2018-2019学年高中数学-选修2-1优化分层练习：第3章 3.1 3.1.1 3.1.2 空间向量的数乘运算

03课堂效果落实1.给出下列命题：①a ＝“从上海往正北平移9 km ”，b ＝“从北京往正北平移3 km ”，那么a ＝3b ；②(a ＋b )＋λc ＋λ(a ＋d )＝b ＋(1＋λ)a ＋λ(c ＋d )；③把正方形ABCD 平移向量m 到A 1B 1C 1D 1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；④有直线l ，且l ∥a ，在l 上有点B ，若AB →＋CA →＝2a ，则C ∈l .其中正确的命题是( )A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③解析：③中形成的几何体是平行六面体． 答案：C2．下列命题中，正确的命题个数为( ) ①若a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反； ②若AB→∥CD →，则A 、B 、C 、D 四点共线； ③若a 、b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )． A. 0 B. 1 C. 2D. 3解析：当a ，b 中有零向量时，①不正确.AB→∥CD →时，A 、B 、C 、D 共面不一定共线，故②错．由p 、a 、b 共面的充要条件知，当p ，a ，b 共面时才满足p ＝λa ＋μb ，故③错．答案：A3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A. A 、B 、DB. A 、B 、CC. B 、C 、DD. A 、C 、D解析：由已知可得AB→＝a ＋2b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ，所以BD →＝2AB→，即BD →，AB →是共线向量，所以A 、B 、D 三点共线． 答案：A4．已知A 、B 、P 三点共线，O 为空间任意一点，OP →＝αOA →＋βOB →，则α＋β＝________.解析：∵A 、B 、P 三点共线，∴存在实数t ， 使OP→＝(1－t )OA →＋tOB →， ∵OP→＝αOA →＋βOB →，∴α＝1－t ，β＝t . 即α＋β＝1－t ＋t ＝1. 答案：15．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，M 是AA ′的中点，点G 在对角线A ′C 上且CG ∶GA ′＝2∶1，设CD →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，试用a 、b 、c 表示CA →、CA ′→、CM→、CG →. 解：如图.CA→＝CB →＋BA →＝a ＋b . CA ′→＝CA →＋AA ′→＝CA →＋CC ′→＝a ＋b ＋c . CM →＝CA →＋AM →＝CB →＋CD →＋12CC ′→＝a ＋b ＋12c . CG →＝23CA ′→＝23(a ＋b ＋c )．。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)解析：b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)，故选A. 答案：A2．若非零向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2是a 与b 同向或反向的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2，则a 与b 同向或反向，反之不成立． 答案：A3.以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点O ，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1→共线的向量的坐标可以是( ) A ．(1，2，2) B ．(1,1，2) C ．(2，2，2) D ．(2，2，1)解析：设正方体的棱长为1， 则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1→＝(1,1,1)，∴与DB 1→共线的向量的坐标可以是(2，2，2)． 答案：C4．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋1＝14， ∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2. ∴△ABC 为直角三角形． 答案：C5．已知向量a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.652 B.65 C ．4D ．8解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝49，sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝1－(49)2＝659，S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝3×3×659＝65.答案：B6．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6，2μ－1，2)，且a ∥b ，则λ＋μ＝________. 解析：∵a ∥b ，∴a ＝t b.∴⎩⎨⎧λ＋1＝6t ，0＝t (2μ－1)，2λ＝2t .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ＝15，μ＝12.∴λ＋μ＝15＋12＝710. 答案：7107．已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.解析：∵AB →＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2,6)．若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， 即λ－12＝－12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0. 答案：08．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |＝________. 解析：∵a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)， ∴a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0) ＝(9,3,0)，∴|a －b ＋2c |＝92＋32＝90＝310. 答案：3109．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标； (2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积． 解析：(1)∵AP →∥BC →，∴可设AP →＝λBC →，又BC →＝(3，－2，－1)，∴AP →＝(3λ，－2λ，－λ)， 又|AP →|＝214，∴(3λ)2＋(－2λ)2＋(－λ)2＝214，∴λ＝±2，∴AP →＝(6，－4，－2)或AP →＝(－6,4,2)． 设点P 的坐标为(x ，y ，z )，∴AP →＝(x ，y －2，z －3)．∴⎩⎨⎧ x ＝6，y －2＝－4，z －3＝－2，或⎩⎨⎧ x ＝－6，y －2＝4，z －3＝2.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－2，z ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，z ＝5.故所求点P 的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．(2)由题中条件可知：AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3，2)． ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12，∴sin 〈AB →，AC →〉＝32.∴以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积 S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.10.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，P 为A 1B 上的点，A 1P →＝λA 1B →，且PC ⊥AB .求： (1)λ的值；(2)异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值．解析：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0，1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)， C 1(0,1,2)，于是AB →＝(3，1,0)，CA 1→＝ (0，－2，2)，A 1B →＝(3，1，－2)． 因为PC ⊥AB ，所以CP →·AB →＝0，即(CA 1→＋A 1P →)·AB →＝0， 也即(CA 1→＋λA 1B →)·AB →＝0. 故λ＝－CA 1→·AB →A 1B →·AB→＝12.(2)由(1)知CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，AC 1→＝(0,2,2)，cos 〈CP →，AC 1→〉＝CP →·AC 1→|CP →||AC 1→|＝－3＋22×22＝－28，所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28.[B 组 能力提升]1．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B ．66C ．－66 D ．±6 解析：∵OA →＝(1,0,0)，OB →＝(0，－1,1)， ∴OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， ∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，|OA →＋λOB →|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB →|＝ 2. ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16. 又2λ2·1＋2λ2<0 ，∴λ＝－66. 答案：C2.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55 B.53 C.255D.35解析：设|CB |＝a ，则|CA |＝|CC 1|＝2a ， A (2a,0,0)，B (0,0，a )，C 1(0,2a,0)，B 1(0,2a ，a )， ∴AB 1→＝(－2a,2a ，a )，BC 1→＝(0,2a ，－a )， ∴cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝55，故选A.答案：A3．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是_____．解析：|AB →|＝(3cos α－2cos θ)2＋(3sin α－2sin θ)2＋(1－1)2 ＝9＋4－12(cos αcos θ＋sin αsin θ) ＝13－12cos (α－θ)， ∴1≤|AB →|≤5. 答案：[1,5]4．已知a ＝(1,2,3)，b ＝(3,0，－1)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1，－35，给出下列等式： ①|a ＋b ＋c |＝|a －b －c |；②(a ＋b )·c ＝a ·(b ＋c )； ③(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )． 其中正确的等式是________(只填序号)解析：对①，a ＋b ＋c ＝(195，3，75)＝15(19,15,7)， a －b －c ＝(－95，1，235)＝15(－9,5,23)， |a ＋b ＋c |＝15 192＋152＋72＝15635， |a －b －c |＝15 (－9)2＋52＋232＝15635.∴①正确．对②，(a ＋b )·c ＝(4,2,2)·(－15，1，－35)＝25(2,1,1)·(－1,5，－3)＝25×[2×(－1)＋1×5＋1×(－3)]＝0， a ·(b ＋c )＝(1,2,3)·(145，1，－85) ＝15(1,2,3)·(14,5，－8)＝15[1×14＋2×5＋3×(－8)]＝0， ∴②正确．对③，(a ＋b ＋c )2＝|a ＋b ＋c |2＝1275，a 2＋b 2＋c 2＝12＋22＋32＋32＋02＋(－1)2＋(－15)2＋12＋(－35)2＝1275， ∴③正确．对④，(a ·b )·c ＝0·c ＝0，a ·(b ·c )＝(1,2,3)×0＝0， ∴④正确． 答案：①②③④5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题： (1)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (2)求FH 的长．解析：如图所示，建立空间直角坐标系D -xyz ，D 为坐标原点， 则有E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0.(1)因为C 1G →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12.所以|C 1G →|＝174，|EF →|＝32，EF →·C 1G →＝12×0＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝38.所以cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (2)因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12，所以FH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12，所以|FH →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫382＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝418， 即FH 的长为418.6.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AB ∥DC ，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1.(1)证明：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)设AB ，P A ，BC 的中点依次为M 、N 、T ，求证：PB ∥平面MNT ； (3)求异面直线AC 与PB 所成角的余弦值．解析：∠BAD ＝90°且P A ⊥底面ABCD ，以A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示坐标系． ∴A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (0,2,0)，D (1,0,0)，C (1，1,0)，M (0,1,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0. (1)证明：DC →＝(0,1,0)，AD →＝(1,0,0)，AP →＝(0,0,1)． ∴DC →·AD →＝0，DC →·AP →＝0， ∴DC ⊥AD ，DC ⊥AP .又∵AP ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面P AD ， DC ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD . (2)证明：PB →＝(0,2，－1)，NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，－12，∴NM →＝12PB →， ∴PB ∥NM ，又∵NM ⊂平面MNT ，PB ⊄平面MNT ， ∴PB ∥平面MNT .(3)AC →＝(1,1,0)， PB →＝(0,2，－1)， ∴|AC →|＝2，|PB →|＝5，AC →·PB →＝2，∴cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →||PB →|＝22×5＝105.所以异面直线AC 与PB 所成角的余弦值为105.。

