考研真题二-导数与微分

考研数学二（填空题）模拟试卷107(题后含答案及解析)题型有：1.1．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学2．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学3．已知Dn=，若Dn=anDn－1+kDn－2，则k=________．正确答案：1解析：从而k=1．知识模块：行列式4．设y＝sinχ2，则＝_______．正确答案：解析：用微分之商来求．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算5．设y=(1＋sinx)x，则dy｜x=π=__________。

正确答案：一πdx解析：运用等价转换y=(1+sinx)x=exln(1＋sinx)，于是y’=exln(1＋sinx)．[ln(1+sinx)+x．]，因此dy｜x=π=y’(π)dx=一πdx。

知识模块：一元函数微分学6．设f(x)连续，则=_______正确答案：f(x)解析：知识模块：一元函数微分学7．函数f(x)=｜4x3一18x2+27｜在区间[0，2]上的最小值为___________，最大值为_________．正确答案：0；27解析：令φ(x)=4x3一18x2+27，则所以φ(x)在[0，2]单调递减，φ(0)=27，φ(2)=一13，利用介值定理知，存在唯一x0∈(0，2)，φ(x0)=0．且f(0)=27,f(0)=0,f(2)=13．因此f(x)在[0，2]上的最小值为0，最大值为27．知识模块：一元函数微分学8．设f(χ)＝，则f(n)(χ)＝_______．正确答案：解析：令f(χ)＝解得A＝3，B＝－2，即知识模块：导数与微分9．设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx=_____.正确答案：解析：由∫0x(2x-t)dt∫2xx(2x-u)f(u)(-du)=∫x2x(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du.得2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du=arctanx2，等式两边对x求导得2∫2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-4xf(2x)+xf(x)=，整理得2∫x2xf(u)du-xf(x)=取x=1得2∫12f(u)du-f(1)=，故∫12f(x)dx= 知识模块：高等数学10．(a＞0)=_________．正确答案：解析：利用分部积分法．知识模块：一元函数积分概念、计算及应用11．设f(x)具有连续导数，且F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，则f’(0)=________．正确答案：解析：由于F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt=x2∫0xf’(t)dt－∫0xt2f’(t)dt，所以F’(x)=2x∫0xf’(t)dt+x2f’(x)－x2f’(x)=2x∫0xf’(t)dt．又依题设，当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，从而知识模块：一元函数积分概念、计算及应用12．=_______正确答案：解析：因为知识模块：一元函数积分学13．设f(x)二阶连续可导，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，则∫01xf”(2x)dx=_______．正确答案：2解析：∫01xf”(2x)dx=∫012xf”(2x)d(2x)=∫02xf”(x)dx=∫02xdf’(x)=[xf’(x)｜02-∫02f’(x)dx]=(10-f(x)｜02)=2 知识模块：高等数学部分14．设函数z=z(x，y)由方程(z+y)2=xy确定，则=______。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设cos 1sin ()x x x α-=⋅,()2x πα<,当0x →时,()x αA 比x 高阶的无穷小B 比x 低阶的无穷小C 与x 同阶但不等价的无穷小D 与x 是等价无穷小答案C考点同阶无穷小 难易度★★ 详解cos 1sin ()x x x α-=⋅,21cos 12x x --21sin ()2x x x α∴⋅-,即1sin ()2x x α-∴当0x →时,()0x α→,sin ()()x x αα1()2x x α∴-,即()x α与x 同阶但不等价的无穷小,故选C. 2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定,则2lim [()1]n n f n→∞-= A2 B1 C-1 D-2 答案A考点导数的概念；隐函数的导数 难易度★★详解当0x =时,1y =.方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导,得 将0x =,1y =代入计算,得 (0)(0)1y f ''== 所以,2lim [()1]2n n f n→∞-=,选A. 3、设sin [0,)()2[,2]x f x πππ⎧=⎨⎩,0()()x F x f t dt =⎰,则 A x π=为()F x 的跳跃间断点 B x π=为()F x 的可去间断点 C ()F x 在x π=处连续不可导 D ()F x 在x π=处可导 答案C考点初等函数的连续性；导数的概念 难易度★★详解202(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt πππππ-==+=⎰⎰⎰,(0)2F π+=,(0)(0)F F ππ∴-=+,()F x 在x π=处连续.()()()lim0xx f t dt f t dtF x ππππ--→-'==-⎰⎰,0()()()lim2xx f t dt f t dtF x ππππ++→-'==-⎰⎰,()()F F ππ-+''≠,故()F x 在x π=处不可导.选C.4、设函数1111(1)()1ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩,若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛,则A 2α<- B 2α> C 20α-<< D 02α<<答案D考点无穷限的反常积分 难易度★★★ 详解11()()()eef x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰由1()f x dx +∞⎰收敛可知,1()e f x dx ⎰与()ef x dx +∞⎰均收敛.1111()(1)eef x dx dx x α-=-⎰⎰,1x =是瑕点,因为111(1)e dx x α--⎰收敛,所以112αα-<⇒< 111()(ln )ln eeef x dx dx x x x ααα+∞+∞+∞-+==-⎰⎰,要使其收敛,则0α>所以,02α<<,选D.5、设()yzf xy x=,其中函数f 可微,则x z z y x y ∂∂+=∂∂ A 2()yf xy ' B 2()yf xy '- C 2()f xy x D 2()f xy x- 答案A考点多元函数的偏导数 难易度★★详解22()()z y y f xy f xy x x x∂'=-+∂,1()()z f xy yf xy y x ∂'=+∂ 11()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x'''=-+++=,故选A. 6、设k D 是圆域{}22(,)1D x y xy =+≤位于第k 象限的部分,记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰,则A 10I >B 20I >C 30I >D 40I > 答案B考点二重积分的性质；二重积分的计算 难易度★★详解根据对称性可知,130I I ==.22()0D I y x dxdy =->⎰⎰0y x ->,44()0D I y x dxdy =-<⎰⎰0y x -<因此,选B.7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵,若AB=C,且B 可逆,则 A 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 答案B考点等价向量组 难易度★★ 详解将矩阵A 、C 按列分块,1(,,)n A αα=,1(,,)n C γγ=由于AB C =,故111111(,,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.由于B 可逆,故1A CB -=,A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示,故选B.8、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件是A 0,2a b ==B 0,a b =为任意常数C 2,0a b ==D 2,a b = 为任意常数 答案B考点矩阵可相似对角化的充分必要条件 难易度★★详解题中所给矩阵都是实对称矩阵,它们相似的充要条件是有相同的特征值.由20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2,b ,0可知,矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值也是2,b ,0. 因此,22111122022401120a a E A ab a b a a a aa-----=---=---=-=---0a ⇒=将0a =代入可知,矩阵10100101A b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2,b ,0.此时,两矩阵相似,与b 的取值无关,故选B.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、10ln(1)lim(2)x x x x→+-= . 