高一数学北师大版必修1教学教案第二章3函数的单调性

答案：A
3. 函 数f(x)=—2x+1(x∈[ -2,2])的最小、最大值分别为( )
A.3,5 B.—3,5 C.1,5 D.—5,3
解析：因为f(x)=—2x+1(x∈ [-2,2])是单调递减函数，所以当 x=2 时，函数的最小值为一3.当x=—2 时，函数的最大值为5.
答案：B
4. 函数f(x)在[一2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、
综上，函
间(Vk, 十一)上为增函数.
在区间(0, √k )上为减函数，在区
状元随笔 此题中函数f(x)是一种特殊函数(对勾函数),用
定 义法证明时通常需要进行因式分解，由于x₁x₂-k(k>0) 与0的大
小 关系是不明确的，因此要分类讨论.
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
取值 设 x₁,x₂ 是该区间内的任意两个值，且x₁<x₂
A. (一一，0)U[0,1]B.(—1,0)U[0,1]
C.(0, 十 一 )
D.[0,1]
解析：函数f(x)=—x²+4mx 的图象开口向下，且以直线x=2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2, 解得m≤1,g(x)
的图象由
的图象向左平移一个单位长度得到的，若在
区间[2,4]上是减函数，则2m>0, 解得m>0.综上可得m 的取值范围
A.m>0
B.
C.—1<m<3
D.
解析：由题意知 答案：B
解得
状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数 的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所
有自变量都必须在函数的定义域内.

《函数的单调性》---教学重点、难点突破方法与解说尊敬的各位领导、专家、评委：您好！《函数的单调性》，是北师大版必修一第二章第3节内容。

对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:首先，要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的所以，本节课的教学重点是函数单调性的概念,判断、证明函数的单调性；难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性二、教学目标的确定根据教材的特点和教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我从3个方面确定以下目标：①理解函数的单调性概念，掌握用定义判断和证明函数的单调性方法。

②培养学生观察、归纳、推理论证的逻辑思维能力。

③体会感悟数学结合、分类讨论、特殊到一般的数学思想。

三、教学方法的选择多媒体投影，计算机辅助教学；教师启发讲授，学生探究学习。

四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计如下：1．创设情境，引入课题；2．归纳探索，形成概念；3．掌握证法，适当延展；4．归纳小结，提高认识。

1．创设情境，引入课题本环节的教学先从学生熟悉的歌曲《小苹果》出发，让学生体会数学就在身边。

然后给出“艾宾浩斯的记忆遗忘曲线”。

在本环节的教学中，我设计了以下问题：问题1：分别作出函数2()1;()f x x f x x =+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？（主要是从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数的单调性定义的第一次认识。

）在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息。

对与第二个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌握概念，因此我设计了问题2问题2：根据自己的理解，怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？教学中，我引导学生用自己的语言描述函数增减性的定义：如果函数()f x在某个区间上的图象从左到右是上升的，或者如果函数()f x在某个区间上随自变量的增大，也越来越大，我们称函数()f x在该区间上为增加的．然后让学生类比描述函数减少的定义至此，学生对函数单调性就有了一个直观、描述性的认识．2．归纳探索，形成概念此环节中，通过对二次函数研究、交流、讨论，将函数的单调性研究从研究函数的图像过渡到研究函数的解析式，使学生对单调性的认识由感性的认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识；并归纳得出，判定函数单调性的方法：⑴图像法：从左往右看图像的升降情况⑵定义法：利用定义判定证明函数的增、减性3掌握方法，适当延展本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法，同时引导学生探究定义的等价形式，对证明方法做适当延展观察:下图是定义在闭区间[－6,9]上的函数= f的图象,根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上,函数是增加的还是减少的？强调：1函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在单调性问题,故区间端点处若有定义写开写闭均可；2明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．从而加深学生对定义的理解，完成本阶段的教学例1 画函数()32f x x =+的图像，判断它的单调性，并加以证明我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤取值→作差变形→定号→下结论通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，特别是第三步，让学生明确变形的方法以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力．证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤【设计意图】给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫变式：判断函数23)(+=x x f 在下面给定区间或集合上的单调性。

《函数的单调性》教案一、教材分析-----教学内容、地位和作用本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第3节《函数的单调性》的内容，函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。

利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。

学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。

另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。

二、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：(一)三维目标1 知识与技能：（1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。

（2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2 过程与方法：（1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。

