2018年高中数学优化设计第一轮复习综合测试卷

1集合的含义与表示、集合间的基本关系2.(2015河南郑州一模,文2,集合的含义与表示、集合间的基本关系,选择题)已知集合M={x|x-2<0},N={x|x<a},若M⊆N,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,0]解析:M={x|x<2},∵M⊆N,∴a≥2.∴a的取值范围是[2,+∞).答案:A2集合的基本运算1.(2015辽宁锦州二模,文1,集合的基本运算,选择题)已知全集U=R,集合A=-,B={x|x≥1},则集合{x|x≤0}等于()A.A∩BB.A∪BC.∁U(A∩B)D.∁U(A∪B)解析:由-<0,得x(x-1)<0,解得0<x<1,所以A=-={x|0<x<1}.又B={x|x≥1},则A∪B={x|0<x<1}∪{x|x≥1}={x|x>0},所以,集合{x|x≤0}=∁U(A∪B).答案:D1.(2015辽宁锦州一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={cos 0°,sin 270°},B={x|x2+x=0},则A∩B为()A.{0,-1}B.{-1,1}C.{-1}D.{0}解析:∵A={cos 0°,sin 270°}={1,-1},B={x|x2+x=0}={x|x(x+1)=0}={-1,0},∴A∩B={-1}.答案:C1.(2015辽宁沈阳一模,文1,集合的基本运算,选择题)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合(∁U M)∩N等于()A.{2,3}B.{2,3,5,6}C.{1,4}D.{1,4,5,6}解析:由补集的定义可得∁U N={2,3,5},则(∁U N)∩M={2,3}.答案:A1.(2015辽宁沈阳四校联考,文1,集合的基本运算,选择题)已知全集U=R,A={x||x|<2},B={x|x2-4x+3>0},则A∩(∁U B)等于()A.{x|1≤x<3}B.{x|-2≤x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|-2<x≤3}解析:由A中不等式解得-2<x<2,即A={x|-2<x<2},由B中不等式变形得(x-1)(x-3)>0,解得x<1或x>3,即B={x|x<1或x>3},则∁U B={x|1≤x≤3},故A∩(∁U B)={x|1≤x<2}.答案:C1.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文1,集合的基本运算,选择题)设全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则集合(∁U A)∩B=()A.{x|0<x<2}B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0≤x≤2}解析:∵全集U=R,集合A={x|x≥2},∴∁U A={x|x<2}.∵B={x|0≤x<5},∴(∁U A)∩B={x|0≤x<2}.答案:B1.(2015河南开封二模,文1,集合的基本运算,选择题)集合U={1,2,3,4,5,6},N={1,4,5},M={2,3,4},则N∩(∁U M)=()A.{1,4,5}B.{1,5}C.{4}D.{1,2,3,4,5}解析:∵U={1,2,3,4,5,6},N={1,4,5},M={2,3,4},∴N∩(∁U M)={1,4,5}∩{1,5,6}={1,5}.答案:B1.(2015河南洛阳一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知全集U为实数集,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|1≤x<3}B.{x|x<3}C.{x|x≤-1}D.{x|-1<x<1}解析:A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},则∁U B={x|x≥1},由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B),A∩(∁U B)={x|1≤x<3}.答案:A1.(2015辽宁鞍山一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}=()A.M∩NB.M∪NC.∁R(M∩N)D.∁R(M∪N)解析:因为集合M={x|-3<x<1},N={x|x≤-3},所以M∩N=⌀,M∪N={x|x<1}.则∁R(M∩N)=R,∁R(M∪N)={x|x≥1}.答案:D1.(2015辽宁大连一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|0≤x≤2},则A∩B=() A.[-1,0) B.[-1,0]C.[0,1]D.(-∞,1)∪[2,+∞)解析:∵A=[-1,1],B=[0,2],∴A∩B=[0,1].答案:C1.(2015辽宁大连二模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={2,3},B={x|x2-4x+3=0},则A∩B等于() A.{2} B.{3} C.{1} D.{1,3}解析:由B中方程变形得(x-1)(x-3)=0,解得x=1或x=3,即B={1,3},∵A={2,3},∴A∩B={3}.答案:B1.(2015宁夏银川一中一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x|x<a},B={x|1≤x<2},且A∪(∁U B)=R,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>2解析:∵B={x|1≤x<2},∴∁R B={x|x<1或x≥2}.∵A={x|x<a},A∪(∁R B)=R,∴a的范围为a≥2.答案:C1.(2015宁夏银川一中二模,文1,集合的基本运算,选择题)设A={x|x2+x-6<0,x∈Z},B={x||x-1|≤2,x∈Z},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}解析:依题意,A={-2,-1,0,1},B={-1,0,1,2,3},A∩B={-1,0,1}.答案:B1.(2015河南六市联考一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x|x2>1},B={x|log2x>0},则A∩B=() A.{x|x<-1} B.{x|x>0}C.{x|x>1}D.{x|x<-1或x>1}解析:集合A={x|x2>1}={x|x>1或x<-1},B={x|log2x>0=log21}={x|x>1},A∩B={x|x>1}.答案:C1.(2015河南开封定位模拟,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x|y=lg(x-1)},B={y|y2-2y-3≤0},则A∩B=()A.{x|1<x<3}B.{y|1≤y≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1≤x<3}解析:由x-1>0,得x>1.所以A={x|y=lg(x-1)}={x|x>1},由y2-2y-3≤0,得-1≤y≤3.所以B={y|y2-2y-3≤0}={y|-1≤y≤3},则A∩B={x|1<x≤3}.答案:C1.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={0,b},B={x∈Z|x2-3x<0},若A∩B≠⌀,则b等于()A.1B.2C.3D.1或2解析:集合B={x∈Z|x2-3x<0}={1,2},集合A={0,b},若A∩B≠⌀,则b=1或b=2.答案:D4.(2015河南漯河一模,文4,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x||x|<3},集合B={x|x-2≥0},则A∪(∁R B)等于()A.(-∞,3]B.(-∞,3)C.[2,3)D.(-3,2]解析:集合A={x||x|<3}=(-3,3),集合B={x|x-2≥0}=[2,+∞),∁R B=(-∞,2),A∪(∁R B)=(-∞,3).答案:B1.(2015河南商丘二模,文1,集合的基本运算,选择题)已知R,为实数集,A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则A∪B=()A.{x|x≥2}B.{x|x>-3}C.{x|2≤x<3}D.R解析:由2x-3<3x,得x>-3,则A={x|x>-3},又B={x|x≥2},则A∪B={x|x>-3}.答案:B1.(2015河南商丘一模,文1,集合的基本运算,选择题)若集合A={x|-2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B=() A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<1}C.{x|-2<x<2}D.{x|0<x<1}解析:A∩B={x|-2<x<1}∩{x|0<x<2}={x|0<x<1}.答案:D1.(2015辽宁丹东二模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x|x>-1},A∪B=A,则集合B可以是()A.{0,2}B.{-1,0,1}C.{x|x≤0}D.R解析:集合A={x|x>-1},A∪B=A,则集合B可以是{0,2}.答案:A1.(2015河南中原名校联盟模拟,文1,集合的基本运算,选择题)设集合M={x∈Z|-4<x<2},N={x|x2<4},则M∩N等于()A.(-1,1)B.(-1,2)C.{-1,0,1}D.{-1,1,2}解析:M={x∈Z|-4<x<2}={-3,-2,-1,0,1},N={x|x2<4}={x|-2<x<2},则M∩N={-1,0,1}.答案:C4四种命题及其关系、命题真假的判定3.