答案12e考点两个重要极限 难易度★★ 详解其中,20000111ln(1)ln(1)11lim(1)lim lim lim 22(1)2x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-++⋅-====+故原式=12e 10、设函数()xf x -=⎰,则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dxdy== .考点反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数 难易度★★ 详解由题意可知,(1)0f -=1()y x dy dx dx dxf x dx dy dy dy==-'==⇒=⇒==.11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤,则L 所围平面图形的面积是 .答案12π 考点定积分的几何应用—平面图形的面积 难易度★★详解面积622666000611cos 61sin 6()cos 3()222612S r d d d πππππθθπθθθθθθ-+====+=⎰⎰⎰ 12、曲线arctan ,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =点处的法线方程为 .答案ln 204y x π+--=考点由参数方程所确定的函数的导数 难易度★★★详解由题意可知,12//1dy dy dt t dx dx dtt-===+,故11t dy dx == 曲线对应于1t =点处的法线斜率为111k -==-. 当1t=时,4x π=,ln 2y =.法线方程为ln 2()4y x π-=--,即ln 204y x π+--=.13、已知321xx y exe =-,22x x y e xe =-,23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件00x y ==,01x y ='=的解为y = .答案32xx x y ee xe =--考点简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 难易度★★ 详解312xx y y ee -=-,23x y y e -=是对应齐次微分方程的解.由分析知,*2xy xe =-是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为3212()xx x x y C e e C e xe =-+-,12,C C 为任意常数.由00x y ==,01x y ='=可得 11C =,20C =.通解为32xx x y ee xe =--.14、设()ij A a =是3阶非零矩阵,A 为A 的行列式,ij A 为ij a 的代数余子式,若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则A = .答案-1 考点伴随矩阵 难易度★★★ 详解**0T T ijij ij ij a A A a A A AA AA A E +=⇒=-⇒=-⇒=-=等式两边取行列式得230A A A -=⇒=或1A =-当0A =时,00T AA A -=⇒=与已知矛盾 所以1A =-.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、本题满分10分当0x →时,1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小,求n 和a 的值. 考点等价无穷小；洛必达法则 难易度★★★详解00cos6cos 4cos 2111cos cos 2cos34limlimnn x x x x x x x xax ax→→+++--⋅⋅= 故20n -=,即2n =时,上式极限存在. 当2n =时,由题意得16、本题满分10分设D 是由曲线13y x =,直线x a =(0)a >及x 轴所围成的平面图形,x V ,y V 分别是D 绕x 轴,y 轴旋转一周所得旋转体的体积,若10y x V V =,求a 的值. 考点旋转体的体积 难易度★★详解根据题意,15523330033()55aax V x dx x a πππ===⎰177333066277aay V x x dx x a πππ=⋅==⎰.因10y x V V =,故7533631075a a a ππ=⨯⇒=17、本题满分10分设平面区域D 由直线3x y =,3y x =,8x y +=围成,求2Dx dxdy⎰⎰考点利用直角坐标计算二重积分 难易度★★详解根据题意 3286y x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩,16328x y x y x y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩故23682220233xxx x Dx dxdy dx x dy dx x dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰264340228132416()12833333x x x =+-=+=18、本题满分10分设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数,且(1)1f =,证明： Ⅰ存在(0,1)ξ∈,使得()1f ξ'=； Ⅱ存在(1,1)η∈-,使得()()1f f ηη'''+=. 考点罗尔定理 难易度★★★详解Ⅰ由于()f x 在[1,1]-上为奇函数,故(0)0f =令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且(1)(1)10F f =-=,(0)(0)00F f =-=.由罗尔定理,存在(0,1)ξ∈,使得()0F ξ'=,即()1f ξ'=.Ⅱ考虑()()1(()())(())xxxxf x f x e f x f x e e f x e ''''''''+=⇔+=⇔= 令()()xxg x e f x e '=-,由于()f x 是奇函数,所以()f x '是偶函数,由Ⅰ的结论可知,()()1f f ξξ''=-=,()()0g g ξξ⇒=-=.由罗尔定理可知,存在(1,1)η∈-,使得()0g η'=,即()()1f f ηη'''+=. 19、本题满分10分求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 考点拉格朗日乘数法 难易度★★★详解设(,)M x y 为曲线上一点,该点到坐标原点的距离为d =构造拉格朗日函数 2233(1)F x y x xy y λ=++-+-由22332(3)02(3)010x y F x x y F y y x F x xy y λλλ'⎧=+-=⎪'=+-=⎨⎪'=-+-=⎩ 得 11x y =⎧⎨=⎩点(1,1)到原点的距离为d ==,然后考虑边界点,即(1,0),(0,1),它们到原点的距离都是1.因此,,最短距离为1. 20、本题满分11分 设函数1()ln f x x x=+Ⅰ求()f x 的最小值；Ⅱ设数列{}n x 满足11ln 1n n x x++<,证明lim n n x →∞存在,并求此极限.考点函数的极值；单调有界准则 难易度★★★ 详解Ⅰ由题意,1()ln f x x x =+,0x >22111()x f x x x x-'⇒=-= 令()0f x '=,得唯一驻点1x = 当01x <<时,()0f x '<；当1x >时,()0f x '>.所以1x =是()f x 的极小值点,即最小值点,最小值为(1)1f =.Ⅱ由Ⅰ知1ln 1n n x x +≥,又由已知11ln 1n n x x ++<,可知111n n x x +>,即1n n x x +> 故数列{}n x 单调递增.又由11ln 1n n x x ++<,故ln 10n n x x e <⇒<<,所以数列{}n x 有上界. 所以lim n n x →∞存在,设为A.在11ln 1n n x x ++<两边取极限得 1ln 1A A +≤ 在1ln 1n n x x +≥两边取极限得 1ln 1A A+≥ 所以1ln 11A A A+=⇒=即lim 1n n x →∞=.21、本题满分11分设曲线L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤满足 Ⅰ求L 的弧长；Ⅱ设D 是由曲线L ,直线1x =,x e =及x 轴所围平面图形,求D 的形心的横坐标. 考点定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心 难易度★★★详解Ⅰ设弧长为S ,由弧长的计算公式,得 Ⅱ由形心的计算公式,得422423311111()3(23)16164221114(7)12122e e e e e e e ---+--==---. 22、本题满分11分 设110a A ⎛⎫=⎪⎝⎭,011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,当,a b 为何值时,存在矩阵C 使得AC CA B -=,并求所有矩阵C.考点非齐次线性方程组有解的充分必要条件 难易度★★★详解由题意可知矩阵C 为2阶矩阵,故可设1234xx Cx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由AC CA B -=可得 12123434101011011x x x x a x x x x b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理后可得方程组2312413423011x ax ax a ax x x x x ax b-+=⎧⎪-++=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩ ① 由于矩阵C 存在,故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换： 方程组有解,故10a +=,0b =,即1a =-,0b =.