初中七年级数学下册《提公因式法》ppt课件

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（1） 6 p3 10 p2 2 p
（2）2ab 6a2 b8abc
（3）(ab)2(ab)
（4） (ab)2ab
例2.探索：2(a-b)2－a+b 能用提取公因式法分解因式吗？ 若能，请写出因式分解过程； 若不能，请说明理由。
把下列各式分解因式：
1. (2a b)2 2a b
2. 2(ab)2ab 3. 3(a b)2 6a 6b
4.2 提取公因式法
你能试着把下列各式进行因式分解吗？
（1） axay a(x y) （2） x2 xy x(x y)
（3） 3x2 6x3 3x2 (1 2x) （4） n4 n3 n3 (n 1) （5） 4a2b1a 0 b2a2b 2ab(2a 5 b)
多项式 3ax2y6x3yz有公因式吗？是什么？
布置作业
1、作业本 2、课后练习
(4 )s2t2_ - s _ 2(t2)( 6 ) 2 ( a b ) 2 a b 2 ( a b ) 2 ( )
添括号：把一个多项式或者它的一部分加上括号，而不改
变这个多项式的值，这种方法叫做添括号。
添括号的法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都
不__变__号_；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变_号___.
1 2 x 2 3 x 3 x x2 x 3 x 2 +1
应改为：原式= x2x3x21
23a2c6a3c3a2 cc2ac应改为：原式= 3a2c12a
3 2 s 3 4 s 2 6 s 2s 12 s 2 -24 s +36
应改为：原式= 2ss2s3
4 4 a 2 b 6 a2 b 8 a 2 a2 a b 3 b 8 a

【当堂检测】
2．把下列各式分解因式.
(1)5a2-7ab
(2)4am2-8amn+4a
解： (1)原式=a·5a-a·7b
(2)原式=4a·m2-4a·2mn+4a·1，
=a（5a-7b）. (3)6(m－n)3－12(m－n)2
=4a(m2-2mn+1).
(3)原式=6(m-n)2·(m-n) - 6(m－n)2·2，
四、典型例题
例1.写出下列多项式因式分解过程中需要提取的公因式：
(1)3a2y - 3ay + 6y； (2)-27a2b3 + 36a3b2 + 9a2b；
3y -9a2b
(3)(2a + b)(2a-3b)-8a(2a + b)． 2a＋b
思考：式(2)中-9ab也是多项式的公因式，为什么不写-9ab？
=6(m－n)2（m-n-2）.
【当堂检测】
(4)x(a－x)(a－y)－y(x－a)(y－a)． 提示：含有(b－a)3，(b－a)2等情势的多项式，可将(b－a)3，(b－a)2化成 －(a－b)3，(a－b)2的情势，即指数是奇数时要改变符号，指数是偶数 时不改变符号，简言之：奇变偶不变. 原式=x(a－x)(a－y)－y(a－x)(a－y)
四、典型例题
归纳总结
找准公因式要“五看”：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公约数；Βιβλιοθήκη 8a+4b 公因式 4
18x-12y+6m 公因式 6
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
ab+ac 公因式 a
abc+abd+abp 公因式 ab

解： 3a(x+y)-2b(x+y) =(x+y)×3a-(x+y)×2b =(x+y)(3a-2b)
总结：用提公因式法分解因式时，公因式可以
是一个单项式也可以是一个多项式。
例4：分解因式 （1）x(a-b)+y(b-a) （2）6(m-n)3-12(n-m)2
分析：第（2）小题应用如下关系： (b-a)=-(a-b) (b-a)2=(a-b)2 (b-a)3=-(a-b)3 (b-a)4=(a-b)4 即:当n为正偶数时(b-a)n=(a-b)n
认真视察刚才得到的结果的情势，看 看等式的左边和右边各有什么特征？
合作交流 和的情势
因式分解的概念： 把一个多项式写成几个整式的积的情
势，叫做把这个多项式因式分解.
注意：
（1）因式分解和整式乘法的过程是互逆的； （2）因式分解的对象必需是多项式； （3）因式分解的结果一定是积的情势；
（4）每个因式必须是整式.
求代数式a2b+ab2+a2b2的值.
2、根据上面的结果，填空(结果写成积的情势): （1）3x2－3x=_3_x_(x_－__1_)__ （2）ma＋mb＋mc=_m_(_a_＋__b_＋__c_) （3）m2－16=_(_m_＋__4_)_(_m_－__4_) （4）x2－6x＋9=__(x_－__3_)_2_
情境创设
探索与发现
（1）3x2－3x=_3_x_(_x_－__1_) _ （2）ma＋mb＋mc=_m_(_a_＋__b_＋__c_) （3）m2－16=_(m__＋__4_)_(m__－__4_) （4）x2－6x＋9=_(_x_－__3_)2__
苏科版七年级数学下册 第九章整式乘法与因式分解