(2015辽宁锦州二模,文4,四种命题及其关系、命题真假的判定,选择题)下列说法不正确的是()A.若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题B.命题“∃x0∈R,-x0-1<0”的否定是“∀x0∈R,-x0-1≥0”C.“φ=”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件D.α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减解析:对于A,若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题,显然是正确的命题,所以A正确.对于B,命题“∃x0∈R,-x0-1<0”的否定是“∀x0∈R,-x0-1≥0”,符合命题的否定形式,所以B正确.对于C,“φ=”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件,显然不正确,因为y=sin(2x+φ)为偶函数是周期函数,φ的终边在y轴时,函数都是偶函数,所以C不正确.对于D,当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减,满足幂函数的性质,所以D正确.答案:C16.(2015河南郑州一模,文16,四种命题及其关系、命题真假的判定,填空题)给定方程:+sin x-1=0,下列命题中:①该方程没有小于0的实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解;④若x0是该方程的实数解,则x0>-1.则正确命题是.解析:对于①,若α是方程+sin x-1=0的一个解,则满足=1-sin α,当α为第三、四象限角时>1,此时α<0,因此该方程存在小于0的实数解,则①不正确;对于②,原方程等价于-1=-sin x,当x≥0时,-1<-1≤0,而函数y=-sin x的最小值为-1,且有无穷多个x满足-sin x=-1,因此函数y=-1与y=-sin x的图象在[0,+∞)上有无穷多个交点,因此方程+sin x-1=0有无数个实数解,故②正确;对于③,当x<0时,由于x≤-1时-1≥1,函数y=-1与y=-sin x的图象不可能有交点,当-1<x<0时,存在唯一的x满足=1-sin x,因此该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解,得③正确;对于④,由上面的分析知,当x≤-1时-1≥1,而-sin x≤1且x=-1不是方程的解,所以函数y=-1与y=-sin x的图象在(-∞,-1]上不可能有交点,因此只要x0是该方程的实数解,则x0>-1.答案:②③④4.(2015宁夏银川一中一模,文4,四种命题及其关系、命题真假的判定,选择题)下列命题中为真命题的是()A.若x≠0,则x+≥2B.命题:若x2=1,则x=1或x=-1的逆否命题为:若x≠1且x≠-1,则x2≠1C.“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D.若命题P:∃x∈R,x2-x+1<0,则P:∀x∈R,x2-x+1>0解析:对于A,x>0,利用基本不等式,可得x+≥2,故不正确;对于B,命题:若x2=1,则x=1或x=-1的逆否命题为:若x≠1且x≠-1,则x2≠1,正确;对于C,“a=±1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件,故不正确;对于D,命题P:∃x∈R,x2-x+1<0,则P:∀x∈R,x2-x+1≥0,故不正确.答案:B4.(2015宁夏银川一中二模,文4,四种命题及其关系、命题真假的判定,选择题)下列四个命题中真命题的个数是()①“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x∈R,sin x>1”③命题p:∀x∈[1,+∞),lg x≥0,命题q:∃x∈R,x2+x+1<0,则p∨q为真命题A.0B.1C.2D.3解析:对于①:当x=1成立时有12-3×1+2=0,即x2-3x+2=0成立,当x2-3x+2=0成立时有x=1或x=2,不一定有x=1成立.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件.故①正确.对于②:命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x∈R,sin x>1”,故②正确.对于③:命题p:∀x∈[1,+∞),lg x≥0,正确,命题q:∃x∈R,x2+x+1<0错误,因为x2+x+1=>0恒成立,p∨q为真,故③正确.答案:D12.(2015河南六市联考一模,文12,四种命题及其关系、命题真假的判定,选择题)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数.下列关于函数f(x)的命题:①函数f(x)的值域为[1,2];②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:由f(x)的导函数y=f'(x)的图象,可得函数f(x)在区间[-1,0]上单调递增;在区间[0,2]上单调递减;在区间[2,4]上单调递增;在区间[4,5]上单调递减.结合表格可得函数f(x)的图象.由图象可得:①函数f(x)的值域为[1,2],正确;②函数f(x)在[0,2]上是减函数,正确;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为5,因此不正确;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点,正确.综上,可得正确命题的个数为3.答案:D5充分条件和必要条件3.(2015辽宁沈阳一模,文3,充分条件和必要条件,选择题)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵x<0,∴x+1<1,当x+1>0时,ln(x+1)<0.∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1.∴-1<x<0.∴x<0.∴“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.答案:B2.(2015辽宁沈阳四校联考,文2,充分条件和必要条件,选择题)设a,b为实数,则“a>b>0”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若a>b>0,则-<0,即成立.若,则-<0,a>b>0或0>a>b,所以“a>b>0”是“”的充分不必要条件.答案:A2.(2015河南洛阳二模,文2,充分条件和必要条件,选择题)已知集合A={1,m2+1},B={2,4},则“m=”是“A∩B={4}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若A∩B={4},则m2+1=4,即m2=3,解得m=或m=-,故“m=”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.答案:A5.(2015辽宁大连一模,文5,充分条件和必要条件,选择题)x<2是x2-3x+2<0成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:解x2-3x+2<0得,1<x<2,因为{x|x<2}⫌{x|1<x<2},所以x<2是x2-3x+2<0成立的必要不充分条件.答案:A3.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文3,充分条件和必要条件,选择题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos 2A<cos 2B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:在三角形中,cos 2A<cos 2B等价为1-2sin2A<1-2sin2B,即sin A>sin B.若a>b,由正弦定理,得sin A>sin B,充分性成立.若sin A>sin B,则正弦定理,得a>b,必要性成立.所以,“a>b”是“sin A>sin B”的充要条件,即“a>b”是“cos 2A<cos 2B”成立的充要条件.答案:C1.(2015河南漯河一模,文1,充分条件和必要条件,选择题)“x=2”是“x2-4=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:(1)充分性:∵x=2,∴x2-4=4-4=0.(2)必要性:∵x2-4=0,∴x=±2,不能得出x=2.∴“x=2”是“x2-4=0”的充分而不必要条件.答案:A3.(2015河南商丘一模,文3,充分条件和必要条件,选择题)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵b⊥m,∴若α⊥β,则由面面垂直的性质可得a⊥b成立.若a⊥b,则α⊥β不一定成立,故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.答案:B7含有简单逻辑联结词的命题的真假6.(2015河南商丘二模,文6,含有简单逻辑联结词的命题的真假,选择题)已知命题p:函数y=a x+1+1(a>0且a≠1)的图象恒过(-1,2)点;命题q:已知平面α∥平面β,则直线m∥α是直线m∥β的充要条件;则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q解析:当x+1=0时,x=-1,此时y=1+1=2,即函数y=a x+1+1(a>0且a≠1)的图象恒过(-1,2)点,即命题p为真命题.若直线m∥α,则m∥β或m⊂β,充分性不成立,若直线m∥β,则m∥α或m⊂α,必要性不成立,即直线m∥α是直线m∥β的既不充分也不必要条件,即命题q为假命题,则p∧q为真命题.答案:D8全称命题、特称命题的真假判断2.