当1a =-,0b =时,增广矩阵变为10111011000000000000--⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭34,x x 为自由变量,令341,0x x ==,代入相应齐次方程组,得211,1x x =-=令340,1x x ==,代入相应齐次方程组,得210,1x x ==故1(1,1,1,0)Tξ=-,2(1,0,0,1)Tξ=,令340,0x x ==,得特解(1,0,0,0)Tη= 方程组的通解为112212112(1,,,)Tx k k k k k k k ξξη=++=++-12,k k 为任意常数所以121121k k k C k k ++-⎛⎫= ⎪⎝⎭.23、本题满分11分设二次型2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++,记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123b b b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Ⅰ证明二次型f 对应的矩阵为2T Tααββ+；Ⅱ若,αβ正交且均为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为22122y y + 考点二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 难易度★★★ 详解Ⅰ证明：112323(,,)(2)T T T x x x x x x Ax x ααββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭,其中2T T A ααββ=+所以二次型f 对应的矩阵为2TTααββ+. Ⅱ由于,αβ正交,故0TT αβαβ==因,αβ均为单位向量,故1α==,即1T αα=.同理1T ββ=由于0α≠,故A 有特征值12λ=.(2)T T A βααββββ=+=,由于0β≠,故A 有特征值21λ=又因为()(2)(2)()()()1123TTTTTTr A r r r r r ααββααββααββ=+≤+=+=+=<, 所以0A =,故30λ=.三阶矩阵A 的特征值为2,1,0.因此,f 在正交变换下的标准形为22122y y +.。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1~8小题,每小题4分,共32分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的;1下列反常积分中收敛的是A ∫√x 2B ∫lnx x +∞2dxC ∫1xlnx +∞2dxD ∫x e x +∞2dx答案D;解析题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案;∫√x2=2√x|2+∞=+∞； ∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞； ∫1xlnx +∞2dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫xe x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2, 因此D 是收敛的;综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学—一元函数积分学—反常积分2函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在-∞,+∞内 A 连续 B 有可去间断点C 有跳跃间断点D 有无穷间断点答案B解析这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选B; 综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限3设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0α>0,β>0.若f ′(x )在x =0处连续，则 A α−β>1 B 0<α−β≤1C α−β>2D 0<α−β≤2答案A解析易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是,f ′(0)存在α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时,lim x→0x α−1cos 1x β=0,lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0， 因此,f′(x )在x =0连续α−β>1;选A综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限4设函数f(x)在-∞,+∞内连续,其二阶导函数f ′′(x)的图形如右图所示,则曲线y =f(x)的拐点个数为A OB x A 0 B 1C 2D 3答案C解析f(x)在-∞,+∞内连续,除点x =0外处处二阶可导; y =f(x)的可疑拐点是f ′′(x )=0的点及f ′′(x)不存在的点;f ′′(x )的零点有两个,如上图所示,A 点两侧f ′′(x)恒正,对应的点不是y =f (x )拐点,B 点两侧f ′′(x )异号,对应的点就是y =f (x )的拐点;虽然f ′′(0)不存在,但点x =0两侧f ′′(x)异号,因而0,f(0) 是y =f (x )的拐点;综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点5设函数f(μ,ν)满足f (x +y,y x )=x 2−y 2，则f μ|μ=1ν=1与f ν|μ=1ν=1依次是 A 12,0 B 0,12C −12,0D 0,−12答案D解析先求出f (μ,ν)令{μ=x +y,ν=y x ,{x =μ1+ν,y =μν1+ν, 于是 f (μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1) 因此f μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0 f ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12 综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分6设D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,函数f(x,y)在D 上连续,则∬f (x,y )dxdy =DA ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θrdr B ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)√sin 2θ1√2sin 2θrdr C ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θdr D ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θdr答案 B 解析D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,作极坐标变换,将∬f (x,y )dxdy D化为累次积分; D 的极坐标表示为π3≤θ≤π4√sin 2θ≤θ≤√2sin 2θ因此 ∬f (x,y )dxdy D =∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θrdr综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算;7设矩阵A=[11112a 14a 2],b =[1d d 2];若集合Ω={1,2},则线性方程 Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为A aΩ,dΩB aΩ,d ∈ΩC a ∈Ω,dΩD a ∈Ω,d ∈Ω答案D解析Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3|A |是一个范德蒙德行列式,值为(a −1)(a −2),如果a?Ω,则|A |≠0，r (A )=3,此时Ax =b 有唯一解,排除A,B类似的,若d?Ω,则r (A |b )=3,排除C当a ∈Ω,d ∈Ω时,r (A |b )=r (A )=2,Ax =b 有无穷多解综上所述,本题正确答案是D;考点线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值,矩阵的秩,线性方程组求解;8设二次型f(x 1,x 2,x 3)在正交变换x =Py 下的标准形为2y 12+y 22−y 32,其中P =(e 1,e 2,e 3),若Q =(e 1,−e 3,e 2)在正交变换x =Qy 下的标准形为A 2y 12−y 22+y 32B 2y 12+y 22−y 32C 2y 12−y 22−y 32D 2y 12+y 22+y 32答案A解析设二次型矩阵为A ,则P −1AP =P TAP =[20001000−1]可见e 1,e 2,e 3都是A 的特征向量,特征值依次为2,1,-1,于是-e 3也是A 的特征向量,特征值为-1,因此Q T AQ =Q −1AQ =[2000−10001]因此在正交变换x =Qy 下的标准二次型为2y 12−y 22+y 32综上所述,本题正确答案是A;考点线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量,正交变换化二次型为标准形;二、填空题：9~14小题,每小题4分,共24分;9设{x =acr tan t ,y =3t +t 3,则d 2y dx 2|t=1=解析由参数式求导法dy dx =y t ′x t ′=3+3t 211+t 2=3(1+t 2)2再由复合函数求导法则得d 2ydx 2=d dx [3(1+t 2)2]=d dt [3(1+t 2)2]dt dx =6(1+t 2)2t1x t ′ =12t(1+t 2)2, d 2y dx 2|t=1=48综上所述,本题正确答案是48;考点高等数学-一元函数微分学-复合函数求导10函数f (x )=x 22x 在x =0处的n 阶导数f (n )(0)=答案n (n −1)(ln2)n−2(n =1,2,3,)解析解法1 用求函数乘积的n 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

