(2)y′=-4<0,y=-4x是减函数.
(3)y′=2xln 2>0,y=2x是增函数.
知识点拨
一、函数的单调性与其导数正负的关系
一般地,函数 f(x)的单调性与导函数 f′(x)的正负之间具有如下的关系:
(1)在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调 递增 ;
当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如选项D.
(2)已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)<f(x)的x的
取值范围为(
A.(0,4)
C.
4
0, 3
)
B.(-∞,0)∪(1,4)
D.(0,1)∪(4,+∞)
答案 D
4
解析 视察图象,可得导函数f'(x)的图象过点(0,0), ,0 ,原函数f(x)的图象
当 Δ>0,即 a> 3或 a<- 3时,令 f′(x)>0,即 3x2+2ax+1>0,
-a+ a2-3
-a- a2-3
解得 x>
或 x<
;
3
3
2
2
-a-
a
-3
-a+
a
-3
2
令 f′(x)<0,即 3x +2ax+1<0,解得
<x<
.
3
3
-a- a2-3 -a+ a2-3
故函数 f(x)的单调递增区间是-∞,