高等代数教案北大版第八章

第八章 —矩阵1. 化下列矩阵成标准形1） 2）3） 4）5）6）解 1）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。

2）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。

3）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ，从而A= B，B即为所求。

4）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = , 4 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ，从而A= B，B即为所求。

5）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。

6）对矩阵作初等变换,有A，在最后一个行列式中3=1, 4 =, 5 = ，所以1 =2 =3 =1,4 = =,5 = =。

故所求标准形为B= 。

2.求下列矩阵的不变因子:1） 2）3） 4）5）解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 = ，故该矩阵的不变因子为1 =2 =1,3 =。

2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为3 =2 =1=1,4 =，故矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 =。

3）当时,有4 = = ，且在矩阵中有一个三阶子式= ，于是由,3 = 1，可得3 = 1，故该矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。

当时,由1=1, 2 =1, 3 = , 4 = ，从而1 =2 =1,3 = ,4 = = 。

4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 =1, 4 = ，从而所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。

5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为3 =1,4 = ，故所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。

3.证明:的不变因子是，其中= 。

证因为n = ，按最后一列展开此行列式，得n == ，= ，因为矩阵左下角的阶子式= ,所以= 1,从而1=2 = … = = 1，故所给矩阵的不变因子为1 =2 = … = = 1，= = ，即证。

高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。

2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。

3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。

4. 线性方程组在实际应用中的例子。

二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。

2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。

3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。

4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。

三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。

2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。

3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。

4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。

四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。

2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。

3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。

4. 对称矩阵的特征值和特征向量。

五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。

2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。

3. 二次型的性质：正定、负定、不定。

4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。

六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。

2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。

3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。

4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。

七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。

2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。

3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。

4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。

八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。

2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。

3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。

高等代数教学大纲代数教研室[本大纲以北大数学系编《高等代数》第四版为依据拟定，共需约216学时 (讲授144学时+习题课72学时)][本大纲以北大数学系编《高等代数》第四版为依据拟定，共需约216学时 (讲授144学时+习题课72学时)]课程总体目标1.理解和掌握高等代数中的一些基本概念和基础知识，如数域、多项式、n阶行列式、线性方程组、矩阵、二次型、向量空间、线性变换、 矩阵、欧氏空间、以及双线性函数与辛空间等抽象代数基本概念。

2.具备逻辑推理、抽象思维与综合分析的能力，能运用高等代数中的基础知识、基本理论进行推理和证明。

3.熟练掌握高等代数中常用的方法。

4.了解近世代数研究的对象和基本方法.第一章多项式(26学时)（一）教学目的和要求1)熟练掌握一元多项式的基本概念及其运算。

2)熟练掌握一元多项式的整除，最大公因子，互素的概念，性质及有关的证明。

3)熟练掌握不可约多项式的概念，性质，理解因式分解定理的意义，掌握复数域，实数域上的多项式的标准分解式及复数域，实数域上不可约多项式4)会直接利用艾森斯坦因判别法，会求Q[x]中的多项式的有理根。

（二）教学内容1)多项式的概念及其运算：多项式的定义，多项式相等，零多项式，多项式次数。

2)多项式和与积的定义；带余除法，用带余除法求商和余式，商与余存在及唯一性定理；多项式的值与多项式的根的定义，余数定理，综合除法，用综合除法求多项式的值；多项式的次数与根的个数的关系，多项式相等的定义。

3)多项式整除的定义，性质；最大公因式的定义；用辗转相除法求最大公因式，最大公因式的存在与唯一性定理；最大公因式的性质;互素的定义及等价条件；不可约多项式的定义及等价条件；不可约多项式的性质；因式分解定理及标准分解式。

4)重因式：重因式的定义，系数与重因式的关系；无重因式的充要条件，去掉重因式的方法；重根的定义，重根与系数的关系。

5)复数域和实数域上的多项式的因式分解：代数学基本定理，C[x]上的不可约多项式，多项式的标准分解式，C上的n次多项式有n个根；R上的不可约多项式，多项式的标准分解式。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高等代数北京大学第三版北京大学精品课程地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§1 若干准备知识代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