考研数学二解答题专项强化真题试卷53(题后含答案及解析)题型有：1.1．设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz/dx.正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学2．(92年)已知f”(x)＜0，f(0)=0，试证：对任意的两正数x1和x2,恒有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)成立．正确答案：不妨设x1≤x2，由拉格朗日中值定理可知f(x1)一f(0)=f’(c1)x1 (0＜c1＜x1) f(x1+x2)一f(x2)=f’(c2)x1(x2＜c2＜x1+x2)又f”(x)＜0，则f’(x)单调减少，故f’(c2)＜f’(c1)，而x1＞0则f(x1+x2)一f(x2)＜f(x1)一f(0)又f(0)=0，则f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2) 涉及知识点：一元函数微分学3．(2006年试题，16)求不定积分正确答案：用积分公式求解解析：用分部积分法和换元积分法．知识模块：一元函数积分学4．函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝1，且满足等式。

(1)求导数f(x)；(2)证明：当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1成立．正确答案：[详解1](1)根据题设，有(x＋1)f’(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(x)dt ＝0，上式两边对x求导，得(x＋1)f”(x)＝－(x＋2)f’(x)，即。

两边积分，得lnf’(x)＝－x＋ln(x＋1)＋lnC，即有。

在题设等式中令x＝0，得f’(0)＋f(0)＝0，又f(0)＝1，于是f’(0)＝－1，代入f’(x)的表达式，得C＝－1，故有(2)当x≥0时，f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)＝1，所以f(x)≤f(0)＝1．设ψ(x)＝f(x)－e－x，则ψ(0)＝0，ψ’(x)＝f’(x)＋ex＝。

当x≥0时，ψ’(x)≥0，即ψ(x)单调增加，因而ψ(x)≥ψ(0)＝0，即有f(x)≥e－x．综上所述，当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1．[详解2](1)解法同详解1．(2)由于f(x)＝f(0)＋∫0xf’(t)dt ＝，由于当t≥0时，，于是由定积分的性质得，因此，当x≥0时，有e－x≤f(x)≤1．解析：[分析] 含有变限的定积分问题，一般都是先求导，引出一微分方程．本题若直接求导不能消去积分，因此应先乘以x＋1，再求导．(2)中不等式的证明需要利用(1)中的结果，引进适当的辅助函数后，用单调性即可完成证明．[评注1]将方程化为(1＋x)f’(x)＋(1＋x)f(x)－∫0xf(t)dt＝0的目的是通过求导能消去变限积分∫0xf(t)dt，应注意掌握这种技巧．[评注2] 如果已知f’(x)的表达式或具有某种性质，但不能通过不定积分求出f(x) 的表达式，则可通过变限积分建立f(x)与f’(x)之间的联系，即有f(x)＝f(a)＋∫axf’(t)dx．知识模块：一元函数积分学(2003年试题，九)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1)，容器的底面圆的半径为2m，根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以,mn2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．5．根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；正确答案：由题设，设t时刻时液面的高度为y，则此时液面面积S=π[φ(y)]2，由已知=π，即得S=πt+S0=πt+4π因此πt+4π=π[φ(y)]2，从而φ2(y)=4+t(1)此即t与φ(y)之间的关系式；当t时刻液面高度为y时，容器内液体体积为由已知，y=3t，则将式(1)代入此式得涉及知识点：微分方程6．求曲线x=φ(y)的方程．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分)正确答案：将式(2)两边对)，求导，得πφ2(y)=6φ(y)φ’(y)，即解此方程得φ(y)=由已知φ(0)=2，则可推知C=2，所以曲线x=φ(y)为解析：考查了应用定积分求旋转体的体积和微分方程的求解方法．知识模块：微分方程7．[2002年] 已知A，B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B一4E，其中E是三阶单位矩阵．(1)证明矩阵A一2E可逆；(2)若B=，求矩阵A．正确答案：将所给等式变形整理为(A一2E)C=E的形式可证A一2E可逆，也可利用命题2．2．1．6证之．进而求解矩阵方程．解一(1)在所给矩阵等式两边左乘A，利用AA-1=E，有2B=AB一4A，(A一2E)B一4A=0．在以上矩阵等式两端同加8E，得到(A一2E)B－4(A一2E)=8E，即(A一2E)[(B一4E)／8]=E．故A一2E可逆，且A一2E=[(B一4E)／8]-1，即A=[(B 一4E)／8]-1+2E．(2)利用命题2．2．1．5(1)易求得(B一4E)-1=则A=2E+8(B 一4E)-1= ①解二利用命题2．2．1．6求之．由所给方程易求得AB一4A一2B=0，因而a=－4，b=－2，c=0，ab—c=8≠0．由该命题即得(A一2E)(B一4E)=8E，A一2E=[(B一4E)／8]-1=8(B一4E)-1，即A=2E+8(B一4E)-1．由解一知式①成立．涉及知识点：矩阵8．(14)设A=，E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．正确答案：(Ⅰ)对方程组的系数矩阵A施以初等行变换设x=(x1，x2，x3，x4)T，选取x4为自由未知量，则得方程组的一般解：x1=-x4，x2=2x4，x3=3xx4(x4任意)．令x4=1，则得方程组Ax=0的一个基础解系为α=(-1，2，3，1)T(Ⅱ)对矩阵[A┆E]施以初等行变换记E=[e1，e2，e3]，则方程组Ax=e1的同解方程组为，从而得Ax=e1的通解为x=k1α+，k1为任意常数，同理得方程组Ay=e2的通解为y=k2α+，k2为任意常数，方程组Ax=e3的通解为z=k3α+，k3为任意常数，于是得所求矩阵为B=[x，y，z]=+[k1α，k2α，k3α]或k1，k2，k3为任意常数．涉及知识点：线性方程组9．正确答案：10．正确答案：。

