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力。

(3)通过对气温变化图进行观察——猜想——推理——证明，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

2.过程与方法：(1)引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数的概念；(2)能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生体会特殊到一般，简单到复杂，具体到抽象的研究方法；(3)渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

【教学重点】函数的单调性及其几何意义．【教学重点】利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】一、创设情境，引入课题下图是贵溪市08年9月1日一天24小时内气温随时间变化的曲线图引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题1：怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？例如：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．二、思考交流，形成概念问题1:画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x+2 （2）f(x) = -x+2 （3）f(x) = x2从上面的观察分析，能得出什么结论？（学生动手画图并讨论）学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

2.3函数的单调性●三维目标1．知识与技能(1)建立增(减)函数的概念，通过观察一些函数图像的特征，形成增(减)函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大(减小)的规律，由此得出增(减)函数单调性的定义. 掌握用定义证明函数单调性的步骤．(2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程．2．过程与方法(1)通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．(2)学会运用函数图像理解和研究函数的性质．(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3．情感、态度与价值观使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的积极性．●重点难点重点：函数的单调性的证明．难点：增函数、减函数形式化定义的形成及单调性的证明．本节课的难点主要是发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是定义中“任意”的理解，建议教学时多给学生操作与思考的空间；另一个难点是定义法判断或证明函数的单调性，其主要原因是学生比较大小的能力不够，因此，对于函数的复杂程度要加以限制，同时要帮助学生建立判断函数单调性的基本步骤．●教学建议在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容，实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最后根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想，将图像法和定义法统一起来．由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于学生画函数图像，以便有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．●教学流程创设情景，揭示课题，观察函数的图像，说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律⇒研探新知，通过观察、思考、讨论，归纳得出增函数、减函数的定义⇒利用定义，借助例1及变式训练，加深对单调性定义的理解⇒完成例2及变式训练，通过图像得出函数的单调区间⇒发展思维，强化函数单调性的应用，完成例3及变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读1.理解函数的单调性的概念及其几何意义．(难点)2．掌握用定义证明函数单调性的步骤．(重点)3．会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用．(易混点)【问题导思】观察下列函数的图像．当自变量x的值增大时，函数值f(x)是如何变化的？【提示】函数y＝x的值逐渐增大，函数y＝－x的值逐渐减少，而函数y＝x2在(－∞，0]上逐渐减小，在[0，＋∞)上逐渐增大．函数在区间上的增加(递增)或减少(递减)性1．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，或称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．2．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，或称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．【问题导思】1．函数y＝f(x)在[－3,3]上的图像如下：该函数的图像在哪些区间上是上升的？在哪些区间上是下降的？ 【提示】 在区间[－3，－2]，[2,3]上是上升的，在区间[－2,2]上是下降的．2．对于问题1中区间[－2,2]上的任意x 1，x 2，当x 1<x 2时，是否有f (x 1)>f (x 2)?【提示】 图像在区间[－2,2]上是下降的，所以有f (x 1)>f (x 2)．1．单调区间如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或减少的，那么称A 为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．2．单调性如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y ＝f (x )在这个子集上具有单调性．3．单调函数如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数.证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上为减函数． 【思路探究】 在(0,1)内任取x 1<x 2，证明f (x 1)>f (x 2)．【自主解答】 设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2) ＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝x 1－x 2x 1x 2－1x 1x 2. 已知0<x 1<x 2<1，则x 1x 2－1<0，x 1－x 2<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上为减函数．1．证明过程中要注意x 1，x 2在所给区间上的任意性，切忌以特殊值代替一般．2．证明函数单调性的步骤：证明：f (x )＝－1x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数． 【证明】 设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－1x 1＋1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以x 1－x 2x 1x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，因此函数f (x )在(－∞，0)上是单调增函数．画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图像，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．【思路探究】 含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．【自主解答】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0. 当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1,4)，且f (3)＝0，f (0)＝3；当x <0时，f (x )＝－(x ＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f (－3)＝0.作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．1．本题中f (x )是含有绝对值的函数，通常去掉绝对值号转化为分段函数，然后分段画出图像．2．写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能“∪”符号连接．3．求函数的单调区间不能忽略函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．已知f (x )＝|x 2－x －12|，求f (x )的单调区间．【解】 f (x )＝|x 2－x －12|＝|(x －12)2－494|.如图，作出函数的简图观察其图像，知函数f (x )的单调递增区间为[－3，12]和[4，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－3]和[12，4]．(2013·青岛高一检测)已知函数y ＝x 2－2ax ＋a 2－1在(－∞，1)上是减少的，求a的取值范围．【思路探究】 (1)二次函数的图像怎样？开口向上的抛物线．(2)二次函数的单调区间取决于什么量？对称轴．【自主解答】 因为y ＝x 2－2ax ＋a 2－1＝(x －a )2－1，其图像的对称轴为x ＝a ，若函数在(－∞，1)上是减少的，则对称轴x ＝a 应在区间(－∞，1)的右侧，所以a ≥1.即a 的取值范围是(1，＋∞)．1．结合图像确定对称轴的位置是解答本题的关键．2．函数f (x )在区间(a ，b )内单调，说明该区间是函数单调区间的一个子区间，利用子集的关系可以列出相应的不等式，进而求有关参数的取值范围．(1)已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋1在[－1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥－12}B ．{a |a >－12} C ．{a |a ≤－12} D ．{a |a ＝－12} (2)已知f (x )＝(3a ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)f (x )＝x 2－4ax ＋1抛物线开口向上，对称轴x ＝2a .∵f (x )在[－1，＋∞)上是增函数，∴2a ≤－1，∴a ≤－12. ∴a 的取值范围为{a |a ≤－12}． (2)要使f (x )＝(3a ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，只需满足3a ＋1<0，即a <－13. 故a 的取值范围为(－∞，－13)． 【答案】 (1)C (2)(－∞，－13) 应用函数的单调性解题时忽略函数定义域致误已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，且f (x )在区间[－2,2]上是增函数，f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．【错解】 因为函数f (x )是增函数，且f (1－m )<f (m )，所以有1－m <m ，即m >12. 【错因分析】 函数的定义域为[－2,2]，因此1－m ，m 都必须在此范围内．【防范措施】 1.利用单调性解抽象不等式时，应将相应的自变量转化到同一单调区间上，然后“脱去”函数记号f ，构建具体的不等式．2．研究函数问题时不能忽略定义域对函数的限制．【正解】 因为f (x )在区间[－2,2]上单调递增，且f (1－m )<f (m )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，1－m <m ，解得12<m ≤2. 故实数m 的取值范围是(12，2]．1．函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质，这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集．2．判断函数单调性的方法：定义法；图像法．3．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正、反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可.。