（2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。

3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。

（二）重点、难点重点：函数单调性的概念:为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。

有
()
A.f(-2)<f(1)<f(3)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(3)<f(-2)<f(1)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
【解析】选A.因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0, 当x1<x2时,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2);当x1>x2时,x1-x2>0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是增函数, 所以f(-2)<f(1)<f(3).
y
-f(y).
(1)证明:函数f(x)是增函数;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f( 1 )<2.
3
课堂检测·素养达标
1.函数y= 1 在[2,3]上的最小值为 ( )
x－1
A.2 B. 1
2
C ．1
D．－1
3
2
【解析】选B.y= 1 在[2,3]上单调递减,
x 1
所以x=3时取最小值为 1 .
的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.[2,3)
D.[0,3)
【思路导引】从定义域,单调性两个方面列不等式求范围.
【变式探究】 本例的条件若改为“单调递增”,试求m的取值范围. 【解析】因为f(x)的定义域为[0,+∞), 由f(2x-4)>-1,得f(2x-4)>f(2), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以2x-4>2,解得x>3.

3 函数的单调性（一）学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一 函数的单调性思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像的升降情况如何？梳理 单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：一般地，在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y ＝f (x )在该子集上具有单调性；如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数． 知识点二 函数的单调区间思考 我们已经知道f (x )＝x 2在(－∞，0]上是减少的，f (x )＝1x在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．类型一求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性．类型二 证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数．反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数．类型三 单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．[18，13)B ．(0，13)C ．[18，＋∞)D ．(－∞，18]∪[13，＋∞)反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，则a 的取值范围又是什么？1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是( )A ．[－2,0]B ．[0,1]C ．[－2,1]D ．[－1,1]2．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋14．已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递减，在区间[－1,0]上递增 B ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递增，在区间[－1,0]上递减 C ．函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D ．以上的三个结论都不正确5．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( ) A ．x <1 B ．x >－1 C ．－1<x <1D ．x <－1或x >11．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都递减，未必有f (x )在A ∪B 上递减．2．对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f x 1－f x 2x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f x 1－f x 2x 1－x 2<0.3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )递增，f (x )－h (x )递增，②－f (x )递减，③1f x递减(f (x )≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f x 1f x 2与1比较．答案精析问题导学 知识点一思考 两函数的图像如下：函数f (x )＝x 的图像由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的．梳理 增加的 递增的 减少的 递减的 知识点二思考 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域．题型探究例1 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的．跟踪训练1 解 先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－x 2－2x －，－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 例2 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝x 在定义域[0，＋∞)上是增函数．跟踪训练2 证明 设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)．∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例3 证明 方法一 设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2. 令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是增函数． 方法二 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0， 从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1， ∴f (1)≠0，∴f (0)＝1. 令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f －x＞1. ∴对任意实数x ，f (x )恒大于0.设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减少的．例4 A [要使f (x )在R 上是减函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，－a <0，a －＋4a ≥－a ·1. 解得18≤a ＜13.] 跟踪训练4 a ≤1或a ≥2解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 例5 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23， 即所求a 的取值范围是0<a <23. 跟踪训练5 解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23， ∴所求a 的取值范围是(23，＋∞)． 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.D 5.C。

1

是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数 在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法） 由题意知函数 的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,

3 函数的单调性和最值-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案课程目标本课程的主要目标是让学生了解函数的单调性和最值的概念，并能够运用所学知识解决实际问题。

具体目标包括：1.掌握函数单调性的定义和判别方法；2.掌握函数最值的概念和求解方法；3.能够应用函数的单调性和最值解决实际问题。

课程内容一、函数的单调性1.函数的单调性概念：如果一个函数在其定义域上任意两点的函数值的大小关系都相同，那么这个函数就是单调的。

2.单调性判定方法：可以通过研究函数的导数或者函数的一阶差分值来判断一个函数的单调性。

3.单调性的应用：函数的单调性可以应用于最值的求解、不等式的证明等问题中。

二、函数的最值1.函数最大值和最小值的概念：在函数定义域内，函数值最大的数就叫做函数的最大值；函数值最小的数就叫做函数的最小值。

2.最值的求解方法：可以通过求解导数或者利用单调性来确定函数的最值。

3.最值的应用：最值可以应用于最优化问题、优化设计等方面。

教学方法1.讲解法：通过案例分析，教师介绍单调性和最值的概念和判定方法。

2.组合式教学：学生分组协作，通过完成练习题来深化对单调性和最值的认识。

3.实践教学：通过实际问题的解决，来锻炼学生应用所学知识解决实际问题的能力。

教学设计一、引入教师通过实际生活中的例子，引导学生认识单调性和最值，并且让学生思考，如果需要求解最优解，我们应该怎么办？二、知识点讲解1.函数的单调性概念、判定方法和应用；2.函数的最值的概念、求解方法和应用。