04课后课时精练一、选择题1. 下列命题正确的有( )①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则＝是四边形ABCD AB→ DC → 是平行四边形的充要条件；③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；④＝的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合．AB→ CD → A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个解析：①不正确．有向线段可以表示向量，但不是向量．②正确，∵＝，∴||＝||且∥.AB → DC → AB → DC→ AB → DC → 又A ，B ，C ，D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，在▱ABCD 中，＝.AB→ DC → ③正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |D ⇒/a ＝b .④不正确.＝⇒||＝||，与同向．但是向量可以AB → CD → AB → CD→ AB → CD → 平移，起点位置不确定．答案：B2. A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若＝＋＋OP → 34OA → 18OB→ 18，则P ，A ，B ，C 四点( )OC→A. 不共面B. 共面C. 不一定共面D. 无法判断是否共面解析：＝＋＋OP → 34OA → 18OB → 18OC→ ＝＋(＋)＋(＋)34OA → 18OA → AB → 18OA→ AC → ＝＋＋，OA → 18AB → 18AC → ∴－＝＋，OP → OA → 18AB → 18AC → ∴＝＋.AP → 18AB → 18AC → 由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面．答案：B3．在四面体O —ABC 中，＝a ，＝b ，＝c ，D 为BC OA → OB → OC→ 的中点，E 为AD 的中点，则＝( )OE→ A. a －b ＋c B. a －b ＋c 1214141212C. a ＋b ＋cD. a ＋b ＋c121414141214解析：＝＋＝a ＋OE → OA → AE → 12AD→ ＝a ＋(－)12OD→ OA →＝a ＋1212OD→＝a ＋×(＋)121212OB→ OC → ＝a ＋b ＋c .121414答案：C4．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1、e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：假设a 与e 1共线，则a ＝k e 1，所以a ＝λe 1＋μe 2可变为(k －λ)e 1＝μe 2，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线相矛盾，故假设不成立，即A 不正确，同理B 不正确，则D 也错误．答案：C5．下列条件能使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A. ＝2－－OM → OA→ OB → OC → B. ＝＋＋OM → 15OA → 13OB → 12OC → C. ＋＋＝0MA→ MB → MC → D. ＋＋＋＝0OM→ OA → OB → OC → 解析：在C 中，＝－－，∴、、共MA → MB → MC → MA→ MB → MC → 面．∴M 、A 、B 、C 一定共面，故C 正确．在A 、B 、D 三个选项中，＝x ＋y ＋z 的式子中，OM → OA → OB → OC→ x ＋y ＋z ≠1，故全错．答案：C6．在空间四边形OABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，＝a ，＝b ，＝c ，则下列命题：OA → OB → OC→ ①＝a ＋b ；②＝b ＋(a ＋c )；③＝(a ＋b )AB → BE → 12CF→ 12－c ；④＝－a ＋b ；⑤＋＋＝0，其中正确的命题为( )AF → 1212AD→ BE → CF → A ．①②③ B ．①②④C ．③④⑤ D ．②③⑤解析：如图，＝－＝b －a ，∴①错；＝－＝(a ＋c )AB → OB → OA → BE→ OE → OB → 12－b ，∴②错．答案中只有C 不含①②，故选C.答案：C 二、填空题7．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λ＋m ＋n ＝0，那么λ＋m ＋n 的OA → OB → OC→值为________．解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴存在唯一实数k 使＝k ，AB → AC→ 即－＝k (－)，OB → OA → OC→ OA → ∴(k －1)＋－k ＝0，OA → OB → OC→ 又λ＋m ＋n ＝0，OA → OB → OC→ 令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0.答案：08．若G 为△ABC 内一点，且满足＋＋＝0，则G 为△AG→ BG → CG → ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)解析：如下图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连接OG 、DG .由题意知＝－－＝＋＝2，同理＝2，故G AG → BG → CG → GB → GC → GO → BG → GD→ 为△ABC 的重心．答案：重心9．如右图，已知边长为1的正四面体O －ABC ，边OA 的中点为M ，自O 作平面ABC 的垂线OH 与平面ABC 交于点H ，与平面MBC 交于点I ，将用，，表示为________．OI→ OA → OB → OC → 解析：易知H 是正三角形ABC 的中心，所以＝(＋＋OH → 13OA→ OB → )．又I 在OH 上，故存在实数λ，满足＝λ，故＝(＋OC → OI → OH → OI → λ3OA → ＋)＝(2＋＋)．因为I 在平面MBC 内，所以OB → OC → λ3OM→ OB → OC → ＋＋＝1，所以λ＝，于是＝＋＋.2λ3λ3λ334OI → 14OA → 14OB → 14OC → 答案：＝＋＋OI → 14OA → 14OB → 14OC→ 三、解答题10．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 分所成的比CA→ 为2∶1，N 分所成的比为1∶2，设＝m ，＝n ，＝t ，DA 1→ AB → AD → AA1→ 试将表示成m 、n 、t 的关系式．MN→解：连接AN ，则＝＋，由已知得四边形ABCD 为平MN→ MA → AN → 行四边形，故＝＋＝m ＋n ，又＝－＝－(m ＋n )，AC → AB → AD → MA → 13AC→ 13＝＋＝－＝－＝(t ＋2n )，AN → AD → DN → AD → ND → AD → 13A 1D → 13＝＋＝－(m ＋n )＋(t ＋2n )＝(n ＋t －m )．MN→ MA → AN → 13131311．已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如图)，并且＝k ，＝k ，＝k ，＝＋m ，＝＋m OE → OA → OF → OB → OH → OD → AC → AD → AB→ EG → EH → .EF →求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面；(2)∥；AC→ EG → (3)＝k .OG → OC → 证明：(1)由＝＋m ，＝＋m ，知A 、B 、C 、D AC → AD → AB → EG → EH → EF→ 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵＝＋m EG → EH → EF → ＝－＋m (－)OH → OE → OF→ OE → ＝k (－)＋km (－)OD → OA → OB→ OA → ＝k ＋km AD → AB →＝k (＋m )＝k ，AD → AB → AC → ∴∥.AC→ EG → (3)由(2)知＝－＝k －k ，OG → EG → EO → AC → AO→ ＝k (－)＝k ，AC → AO → OC → ∴＝k .OG → OC → 12. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 为PD 的中点，证明PB ∥平面ACM .(用向量法)证明：∵M 是PD 的中点，∴＝.PM→ MD → 又∵＝＋＋＝＋＋＋PB→ PM → MA → AB → PM → MA → AC → CB → ＝＋＋＋PM→ MA → AC → DA → ＝＋＋＋－.PM→ MA → AC → MA → MD → ∴＝2＋.∴、、共面．PB → MA→ AC → PB → MA → AC → 又∵PB ⊄平面ACM ，∴PB ∥平面ACM .。

3.1.2 空间向量的数乘运算（一）【学习目标】1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点难点】向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【学习过程】一、 自主预习（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处）复习1：化简：⑴ 5（）+4（）；⑵ .复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是二、合作探究 归纳展示探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？三、讨论交流 点拨提升新知：空间向量的共线：32a b -23b a -()()63a b c a b c -+--+-,a b b a b1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P在直线l 上的充要条件是试试：已知 ，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量共线向量的充要条件中的，注意零向量与任何向量共线.四、学能展示 课堂闯关例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若，且x +y ＝1，试判断A,B,P三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若，那么t ＝例2 已知平行六面体，点M 是棱AA 的中点，点G 在对角线A C 上，且CG:GA =2:1,设=，，试用向量表示向量.,a b 0b ≠//a b λ5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =-,a b 0b ≠OP xOA yOB =+12OP OA tOB =+''''ABCD A B C D -'''CD a ',CB b CC c ==,,a b c ',,,CA CA CM CG变式1：已知长方体，M 是对角线AC 中点，化简下列表达式：⑴ ;⑵⑶变式2：如图，已知不共线，从平面外任一点，作出点,使得： ⑴⑵⑶⑷.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.※ 动手试试练1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量与非零向量共线，与共线，则与 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D.若向量与共线，则.2. 已知，，若，求实数''''ABCD A B C D -''AA CB -'''''AB B C C D ++'111222AD AB A A +-,,A B C ABC O ,,,P Q R S 22OP OA AB AC =++32OQ OA AB AC =--32OR OA AB AC =+-23OS OA AB AC =+-a b b c a c a b a b λ=32,(1)8a m n b x m n =-=++0a ≠//a b .x五、学后反思※学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.课后作业：。