考研数学二-237(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设f(x)在(-∞，+∞)内可导，则______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析]选项A的反例：选项B的反例：f(x)=x 3，f"(x)=3x 2；选项C的反例：选项D的证明：所以有，2.方程x 2 =xsinx+cosx的实根个数是______SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．分值: 4答案:B[解析] 设f(x)=x 2 -xsinx-cosx是偶函数，且有，f(0)=-1＜0．又f"(x)=2x-sinx-xcosx+sinx=x(2-cosx)．当x∈(-∞，0)时，，f(0)=-1＜0，f"(x)＜0，由此可知f(x)由正无穷单调减少到-1，所以f(x)=0在该区间上有且仅有一根．由偶函数性质得知，在区间(0，+∞)上，f(x)=0也有且仅有一根．综上得出，原方程有且仅有两个根．3.设f(x)=(x 2 +x-2)|x(x 2 +x-2)|，则f(x)不可导点的个数是______ SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 3．分值: 4答案:B[解析] 将f(x)变形，得f(x)=(x 2 +x-2)|x(x 2 +x-2)|=(x+2)(x-1)|x(x+2)(x-1)|=(x+2)|x+2|·(x-1)|x-1|·|x|，函数f(x)只有一个不可导的点x=0．这里用到结论：若存在，则f(x)=g(x)|x-x0 |在x=x处可导的充分必要条件是4.若在(-δ，δ)内，δ＞0，f(x)单调连续，g(x)连续，且，则x→0时，是的______SSS_SINGLE_SELA 低阶无穷小．B 高阶无穷小．C 同阶无穷小，但不等价．D 等价无穷小．分值: 4答案:B[解析] 由已知，得因在(-δ，δ)内，f(x)单调连续，且，则当x→0时，|f(x)|单调趋于零．所以，所以，的高阶无穷小．5.若常数p，q，r，满足p≤q≤r，且使得广义积分收敛，则______SSS_SINGLE_SELA p+q＜1．B q+r＞1．C p+q＜1，q+r＞1．D p＜1，r＞1．分值: 4答案:D[解析] 设min{p，q，r}=p，当x→0 +时，由于所以，当min{p，q，r}=p＜1时，max{p，q，r}=r，当x→+∞时，由于所以，当max{p，q，r}=r＞1时，综上，当min{p，q，r}=p＜1，且max{p，q，r}=r＞1时，6.设y=y(x)由方程y=xf(x 2 +y 2 )+f(x+y)确定，y(0)=1．f(x)二阶可导，且f"(1)=-1，f"(1)=2，则=______A．-1．B．C．D．1．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 由y=xf(x 2 +y 2 )+f(x+y)，y(0)=1，得f(1)=1．又y"=f(x 2 +y 2 )+x(2x+2yy")f"(x 2 +y 2 )+(1+y")f"(x+y)，y"=2(2x+2yy")f"(x 2 +y 2 )+ [(2x+2yy")f"(x 2 +y2 )]+y"f"(x+y)+(1+y") 2 f"(x+y)，将x=0，y(0)=1代入y"表达式，并由f(1)=1，f"(1)=-1，得将x=0，y(0)=1，y"(0)=0代入y"表达式，并由f"(1)=2，得7.设向量组α1 =[1，0，2，1]，α2=[1，2，0，1]，α3=[2，5，-1，4]，α4=[2，1，3，2]，则向量组的极大无关组的个数是______ SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．分值: 4答案:C[解析] 将α1，α2，α3，α4处理成列向量，设，并作初等行变换，化A为阶梯型矩阵．显然．线性相关．而均线性无关，故均是的极大线性无关组，即原向量组极大线性无关组的个数为3．8.设A是三阶不可逆矩阵，已知Ax=β有通解α，Ax=α有通解β，则A相似于______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] A是三阶不可逆矩阵，则Ax=0有非零解，故A有特征值λ1=0．Ax=β有解α，即Aα=β；Ax=α有解β，即Aβ=α，故A(α+β)=β+α=α+β A有λ2=1(对应的特征向量为α+β)，A(α-β)=β-α=-(α-β) A有λ3=-1(对应的特征向量为α-β)．三阶矩阵有三个不同的特征值，故二、填空题1.若f(x)在x=0点可导，且f(0)=1，f"(0)=2，则=______．SSS_FILL分值: 4-2 [解析]2.设y=y(x)是由参数方程所确定的函数，则=______．SSS_FILL分值: 4-π 2 [解析] 由参数方程得当x=2时，由2=1+e t，解得t=0，则3.己知f(1)=1，．若函数y(x)=f(e x2 )，则y(x)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由y=f(e x2 )得所以则4.若f(x)=(x+1) 2 sinx，则f (100) (0)=______．SSS_FILL分值: 4-200 [解析] 记u(x)=(x+1) 2，v(x)=sinx，则当n＞2时，由乘积函数的高阶导数公式得则f (100) (x)=[(x+1) 2 -9900]sin(x+50π)-200(x+1)cos(x+50π)=[(x+1) 2 -9900]sinx-200(x+1)cosx，f (100) (0)=-200．