三、分组练习教师组织学生进行分组协作练习，通过练习题来复习和深化所学知识。

四、实践应用教师通过实际问题的讨论，让学生应用所学知识解决实际问题。

总结通过本课程的学习，学生将会掌握函数单调性和最值的概念和应用，以及运用所学知识解决实际问题的能力。

同时，本课程也将为学生今后的学习打下坚实的基础。

《函数的单调性和最值（1）》教学设计1．理解增函数、减函数、最值等概念．2．培养学生利用函数概念进行判断推理的能力及数形结合的能力．3．使学生养成细心观察、认真分析的良好思维习惯．重点：函数单调性的概念．难点：对函数单调性概念中关键词的理解． 一、新课导入 复习函数的概念，回答以下问题： 1．函数是如何定义的?函数概念包含几个要素?各是什么?2．函数常见的表示法有几种?各有什么特点?3．函数的定义域怎样确定?如何表示?4．函数研究的主要内容是什么?5．下列函数具有什么特征?如何说明函数具有这些特征?为什么具有这些特征?（1）y =2x +1 （2）y =−x 2+1 （3）y =1x1．函数概念：给定实数集R 中的两个非空数集A 和B ，如果存在一个对应关系f ，使对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A 上的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A ．函数的三要素：定义域、对应法则、值域．2．解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系；图象法的特点：直观形象地表示出函数变化的趋势；列表法的特点：不需计算直接就可看出自变量相应的函数值．3．函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值范围．通常用集合或者区间来表示．4．函数研究的主要内容是函数的概念与性质．5．(1)中函数值随自变量的增大而增大；随自变量的减小而减小．(2)中，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而增大；在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而减小．(3)中在第一象限和第三象限，函数值均随自变量的增大而减小．设计意图：(1)复习函数概念及函数的表示法，引导学生从概念出发研究函数的性质;(2)回顾初中对函数性质的认识及研究方法，与本节课的学习内容形成对比． ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程二、新知探究问题1：（展示某只股票在某一天内的变化图）请学生观察股市图，说一说这只股票当天的走势．答案：随着时间的增加，股票价格不断增长，最后随着时间的增加，价格稳定不变．问题2：观察函数图象，分析当自变量x变化时，函数值f(x)是怎样随之变化的．答案：从左至右观察函数f(x) (x∈[-6，9])的图象上点的位置变化，可以看出：对于区间[-6，-5]，[-2，1]，[3，4.5]，[7，8]，图象是上升的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间[-5，-2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，图象是下降的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而减小．函数值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的增大而减小，这种变化规律称为函数的单调性．追问：怎样用数学的符号语言来表达函数值f(x)在区间[-6，-5]上随x值的增大而增大呢?答案：对于任意的x1、x2∈[-6，-5]．当x1<x2时，f(x1)< f(x2)．设计意图：在观察分析的过程中，将点的位置变化转化为随自变量的变化函数值的变化，由对函数图象的观察转化为对函数性质的研究．问题３：通过上面的学习，我们如何用数学的符号语言表达函数的单调性呢？一般地，设函数f(x)的定义域D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)< f(x2)，那么就称函数y=f(x)是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y= f(x)在区间I上单调递增．如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y=f(x)是减函数，特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减．如果函数y=f(x)在区间上单调递增或递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性．此时I为函数y=f(x)的单调区间．追问１：如何理解函数单调性定义中的关键词“任意的”“都有”？答案：“任意的”“都有”指的是在定义域当中存在两个变量满足条件，是不能确定函数的单调性的，需要对定义域内任意选取的所有x1、x2，只要满足x1<x2都有f(x1)< f(x2)或者f(x1)> f(x2)成立，才能确定函数的单调性．追问２：函数单调递增或者单调递减还有其他表示形式吗？答案：在函数y=f(x)定义域内的一个区间I上，对于任意的x1、x2∈I且x1≠x2，>0，则称函数y=f(x)在区间I上是增函若[f(x1)－f(x2)](x1−x2)>0或f(x1)－f(x2)x1−x2数或函数y=f(x)在区间I上单调递增．若[f(x1)－f(x2)](x1−x2)＜0或f(x1)－f(x2)＜0，则称函数y=f(x)在区间I上是减函数x1−x2或函数y=f(x)在区间I上单调递减．问题４：观察问题２中函数的图象，函数值f(x)在哪个范围内变化？从函数图象上看，函数的最大值（最小值）在哪个自变量处取到？答案：根据函数图象，函数值在f(3)和f(2)这两个函数值之间变化，其中在x=3处取得最小值，在x=2处取得最大值．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值．同样的，可以定义函数y=f(x)的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．总结：（1）M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；（2）最大（小）值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上（下）方．三、应用举例例1．设f(x)是定义在R上的函数，判断下列命题是否成立，并说明理由．