1.有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中正确的是________(填序号)．解析：命题①正确，命题②③不正确，因命题②中若a ∥b ，则P 不能用a ，b 表示，命题③中，若M ，A ，B 三点共线，则MP →也不能用MA →、MB →表示．答案：①2.已知空间四点A 、B 、C 、D 共面，若对空间中任一点O 有xOA →＋yOB →＋zOC →＋OD →＝0，则x ＋y ＋z ＝__________．解析：由xOA →＋yOB →＋zOC →＋OD →＝0，得OD →＝(－x )OA →＋(－y )OB →＋(－z )OC →， ∴(－x )＋(－y )＋(－z )＝1. ∴x ＋y ＋z ＝－1. 答案：－13.已知P ，A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O 都有OP →＝2OA →＋43OB →＋λOC →，则λ＝________．解析：因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1，所以2＋43＋λ＝1，得λ＝－73. 答案：－73[A 级 基础达标]1.下列命题中正确的个数是__________．①如果a ，b ，c 共面，b ，c ，d 也共面，则a ，b ，c ，d 共面； ②已知直线a 的方向向量a 与平面α平行，即a ∥α，则a ∥α；③若P 、M 、A 、B 共面，则一定存在惟一实数x ，y ，使MP →＝xMA →＋yMB →；反之，也成立；④对空间任一点O 与不共线的A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P 、A 、B 、C 共面．解析：①错，如果b ，c 共线，则a ，b ，c 共面，b ，c ，d 也共面，易知a ，b ，c ，d 不一定共面；②错，若a ∥α，可能a 在平面α内；③错，MP →＝xMA →＋yMB →使P 、M 、A 、B 四点共面，其前提是M 、A 、B 不共线；④错，前提是O 点与A 、B 、C 不共面．答案：02.以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； ②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； ④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是__________(把所有正确命题的序号都填上)． 解析：根据共线向量、共面向量的定义易知②④正确． 答案：②④3.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝x OA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为__________．解析：由题意知，x ＋13＋13＝1，∴x ＝13.答案：134.已知O 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA→＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝__________．解析：由A 、B 、C 、D 四点共面知OA →＝－2x ·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →，所以－2x －3y －4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1.答案：－15.对于空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则__________四点必共面．解析：由6 OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，得OP →＝16OA →＋26OB →＋36OC →，所以P 、A 、B 、C 四点共面．答案：P 、A 、B 、C 6.如图，已知空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在MN 上，且MG →＝2GN →，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OG →＝x a ＋y b ＋z c ，则x 、y 、z 的值分别为多少？解：由线段中点的向量表达式，得 OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(MO →＋OC →＋CN →) ＝12a ＋23[－12a ＋c ＋12(b －c )] ＝12a －13a ＋23c ＋13b －13c ＝16a ＋13b ＋13c ， ∵OG →＝x a ＋y b ＋z c ，∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.7.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明：设C 1B 1→＝a ，C 1D 1→＝b ，C 1C →＝c ，所以B 1C →＝c －a .又因为O 是B 1D 1的中点，所以C 1O →＝12(a ＋b )．OD 1→＝C 1D 1→－C 1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )．因为D 1D C 1C ，所以D 1D →＝c .所以OD →＝OD 1→＋D 1D →＝12(b －a )＋c .若存在实数x ，y ，使得B 1C →＝xOD →＋yOC 1→成立，则c －a ＝x [12(b －a )＋c ]＋y [－12(a ＋b )]＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c .因为a ，b ，c 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧12（x ＋y ）＝1，12（x －y ）＝0，x ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以B 1C →＝OD →＋OC 1→，则B 1C →，OD →，OC 1→是共面向量， 又因为B 1C 不在OD ，OC 1所确定的平面ODC 1内， 所以B 1C ∥平面ODC 1.[B 级 能力提升]8.已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，且实数x ，y ，z 使x a ＋y b ＋z c ＝0，则x 2＋y 2＋z 2＝__________．解析：由共面向量基本定理可知a ，b ，c 不共面时，x a ＋y b ＋z c ＝0必有x ＝y ＝z ＝0，∴x 2＋y 2＋z 2＝0.答案：09.已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则AB →＋12(BD→＋BC →＋DC →)＝__________．解析：原式＝AB →＋(12BD →＋12BC →＋12DC →)＝AB →＋BG →＋GC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →10.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，若OM →＝2OA →－OB →－OC →，证明：点M 不在平面ABC 内．证明：假设M 在平面ABC 内，则存在实数对(x ，y )，使AM →＝xAB →＋yAC →(*)，于是对空间任意一点O ，O 在平面ABC 外，OM →＝(1－x －y )OA →＋xOB →＋yOC →，比较原式，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＝2，x ＝－1，y ＝－1.此方程组无解，这与假设相矛盾． 所以假设不成立，所以不存在实数对(x ，y )，使(*)式成立，所以M 与A 、B 、C 不共面，即M 不在平面ABC 内．11.(创新题)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，P ，M 为空间任意两点，若PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→＋4A 1D 1→，试问M 点是否一定在平面BA 1D 1内？并证明你的结论．解：PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→＋4A 1D 1→ ＝PB 1→－AA 1→＋7(BA →＋AA 1→)＋4A 1D 1→ ＝PB 1→－BB 1→＋7BA 1→＋4A 1D 1→ ＝PB 1→＋B 1B →＋7BA 1→＋4A 1D 1→ ＝PB →＋7BA 1→＋4A 1D 1→ ＝PB →＋7(BP →＋P A 1→)＋4(A 1P →＋PD 1→)＝－6PB →＋3P A 1→＋4PD 1→，由－6＋3＋4＝1，得M ，B ，A 1，D 1四点共面， 故M 点在平面BA 1D 1内．。

2018-2019高中数学选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（B ）解析版一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu vc ，用a ，b ，c 表示MN uuu v ，则MN uuu v等于（ ）A ．()12+-b c a B ．()12+-a b c C ．()12-+a b cD ．()12--c a b 【答案】D【解析】()()111111222222MN ON OM OC OA OB =-=-+=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v c a b c a b ，故选D ．2．已知()cos ,1,sin αα=a 、()sin ,1,cos αα=b ，且∥a b ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（ ） A ．90° B ．60° C ．30° D ．0°【答案】A【解析】∵22=a ，22=b ，()()220+⋅-=-=a b a b a b ， ∴()()+⊥-a b a b ．故选A ．3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,C λ，若AB ⊥uu u v AC uuu v，则λ等于（ ）A ．28B ．28-C ．14D ．14-【答案】D【解析】()2,6,2AB =---u u u v ，()1,6,3AC λ=--u u u v，∵AB AC ⊥uu u v uuu v ，∴()2166230AB AC λ⋅=⨯-⨯--=u u u v u u u v，解得14λ=-，故选D ．4．若向量{},,a b c 是空间的一个基底，则一定可以与向量2=+p a b ，2=-q a b 构成空间的另一个基底的向量是（ ） A ．a B ．b C ．c D ．+a b【答案】C 【解析】∵1144=+a p q ，所以a 、p 、q 共面， 故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ； ∵1122=-b p q ，所以b 、p 、q 共面， 故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ； ∵3144+=-a b p q ，所以+a b 、p 、q 共面， 故+a b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ．5．在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C、(D ，若1S 、2S 、3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S =≠ B ．231S S S =≠ C ．132S S S =≠D ．123S S S ==【答案】B【解析】由题意可得112222S =⨯⨯=，2122S =⨯，3122S =⨯故231S S S =≠．故选B ．6．已知a 、b 是两异面直线，A 、B a ∈，C 、D b ∈，AC b ⊥，BD b ⊥且2AB =，1CD =，则直线a 、b 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【答案】B【解析】由于AB AC CD DB =++u u u v u u u v u u u v u u u v，∴()21AB CD AC CD DB CD CD ⋅=++⋅==uu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uu u v uu u v ．1cos ,,602AB CD AB CD AB CD AB CD⋅==⇒=︒⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，故选B ． 7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1B E A A x A B y A D =++u uu v u u uv u uu v u u u v ，则（ ）A ．12x =-，12y =B ．12x =，12y =-C ．12x =-，12y =-D ．12x =，12y = 【答案】A【解析】()111111112BE BA AA A E AB AA A B A D =++=-+++u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v1111112222AB AA AB AD AB AA AD =-+++=-++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴12x =-，12y =．故选A ．8．已知()1,1,2A -、()1,0,1B -，设D 在直线AB 上，且2AD DB =uuu v uu u v ，设C 1,,13λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则λ的值为（ ） A ．116B ．116-C ．12 D ．13【答案】B【解析】设(),,D x y z ，则()1,1,2AD x y z =+--u u u v ，()2,1,3AB =--u u u v ，()1,,1DB x y z =----u u u v，∵2AD DB =uuu v uu u v ，∴()12112222x x y y z z +=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--⎩，∴13130x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．∴11033D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，113CD λλλ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭uu u v ，，， ∵CD AB ⊥uu u v uu u v ，∴()1231=03CD AB λλλ⎛⎫⋅=-+--- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ，∴116λ=-．故选B ．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =E 、F 分别是面1111A B C D 、面11BCC B 的中心，则E 、F 两点间的距离为（ ）A ．1BCD ．32【答案】C【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(E 、F ⎛ ⎝⎭，所以EF = 故选C ．10．如图，在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2BC =，13AA =，则点B 到直线1A C 的距离为（ ）A ．27B C D ．1【答案】B【解析】过点B 作BE 垂直1A C ，垂足为E ，设点E 的坐标为(),,x y z ， 则()10,0,3A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()11,2,3AC =-u u u v ，()1,,3A E x y z =-u u u v， ()1,,BE x y z =-u u u v．因为1110A E A CBE A C ⎧⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v uu u v uuu v ∥，所以31231230x y z x y z -⎧==⎪-⎨⎪-+-=⎩，解得5710767x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以2106,,777BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ， 所以点B 到直线1A C的距离BE =uu u v ，故选B ．