(2015天津河北区一模,文2,全称命题、特称命题的真假判断,选择题)下列命题中,属于真命题的是()A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,-1<sin x<1C.∃x0∈R,<0D.∃x0∈R,tan x0=2解析:A.当x=0时,x2>0不成立,即A错误.B.当x=时,-1<sin x<1不成立,即B错误.C.∀x∈R,2x>0,即C错误.D.∵tan x的值域为R,∴∃x0∈R,tan x0=2成立.答案:D9含有一个量词的命题的否定1.(2015河南郑州一模,文1,含有一个量词的命题的否定,选择题)已知命题p:∀x>0,x3>0,那么p是()A.∃x≤0,x3≤0B.∀x>0,x3≤0C.∃x>0,x3≤0D.∀x<0,x3≤0解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题p:∀x>0,x3>0,那么p是∃x>0,x3≤0.答案:C5.(2015辽宁鞍山一模,文5,含有一个量词的命题的否定,选择题)命题“∃x∈R,使得x2<1”的否定是()A.∀x∈R,都有x2<1B.∀x∈R,都有x≤-1或x≥1C.∃x∈R,使得x2≥1D.∃x∈R,使得x2>1解析:∵命题“∃x∈R,使得x2<1”是特称命题,∴否定命题为:∀x∈R,都有x2≥1.∴∀x∈R,都有x≤-1或x≥1.答案:B2.(2015河南漯河一模,文2,含有一个量词的命题的否定,选择题)命题“∀x∈R,都有ln(x2+1)>0”的否定为()A.∀x∈R,都有ln(x2+1)≤0B.∃x0∈R,使得ln(+1)>0C.∀x∈R,都有ln(x2+1)<0D.∃x0∈R,使得ln(+1)≤0解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈R,都有ln(x2+1)>0”的否定是:∃x0∈R,使得ln(+1)≤0.答案:D3.(2015辽宁丹东二模,文3,含有一个量词的命题的否定,选择题)命题“∀x≥0,|x|+x≥0”的否定是()A.∀x≥0,|x0|+x0<0B.∀x<0,|x|+x≥0C.∃x0≥0,|x0|+x0<0D.∃x0<0,|x|+x≥0解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x≥0,|x|+x≥0”的否定是:∃x0≥0,|x0|+x0<0.答案:C。

专题测试二 三角函数、平面向量、复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设复数z ＝2－1－i (i 为虚数单位)，z 的共轭复数为-z ，则在复平面内i -z 对应的点的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)解析：选 C.∵z ＝2－1－i ＝－1＋i ，∴i -z ＝i(－1－i)＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．2．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.318 B ．1318 C.322D ．1322解析：选C.本题主要考查两角差的正切公式．因为α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan （α＋β）tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.3．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D ．25i 解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i （1＋2i ）（1－2i ）＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a的虚部为－25. 4．已知函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)的周期是π，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π8B ．g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．g (x )＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8D ．g (x )＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 解析：选B.由题意知2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝3sin 2x ，将函数f (x )的图象沿x轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，则g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 5．函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期和最小值分别为( ) A ．π，2－ 2 B ．π，0 C ．2π，0D ．2π，2－ 2解析：选A.y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.∵ω＝2，∴T ＝2π2＝π，则函数的最小正周期为π.令2x ＋π4＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－3π8(k ∈Z )时，y min ＝2－2，则函数的最小值为2－ 2. 6．在锐角三角形ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.由题意得12·AB ·AC ·sin A ＝3，即12×4×1×sin A ＝3，故sin A ＝32.因为A 为锐角，所以A ＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×1×cos 60°＝2.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c ＝( )A ．4B ．15C ．3D ．17解析：选D.由题意求出cos C ，利用余弦定理求出c 即可．∵cos(A ＋B )＝13，∴cos C＝－13.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，cos C ＝－13，根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17，∴c ＝17.8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6 B ．π3C.π2D ．2π3解析：选B.∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，即b 2＋a 2－c 2＝ab .由余弦定理得cos C ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3.9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围可以是( )A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B ． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54 C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ． (0，2]解析：选A.本题考查三角函数单调性的应用．法一：通过取特殊值ω＝2，ω＝13，验证三角函数自变量的范围，排除选项，得到结果．令ω＝2⇒ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4，不符合题意，排除D ；令ω＝13⇒ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，7π12，不符合题意，排除B ，C.故选A.法二：y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥2k π＋π2ωπ＋π4≤2k π＋3π2k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ，又由4k ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋54＝2k －34＜0，k ∈Z 得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54，故选A. 10．将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析：选B.本题考查三角函数的图象变换、三角函数的性质等知识．由题意可得平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，故该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件．11．将奇函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( )A ．6B ．3C ．4D ．2解析：选A.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，－π2<φ<π2是奇函数，得φ＝0，则将y ＝A sinωx ，ω>0的图象向左平移π6个单位得到y ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋πω6，ω>0的图象．其图象关于原点对称，所以πω6＝k π，k ∈N *，ω＝6k ，k ∈N *，当k ＝1时，ω＝6 ，故选A.12．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为( ) A ．