（1）若存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1)< f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；（2）若存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1) ≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减；（3）若存在x2>0，对于任意的x1∈R，都有f(x1)< f(x1+x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；（4）对任意的x1、x2∈R，且x1<x2，都有f(x1) ≥f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递减．解：（1）不成立，比如函数y=−x2−1<0，f(−1)< f(0)．函数在对称轴的左侧单调递增，右侧单调递减，并不是在R上单调递增．（2）成立，由函数单调递减的定义可知，在给定区间上，当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)．所以存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1) ≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减．（3）成立，当x2>0时，x1<x1+x2恒成立，且满足f(x1)< f(x1+x2)，根据函数单调递增的定义可知成立．（4）不成立，由函数单调递减的定义可知当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)，不能带等号．设计意图：（1）改变概念的内涵或外延，有利于学生从较高层次把握概念的本质，从而认识到概念中哪些因素是重要的，起关键作用的，哪些因素容易出错，形成对数学概念的全面理解和认识．（2）引入反例、错例，可以帮助学生从另一个角度形成对数学概念的更深入、更全面的认识．例2．设f(x)=1x(x<0)画出f(x+3)(x<−3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性．解：依题意知f(x)=1x+3(x<−3)其图象可由f(x)=1x(x<0)的图象向左平移3个单位长度得到．该函数在区间(−∞，−3)上单调递减．探究：对于f(x)=1x+3，(−∞，−3)和(−3，+∞)都是它的单调区间，并且函数f(x)=1x在这两个区间上都是单调递减，那么能否说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数?解：不能，因为函数f(x)=1x+3的定义域不连续，当我们在区间(−3，+∞)上取一个数比如1，在区间(−∞，−3)上取一个数比如−4，我们知道−4<1，但f(−4)=1−1=−1<f(1)=11+3=1 4，即不能说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数．例３．根据函数图像直观判断y=|x−1|的单调性，并求出最小值．解：函数y=|x−1|可以表示为y={1−x，x≤1，x−1，x>1．画出该函数的图象．由图象可知该函数在区间（-∞，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时，y=|x−1|取得最小值，最小值为0．探究：函数在区间[1，+∞）上是否存在最大值？为什么？答案：函数在区间[1，+∞）上不存在最大值，因为函数在区间上单调递增，因此不存在函数值M使得对于定义域内的每个值都满足不等式f(x)≤M．四、课堂练习1．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：（1）y=−5x，x∈[2，7]（2）f(x)=3x2−6x+1，x∈[3，4)；（3）y=|x2−2x|，x∈[−1，3]．2．某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程f（x）（单位：km）是行驶速度x（单位：km/h）的函数．由实验可知，这一函数关系是f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8．（1）求f（50），并说明它的实际意义；（2）当速度x为多少时，汽车最省油？参考答案：1．．解析：（1）y=−5x在区间[2，7]单调递减．最小值是f(7)=−35，最大值是f(2)=10．（2）函数f(x)=3x2−6x+1的开口向上，对称轴为x=1，所以在区间[3，4)单调递增．最小值是f(3)=10，无最大值．（3）由题意，函数y=|x2−2x|，在区间[−1，0]和[1，2]上单调递减；在(0，1)和(2，3]单调递增．最小值是0，最大值是f(3)=f(−1)=3．2．解析：（1）f(50)=29.2，表示当行驶速度为50km/h时，行驶路程是29.2km．(2)由题意，函数f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8的对称轴为x=60，此时函数最大值为f(60)=30.2，即速度为60km/h时，汽车最省油．五、课堂小结1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)< f(x2)，那么就称函数y=f(x)是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递增．如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)，那么就称函数y=f(x)是减函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减．2．函数的单调区间：如果函数y=f(x)在区间上单调递增或递减，那么就称函数y= f(x)在区间I上具有单调性．此时I为函数y=f(x)的单调区间．3．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0≤D，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值．同样的，可以定义函数y=f(x)的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．六、布置作业教材第60页练习题第2~4题．。

“函数的单调性”教学设计【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下（1）函数的单调性起着承前启后的作用。