11．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为（ ）A ．12BC ．13D ．16【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,1D 、()1,1,0E 、()1,0,0A 、()0,2,0C ．从而()11,1,1D E =-u u u v 、()1,2,0AC =-u u u v 、()11,0,1AD =-u u u v，设平面1ACD 的法向量为(),,a b c =n ，则100AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuuv n n ，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩．令2a =，则()2,1,2=n ．所以点E 到平面1ACD 的距离为1212133D E h ⋅+-===uuu v n n．故选C ． 12．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是正方形11ADD A 和ABCD 的中心，G 是1CC 的中点，设GF 、1C E 与AB 所成的角分别为α，β，则αβ+等于（ ）A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则()2,0,0B 、()2,2,0A 、()0,0,1G 、()1,1,0F 、()10,0,2C 、()1,2,1E ． 则()0,2,0BA =u u v 、()1,1,1GF =-u u u v 、()11,2,1C E =-u u u v，∴cos ,BA GF BA GF BA GF ⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v111cos ,BA C E BA C E BA C E⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v ，∴cos α=，sin α=，cos β=sin β=，()cos 0αβ+=，∴90αβ+=︒．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知()1,2,0A 、()0,1,1B -，P 是x 轴上的动点，当AP BP ⋅uu u v uu v取最小值时，点P 的坐标为__________________． 【答案】1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设(),0,0P x ，则()1,2,0AP x =--u u u v ，(),1,1BP x =-u u v，()2171224AP BP x x x ⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭uu u v uu v ，∴当12x =时，AP BP ⋅uu u v uu v 取最小值74，此时点P 的坐标为1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭．14．已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，上底面1111A B C D 边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为__________________． 【答案】14【解析】设上、下底面中心分别为1O 、O ，则1OO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、1OO 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∵2AB =，111A B =，∴AC BD ==1111AC B D == ∵平面11BDD B ⊥平面ABCD ，∴1B BO ∠为侧棱与底面所成的角，∴160B BO ∠=︒，设棱台高为h，则tan 60︒=，∴h =∴()0,A，1D ⎛ ⎝⎭，1B ⎝⎭，()C ，∴1AD ⎛= ⎝⎭uuuv，1B C ⎛= ⎝⎭uuu v ， ∴1111111cos ,4AD B C AD B C AD B C ⋅==⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，故异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为14． 15．三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________． 【答案】45°【解析】由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E，则PE =AE =又PA ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠PAE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面ABC ，∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC =ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________________．【解析】如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N ．则可求得12AM =、BM =12CN =、DN =1MN =．由于BD BM MN ND =++u u u v u u u v u u u v u u u v，∴()22BD BM MN ND =++uu u v uuu v uuu v uuu v()2222BM MN ND BM MN MN ND BM ND =+++⋅+⋅+⋅uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v()2225120002=+++++=⎝⎭⎝⎭，∴BD =uu u v三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA =uu va ，PB =uu vb ，PC =uu u vc ，试用基底{},,a b c 表示向量PG uuu v．【答案】212333PG =-+uu u v a b c ．【解析】∵BG ＝2GD ，∴23BG BD =uu u v uu u v．又2BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=+-u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u va cb ，∴()221223333PG PB BG =+=++-=-+u u u v u u v u u u v b a c b a b c ．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且12AB BC BB ===．（1）求证：1AB ∥平面1BC D ；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角． 【答案】（1）见解析；（2）3π． 【解析】（1）如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．∵O 为1B C 的中点，D 为AC 的中点，∴1OD AB ∥．∵1AB ⊄平面1BC D ，OD ⊂平面1BC D ，∴1AB ∥平面1BC D ． （2）建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．则()0,0,0B 、()0,2,0A 、()12,0,2C 、()10,0,2B ．∴()10,2,2AB =-u u u v 、()12,0,2BC =u u u v．1111111cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅===⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ，设异面直线1AB 与1BC 所成的角为θ，则1cos 2θ=，∵0,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3θπ=． 19．（12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且1BC CD ==．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）求二面角C －AB －D 的大小； （3）若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度． 【答案】（1）见解析；（2）45°;（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC ． 又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BD ． ∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°． ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°．在Rt △BHD 中，BD =BH =又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1，∴∠BCH ＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝1． 解法二：（1）同解法一．（2）设AB a =，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B 、()0,0,A a 、()0,1,0C 、()1,1,0D ，()1,1,0BD =u u u v 、()0,0,BA a =u u v．平面ABC 的法向量()1,0,0CD =u u u v ，设平面ABD 的一个法向量为(),,x y z =n ，则有0BD x y ⋅=+=u u u v n ，0BA az ⋅==u u v n ，∴0z =，取1y =，则1x =-，∴()1,1,0=-n ．∴cos ,CD CD CD ⋅==⋅uu u v uu u v uu u v n n nC －AB －D 为锐角， ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）()0,1,AC a =-u u u v 、()1,0,0CD =u u u v 、()1,1,0BD =u u u v ．设平面ACD 的一个法向量是(),,x y z '''=m ，则0AC y az ''⋅=-=u u u v m ，0CD x '⋅==uu u v m ，令1z '=，∴y a '=，则()0,,1a =m ．∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos cos60BD BD BD ⋅⋅==︒⋅u u u v u u u v u u u v m m m ，解得1a =，∴AB ＝1． 20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知AB ＝2，15AA =，E 、F 分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F ==．（1）求证：BE ⊥平面ACF ；（2）求点E 到平面ACF 的距离．【答案】（1）见解析；（2）53． 【解析】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()10,0,5D 、()0,0,1E 、()2,2,4F ．∴()2,2,0AC =-u u u v 、()0,2,4AF =u u u v 、()2,2,1BE =--u u u v 、()2,0,1AE =-u u u v ．∵0BE AC ⋅=uu u v uuu v ，0BE AF ⋅=uu u v uu u v ， ∴BE AC ⊥，BE AF ⊥，且AC AF A =I ．∴BE ⊥平面ACF ．（2）解：由（1）知，BE uu u v 为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离53AE BE d BE⋅==uu u v ．故点E 到平面ACF 的距离为53． 21．（12分）如图所示，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）求二面角B －DE －C 的余弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．设PD DC a ==，则()0,0,0D 、(),0,0A a 、()0,0,P a 、(),,0B a a 、0,,22a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()0,,0C a ， ∴(),0,AP a a =-u u u v 、(),,0DB a a =u u u v 、0,,22a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu v 、()0,,0DC a =u u u v ． （1）设平面BDE 的一个法向量为()1111,,x y z =n ，则有1100DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uuu v n n ，即11110022ax ay a a y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩． ∴()11,1,1=-n ．100AP a a ⋅=-++=u u u v n ，∴1AP ⊥uu u v n ，又∵AP ⊄平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ．（2）设平面CDE 的一个法向量为()21,0,0=n ．12cos ,==n n B －DE －C22．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，1AB =，12AC AA ==，AD CD =M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．（1）求证：MN ∥平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点．若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长． 【答案】（1）见解析；（2（32． 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得()0,0,0A 、()0,1,0B 、()2,0,0C 、()1,2,0D -、()10,0,2A 、 ()10,1,2B 、()12,0,2C 、()11,2,2D -，又因为M 、N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,2,1N -．（1）依题意，可得()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu v ， 由此可得，0MN ⋅=u u u v n ，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ． （2）()11,2,2AD =-u u u v 、()2,0,0AC =u u u v ，设()1111,,x y z =n 为平面1ACD 的法向量，则11100AD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ，即111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设11z =， 可得()10,1,1=n ．设()2222,,x y z =n 为平面1ACB 的一个法向量，则21200AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ， 又()10,1,2AB =u u u v ，得22222020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设21z =，可得()20,2,1=-n ．因此有121212cos ,⋅==⋅n n n n n n，于是12sin ,=n n ， 所以二面角11D AC B --（3）依题意，可设111A E A B λ=u u u v u u u u v ，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+u u u v ，又()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量， 由已知得1cos 3NE NE NE ⋅===⋅uu u v uu u v uu u v n ,n n， 整理得2430λλ+-=， 又因为[]0,1λ∈，解得2λ=，所以线段1A E 2．。