5.设max(a，b，c)表示a，b，c中最大的数，则积分=______．SSS_FILL分值: 4[解析]6.设n阶行列式，则=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 将Dn按第1行展开Dn -Dn-1=Dn-1-Dn-2，n=3，4，…，n．故D1，D2，…，Dn是等差数列．又D1 =2，，则公差为D2-D1=1；第n项为Dn=n+1，则三、解答题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设，求SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解析] 首先求f(x)的表达式．思路一：令，则因为故思路二：下面计算积分又，得In =nIn-1=n(n-1)In-2=…=n!I=n!．2.设F(x)是f(x)的一个原函数，且F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，求的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解析] 由已知得F"(x)=f(x)，又由F(x)f(x)=cos2x，得从而有F 2 (x)=sin2x+C．又由F(0)=1，得C=1，所以则3.求定积分的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解析]4.设y=y(x)一阶可导，y(0)=π，若对任一点x∈(-∞，+∞)处函数的增量为，其中o(Δx)为Δx的高阶无穷小量，求y(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解析] 由可知，已知y(0)=π，上式两边做定积分，得即y=πe arctanx．5.设x1＞0，，n=1，2，…，分别就a＜0，a=0和a＞0三种情况讨论的存在性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解析] 如果存在，设．则，得方程．即A 2 =a．可见，必须a≥0，．此时，数列{xn}必是正数列．设函数．则当x≥0时，．可见，f(x)是有界的，所以数列{xn}是有界的．下面仅须讨论其单调性，若是单调数列则其必收敛．再由微分中值定理得首先考虑，当0≤a＜1时，，相邻两项之差是同号的．因此，当x2＞x1时，{xn}单调递增；当x2＜x1时，{xn}单调递减．所以{xn}都收敛．当a=1时，xn+1 -xn=0，这是常数数列，当然收敛．当a＞1时，，相邻两项之差是异号的．此时，可再运用一次中值定理这说明数列{x2n-1 }和{x2n}是单调的，因此它们都收敛．若设，它们分别由方程确定，并且这两个方程有相同的正根．由此可知综上，当a＜0时，不存在，当a≥0时，存在．6.设函数f(x)在[0，1]上连续、在(0，1)内可导，f(0)=0，当x∈(0，1)时，f(x)≠0．证明：对任意的正整数m，n，存在ξ∈(0，1)，使得SSS_TEXT_QUSTI分值: 11[证明] 要证设函数g(x)=ln[f n(x)·f m (1-x)]，由于f(0)=0，g(x)在x=0，x=1处无定义，不满足罗尔定理条件．可转而考虑函数F(x)=f n(x)·f m (1-x)．由于F(0)=F(1)=0，它满足罗尔定理条件．所以，，使得．即nf n-1(ξ)·f"(ξ)·f m (1-ξ)-mf m-1 (1-ξ)·f"(1-ξ)·f n(ξ)=0，7.设，φn(x)=n 2φ(nx)，n=1，2，…．若f(x)的二阶导数存在且有界．证明：SSS_TEXT_QUSTI分值: 11[证明] 由已知得令，则因为故8.设A是n阶矩阵，r(A)=n-r．又Ax=b有α1，α2，…，αr，αr+1共r+1个线性无关解．证明Ax=b的任一解均可由α1，α2，…，αr，αr+1线性表出．SSS_TEXT_QUSTI 分值: 11[证明] 由解的性质知，αr+1 -α1，αr+1-α2，…，αr+1-αr是齐次方程Ax=0的r个解．令k1(αr+1-α1)+k2(αr+1-α2)+…+kr(αr+1-αr)=0，即(k1 +k2+…+kr)αr+1-(k1α1+k2α2+…+krαr)=0因α1，α2，…，αr，αr+1线性无关，得k1=k2=…=kr=0，故知αr+1 -α1，αr+1-α2，…，αr+1-αr，是Ax=0的r个线性无关解，又因r(A)=n-r，故知是Ax=0的基础解系，从而Ax=b的通解是l1(αr+1-α1)+l2(αr+1-α2)+…+lr(αr+1-αr)+αr+1=-l1α1-l2α2-…-lrαr+(l1+l2+…+lr)αr+1．即Ax=b的任一解均可由α1，α2，…，αr，αr+1线性表出．9.设f(x1，x2，x3)=X T AX经正交变换可化为，又知A *α=α，其中α=[1，1，-1] T，求该二次型的表达式．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11[解析] f在正交变换下的标准形的系数是f对应矩阵的特征值，即A有特征值λ1 =2，λ2=λ3=-1，从而知A *有特征值，μ2=μ3=-2，α是A *的对应于μ1=1的特征向量．A是对称阵．A *也是对称阵．故μ2=μ3=-2对应的特征向量与α正交，α也是A对应于λ1 =2的特征向量．A对应于λ2=λ3=-1的特征向量正交，设X=(x1，x2，x3)T，则有α T X=x1+x2-x3=0，解得A对应于λ2=λ3=-1的特征向量为X1 =[1，-1，0] T，X2=[1，0，1] T，令，则故f(x1，x2，x3)=X T AX=2x1x2-2x1x3-2x2x3．1。