一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。

（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。

教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。

专家点评（高新一中党效文）
在对教材和学生已有知识充分了解下, 黄老师的教案设计教学目标设计层次分明, 重点难点突出, 合理。

从学生所熟悉的一次函数, 二次函数的图像入手, 让学生回顾初中已有的对函数单调性的感性认识, 以一次函数为例引导学生用数学语言来描述函数的增减性, 使学生不知不觉中对函数的单调性有了初步的理性认识, 进而再引导学生把这种理性认识抽象到一般情况形成概念, 使学生理解了数学概念和结论的形成过程, 体会其中蕴含的从特殊到一般的思维过程和思想方法。

在利用定义证明函数的单调性的设计中, 让学生进一步体会了数学语言的优越性, 体会数与形的完美统一, 使学生学习的过程成为“再创造, 再发现”的过程, 不断的增强学生的思维能力和创新意识。

同时在教学过程中设计了让学生分组讨论, 归纳小结的过程, 培养了学生相互学习, 团结协作的思想意识。

§3函数的单调性整体设计教学分析在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容．实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出．而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高．给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了．由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．三维目标1．函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质．2．理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力．3．能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：函数的单调性．教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成．课时安排1课时教学过程导入新课德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850—1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵．经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准．他经过对自己的测试，得到了一些数据．增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)．从左向右看，图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图像) 学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1所示．图1遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律．随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆．教师提示、点拨，并引出本节课题．推进新课新知探究提出问题①如图2所示的是一次函数y＝x，二次函数y＝x2和y＝－x2的图像，它们的图像有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？图2②函数图像上任意点P(x，y)的坐标有什么意义？③如何理解图像是上升的？④对于二次函数y＝x2，列出x，y的对应值表(如下表)．完成下表并体会图像在y轴右1⑥增函数的定义中，把“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”改为“当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，这样行吗？⑦增函数的定义中，“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势？⑧增函数的几何意义是什么？⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？⑩函数y＝f x在区间D上具有单调性，说明了函数y＝f x在区间D上的图像有什么变化趋势？讨论结果：①函数y＝x的图像，从左向右看是上升的；函数y＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图像在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．②函数图像上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．③按从左向右的方向看函数的图像，意味着图像上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大．也就是说从左向右看图像上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大．④在区间(0，＋∞)上，任取x1，x2，且x1＜x2，那么就有y1＜y2，也就是有f(x1)＜f(x2)．这样可以体会用数学符号来刻画图像上升．⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意．．两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函．．数．⑥可以．增函数的定义：由于当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，即都是相同的不等号“＜”，也就是说前面是“＜”，后面也是“＜”，步调一致；“当x 1＞x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”都是相同的不等号“＞”，也就是说前面是“＞”，后面也是“＞”，步调一致．因此我们可以简称为：步调一致增函数．⑦函数值随着自变量的增大而增大．⑧从左向右看，图像是上升的．⑨一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意．．两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数．．．．．简称为：步调不一致减函数．减函数的几何意义：从左向右看，图像是下降的．函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小．总结：如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数(或减函数)，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．．．，区间D 叫作y ＝f (x )的单调．．递增．．(．或减．．)．区间．．．．⑩函数y ＝f (x )在区间D 上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图像是上升(下降)的．应用示例思路1例1 说出函数f (x )＝1x的单调区间，并指明在该区间上的单调性． 活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图像得单调区间．解：(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f (x )＝1x是减少的．点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图像法判断函数单调性．图像法判断函数的单调性适合于选择题和填空题．如果解答题中给出了函数的图像，通常用图像法判断单调性．函数的图像类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图像可以分析出函数值的变化趋势即单调性．图像法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图像；第二步，观察图像，利用函数单调性的几何意义写出单调区间．变式训练图3是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？图3活动：教师提示利用函数单调性的几何意义．学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．图像上升则在此区间上是增函数，图像下降则在此区间上是减函数．解：函数y ＝f (x )的单调区间是[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．其中函数y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数.例2 画出函数f (x )＝3x ＋2的图像，判断它的单调性，并加以证明．活动：学生自己画出图像，当学生没有证明思路时，教师再提示，及时纠正学生解答过程中出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤．图4解：作出f (x )＝3x ＋2的图像(如图4)．由图看出函数的图像在R 上是上升的，函数是R 上的增函数．下面进行证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.