[基础达标]1.O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A.OA →、OB →、OC →共线 B ．OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面解析：选D.由题意得OA →，OB →，OC →共面，∴O 、A 、B 、C 四点共面． 2.下列各组向量能构成一个基底的是( ) A ．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的向量AB →，AC →，AD →B ．三棱锥A -BCD 中的向量AB →，AC →，AD →C ．三棱柱ABC -A 1B 1C 1中(E 是A 1C 1的中点)的向量AA 1→，AE →，AC 1→D ．四棱锥S -ABCD 中的向量DA →，DB →，DC →解析：选B.由于A 、C 、D 中的三个向量均为共面向量，故选B. 3.如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，点M ，N是平面A 1B 1C 1D 1内任意两个不重合的点，MN →＝x a ＋y b ＋z c (x ，y ，z ∈R )，那么( )A ．x ，y ，z 都不等于0B ．x ，y ，z 中最多有一个值为0C ．x ，y ，z 中z 必等于0D ．x ，y ，z 不可能有两个等于0解析：选C.∵MN 在平面A 1B 1C 1D 1内，∴z 必为0. 4.若a ，b 是平面α内的两个向量，则( ) A ．α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ) B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0C ．若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )D ．若a ，b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )解析：选D.当a ，b 共线时，A 、B 不成立；对C ，当p 与a ，b 不共面时，不成立．故选D.5.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间内任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →可用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选D.OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋12BA →＝OC →＋12(OA →－OB →)＝12a －12b ＋c . 6.已知在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，则向量AE →的坐标为________，向量AF →的坐标为________，向量AC 1→的坐标为________．解析：AE →＝AD 1→＋D 1E →＝AD →＋AA 1→＋12AB →＝12AB →＋AD →＋AA 1→；AF →＝AB →＋AA 1→＋12AD →＝AB →＋12AD →＋AA 1→；AC 1→＝AB →＋AA 1→＋AD →＝AB →＋AD →＋AA 1→，故AE →、AF →、AC 1→在基底{AB →，AD →，AA 1→}下的坐标分别为(12，1，1)，(1，12，1)，(1，1，1)．答案：(12，1，1) (1，12，1) (1，1，1)7.如图所示，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底的向量DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则(x ，y ，z )＝________．解析：∵DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →，又DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，∴x ＝12，y ＝0，z ＝－1，即(x ，y ，z )＝(12，0，－1)．答案：(12，0，－1)8.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为________．解析：CA →＝OA →－OC →，CB →＝OB →－OC →，∵G 1是△ABC 的重心，∴CG 1→＝13(CA →＋CB →)＝13(OA→＋OB →－2OC →)，由于OG ＝3GG 1，∴OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →－2OC →)，又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，∴(x ，y ，z )＝(14，14，－12)．答案：(14，14，－12)9.如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，分别取向量AB →，AD →，AA ′→为基底，若(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→；(2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，试确定x ，y ，z 的值．解：(1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋AD →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→，又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12AD →＝12AD →＋12AB →＋AA ′→，又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.10.如图所示，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB →＝a ，B 1C 1→＝b ，DD 1→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD1的中点．试用a ，b ，c 表示如下向量：(1)AP →；(2)AM →.解：(1)因为AP →＝AA 1→＋A 1P →，而AA 1→＝DD 1→＝c ，A 1P →＝12A 1C →＝12(A 1A →＋AB →＋BC →)＝12(－c ＋a ＋b )＝12a ＋12b －12c ，所以AP →＝c ＋(12a ＋12b －12c )＝12a ＋12b ＋12c .(2)因为AM →＝AB →＋BC →＋CM →，而AB →＝a ，BC →＝B 1C 1→＝b ， 且M 是CD 1的中点，则CM →＝12CD 1→＝12(CD →＋DD 1→)＝12(－AB →＋DD 1→)＝12(－a ＋c )， 所以AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝a ＋b ＋12(－a ＋c )＝12a ＋b ＋12c . [能力提升]1.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别为AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ． 3 C. 5D ．7解析：选C.设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c . 由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F →＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以|EF →|2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos 60° ＝1＋1＋4－1＝5， 所以|EF →|＝ 5.2.设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P 存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.当且仅当x ＋y ＋z ＝________时，P ，A ，B ，C 四点共面．解析：当P 、A 、B 、C 四点共面时，令CP →＝xCA →＋yCB →， 即OP →－OC →＝x (OA →－OC →)＋y (OB →－OC →)． ∴OP →＝xOA →＋yOB →＋(1－x －y )OC →，又OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， ∴z ＝1－x －y ，即x ＋y ＋z ＝1；反之当x ＋y ＋z ＝1时，则z ＝1－x －y 代入OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →得 OP →＝xOA →＋yOB →＋(1－x －y )OC →，∴OP →－OC →＝x (OA →－OC →)＋y (OB →－OC →)， 即CP →＝xCA →＋yCB →，故P 、A 、B 、C 四点共面． 答案：13.已知四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，如图所示，M 是PC 的中点，问向量P A →、MB →、MD →是否可以组成一个基底，并说明理由．解：依题意得MB →＝MC →＋CB →， MD →＝MC →＋CD →，CB →＋CD →＝CA →， 则MB →＋MD →＝2MC →＋CA →，所以P A →＝PC →＋CA →＝2MC →＋CA →＝MB →＋MD →. 又MB →与MD →不共线，根据向量共面的条件， 可知P A →、MB →、MD →共面． 因此它们不能组成一个基底．4．已知点A 在基底{}a ，b ，c 下的坐标为(8，6，4)，其中，a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，求点A 在基底{}i ，j ，k 下的坐标．解：令OA →＝x i ＋y j ＋z k ， 由题意知OA →＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i ) ＝(8＋4)i ＋(8＋6)j ＋(6＋4)k ＝12i ＋14j ＋10k ， 故x ＝12，y ＝14，z ＝10.即点A 在基底{}i ，j ，k 下的坐标为(12，14，10)．。

3.1.3 空间向量的数量积运算1.下列命题中,不正确的有( D )①=|a|;②m(λa)·b=(mλ)a·b;③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a.(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个解析:①②③正确,④不正确,因为等式左边表示与b共线的向量,右边表示与a共线的向量,两者方向不一定相同.故选D.2.正方体ABCD A′B′C′D′中,<,>等于( D )(A)30° (B)60° (C)90° (D)120°解析:因为B′D′∥BD,所以A′B,B′D′的夹角即为A′B,BD的夹角.因为△A′BD为正三角形,所以∠A′BD=60°.由向量夹角的定义可知<,>=120°,即<,>=120°.故选D.3.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( A )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件解析:若a·b=|a||b|,则<a,b>=0°,所以a与b共线;反之,若a与b共线,则<a,b>=0°或180°,a·b=±|a||b|.故选A.4.在正方体ABCD A 1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=3;②·(-)=0;③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0解析:①,②均正确;③不正确,因为与夹角为120°.5.在棱长为1的正方体ABCD A 1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为( B )(A)- (B) (C) (D)解析:如图,由图知直线AM与CN所成角等于<,>,=+,=+,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·=,||===,||==.所以cos<,>===.6.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为( D )(A)60° (B)30° (C)135° (D)45°解析:因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a-a·b=|a|2-|a|·|b|·cos<a,b>=1-1··cos<a,b>=0,所以cos<a,b>=.因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.7.