2 B ．1 C.12D ．13解析：选B.设AB 的中点为D ，∵OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴O 为中线CD 的中点，∴△AOC ，△AOD ，△BOD 的面积相等，∴△AOC 与△AOB 面积之比为1∶2，同理△BOC 与△AOB 的面积之比为1∶2，∴△AOC 是△ABC 面积的14，∴△AOC 的面积为1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在上的零点个数为 ．解析：∵T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由f (x )＝0，得2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π2＋π6，k ∈Z ；∴函数f (x )在上的零点有π6，23π，76π，53π共4个．答案：414．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是 ．解析：因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，所以AD →·AB →＝22.答案：2215．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ．解析：由题意知π3为函数f (x )＝cos ωx (ω>0)周期的正整数倍，所以π3＝k ·2πω(k ∈N *)，ω＝6k ≥6，故ω的最小值为6.答案：616.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝ ．解析：本题主要考查解三角形的实际应用．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BCsin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ，即BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝152(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152×3＝156(m)．答案：156m三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0的最大值是2，其图象相邻对称轴之间的距离为π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (α)＝3，求α.解：(1)因为函数的最大值为2，所以A ＝2，又因为相邻对称轴之间的距离为π2，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)． 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，所以φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)因为f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝32，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以2α－π6＝π3或2π3，解得α＝π4或5π12.18.(12分)如图，一建筑物AB 的高为(30－103) m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD .在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，求通信塔CD 的高．解：如图，过点A 作AN ⊥CD 于点N ，在Rt △ABM 中，AM ＝AB sin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin （45°－30°）＝30－1036－24＝20 6.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°，所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM ＝30°，在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°，解得MC ＝40 3.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60(m)，故通信塔CD 的高为60 m.19．(12分)设向量m ＝(cos α，1)，n ＝(sin α，2)，且m ∥n ，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin α；(2)若sin(α－β)＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β.解：(1)∵m ∥n ，∴2cos α＝sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14sin 2α＝1，∴sin 2α＝45.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＞0，∴sin α＝255.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2.∵sin(α－β)＝35，∴cos(α－β)＝45.又sin α＝255，∴cos α＝55.∴cos β＝cos＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×45＋255×35＝255. 20．(12分)三角形的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .(1)求角B 的大小；(2)若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )∴2sin B cos A ＝3sin(A ＋C )． ∴cos A ＝32，A ∈(0，π)，A ＝π6设CM ＝m ，则AC ＝2m .在△ACM 中，7＝4m 2＋m 2＋2m 2，∴m 2＝1，m ＝1，m ＝－1(舍去)， ∴AC ＝BC ＝2∴S △ABC ＝12CA ·CB ·sin 23π＝12×2×2×32＝ 3.21．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，cos x ＋sin x ，b ＝(1，cos x －sin x )，函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos 2x －sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos 2x ＝cos 2x cosπ3＋sin 2x sin π3＋cos 2x ＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )． (2)由f (A )＝32，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝12，因为A 为△ABC 的内角，由题意知0<A <23π，所以π3<2A ＋π3<53π，因此2A ＋π3＝56π，解得A ＝π4，又a ＝2，B ＝π3，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝ 6.由A ＝π4，B ＝π3，可得sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24， 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×6×6＋24＝3＋32.22．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝6ab cos C ，且sin 2C ＝2sin A sin B .(1)求角C 的值；(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－cos ωx (ω>0)，且f (x )图象上相邻两最高点间的距离为π，求f (A )的取值范围．解：(1)因为a 2＋b 2＝6ab cos C ，由余弦定理知a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，所以cos C ＝c 24ab，又因为sin 2C ＝2sin A sin B ，则由正弦定理知c 2＝2ab ，所以cos C ＝c 24ab ＝2ab 4ab ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3， 由已知，得2πω＝π，ω＝2，则f (A )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3， 因为sin 2C ＝2sin A sin B ，C ＝π3，所以2sin A ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝34，整理得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝14. 因为0<A <2π3，所以－π6<2A －π6<7π6，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝±154.f (A )＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－π6＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6×32－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6×12.当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝154时，f (A )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14×32－154×12＝3－358， 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－154时，f (A )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14×32＋154×12＝3＋358， 故f (A )的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－358，3＋358.。