1 8x 2xy
2 4m36m2 2m
(3) a2b 5ab 9b
(4) 2x3 4x2 2x
2. 把下列各式分解因式：
（1）3(a-b)2+6(b-a) （2）x(x-y)2-y(y-x)2 （3）18(a-b)3-12b(b-a)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
小颖解的有误吗？ 例3 把8a3b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解： 8 a3b2 –12ab3c + ab = ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1 = ab(8a2b - 12b2c)
错误！
当多项式的某一项和 公因式相同时，提公因
式后剩余的项是1.
1. 把下列各式分解因式：
应用拓展 已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
(3) 4x(6x2 3x 7) 24 x3 12 x 2 28 x
(4) ab(8a2b 12b2c 1) 8a3b2 12ab3c ab
观察下列各式的结构有什么共同特点？ ① ax －ay
② ma + mb + mc
③ 2πR + 2πr
多项式中各项都含有的相同因式，叫做 这个多项式各项的公因式.
从 数字系数 和 字母及其指数 分别进行考虑. 数字系数
公因式的系数应取各项系数的最大公约数.
字母及其指数
公因式中的字母取各项相同的字母，而且各 y3 的公因式.
因为 系数：最大公约数 3
字母：相同字母指数： 最低次幂
xy2
所以， 3x2y2– 6xy3的公因式是 3xy2
小结与反思
1、什么叫公因式、提公因式法？ 2、确定公因式的方法：

(2+a)(2-a)或-(a+2)(a-2)
（4） 7(x–3)–x(3–x)
（5）—4x2+8ax+2x
（6）—3ab+6abx—9aby
隧道的横截面如图,
用关于h,r的多项式
表示隧道横截面的面
积.这个多项式能分
r
解因式吗?若
r=7m,h=2m,计算这 h
个隧道的横截面积.
分解因式： axaybxby
(1)8ab16a3b3
(2)n4 n3 (3)3a32a2a (4)3m2a1m 2 a3m2a
(5)6p31p 022p
(1)4k x8k y (2)a2b2ab2ab (3)3m3a 6m2a 1m 2 a (4)2x431x222x8
添括号法则:
括号前面是“+”号，括到括号里 的各项都不变号；括号前面是“-” 号，括到括号里的各项都变号。
4.2 提取公因式法
１.什么叫因式分解？
２. 因式分解与整式的乘法 有什么关系？
如：
ma+mb
整式乘法 因式分解
m(a+b)
公因式
一个多项式中每一项都含有的相同 的因式，叫做这个多项式的公因式
如：ax+ay的公因式是a 怎样确定公因式
1.系数:提取最大的公约数;
2.字母:提取相同字母最低次幂。
1.系数:提取最大的公约数;
如： x-y=+( x-y )
-a+b=-(a-b )
(1)12x(１-２x ) (2 )x2 2 x 1 (x2+2x-1 ) (3)a2 4b2 4b1
a2 ( 4b2-4b+1 ) (4)2(ab)2 ab

例 4 把下列各式因式分解：
(1) ab2- ac2 解:原式= a( b2 - c2 ) (提公因式法)
= a (b+c) (b-c) (用平方差公式)
例 4 把下列各式因式分解：
(2) 3ax2+24axy+48ay2 解:原式=3a( x2+8xy+16y2 ) (提公因式法)
=3a[ x2 +2•x•4y +(4y)2 ] =3a(x+4y)2 (用完全平方公式)
Hale Waihona Puke 因式分解的完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
知识回顾
三、分解因式的一般步骤：
① 分解因式时，如果多项式各项中含有公因式，应 先考虑用提公因式法；
② 对于没有公因式的多项式考虑用公式法分解，如果 多项式有三项，则考虑用完全平方公式分解；如果多项 式有二项，则考虑用平方差公式分解；
8.4.3 综合运用提公因式法 与公式法分解因式
知识回顾
1、目前为止，我们已学过几种因式分解的方法？
① 提公因式法
② 公式法
2、什么是提公因式法？ 一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提
出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分
解因式的方法叫做提公因式法.
3、什么是公式法？ 利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解的方法叫做公式法.
分解因式的一般步骤： ① 分解因式时，如果多项式各项中含有公因式，应先
考虑用提公因式法； ② 对于没有公因式的多项式考虑用公式法分解，如果