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是( A )(A)与 (B)与(C)与 (D)与解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0,排除D;因为AD⊥AB,PA⊥AD,又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,故·=0,排除B;同理·=0,排除C.故选A.8.设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·a)c-(c·a)b一定不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是( D )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④解析:根据向量数量积的定义及性质,可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线,故(a·b)c与(c·a)b不一定相等,故①错误;③因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b与c垂直,故③错误;易知②④正确.故选D.9.已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,如图,则PC等于.解析:因为=++,所以||2=(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+0+0+2||||cos 60°=108+2×6×6×=144.所以PC=12.答案:1210.已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2, CD=1,则a,b所成的角是 .解析:=++,所以·=·(++)=||2=1,所以cos<,>==,所以异面直线a,b所成角是60°.答案:60°11.设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则向量a,b的夹角<a,b>=解析:因为(2m+n)⊥(m-3n),所以(2m+n)·(m-3n)=0.化简得m·n=-2,又|a|====6.|b|====3.所以a·b=(4m-n)·(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+m·n=18.所以cos<a,b>===1.所以<a,b>=0°答案:0°12.已知平行六面体ABCD A 1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角都是60°,则对角线AC1的长是.解析:设=a,=b,=c,则a2=b2=c2=1,所以a·b=a·c=b·c=|a|2cos 60°=,所以=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2b·c+2a·c+2a·b=6,所以||=.答案:13.如图所示,在正方体ABCD A 1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成的角.解:不妨设正方体的棱长为1,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0,=a-c,=a+b.所以·=(a-c)·(a+b)=|a|2+a·b-a·c-b·c=1.而||=||=,所以cos<,>==,所以<,>=60°.因此,异面直线A1B与AC所成的角为60°.14.如图,直三棱柱ABC A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.(1)证明:设=a,=b,=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,所以=b+c,=-c+b- a.所以·=-c2+b2=0.所以⊥,即CE⊥A′D.(2)解:因为=-a+c,所以||=|a|.又||=|a|.·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2,所以cos<,>==,即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.15.如图,正三棱柱ABC A 1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.(1)证明:=+,=+.因为BB1⊥平面ABC,所以·=0,·=0.又△ABC为正三角形,所以<,>=π-<,>=π-=.因为·=(+)·(+)=·+·++·=||||cos<,>+=-1+1=0,所以AB1⊥BC1.(2)解:由(1)知·=||||cos<,>+=-1.又||===||,所以cos<,>==,所以||=2,即侧棱长为2.16.设A,B,C,D是空间中不共面的四点,且满足·=0,·= 0,·=0,则△BCD是( B )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形(C)直角三角形 (D)不确定解析:·=(-)·(-)=·-·-·+=>0,同理,可证·>0,·>0.所以△BCD的每个内角均为锐角,故△BCD是锐角三角形.17.已知在正四面体ABCD中,所有棱长都为1,△ABC的重心为G,则DG的长为( D )(A)(B)(C)(D)解析:如图,连接AG并延长交BC于点M,连接DM,因为G是△ABC的重心,所以AG=AM,所以=,=+=+=+(-)=+(+)-=(++),而(++)2=+++2·+2·+2·= 1+1+1+2(cos 60°+cos 60°+cos 60°)=6,所以||=.故选D.18.如图,在一个直二面角αABβ的棱上有两点A,B.AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD= .解析:由=++=+++2·+2·+2·=36+16+64=116,||=2.答案:219.在正方体ABCD A 1B1C1D1中,下面给出的结论:①|++|2=3||2;②·(-)=0;③与的夹角为60°;④此正方体体积为|··|.则错误结论的序号是(填出所有错误结论的序号).解析:①因为|++|=||=||,故①正确;②因为·(-)=(++)·(-)=+·+·-·-·-=0,故②正确;③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°,但与的夹角为120°,注意方向;④因为·=0,故④错误.答案:③④20.在棱长为1的正方体ABCD A′B′C′D′中,E,F分别是D′D,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为C′G的中点.(1)求EF,C′G所成角的余弦值;(2)求FH的长.解:设=a,=b,=c,则a·b=b·c=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.(1)因为=+=-c+(a-b)=(a-b-c),=+=-c-a,所以·=(a-b-c)·(-c-a)=(-a2+c2)=,||2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=,||2=(-c-a)2=c2+a2=,所以||=,||=,cos<,>==,所以EF,C′G所成角的余弦值为. (2)因为=+++=(a-b)+b+c+=(a-b)+b+c+(-c-a)=a+b+c,所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2=, 所以FH的长为.。

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，〈a，b〉＝π3，则z等于() A.22B．－22C．±22 D．±42C[cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝2×1＋2×3＋0×z8×10＋z2＝12，可得z＝±22.]2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()①任一向量与它的相反向量不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则|a|≠|b|；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0B．1C．2D．3B[因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B.]3．已知a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)分别为三条直线l1，l2，l3的方向向量，则()A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直D ．l 1，l 2，l 3两两互相垂直A [因为a·b ＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c ＝(4，－1,0)·( －3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b ·c ＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，所以a ⊥b ，a 与c 不垂直，b ⊥c .即l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，但l 1不垂直于l 3.]4．已知正四面体A -BCD 的棱长为1，且AE →＝2EB →，AF →＝2FD →，则EF →·DC →＝( )A.23 B ．13 C ．－23 D ．－13D [由正四面体A -BCD 的棱长为1，且AE →＝2EB →，AF →＝2FD →，得EF →＝23BD →，则EF →·DC →＝23BD →·DC →＝23×1×cos 120°＝－13，故选D.]5．如图3-13所示，在正方形网格中，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任意一点，则下列向量能表示向量OP →的为( )图3-13A ．O A →＋2AB →＋2AC →B ．OA →－3AB →－2AC → C.OA →＋3AB →－2AC →D ．OA →＋2AB →－3AC →C [根据A ，B ，C ，P 四点共面的条件，可知AP →＝xAB →＋yAC →.由图知x ＝3，y ＝－2，故OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋3AB →－2AC →，故选C.]6．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B ．637 C.607 D ．657D [由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.]7．如图3-14所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则AB →＋12BC →＋12BD →等于()图3-14A ．AD →B ．GA →C ．AG →D ．MG →C [∵M ，G 分别是BC ，CD 的中点，∴12BC →＝BM →，12BD →＝MG →，∴AB →＋12BC→＋12BD →＝AB →＋BM →＋MG →＝AM →＋MG →＝AG →.]8．已知四面体O -ABC 的各棱长均为1，D 是棱OA 的中点，则异面直线BD 与AC 所成角的余弦值为( )A.33 B ．14 C.36D ．28C [BD →＝OD →－OB →＝12OA →－OB →，AC →＝OC →－OA →，于是|BD →|＝32，|AC →|＝1，且BD →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →－OB →·(OC →－OA →)＝－14，于是cos 〈BD →，AC →〉＝BD →·AC →|BD →||AC →|＝－1432×1＝－36，故异面直线BD 与AC 所成角的余弦值为36.]9．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73C [设Q (x ，y ，z )，因Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，设OQ →＝λOP →(λ∈R )，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ，则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10 ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值， 此时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.]10．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( )A.64 B ．－64 C.104D ．－104A [取AC 中点E ，连接BE ，则BE ⊥AC ， 如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，D (0,0,1)，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，1.∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面AA 1C 1C ，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0为平面AA 1C 1C 的一个法向量，∴cos 〈AD →，BE →〉＝－64，设AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈AD →，BE →〉|＝64.] 11．如图3-15所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是平面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意一点，则直线AM 与OP 所成角是( )图3-15A.π6 B ．π4 C.π3D ．π2D [设正方体的棱长为2a ，建立如图所示的空间坐标系，则有A (2a,0,0)，M (0,0，a )，O (a ，a,0)．∵P 是A 1B 1上任意一点，∴不妨设P (2a ，m,2a )(0≤m ≤2a )．∴AM →＝(0,0，a )－(2a,0,0)＝(－2a,0，a )， OP →＝(2a ，m,2a )－(a ，a,0)＝(a ，m －a,2a )． ∴AM →·OP →＝－2a ×a ＋0×(m －a )＋a ×2a ＝0. ∴异面直线AM 与OP 所成角为π2.]12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°. 其中错误的结论是 ( ) A ．① B ．② C ．③D ．④C [如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，设正方形ABCD 边长为2，则D (1,0,0)，B (－1,0,0)，C (0,0,1)，A (0,1,0)，所以AC →＝(0，－1,1)，BD →＝(2,0,0)，AC →·BD →＝0，故AC ⊥BD .①正确．又|AC →|＝2，|CD →|＝2，|AD →|＝2，所以△ACD 为等边三角形．②正确． 