所以f (x 1)－f (x 2)＝(3x 1＋2)－(3x 2＋2)＝3(x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．由单调函数的定义，可知函数f (x )＝3x ＋2是R 上的增函数．点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性．定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2；第二步，比．较f (x 1)和f (x 2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再．归纳结论．定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”，因此简称为“去比赛．．．”． 变式训练1．证明函数y ＝2x －1在区间[2,6]上是单调递减的． 证明：设x 1、x 2是区间[2,6]上任意两个值，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[x 2－1－x 1－1]x 1－1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1. 由2≤x 1＜x 2≤6，所以x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0.所以2x 2－x 1x 1－1x 2－1＞0. 于是f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．所以函数y ＝2x －1在区间[2,6]上是单调递减的． 2．画出函数y ＝－2x ＋1的图像，判断它的单调性，并加以证明．解：作出函数y ＝－2x ＋1的图像(如图5)．由图5可以看出函数y ＝－2x ＋1的图像在R 上是下降的，即函数是R 上的减函数．图5证明：设x 1、x 2是R 上任意两个值，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－2x 1＋1)－(－2x 2＋1)＝－2(x 1－x 2)，因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，－2(x 1－x 2)＞0.于是f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 所以函数y ＝－2x ＋1在R 上是减函数.思路2例1 (1)画出已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图像；(2)证明函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间(－∞，1]上是增函数；(3)当函数f (x )在区间(－∞，m ]上是增函数时，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图像如图6所示．图6(2)设x 1、x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝(－x 21＋2x 1＋3)－(－x 22＋2x 2＋3)＝(x 22－x 21)＋2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(2－x 1－x 2)．∵x 1、x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＜2.∴2－x 1－x 2＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∴f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间(－∞，1]上是增函数．(3)函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的对称轴是直线x ＝1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(－∞，m ]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m ≤1，即实数m 的取值范围是(－∞，1]．点评：本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其应用．讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图像的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内．判断函数单调性时，通常先画出其图像，由图像观察出单调区间，最后用单调性的定义证明．判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图像，观察图像，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图像来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论．函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一．因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性．函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型．变式训练已知函数f (x )是R 上的增函数，设F (x )＝f (x )－f (a －x )．(1)用函数单调性定义证明F (x )是R 上的增函数； (2)证明函数y ＝F (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0成中心对称图形． 活动：(1)本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法证明；(2)证明函数y ＝F (x )的图像上的任意点关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0的对称点还是在函数y ＝F (x )的图像上即可． 解：(1)设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2.则F (x 1)－F (x 2)＝[f (x 1)－f (a －x 1)]－[f (x 2)－f (a －x 2)]＝[f (x 1)－f (x 2)]＋[f (a －x 2)－f (a －x 1)]．又∵函数f (x )是R 上的增函数，x 1＜x 2，∴a －x 2＜a －x 1.∴f (x 1)＜f (x 2)，f (a －x 2)＜f (a －x 1)．∴[f (x 1)－f (x 2)]＋[f (a －x 2)－f (a －x 1)]＜0.∴F (x 1)＜F (x 2)．∴F (x )是R 上的增函数． (2)设点M (x 0，F (x 0))是函数F (x )图像上任意一点，则点M (x 0，F (x 0))关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0的对称点M ′(a －x 0，－F (x 0))．又∵F (a －x 0)＝f (a －x 0)－f (a －(a －x 0))＝f (a －x 0)－f (x 0)＝－[f (x 0)－f (a －x 0)]＝－F (x 0)，∴点M ′(a －x 0，－F (x 0))也在函数F (x )图像上，又∵点M (x 0，F (x 0))是函数F (x )图像上任意一点，∴函数y ＝F (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0成中心对称图形. 例2 (1)写出函数y ＝x 2－2x 的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y ＝|x |的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4,8]上的函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，y ＝f (x )的部分图像如图7所示，请补全函数y ＝f (x )的图像，并写出其单调区间，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？图7(4)由以上你发现了什么结论？试加以证明．活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示：(1)画出二次函数y ＝x 2－2x 的图像，借助于图像解决；(2)类似于(1)；(3)根据轴对称的含义补全函数的图像，也是借助于图像写出单调区间；(4)归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明．解：(1)函数y ＝x 2－2x 的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)；对称轴是直线x ＝1；区间(－∞，1)和区间(1，＋∞)关于直线x ＝1对称，而单调性相反．(2)函数y ＝|x |的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)；对称轴是y 轴即直线x ＝0；区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)关于直线x ＝0对称，而单调性相反．(3)函数y ＝f (x )，x ∈[－4,8]的图像如图8.函数y ＝f (x )的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x ＝2对称，而单调性相反，区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x ＝2对称，而单调性相反．