2014高中数学第二章《函数的单调性》说课稿北师大版必修1一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标：知识与技能使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；过程与方法引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感态度与价值观在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．二、教法学法为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．在学法上我重视了：1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．三、教学过程函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节．（一）创设情境，提出问题（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？[设计意图]问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．（二）探究发现建构概念[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，f(t1)=1，t2=10时，f(t2)= 4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)<f(t2)呢?[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当时，都有”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．（三）自我尝试运用概念1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：，，，并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？[教师活动]问题6：证明在区间（0，+ ∞）上是单调减函数．[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较与的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程：取值作差变形定号判断．[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．（四）回顾反思深化概念[教师活动]给出一组题：1、定义在R上的单调函数满足，那么函数是R上的单调增函数还是单调减函数？2、若定义在R上的单调减函数满足，你能确定实数的取值范围吗？[学生活动]学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置：（1）阅读课本P37例2（2）书面作业：必做：教材 P38-39 1、3、5选做：二次函数在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数的值唯一吗？探究：函数在定义域内是增函数，函数有两个单调减区间，由这两个基本函数构成的函数的单调性如何？请证明你得到的结论．[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．四、教学评价学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础．。

《函数的单调性》第一课时教案一、教学目标知识与技能：理解函数单调性和单调函数的意义；会判断和证明简单函数的单调性。

过程与方法：培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。

情感态度与价值观：领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。

二、教学的重点和难点教学重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性；教学难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。

三、教法与学法1．教学方法本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”2．教学手段教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。

3．学法高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。

（1）让学生利用图形直观感受；（2）让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。

四、教学过程(一)创设情境，引入课题我们知道，函数是刻画事物变化的工具。

如图为宿迁市2011年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：思考如下的问题：1. 某些时段温度升高，某些时段温度低？2. 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？3. 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？(二)归纳探索，形成概念 1、借助图象直观感知 在区间上，y 随着x 的增大而减小图像呈上升趋势(),-∞+∞思考： 你能根据自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数吗?预案：y 随着x 增大而增大是增函数， y 随着x 增大而减小是减函数通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上点的运动情况，引导xt 2f(t 2) t 1f(t 1)问题1 分别作出函数 的图象，并观察随着自变量的变化，函数值怎样变化？21,y x y x =+=(在区间上,y 随着x 的增大而减小，图象呈下降趋势),0-∞在区间上,y 随着x 的增大而增大，图象呈上升趋势()0,+∞学生能用自然语言描述出，随着x 增大时图像变化规律。