后剩余的项是1.
正确解：原式=3x﹒x-6y﹒x+1﹒x
=x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1.
诊断 小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式=3xy(4x+6y)Biblioteka 错误公因式没有提尽，
还可以提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y)
注意：公因式要提尽.
例2：
• 分解因式：
(1)3x+6y (2)ab-2ac (3)a2-a3 (4)4(m+n)2 +2(m+n) (5)9m2n-6mn (6)-6x2y-8xy2
（3） （a） （a2） （2(m+n)） （3mn） （-2xy）
例1 把下列多项式分解因式：
(1)-3x2+6xy-3xz; (2)3a3b+9a2b2-6a2b. 解：(1)-3x2+6xy-3xz =(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z =-3x(x-2y+z). (2)3a3b+9a2b2-6a2b =3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2 =3a2b(a+3b-2).
因式分解 提公因式法
问题1： 什么叫做因式分解？
问题2： 整式乘法与因式分解有 何区分？
ma+mb=m(a+b) m(a+b) = ma+mb
这个多项式有什么特点？
ma mb mc
相同因式m
多项式中各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式的公因式.
找3 x2–6xy的公因式.
3
系数：最大 公约数.
诊断

2.[2024·上海期中] 下列各式从左到右是因式分解的是( C
A.( + )( − ) = − −
B. − − = ( − ) −




C. − = ( − )( + )
D. − = (

− )

)
公因式
3.［知识初练］多项式 − 中各项系数的最大公因数是
= ⋯ = ( + )+ .
荣老师告诉你
1.因式分解与整式乘法是互逆变形，即
.
2.因式分解必须做到两点：(1)结果必须是因式的积的形式;(2)
每个因式都是整式且不能再分解.

× = .
(2). × . + . × . + × . .
解：原式= . × . + . × . + . × . =
. × (. + . + . ) = . × = .
+ + ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) (为正整数).
+ + ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + )
= ( + )[ + + ( + ) + ⋯ + ( + )− ]
= ( + ) [ + + ⋯ + ( + )− ]
7.多项式 + 提取公因式后，剩下的因式是( C
A.
B. +
C. +

边是否是几个整式的 积的形式。
1、多项式ab +bc各项都含有相 同的因式吗？多项式3x2+6x呢？ 多项式mb2+nb+b呢？
2、你能将上面的多项式写成几 个因式的乘积的形式吗？说出 你的结果.
多项式各项都含有的相同 因式叫做这个多项式各项的公 因式.
如：bx+ax的公因式是ｘ．
议一议
确定多项式的公因式应对系数和字母分 别考虑什么?
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/3/122021/3/122021/3/122021/3/12
谢谢观看
（1）确定公因式 （2）用公因式去除多项式的各项得另一因式 （3）写成这两个因式的积的形式
让我们一起总结一下
用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽； （2）小心漏掉“1“； （3）多项式的首项取正号； （4）公因式是多项式时，要注意符号问题。
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/3/122021/3/12Friday, March 12, 2021
。2021年3月12日星期五2021/3/122021/3/122021/3/12
15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年3月2021/3/122021/3/122021/3/123/12/2021
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/3/122021/3/12March 12, 2021
2.3a²c-6a³c=3a²(c-2ac)
例3:把 -24x3-12x2+28x 分解因式 分析: 如果多项式的第一项系数是负数,一 般要先提出 负因数。保证括号内首项为正。

a)3;
(5) (a+b)5 +
(6) (a+b)6 =_+__(b+a)6.
=___(b+a)5; •••••••
(7) (a+b) =_-__(-b-a); (8) (a+b)2 =_+__(-a-
b)2.
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由此可知规律：
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b最-新a初中数学即精品课a件-设b计 = -（b-a）
例7 利用因式分解计算： (1)2919.99 7219.99 1319.99 -19.9914 (2)3937 -1381
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(1)已知：4x2 7x 1 3,求 - 8x2 -14 x的值。 (2)已知：a - b - c 2 0,
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例2. 把a(x-y)+b(y-x)分解因式.
分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x) 两项。其中X-y与y-x互为相反数，可 将+b(y-x)变为-b(x-y)，则a(x-y) 与-b(x-y) 公因式为 (x-y)
解： a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) ＝（ｘ－y）（ａ-ｂ）
(1) a+2 = __+_(2+a) (2) -x+2y = _+__(2y-x) (3) (m-a)2 = _+__(a-m)2
(4) (a-b)3 = _-__(-a+b)3