单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a6=15,S9=99,则等差数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.公比为的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.73.(2016河北衡水中学考前仿真二)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1>0,且,当S n取最大值时,n的值为()A.9B.10C.11D.124.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.365.(2016陕西汉中市质检二)设S n是数列{a n}的前n项和,当n≥2时,点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,且{a n}的首项a1是二次函数y=x2-2x+3的最小值,则S9的值为()A.6B.7C.36D.32 〚导学号37270578〛6.(2016河北保定一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数,则f(a11)=()列{a n}满足a1=,且a n+1=-A.2B.-2C.6D.-6 〚导学号37270579〛二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2016河北唐山一模)已知S n为等比数列{a n}的前n项和,且S n=2a n-1,则数列{a n}的公比q=.8.已知等比数列{a n}满足a2+8a5=0,设S n是数列的前n项和,则=.〚导学号37270580〛三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2016河南郑州一模)已知数列{a n}的首项为a1=1,其前n项和为S n,且数列是公差为2的等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n,求数列{b n}的前n项和T n.10.(15分)(2016河南八市重点高中4月质检)数列{a n}满足a n=6-(n∈N*,n≥2).-是等差数列;(1)求证:数列-(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.〚导学号37270581〛参考答案单元质检六数列(A)1.B解析∵{a n}是等差数列,a6=15,S9=99,∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.2.B解析由等比中项的性质得a3a11==16,又数列{a n}各项为正,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.B解析不妨设a6=9t,则a5=11t,故公差d=-2t,其中t>0.因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,S n取最大值,故选B.4.D解析由3a1-+3a15=0得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0,因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.5.C解析由点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,得2a n=2a n-1+1,a n-a n-1=,故数列{a n}是公差为的等差数列.由函数y=x2-2x+3的最小值为2,得a1=2,故S9=9×2+×9×8×=36.6.C解析设x>0,则-x<0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由a1=,且a n+1=-,得a2=--=2,a3=--=-1,a4=---.……所以数列{a n}是以3为周期的周期数列,即a11=a3×3+2=a2=2.所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.7.2解析∵S n=2a n-1,∴a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得a1=1,a2=2.∴等比数列{a n}的公比q=2.8.-11解析由a2+8a5=0得a1q+8a1q4=0,解得q=-.易知是等比数列,公比为-2,首项为,所以S2=----=-,S5=----,所以=-11.9.解(1)∵数列是公差为2的等差数列,且=a1=1,∴=1+(n-1)×2=2n-1.∴S n=2n2-n.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.又a1符合a n=4n-3,∴a n=4n-3.(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n·(4n-3).当n为偶数时,T n=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;当n为奇数时,n+1为偶数T n=T n+1-b n+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上,T n=∈--∈10.(1)证明∵------------(n≥2),∴数列-是等差数列.(2)解∵-是等差数列,且-,d=.∴--(n-1)=.∴a n=.∴lg a n=lg(n+1)-lg n+lg 3.设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 1 000-lg 999)=999lg 3+lg 1 000=3+999lg 3.11.解(1)由已知,当n≥1时,a n+1=[(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=22n-1.(2)由b n=na n=n·22n-1知S n=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①从而22·S n=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②①-②,得(1-22)S n=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即S n=[(3n-1)22n+1+2].。

65平面向量的线性运算及几何意义7.(2015辽宁锦州二模,文7,平面向量的线性运算及几何意义,选择题)已知向量与的夹角为120°,且||=2,||=3,若=λ,且,则实数λ的值为()A. B.13 C.6 D.解析:∵=λ,且,∴=(λ)·()=-λ+(λ-1)=0.又向量与的夹角为120°,且||=2,||=3,∴=||||cos 120°=2×3×-=-3.∴32-λ·22+(λ-1)×(-3)=0,解得λ=.答案:D67平面向量基本定理的应用5.(2015河南商丘二模,文5,平面向量基本定理的应用,选择题)如图,在△ABC中,已知=3,则=() A.B.C.D.解析:∵,∴由已知=3,得=3(),化简.答案:C68平面向量的坐标运算6.(2015辽宁大连二模,文6,平面向量的坐标运算,选择题)在△ABC中,D为BC边的中点,若=(2,0),=(1,4),则=()A.(-2,-4)B.(0,-4)C.(2,4)D.(0,4)解析:=(1,4)-(2,0)=(1,4)-(1,0)=(0,4).答案:D8.(2015宁夏银川一中二模,文8,平面向量的坐标运算,选择题)已知向量=(4,6),=(3,5),且,则向量等于()A.-B.-C.-D.-解析:设C(x,y),⇒4x+6y=0,⇒5(x-4)-3(y-6)=0, 联立解得D-.答案:D70平面向量数量积的运算3.(2015辽宁锦州一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量=(2,2),=(4,1),点P在x轴上,则取最小值时P点坐标是()A.(-3,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)解析:设P(a,0),向量=(2,2),=(4,1),则=(a-2,-2)·(a-4,-1)=a2-6a+10=(a-3)2+1≤1,当a=3时,取得最小值.所以P点坐标是(3,0).答案:D10.(2015辽宁沈阳一模,文10,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,若||=||,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则=()A. B. C. D.解析:若||=||,则+2-2,即有=0.又E,F为BC边的三等分点,则=()·()====×(1+4)+0=.答案:B16.(2015辽宁沈阳四校联考,文16,平面向量数量积的运算,填空题)在△AOB中,G为△AOB的重心(三角形中三边上中线的交点叫重心),且∠AOB=60°.若=6,则||的最小值是.解析:设AB的中点为C,则点G在OC上,且),∵=||·||·cos 60°=6,∴||·||=12.