对于③，OA →为平面BCD 的一个法向量， cos 〈AB →，OA →〉＝AB →·OA →|AB →||OA →|＝(－1，－1，0)·(0，1，0)2·1＝－12＝－22. 因为直线与平面所成的角∈[0°，90°]， 所以AB 与平面BCD 所成角为45°.故③错误． 又cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝(－1，－1，0)·(1，0，－1)2·2＝－12.因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以AB 与CD 所成角为60°.故④正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________.(0，－1,0) [设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(1－0)2＋(0－y )2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y )2＋(1－0)2，解得y ＝－1.∴M (0，－1,0)．]14．设a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 在a 上，向量b 在b 上，a ＝(1,1,1)，b ＝(－3,4,0)，则α，β所成二面角中较小的一个角的余弦值为________．315 [设α，β所成二面角中较小的一个角为θ， 由题意得，cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a||b|＝(1，1，1)·(－3，4，0)3·5＝315.]15．如图3-16所示，已知二面角α-l -β的平面角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．图3-163－2cos θ [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.]16．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出下列四个命题： ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角为60°；④正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________.①② [①设正方体的棱长为1，则(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1C →2＝3,3A 1B 1→2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，∵AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成的角为60°，但向量AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确. ]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)如图3-17所示，在四棱锥M -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB ，AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ＝AB →，b ＝AD →，c ＝AM →，试以a ，b ，c 为基向量表示出向量BN →，并求BN 的长．图3-17[解] ∵BN →＝BC →＋CN →＝AD →＋12CM →＝AD →＋12(AM →－AC →)＝AD →＋12[AM →－(AD →＋AB →)] ＝－12AB →＋12AD →＋12AM →， ∴BN →＝－12a ＋12b ＋12c .∵|BN →|2＝BN →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c 2＝14(a 2＋b 2＋c 2－2a·b －2a·c ＋2b·c )＝174， ∴|BN →|＝172，即BN 的长为172.18．(本小题满分12分)如图3-18所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，点M ，N 分别是A 1D ，B 1D 1的中点．图3-18(1)试用a ，b ，c 表示MN →；(2)求证：MN ∥平面ABB 1A 1. [解] (1)∵A 1D →＝AD →－AA 1→＝c －a ，∴A 1M →＝12A 1D →＝12(c －a )． 同理，A 1N →＝12(b ＋c )，∴MN →＝A 1N →－A 1M →＝12(b ＋c )－12(c －a )＝12(b ＋a )＝12a ＋12b ；(2)∵AB 1→＝AA 1→＋AB →＝a ＋b ，∴MN →＝12AB 1→，即MN ∥AB 1，∵AB 1⊂平面ABB 1A 1，MN ⊄平面ABB 1A 1，∴MN ∥平面ABB 1A 1.19．(本小题满分12分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标． [解] (1)∵AB →＝(2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714·14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0， 由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0， 由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1. ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1).20．(本小题满分12分)如图3-19所示，在直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．图3-19(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值. [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)AC ′→＝－a ＋c ，CE →＝b ＋12c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.21．(本小题满分12分)如图3-20所示，四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，△P AB和△P AD 是两个边长为2的正三角形，DC ＝4，O 为BD 的中点，E 为P A 的中点．图3-20(1)求证：PO ⊥平面ABCD ； (2)求证：OE ∥平面PDC ；(3)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．[解] (1)证明：设F 为DC 的中点，如图连接BF ，AF ， 则DF ＝AB .∵△P AB 和△P AD 均为正三角形，∴AB ＝AD . ∴AB ⊥AD ，AB ＝AD ，AB ∥DC ， ∴四边形ABFD 为正方形．∵O 为BD 的中点，∴O 为AF ，BD 的交点． ∵PD ＝PB ＝2，∴PO ⊥BD . ∵BD ＝AD 2＋AB 2＝22，∴PO ＝PB 2－BO 2＝2，AO ＝12BD ＝ 2.在△P AO 中，PO 2＋AO 2＝P A 2＝4，∴PO ⊥AO .∵AO ∩BO ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD .(2)证明：由(1)知PO ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ，∴过O 分别作AD ，AB 的平行线，以它们为x ，y 轴，以OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得：A (－1，－1,0)，B (－1,1,0)，D (1，－1,0)，F (1,1,0)，C (1,3,0)，P (0,0，2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，22，则OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，22，PF →＝(1,1，－2)，PD →＝(1，－1，－2)，PC →＝(1,3，－2)，∴OE →＝－12PF →，∴OE ∥PF .∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴OE ∥平面PDC .(3)设平面PDC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，直线CB 与平面PDC 所成角为θ，则⎩⎨⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3y 1－2z 1＝0，x 1－y 1－2z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，x 1＝2z 1，令z 1＝1，则平面PDC 的一个法向量为n ＝(2，0,1)． 又CB →＝(－2，－2,0)，则sin θ＝|cos 〈n ，CB →〉|＝223×22＝33，∴直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值为33.22．(本小题满分12分)如图3-21所示，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，SD ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别是AB ，SC 的中点．图3-21(1)求证：EF ∥平面SAD ；(2)设SD ＝2DA ，求二面角A -EF -D 的余弦值．[解] 法一 (1)如图，取SD 的中点G ，连接GF ，GA .因为G ，F 分别是SD ，SC 的中点，所以GF ∥DC ，且GF ＝12DC .又四边形ABCD 为正方形，且E 是AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE ＝12DC . 于是AE ∥GF ，且AE ＝GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以EF ∥AG . 又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，故EF ∥平面SAD .设直线BC 与平面VAB 所成的角为φ，平面VAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·AB →＝0n ·VD →＝0，得⎩⎨⎧－ax ＋ay ＝0a 2x ＋a 2y －22az tan θ＝0，所以可取n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，1，2tan θ. 所以sin φ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n |·|BC →|＝a a ·2＋2tan 2θ＝22|sin θ|， 因为0<θ<π2，所以0<sin θ<1,0<sin φ<22. 因此∠MND 是二面角A -EF -D 的平面角． 设DA ＝2，则DG ＝2，DM ＝2，MN ＝12AB ＝1.又MN ⊥平面SAD ，DM ⊂平面SAD ，得MN ⊥DM ，所以DN ＝3， 从而cos ∠MND ＝MN DN ＝33，故二面角A -EF -D 的余弦值为33.法二：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DS 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．(1)设AB ＝2a ，SD ＝2b ，则D (0,0,0)，E (2a ，a,0)，S (0,0,2b )，C (0,2a,0)，F (0，a ，b )，故EF →＝(－2a,0，b )，DC →＝(0,2a,0)，于是EF →·DC →＝(－2a,0，b )·(0,2a,0)＝0，则EF →⊥DC →.又DC →是平面SAD 的一个法向量，所以EF ∥平面SAD .(2)设DC ＝2，有SD ＝2DC ＝4，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (2,1,0)，F (0,1,2)， 则DE →＝(2,1,0)，DF →＝(0,1,2)，AE →＝(0,1,0)，EF →＝(－2,0,2)． 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ⊥DE→n ⊥DF →，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0y ＋2z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－2,1)．同理可得平面AEF 的一个法向量为m ＝(1,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝n·m |n||m |＝26×2＝33，故二面角A -EF -D 的余弦值为33.。