图8(4)可以发现结论：如果函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称，那么函数y ＝f (x )在直线x ＝m 两侧对称单调区间内具有相反的单调性．证明如下：不妨设函数y ＝f (x )在对称轴直线x ＝m 的右侧一个区间[a ，b ]上是增函数，区间[a ，b ]关于直线x ＝m 的对称区间是[2m －b,2m －a ]．由于函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称，则f (x )＝f (2m －x )．设2m －b ≤x 1＜x 2≤2m －a ，则b ≥2m －x 1＞2m －x 2≥a ，f (x 1)－f (x 2)＝f (2m －x 1)－f (2m －x 2)．又∵函数y ＝f (x )在[a ，b ]上是增函数，∴f (2m －x 1)－f (2m －x 2)＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数y ＝f (x )在区间[2m －b,2m －a ]上是减函数．∴当函数y ＝f (x )在对称轴直线x ＝m 的右侧一个区间[a ，b ]上是增函数时，其在[a ，b ]关于直线x ＝m 的对称区间[2m －b,2m －a ]上是减函数，即单调性相反．因此有结论：如果函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称，那么函数y ＝f (x )在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性．点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论，这是我们认识世界发现问题的主要方法，这种方法的难点是猜想，突破路径是寻找共同的特征．本题作为结论记住，可以提高解题速度．图像类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图像也能观察出函数的性质特征．这需要有细致的观察能力．变式训练函数y ＝f (x )满足以下条件：①定义域是R ；②图像关于直线x ＝1对称；③在区间[2，＋∞)上是增函数．试写出函数y ＝f (x )的一个解析式f (x )＝__________(只需写出一个即可，不必考虑所有情况)．活动：根据这三个条件，画出函数y ＝f (x )的图像简图(只要能体现这三个条件即可)，再根据图像简图，联系猜想基本初等函数及其图像和已有的解题经验写出．解：定义域是R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图像关于直线x ＝1对称的函数解析式满足：f (x )＝f (2－x )，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图像，在区间[2，＋∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x ＝1不在区间[2，＋∞)内，故函数的解析式可能是y ＝a (x －1)2＋b (a ＞0)．结合二次函数的图像和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：形如y ＝a (x －1)2＋b (a ＞0)，或为y ＝a |x －1|＋b (a ＞0)等都可以，答案不唯一.知能训练1．利用图像法写出基本初等函数的单调性．解：①正比例函数：y ＝kx (k ≠0)当k ＞0时，函数y ＝kx 在定义域R 上是增函数；当k ＜0时，函数y ＝kx 在定义域R 上是减函数． ②反比例函数：y ＝k x(k ≠0) 当k ＞0时，函数y ＝k x的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在单调递增区间；当k ＜0时，函数y ＝k x的单调递增区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在单调递减区间． ③一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 在定义域R 上是增函数；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 在定义域R 上是减函数．④二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a ，单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞； 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞，单调递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a . 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度．2．已知函数y ＝kx ＋2在R 上是增函数，求实数k 的取值范围．答案：k ∈(0，＋∞)．3．二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋m 在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，求实数a 的值．答案：a ＝2.4．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，若f (2a 2＋a ＋1)＜f (3a 2－4a ＋1)成立，则a 的取值范围是__________．解析：∵f (x )的定义域是(0，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ＋1>0，3a 2－4a ＋1>0.解得a ＜13或a ＞1. ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴2a 2＋a ＋1＞3a 2－4a ＋1.∴a 2－5a ＜0.∴0＜a ＜5.∴0＜a ＜13或1＜a ＜5，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(1,5)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(1,5) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式．解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式．拓展提升问题：1．画出函数y ＝1x的图像，结合图像探讨下列说法是否正确． (1)函数y ＝1x 是减函数；(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 2．对函数y ＝1x ，取x 1＝－1＜x 2＝2，则f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝12，满足当x 1＜x 2时f (x 1)＜f (x 2)，说函数y ＝1x在定义域上是增函数对吗？为什么？ 3．通过上面两道题，你对函数的单调性定义有什么新的理解？解答：1.(1)是错误的，从左向右看，函数y ＝1x的图像不是下降的． (2)是错误的，函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上函数y ＝1x的图像，从左向右看不是下降的，因此这是错误的． 2．不对．这个过程看似是定义法，实质上不是．定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替．3．函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性．点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y ＝f (x )在区间(a ，b )和(b ，c )上均是增(减)函数，那么在区间(a ，b )∪(b ，c )上的单调性不能确定．课堂小结本节学习了：①函数的单调性；②判断函数单调性的方法：定义法和图像法．作业习题2—3 A 组3、4、5.设计感想“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”．本设计致力于展示概念是如何生成的．在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材．本节课采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.备课资料判断下列说法是否正确：①已知f (x )＝1x，因为f (－1)＜f (2)，所以函数f (x )是增函数． ②若函数f (x )满足f (2)＜f (3)，则函数f (x )在区间[2,3]上为增函数．③若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．④因为函数f (x )＝1x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．活动：教师强调以下三点后，让学生判断．①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ，B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增(或减)函数．答案：这四个判断都是错误的．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可．也就是说，只要找到两个特殊的自变量不符合定义就行．(设计者：张建国)。