∴||=(||)===≥=2,当且仅当||=||时,等号成立,故||的最小值是2.答案:25.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文5,平面向量数量积的运算,选择题)已知平面向量a与b的夹角为120°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=()A.2B.2C.4D.12解析:∵|a+2b|===°=2.答案:A3.(2015河南开封二模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)·(a+b)等于()A.20B.(-10,30)C.54D.(-8,24)解析:∵a·b=1×(-3)+2×4=5,a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),∴(a·b)·(a+b)=5(-2,6)=(-10,30).答案:B16.(2015河南开封二模,文16,平面向量数量积的运算,填空题)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c与向量a,b共面,且满足|a-b-c|=1,则|c|的取值范围是.解析:由a,b是单位向量,a·b=0,可设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),∵向量c满足|c-a+b|=1,∴|(x-1,y+1)|=1.∴-=1,即(x-1)2+(y+1)2=1.其圆心C(1,-1),半径r=1.∴|OC|=.∴-1≤|c|=+1.∴|c|的取值范围是[-1,+1].答案:[-1,+1]16.(2015河南洛阳二模,文16,平面向量数量积的运算,解答题)在△ABC中,已知sin(A+B)=sin B+sin(A-B).(1)求∠A;(2)若=20,求||的最小值.解:(1)原式可化为:sin B=sin(A+B)-sin(A-B)=sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B+cos A sin B=2cos A sin B,∵B∈(0,π),∴sin B>0.∴cos A=.∴∠A=60°.(2)∵=20,∴AB·AC·cos∠A=20,AB·AC=40.则||=BC=-°≥-=2,当且仅当AB=AC时,取等号,即△ABC为等边三角形时,||取得最小值为2.5.(2015河南洛阳一模,文5,平面向量数量积的运算,选择题)设等边△ABC边长为6,若=3,则等于()A.-6B.6C.-18D.18解析:∵等边△ABC边长为6,若=3,∴),.∴--=--=-18.答案:C10.(2015河南郑州一模,文10,平面向量数量积的运算,选择题)已知函数f(x)=A sin(πx+φ)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则()·( )的值为()A.-1B.-C.D.2解析:∵函数f(x)=sin(2πx+φ)的周期T==2,则BC==1,则C点是一个对称中心,则根据向量的平行四边形法则可知:=2,∴()·()=2=2||2=2×12=2.答案:D12.(2015河南郑州一模,文12,平面向量数量积的运算,选择题)在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=,则的取值范围为() A.[3,6] B.[4,6]C. D.[2,4]解析:以C为坐标原点,CA为x轴建立平面坐标系,则A(3,0),B(0,3),则AB所在直线的方程为:=1,即y=3-x.设N(a,3-a),M(b,3-b),且0≤a≤3,0≤b≤3,不妨设a>b,∵MN=,∴(a-b)2+(b-a)2=2.∴a-b=1.∴a=b+1.∴0≤b≤2.∴=(a,3-a)·(b,3-b)=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3)=2(b-1)2+4,0≤b≤2,∴当b=0或b=2时有最大值6;当b=1时有最小值4.∴的取值范围为[4,6]答案:B3.(2015辽宁大连一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知|a|=1,|b|=,且a⊥b,则|a+b|为()A. B. C.2 D.2解析:∵a⊥b,∴a·b=0.∴|a+b|=.答案:B4.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)向量a,b满足|a|=1,|b|=,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为()A.45°B.60°C.90°D.120°解析:设向量a与b的夹角为θ.∵(a+b)⊥(2a-b),∴(a+b)·(2a-b)=2a2-b2+a·b=2×12-()2+1××cos θ=0.解得cos θ=0,∵θ∈[0,π],∴θ=90°.答案:C9.(2015河南商丘二模,文9,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,已知||=4,||=1,S△ABC=,则的值为()A.-2B.2C.±4D.±2解析:∵S△ABC=|AB||AC|sin A,∴sin A=.∴cos A=±.∴=||×||×cos A=4×1×=±2.答案:D4.(2015辽宁丹东二模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|a+b|=() A. B.2 C. D.1解析:∵向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,∴|a+b|=.答案:A5.(2015河南中原名校联盟模拟,文5,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则n2的值为()A.1B.2C.3D.4解析:向量a=(1,n),b=(-1,n),则2a-b=(3,n),若2a-b与b垂直,则(2a-b)·b=0,则有-3+n2=0,n2=3.答案:C72平面向量数量积的应用6.(2015河南开封定位模拟,文6,平面向量数量积的应用,选择题)若|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a,则a,b的夹角是() A. B. C. D.解析:由题意可得(a-b)·a=a2-a·b=0,设a与b的夹角为θ,代入数据可得2-×2cos θ=0,即cos θ=,又θ∈[0,π],故θ=.答案:D8.(2015河南商丘一模,文8,平面向量数量积的应用,选择题)已知平面向量a,b,满足a=(1,),|b|=3,a ⊥(a-2b),则|a-b|=()A.2B.3C.4D.6解析:∵a=(1,),∴|a|=2.又|b|=3,a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=|a|2-2a·b=0.∴|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=0+9=9.∴|a-b|=3.答案:B。

滚动测试卷二(第一~五章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2016河南开封四模)集合A={x∈N||x-1|≤1},B={x|y=-},则A∩B的子集个数为()A.1B.2C.4D.8=()2.(2016山西运城4月模拟)复数-A.1-2iB.1+2iC.-1+2iD.-1-2i3.下列结论正确的是()A.若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0≤0,使得≤0B.若命题p和p∨q都是真命题,则命题q也是真命题C.在△ABC中,a,b,c是内角A,B,C所对的边,则a<b的充要条件是cos A>cos BD.命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1,则x2+x-2≠0”4.(2016河南高考押题)如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,则这个阴影区域的面积是()A.1B.2C. D.π5.(2016辽宁沈阳三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=-log2(-2x),则f(32)=()A.-32B.-6C.6D.646.先把函数f(x)=sin-的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象.当x∈时,函数g(x)的值域为()A.-B.-C.-D.[-1,0)7.设x0是函数f(x)=-log2x的零点.若0<a<x0,则f(a)的值满足()A.f(a)=0B.f(a)<0C.f(a)>0D.f(a)的符号不确定8.(2016山东师大附中仿真)在四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC=2,BD=3,则的最小值为()A. B.- C. D.-9.(2016山西运城4月模拟)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10B.C.-10D.-10.(2016山西太原三模)已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin 2φ=()A.-B.-C.D.11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B==2,且S△ABC=,则b=()A.4B.3C.2D.1 〚导学号37270666〛12.(2016山西运城4月模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R,都有f'(x)<,则不等式f(log2x)>的解集为()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞) 〚导学号37270667〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知|a|=,|b|=2,若(a+b)⊥a,则a与b的夹角是.14.