章末检测(三) 空间向量与立体几何 时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，若ka －b 与b 垂直，则实数k ＝( ) A ．7 B ．－7 C ．6D ．－6解析：ka －b ＝k (－1,0,1)－(1,2,3)＝(－k －1，－2，k －3)，若ka －b 与b 垂直， 则(ka －b )·b ＝0，即(－k －1)－4＋3(k －3)＝0，解得k ＝7. 答案：A2．已知向量a ＝(－2,3,2)，b ＝(1，－5，－1)，则ma ＋b 与2a －3b 相互垂直的充分必要条件是( ) A ．－1713 B.1713 C.1613D ．－1613解析：∵ma ＋b ＝m (－2,3,2)＋(1，－5，－1) ＝(－2m ＋1,3m －5,2m －1)，2a －3b ＝2(－2,3,2)－3(1，－5，－1)＝(－7,21,7)． ∵(ma ＋b )⊥(2a －3b )⇔(ma ＋b )·(2a －3b )＝0⇔－7(－2m ＋1)＋21(3m －5)＋7(2m －1)＝0⇔m ＝1713. 答案：B3.如图，在空间平移△ABC 到△A ′B ′C ′，连接对应顶点，设AA ′——→ ＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，M 是BC ′的中点，N 是B ′C ′的中点，用向量a ，b ，c 表示向量MN →等于( ) A ．a ＋12b ＋12c B.12a ＋12b ＋12c C ．a ＋12bD.12a解析：MN →＝12BB ′——→＝12AA ′——→＝12a . 答案：D4．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是( ) A.13 B.23 C.773D.63解析：设P (x ，y ，z )则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3.由两点间距离公式可得|PD →|＝773. 答案：C5.设▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于E ，P 为空间任意一点，如图所示，若P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝xPE →，则x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵E 为AC ，BD 的中点， ∴由中点公式得PE →＝12(P A →＋PC →)， PE →＝12(PB →＋PD →)．∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PE →.从而x ＝4. 答案：C6．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( ) A.55B.555C.355D.115解析：b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95.∴|b －a |2min＝95. ∴|b －a |min ＝355. 答案：C7．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.647D.657解析：∵a ，b ，c 三向量共面，则存在不全为零的实数x ，y ，使c ＝xa ＋yb ， 即(7,5，λ)＝x (2，－1,3)＋y (－1,4，－2) ＝(2x －y ，－x ＋4y,3x －2y )，所以⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177.∴λ＝3x －2y ＝657. 答案：D8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和BB 1的中点， 则sin 〈CM →，D 1N →〉＝( ) A.459 B.49 C.59 D.259解析：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为2. 可知CM →＝(2，－2,1)， D 1N →＝(2,2，－1)． cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19. ∴sin 〈CM →，D 1N →〉＝459. 答案：A9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值是( ) A ．0 B.37070 C ．－37070D.7070解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则D 1(0,0,3)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0，2,0)， 所以BD 1→＝(－2，－2,3)，AC →＝(－2,2,0)， 所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝0，故选A. 答案：A10．若直线l 的方向向量为 (2,1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵l ⊥α，∴直线l 的方向向量平行于平面α的法向量．∴21＝112＝m 2.∴m ＝4. 答案：C11．已知直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A -CD -B 的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．150°解析：取CD 中点E ，在平面BCD 内过B 点作BF ⊥CD ，交CD 延长线于F . 据题意知AE ⊥CD .AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角， 由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉， ∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12. ∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求的二面角为120°. 答案：C12.如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB ＝2，点E 是AB 上一点，当二面角P -EC -D 的平面角为π4时，则AE 等于( ) A ．1 B.12 C ．2－ 2 D ．2－ 3解析：以DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AE ＝m .D (0,0,0)，P (0,0,1)，A (1，0,0)，B (1,2,0)，E (1，m,0)，C (0,2,0) 可取平面ABCD 的一个法向量n 1＝(0,0,1)， 设平面PEC 的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， PC →＝(0,2，－1)， CE →＝(1，m －2,0)， 则⎩⎨⎧n 2·PC →＝0，n 2·CE →＝0.∴⎩⎨⎧2b －c ＝0，a ＋b (m －2)＝0， ∴⎩⎨⎧c ＝2b ，a ＝b (2－m )，令b ＝1得n 2＝(2－m,1,2)．cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2(2－m )2＋1＋4＝22.∴m ＝2－ 3.即AE ＝2－ 3. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，则下列三个式子中： ①AB →－CB →＝AC →； ②AA ′——→＝CC ′——→；③AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′——→. 其中正确的有________．解析：①AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，正确；②显然正确；③AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝(AB →＋BC →)＋(BB ′→＋C ′C →)＝AC →＋0≠AC ′→，错误． 答案：①②14．若向量m ＝(－1,2,0)，n ＝(3,0，－2)都与一个二面角的棱垂直，则m ，n 分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为________． 解析：∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n | ＝－1×3＋2×0＋0×(－2)5×13＝－36565.∴二面角的余弦值为－36565或36565. 答案：－36565或3656515．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量． AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：6316. 如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．解析：建立坐标系如图，则B (1，1,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，DA 1→＝(1,0,1)是平面ABC 1D 1的一个法向量． 又OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－1，∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为 |cos 〈OB →，DA 1→〉|＝|OB →·DA 1→||OB →|·|DA 1→|＝1262×2＝36. 答案：36三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝25CB →，CG →＝25CD →. 求证：四边形EFGH 是梯形．解析：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →. ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →) ＝12BD →＝12(CD →－CB →) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52CG →－52CF → ＝54⎝⎛⎭⎫CG →－CF →＝54FG →. ∴EH →∥FG →且|EH →|≠|FG →|. ∴四边形EFGH 是梯形．18．(12分)如图，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点． 求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则各点坐标为B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又BD →＝(－1,1,0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，则⎩⎨⎧ n 1⊥BD→n 1⊥BE→⇒⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0，令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1,1,0)． ∵AS ⊥底面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0,0,1)． ∵n 1·n 2＝0，∴平面BDE ⊥平面ABCD .19．(12分)如图，O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面中心，P 是DD 1的中点，Q 点在CC 1上，问：当点Q 在CC 1的什么位置时，平面D 1BQ ∥平面AOP?解析：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则O (1,1,0)，P (0,0,1)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)，设Q (0,2，z )(0≤z ≤2)， 那么OP →＝(－1，－1,1)， BD 1→＝(－2，－2,2)，∴OP →∥BD 1→，又B ∉OP ，∴OP ∥BD 1. 又AP →＝(－2,0,1)，BQ →＝(－2,0，z )，显然当z ＝1时，AP →∥BQ →，∵B ∉AP ， ∴AP ∥BQ ，此时平面AOP ∥平面D 1BQ . ∴当Q 为CC 1的中点时，平面AOP ∥平面D 1BQ .20．(12分)四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝AB ＝AA 1＝2BC ，E 为DD 1的中点，F 为A 1D 的中点． (1)求证：EF ∥平面A 1BC ；(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值． 解析：(1)证明： ∵E ，F 分别是DD 1，DA 1的中点， ∴EF ∥A 1D 1.又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，∴EF ∥BC ，且EF ⊄平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， ∴EF ∥平面A 1BC .(2)∵AB ，AD ，AA 1两两垂直，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图，设BC ＝1.则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，C (2,1,0)，D (0,2,0)，D 1(0，2,2)，F (0,1,1)，E (0,2,1)， ∴FE →＝(0,1,0)，设平面A 1CD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·A 1D →＝(x ，y ，z )·(0，2，－2)＝2y －2z ＝0，n ·CD →＝(x ，y ，z )·(－2，1，0)＝－2x ＋y ＝0，取n ＝(1,2,2)，则sin θ＝|cos 〈n ，FE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·FE →|n ||FE →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×0＋2×1＋2×01＋4＋40＋1＋0＝23， ∴直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值等于23.21．(13分)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值．解析：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎨⎧ n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0. 可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎨⎧ m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.即⎩⎨⎧2y 2＋z 2＝0，2x 2＋2z 2＝0， 可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D -A 1C -E 的正弦值为63.22．(13分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，O 为AC 中点．(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；(3)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．解析：(1)∵AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，且O 为AC 中点，∴A 1O ⊥AC .又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，A 1O ⊂平面A 1AC ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(2)连接OB ，如图，以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)， A (0，－1,0)．∴A 1C →＝(0,1，－3)，令平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AA 1→＝n ·AB →＝0，而AA 1→＝(0,1，3)，AB →＝(1,1,0)，可求得一个法向量n ＝(3，－3，3)∴|cosA 1C →，n |＝|n ·A 1C →||n |·|A 1C →|＝62×21＝217，故直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值为21 7.(3)存在点E，且E为线段BC1的中点．连接B1C交BC1于点M，连接AB1，OM，则M为B1C的中点，从而OM是△CAB1的一条中位线，OM∥AB1，又AB1⊂平面A1AB，OM⊄平面A1AB，∴OM∥平面A1AB，故BC1的中点M即为所求的E点．。