结论
增
调递减
图象
自左向右图象逐渐上升
自左向右图象逐渐下降
特征
图
示
名师点析 x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈I;
(2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1<x2.
微练习
若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在(0,+∞)
+1
+2
变式训练 3 判断函数 f(x)=
≠
1
2
在(-2,+∞)上的单调性.
解任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,
1-2
+2+1-2
=a+ +2 ,
∵f(x)=
+2
1
1-2
1-2
∴f(x2)-f(x1)= + +2 − + +2 =(1-2a)·( +2 −
=[2(x1+x2)-3](x1-x2).由 x1,x2∈
3
-∞,
4
且 x1<x2,得
3 3
x1+x2< +
4 4
=
3
,x1-x2<0,
2
则 2(x1+x2)<3,即 2(x1+x2)-3<0,
所以 f(x2)>f(x1),故函数
f(x)=-2x2+3x+3
在区间
3
-∞, 4
上单调递增.
反思感悟 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤

思考3：函数f(x)＝－x2的定义域为R,存在实数1,对所有的x∈R,都有 f(x)≤1．那么1是函数f(x)＝－x2的最大值吗？为什么？
提示：不是．因为不存在x0∈R,使得f(x0)＝－x＝1．
基础自测
1．函数y＝f(x)在区间(a,b)上是减函数,x1,x2∈(a,b),且x1＜x2,则有
()
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 函数的单调性
函数
增函数
减函数
条件
设函数y＝f(x)的定义域为D,对于任意x1,x2∈D,当x1＜x2时,
_____f(_x_1_)＜__f_(_x2_)_____
_____f_(x_1_)＞__f_(_x_2)_____
y＝f(x)是增函数
y＝f(x)是减函数
结论 当I是定义域D上的一个区间时, 当I是定义域D上的一个区间时,
[解析] 分别画出各个函数的图象,在区间(0,2)上上升的图象只有 B．
3．函数 f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最
小值分别为 A．3，0
(C)
பைடு நூலகம்
B．3，1
C．3，无最小值
D．3，－2
4．若定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a，b，总有
f(aa)－ －fb(b)＞0 成立，则必有
第二章 函 数
§3 函数的单调性和最值
【素养目标】 1．根据一次函数,二次函数了解并理解函数单调性的概念．(数学抽 象) 2．会利用函数图象判断一次函数,二次函数的单调性．(直观想象) 3．理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．(数据 分析) 4．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性,掌握利用 单调性定义判断、证明函数单调性的方法．(逻辑推理) 5．掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小) 值的方法．(数据分析)

《函数的单调性》第一课时教案一、教学目标知识与技能：理解函数单调性和单调函数的意义；会判断和证明简单函数的单调性。

过程与方法：培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。

情感态度与价值观：领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。

二、教学的重点和难点教学重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性；教学难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。

三、教法与学法1．教学方法本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”2．教学手段教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。

3．学法高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。

（1）让学生利用图形直观感受；（2）让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。

四、教学过程(一)创设情境，引入课题我们知道，函数是刻画事物变化的工具。

如图为宿迁市2011年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：思考如下的问题：1. 某些时段温度升高，某些时段温度低？2. 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？3. 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？(二)归纳探索，形成概念 1、借助图象直观感知 在区间上，y 随着x 的增大而减小图像呈上升趋势(),-∞+∞思考： 你能根据自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数吗?预案：y 随着x 增大而增大是增函数， y 随着x 增大而减小是减函数通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上点的运动情况，引导xt 2f(t 2) t 1f(t 1)问题1 分别作出函数 的图象，并观察随着自变量的变化，函数值怎样变化？21,y x y x =+=(在区间上,y 随着x 的增大而减小，图象呈下降趋势),0-∞在区间上,y 随着x 的增大而增大，图象呈上升趋势()0,+∞学生能用自然语言描述出，随着x 增大时图像变化规律。