(2016河南开封四模)已知函数f(x)=-(其中e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x))的零点是.15.(2016山西太原一模)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|a-b|=1,则|a+b|的最大值是.〚导学号37270668〛16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=1,则c=.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.18.(12分)(2016山东昌乐二中模拟)请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB 上,且E,F是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.〚导学号37270669〛19.(12分)函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=-,求函数g(x)在x∈-上的最大值,并确定此时x的值.20.(12分)(2016山西运城4月模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2a cos B=2c-b.(1)求角A;(2)若△ABC的面积为,且a=,请判断△ABC的形状,并说明理由.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·e x,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.〚导学号37270670〛22.(12分)已知函数f(x)=x2-a ln x(a∈R).(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(3)讨论方程f(x)=0的解的个数,并说明理由.〚导学号37270671〛参考答案滚动测试卷二(第一~五章)1.C解析∵集合A={x∈N||x-1|≤1}={0,1,2},B={x|y=-}={x|-1≤x≤1},∴A∩B={0,1}.∴集合A∩B的子集个数为22=4,故选C.2.A解析------=-=1-2i,故选A.3.C解析若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0>0,使得≤0.故A错误;若命题p和p∨q都是真命题,则命题q可能是真命题,也可能是假命题.故B错误;在△ABC中,由a<b可知0<A<B<π,而y=cos x在(0,π)内单调递减,故cos A>cos B,C 正确;命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2且x≠1,则x2+x-2≠0”.故D错误.故选C.4.B解析由题意可知阴影区域的面积是S=-cos x d x=-sin x=2.故选B.5.B解析因为当x<0时,f(x)=-log2(-2x),且函数f(x)是R上的偶函数,所以f(32)=f(-32)=-log264=-6,故选B.6.A解析依题意得g(x)=sin--=sin-,当x∈时,2x--,sin--,此时g(x)的值域是-.选A.7.C解析f(x)=-log2x为减函数,f(x0)=-log2x0=0,由0<a<x0,可知f(a)>f(x0)=0.8.B解析设AC与BD相交于点O,以O为原点,AC,BD为坐标轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),D(0,b),则A(a-2,0),B(0,b-3),故=(2-a,b-3),=(-a,b).∴=a(a-2)+b(b-3)=(a-1)2+-.∴当a=1,b=时,取得最小值-.9.B解析∵f(x+3)=-,∴f(x+6)=-=--=f(x).∴函数f(x)是以6为周期的函数.∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=-=--=--.故选B.10.A解析y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)=πx+φ-α),其中sin α=,cos α=.∵函数y的图象关于直线x=1对称,∴π+φ-α=+kπ,k∈Z,即φ=α-+kπ,k∈Z.∴sin 2φ=sin 2-=sin(2α-π+2kπ)=sin(2α-π)=-sin 2α=-2sin αcos α=-2×=-,故选A.11.C解析由cos B=,0<B<π得sin B=.又=2得=2,即c=2a.由S△ABC=ac sin B=a2·,得a=1.所以c=2.由b2=a2+c2-2ac cos B=1+4-2×1×2×=4,得b=2. 12.C解析设g(x)=f(x)-x.∵f'(x)<,∴g'(x)=f'(x)-<0.∴g(x)是R上的减函数.又f(1)=1,∴f(log2x)>=log2x+,即g(log2x)=f(log2x)-log2x>=g(1)=f(1)-=g(log22).∴log2x<log22.又y=log2x是定义域上的增函数,∴0<x<2.∴不等式f(log2x)>的解集为(0,2).故选C.13.150°解析因为(a+b)⊥a,所以(a+b)·a=0⇔a2+b·a=0⇔3+b·a=0,所以b·a=-3,可知a与b的夹角的余弦值为-=-.则a与b的夹角为150°.14.e解析令f(x)=t,则y=f(t).由f(t)=0,可得t=1;由f(x)=1,可得x=e.故函数y=f(f(x))的零点是e.15.解析∵|a-b|=1,∴a2+b2-2|a||b|cos 60°=1,即a2+b2=1+|a||b|≥2|a||b|.∴|a||b|≤1,当且仅当|a|=|b|=1时等号成立.∴|a+b|==°=.∴2|a||b|+1≤3.∴|a+b|的最大值是.16.解析由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a.由,得cb cos A=ca cos B.故由正弦定理得sin B cos A=cos B sin A,即sin(B-A)=0.因为-π<B-A<π,所以B=A,从而b=a.由已知=1,得ac cos B=1.故由余弦定理知ac·-=1,即a2+c2-b2=2,故c=.17.(1)解因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.(2)解由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|==-≤4.又当β=kπ-(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4.(3)证明由tan αtan β=16,得16cos αcos β=sin αsin β,故a∥b.18.解设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=x,h=(30-x),0<x<30.(1)由题意知S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,故当x=15时,S取最大值.(2)由题意知V=a2h=2(-x3+30x2),则V'=6x(20-x).由V'=0得x=20(x=0舍去).当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0;故当x=20时,包装盒容积V最大,此时,即此时包装盒的高与底面边长的比值是.19.解(1)由题图知A=2,,则=4×,即ω=.又f-=2sin-=2sin-=0,∴sin-=0,∵0<φ<,-<φ-,∴φ-=0,即φ=,∴f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)由(1)可得f-=2sin-=2sin,g(x)=-=4×-=2-2cos,∵x∈-,∴-≤3x+,∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.20.解(1)∵2a cos B=2c-b,∴2sin A cos B=2sin C-sin B.又sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B, ∴2cos A sin B=sin B.在△ABC中,sin B≠0,故cos A=.∵0<A<π,∴A=.(2)△ABC是等边三角形,理由如下:由(1)可知A=,则sin A=,故S△ABC=bc sin A=,即bc=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,可得b2+c2=6,解得c=,b=,故△ABC是等边三角形.21.解(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f'(x)=3x2+2ax-1.当x=时,得a=f'=3×+2a×-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,则f'(x)=3x2-2x-1=3(x-1),由f'(x)>0,得x<-或x>1;由f'(x)<0,得-<x<1.所以f(x)的单调递增区间是--和(1,+∞),f(x)的单调递减区间是-.(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·e x=(-x2-x+c)·e x,有g'(x)=(-2x-1)e x+(-x2-x+c)e x=(-x2-3x+c-1)e x,因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立.故只要h(x)在[-3,2]上的最小值h(2)≥0即可,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞).22.