数域的定义定义（数域）设是某些复数所组成的集合。

如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。

例1.1 典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {i |∈Q}，其中i =。

命题任意数域K都包括有理数域Q。

证明设为任意一个数域。

由定义可知，存在一个元素。

于是。

进而Z,。

最后，Z，，。

这就证明了Q。

证毕。

集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。

定义（集合的映射）设、为集合。

如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。

的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。

若都有则称为单射。

若都存在，使得，则称为满射。

如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。

1.1.4 求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。

高等代数
教案
秦文钊
一、章（节、目）授课计划第页
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
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110,ij ij in ij a a a a -+=====称为元素ij a 的代数余子式.
就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余中，如果令第i 行的元素等于另外一行，譬如说，
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n n b x +=,,,2d b b n s 当且仅当)(,s A 的线性组合
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二、课时教学内容第页。

高中数学第八章教案模板
一、教学目标：
1. 理解正弦、余弦、正切的定义，掌握它们在直角三角形中的性质；
2. 能够用三角函数解决实际问题；
3. 掌握三角函数的图像和性质；
4. 理解三角函数的周期性和奇偶性；
5. 能够灵活运用三角函数解决相关的综合性问题。

二、教学重点与难点：
1. 了解三角函数的定义和性质；
2. 掌握三角函数的应用技巧。

三、教学内容与教学步骤：
1. 理解正弦、余弦、正切的定义，了解它们在直角三角形中的表示方法；
2. 导出正弦、余弦、正切的性质；
3. 学习三角函数在单位圆上的表示方法；
4. 探讨三角函数的周期性和奇偶性；
5. 讲解如何用三角函数解决实际问题；
6. 利用习题让学生巩固知识点。

四、教学手段：
1. 知识讲解与示范；
2. 示意图和实例分析；
3. 互动讨论和答疑。

五、教学资源：
1. 教科书；
2. 习题册；
3. 多媒体课件。

六、教学评价：
1. 课堂表现评价；
2. 作业完成情况评价。

七、教学总结与展望：
通过本章的学习，学生们应该能够熟练掌握三角函数的定义、性质和应用技巧，为今后的学习打下坚实的基础。

在以后的学习中，我们将进一步深入探讨三角函数的各种应用，帮助学生更全面地理解和运用三角函数。

高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。

2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。

3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。

二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。

2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。

3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。

三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。

2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。

3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。

四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。

2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。

3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。

五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。

2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。

3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。

六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。

2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。

3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。

4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。

七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。

2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。

行列式计算方法1. 利用行列式的定义直接计算：适用于行列式中零比较多的情形．2. 化行列式为三角形行列式——初等变换法1） 保留某行（列）不动，将其它的行（列）分别乘上常数加到这一行（列）上。