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则A dy dx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A BE =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 （A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()x f t dt ⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-【 】（10）函数212xxx y C e C e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.xy y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-=（D ）23.xy y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）22120(,).x xdx f x y dy -⎰⎰（B ）22120(,).x dx f x y dy -⎰⎰（C ）22120(,).y ydy f x y dx -⎰⎰（D ）22120(,).y dy f x y dx -⎰⎰【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP =三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxe dx e ⎰求. 17．{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy x y +=++⎰⎰计算二重积分 18．{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<== 设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim()n x n x nx x +→∞计算. 19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.真题解析一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x（5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0x dy dx==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y yy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]（A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<（D ）0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31--（C ）ln 21--（D ）ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)12g e+= g (1)= ln 21--（10）函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--=（C ）23xy y y xe '''+-=（D ）23xy y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C]（A ）2212(,)x xdx f x y dy -⎰⎰（B ）2212(,)x dx f x y dy -⎰⎰（C ）2212(,)y ydy f x y dx -⎰⎰（D ）2212(,)y dy f x y dx -⎰⎰（12）设(,)(,)f xyxy ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则（B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = （16）求arcsin xxe dx e ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令21arcsin arcsin ()1t dttd t t t t =-=-+-⎰⎰2222arcsin arcsin 1(2)12(1)1t tdt t udu t u t t u u t t -=-+-==-+--⎰⎰令2arcsin 1t dut u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++22arcsin arcsin 111ln 211x x x x x x e e e dx C e e e --∴=-++-+⎰. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解：用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥ 因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型 离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011s i n l i m l n 0s i n l i m t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且()22Z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证：（I ）()()22222222;zx zy f x y f x y xyx yx y∂∂''=+=+∂∂++()()()()22222223222222zx y f x yf x yx x y x y ∂'''=+++∂++()()()()22222223222222zy x f x yf x yy x y x y ∂'''=+++∂++()2222222222()0()()0f x y z zf x yx y x yf u f u u'+∂∂''+=++=∂∂+'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴= 由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+（III ）设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰ ()224024241t t y y x y -+==±-=±-+解出t 得由于（2，3）在L 上，由()232241()y x x y g y ===--+=得可知()30944(1)S y y y dy ⎡⎤=-----⎣⎦⎰ 3300(102)44y dy ydy =---⎰⎰3333220002(10)44(4)214(4)3y y yd y y =-+--=+⨯⨯-⎰8642213333=+-=- (22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2.② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4，x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0。