2） 将某行（列）的倍数分别加到其它各行（列） 3） 逐行（列）相加4） 加边法——在原行列式的边上增加一行一列，使行列式级数增加1，但值不变。

例1 计算行列式121212n n n n a m a a a a m a D a a a m++=+3. 利用行列式展开定理。

适用于某行（列）有较多零的行列式．4. 其他方法（一）析因子法——利用多项式的性质例：计算221123122323152319x D x -=-解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根． 故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +-+- 设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+-+-令0,x =则 112312231223152319D ==-， 即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅-⋅⋅-=- 3.a ∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-（二）箭形行列式012111220000,0,1,2,3.0n n i nna b b b c a D c a a i n c a +=≠=解：把所有的第1i +列(1,2)i n =的iic a -倍加到第1列，得：11201()ni in n i ib c D a a a a a +==-∑可转为箭形行列式的行列式：121111111)111na a a +++ 122)na x x xa x xxa（第2至第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()(1)1(1)11)(1)(1)1a bb a n b b b b b b a b a n b a b a b a n b b baa nb baba+-+-==+-+-()111(1,2)00()(1)0i n b b r r i n a b a b a n b a b--=-=-+--121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n n nnn n c c c n n n n n n n n n n n n --++++---------112211231*********(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n n n nn n n n n n n n ---------++=----11111(2,31)00(1)200in r r i n n nn n n n--=--+-11211100(1)2n n n n n c c c nn--++++-()(2)(1)3211(1)1220(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n n n nn n n n n nnτ--+-+----++=--=----(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n -----++=--=-． （四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，可转为箭形行列式的行列式——加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a ab ++=≠+2）121212121200,00n nn n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++解：1)12112122121100n n n n n nn a a a a b a a D a a b a a a a b++=++121121100(2,31)10010n i na a ab r r i n b b --=+-- 111211111(1).00(1,21)ni ni ini n i i iina a ab a b b b bc b c i n b b =+=+=++=+∑∑2)21121211111222122121111010(2,31)100100n n n i n nnnnn n n n a a a a a a a a a a a a a r r i n D a a a a a a a a a a a a a a ++++---=+=--++--++1212111111222222122100001011101011120011020(3,42)112n n i n nnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++-------=-----=+----12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+-=11211211111122112200200000200002n i i ni n i nn a n a a a a a a a ==--------∑∑122112,1111122(2)(2)[(2)]1122n ni i nn in n ni j ji i n a a a a a a a n a n a =-==-=-=----∑∑∑（五）三角型行列式——递推公式法1）9500495049000950049n D = 解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D -----=-按展开即有 11254(5)n n n n D D D D ----=-,or 11245(4)n n n n DD D D ----=- 于是有 2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D ------=-==-=(6145)n -= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D ------=-==-=-=即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D -++-⎫-=⎪⇒=-⎬-=⎪⎭（先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）00010001002.00001n a b ab a b ab a b D a b ab a b+++=++）解：21211221c ()()()n nn n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD ------+--=-==-1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD a D bD -----=-==-而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b --∴-=++--=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a ---=++--= 由以上两式解得11(1)n n n n a b a b D a bn a a b++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n na x a a a a x a D aaax ++=+解：1112221100000000n n n nnx a a x a a a x a a x a a a x a a a x a D x D x a aaax aaa a--++++=+=+1211n n n x x x a x D --=+1122121232.n n n n n n n D x x x ax D x x x a x D -------=+=+ 继续下去，可得111221*********.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D -----=+++++（21212D ax ax x x =++）121211221323()n n n n n n x x x a x x x x x x x x x x x x x --=+++++1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑当时,1）也可以用加边法做：1111010010n nna a a a a x a x D aa x x +-==+-，111101,2,000ni ii n na a a x x i n D x x =+≠==∑当时, 2）n ab b b ca b b D cc a b ccca= 解：1101()0101n n nc b b b a c b b b b b b c a b b a b b a b bD c a c D cc a b c a b c a b cccaccacca--=+=+-11000()000n n b b b a b c a c D c b a b c b c b a b --=+------11()()n n c a b a c D --=-+- ①000n bb b b a b cab bc a b b D cc a b c c a b c c ca ccca-=+又11111()n c a b bb a b D cc a b ccca-=+- 11()()n n b a c a b D --=-+- ②a b a c ⨯-⨯-①（）-②()，得 ()()n n n c b D c a b b a c -=---()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b -≠=----==+--当时，当时，（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1)111n n ina a D a a a a a ++==++∑证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立． 假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得112211111011111110111101111011111111111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++ 121110110111011111k k k a a a D a +=+121k k k a a a a D +=+121121211111(1)(1)kkk k k k i i iia a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα==证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立． 假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 1012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++-=+-=-由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=--=-2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=-+ cos cos sin sin k k αααβ=+cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八） 范德蒙行列式1）12222122221212111nnn n n n n nn n nx x x x x x D x x x x x x ---=解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n nn i j j i nn n n n n nn n nnx x x xx x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----==----∏显然D 就是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==- （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x -的系数为121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤-+++-∏即， ,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=-+++-∏121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤∴=+++-∏2）2221212111nn nn n nx x x D x x x =解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n nn n n n n nn n nnx x x xx x x x g x x x x x x x x x ----=121()()()()n ijj i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==-，由()f x 的表达式知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x -≤<≤-+++-∏即2,123121211()()()n n n n i j j i nA f x x x x x x x x x x x x x +-≤<≤-++++-∏2312121(1)()()n n n n n ijj i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=-+++-∏电厂分散控制系统故障分析与处理作者：单位：摘要：归纳、分析了电厂DCS系统出现的故障原因，对故障处理的过程及注意事项进行了说明。