2024考研数学真题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=0，若极限lim(x→0)f(x)/x=1，则f'(0)等于（）A. 0B. 1C. 2D. 不存在【参考答案】B【解析】由于lim(x→0)f(x)/x=1，且f(0)=0，根据导数的定义，f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x=lim(x→0)f(x)/x=1。

2. 设函数y=ln(x+√(x^2+1))，则y''在x=0处的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【参考答案】B【解析】首先求y'，y'=(1/(x+√(x^2+1)))×(1+1/(2√(x^2+1)))。

然后求y''，y''=(1/(x+√(x^2+1)))'×(1+1/(2√(x^2+1)))+(1/(x +√(x^2+1)))×(1+1/(2√(x^2+1)))'。

将x=0代入y''，得y''(0)=0。

3. 设函数z=f(x,y)由方程x^2+y^2+2xy-z=0确定，则f(x,y)在点(1,1)处的偏导数f'x(1,1)等于（）A. -1B. 0C. 1D. 2【参考答案】C【解析】对方程x^2+y^2+2xy-z=0两边关于x求偏导，得2x+2y-f'x(x,y)=0。

将x=1, y=1代入，得2+2-f'x(1,1)=0，解得f'x(1,1)=1。

4. 设矩阵A的伴随矩阵A的秩为1，则矩阵A的秩r(A)等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3【参考答案】B【解析】由于矩阵A的伴随矩阵A的秩为1，根据矩阵秩的性质，r(A)+r(A)≥n，其中n为矩阵A的阶数。

又因为r(A)≤r(A)，所以r(A)=1。

２012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1８小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数( )(A) ０ （B ） １ (C) ２ (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：(i)当曲线上一点Ｍ沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

(i ｉ)渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数)、垂直渐近线(0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=,,a b 为常数)。

（i ｉｉ）注意：如果(1)()limx f x x→∞不存在；（2）()lim x f x a x→∞=,但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。

在本题中，函数221x x y x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线．（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线).又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.(无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是２.故选C. （２) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---，其中n 为正整数,则(0)f '=( )（A) 1(1)(1)!n n --- (Ｂ) (1)(1)!n n -- (Ｃ) 1(1)!n n --(Ｄ) (1)!nn -【答案】Ａ【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中,按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A ．【详解二】本题涉及到的主要知识点:()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0,故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选(A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =++++,则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的（ ) （A ）充分必要条件 (B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【考点】数列极限 【难易度】★★★【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.若数列{}n S 有界,则lim n n S →∞存在,于是11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B). (4）设20sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 （ )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (Ｄ)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点: 设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰,2220sin x I e xdx π=⎰,2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰,2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<．故选D ．（5)设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂,则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A)12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <,12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点:函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升,故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降,故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此,当12x x <,12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D ．（6)设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±,1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰（ )（A)π(B ）2（C ）-2ﻩ(D ）π-【答案】D【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对或为奇函数，对或为偶函数在本题中,11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰5222221(1sin )(1sin )2x x dx x dx πππππ--=---=-⎰⎰ 其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰ 故选(D ）(7）设1100c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ )(Ａ)123,,ααα (B ） 124,,ααα (Ｃ）134,,ααα (Ｄ)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为３阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若Ｐ＝(123,,ααα）,1223(,,)ααααα=+,则1Q AQ -= （ )（A ） 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C ） 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (Ｄ)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点:设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换,相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选Ｂ．二、填空题:9１4小题,每小题４分,共２4分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数,则22x d ydx== .【答案】1【考点】隐函数的微分 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法,将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量,对中间变量的求导不要漏项。