解(1)因为f'(x)=x-(x>0),又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以--解得a=2,b=-2ln 2.(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,则f'(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.(3)当a=0时,f(x)在定义域(0,+∞)上恒大于0,此时方程无解.当a<0时,f'(x)=x->0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.因为f(1)=>0,f()=-1<0,所以方程有唯一解.当a>0时,f'(x)=x-=--.因为当x∈(0,)时,f'(x)<0,则f(x)在(0,)上为减函数;当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(,+∞)上为增函数.所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值为f()=a-a ln a(1-ln a).当a∈(0,e)时,f()=a(1-ln a)>0,方程无解;当a=e时,f()=a(1-ln a)=0,此方程有唯一解x=.当a∈(e,+∞)时,f()=a(1-ln a)<0,因为f>0且>1,所以方程f(x)=0在区间(0,)上有唯一解.因为当x>1时,(x-ln x)'>0,所以x-ln x>1,所以x>ln x.所以f(x)=x2-a ln x>x2-ax.因为2a>>1,所以f(2a)>(2a)2-2a2=0,所以方程f(x)=0在区间(,+∞)上有唯一解.所以方程f(x)=0在区间(e,+∞)上有两解.综上,当a∈[0,e)时,方程无解;当a<0或a=e时,方程有唯一解;当a>e时,方程有两解.。

第三章导数及其应用专题1导数的概念与几何意义■(2015河南省洛阳市高考数学一模,导数的概念与几何意义,选择题,理10)曲线y=(x>0)在点P(x0,y0)处的切线为l.若直线l与x,y轴的交点分别为A,B,则△OAB的周长的最小值为()A.4+2B.2C.2D.5+2解析:由y=,得y'=-,则y'=-,∴曲线y=(x>0)在点P(x0,y0)处的切线方程为y-=-(x-x0).整理,得x+y-2x0=0.取y=0,得x=2x0,取x=0,得y=.∴|AB|==2.∴△OAB的周长为|2x0|++2=2+2(x0>0)≥2×2+2=4+2.当且仅当x0=1时上式等号成立.故选A.答案:A■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,导数的概念与几何意义,填空题,理13)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为.解析:把(1,3)代入直线y=kx+1中,得到k=2,对y=x3+ax+b求导,得y'=3x2+a,所以y'|x=1=3+a=2,解得a=-1,把(1,3)及a=-1代入曲线方程,得1-1+b=3,则b的值为3.答案:3■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数的概念与几何意义,选择题,理9)直线y=x+b 与曲线y=-x+ln x相切,则b的值为()A.-2B.-1C.-D.1解析:设切点坐标为(m,n),由题意知曲线在该点切线斜率为y'|x=m=-,解得m=1, ∵切点(1,n)在曲线y=-x+ln x的图象上,∴n=-,∵切点-又在直线y=x+b上,∴b=-1.故答案为B.答案:B专题1导数与函数的单调性■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,导数与函数的单调性,选择题,理4)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|解析:y=在(0,+∞)上是减函数,但在定义域内是奇函数,故排除A;y=e-x在(0,+∞)上是减函数,但不具备奇偶性,故排除B;y=-x2+1是偶函数,且在(0,+∞)上为减函数,故选C;y=lg|x|在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,但在(0,+∞)上为增函数,故排除D.答案:C■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的单调性,选择题,理7)函数f(x)=ax3-x 在R上是减函数,则()A.a≤0B.a<1C.a<2D.a≤解析:求导函数可得:f'(x)=3ax2-1.∵函数f(x)=ax3-x在R上是减函数,∴f'(x)=3ax2-1≤0在R上恒成立.∴a≤0.故选A.答案:A■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的单调性,选择题,理4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)解析:由于函数y=在(-1,+∞)上是增函数,故满足条件,由于函数y=(x-1)2在(0,1)上是减函数,故不满足条件,由于函数y=2-x在(0,+∞)上是减函数,故不满足条件,由于函数y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上是减函数,故不满足条件,故选A.答案:A专题2导数与函数的极值■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的极值,选择题,理11)设函数f(x)在R 上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由函数的图象可知,f'(-2)=0,f'(2)=0,并且当x<-2时,f'(x)>0,当-2<x<1,f'(x)<0,函数f(x)有极大值f(-2).又当1<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,故函数f(x)有极小值f(2).故选D.答案:D专题3导数与函数的最值■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,导数与函数的最值,选择题,理11)已知函数f(x)=-若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]解析:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,直线l为曲线在x=0处的切线,当直线介于l和x 轴之间符合题意,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2-2x,求其导数可得y'=2x-2,当x=0时,y'=-2,故只需直线y=ax的斜率a介于-2与0之间即可,即a∈[-2,0],故选D.答案:D■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的最值,解答题,理21)已知函数f(x)=e x-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.解:∵f(x)=e x-ax2-bx-1,∴g(x)=f'(x)=e x-2ax-b,又g'(x)=e x-2a,x∈[0,1],∴1≤e x≤e,∴①当a≤时,则2a≤1,g'(x)=e x-2a≥0,∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b;②当<a<,则1<2a<e,∴当0≤x<ln(2a)时,g'(x)=e x-2a<0,当ln(2a)<x≤1时,g'(x)=e x-2a>0,∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,g(x)min=g[ln(2a)]=2a-2a ln(2a)-b;③当a≥时,则2a≥e,g'(x)=e x-2a≤0,∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b,综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=-----(2)由f(1)=0⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1,又f(0)=0,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,由(1)知当a≤或a≥时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.若<a<,则g(x)min=2a-2a ln(2a)-b=3a-2a ln(2a)-e+1,令t=2a,则h(t)=t-t ln t-e+1(1<t<e).则h'(t)=-ln t,∴h'(t)=-ln t.由h'(t)=-ln t>0⇒t<.∴h(t)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减,h(t)max=h()=ln-e+1=-e+1<0,即g(x)min<0恒成立,∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔--⇒-又<a<,所以e-2<a<1,综上,得e-2<a<1.■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,利用导数研究函数的零点或方程的根,选择题,理10)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为()A.--B.[-1,0]C.(-∞,-2]D.-解析:∵f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,故函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,故有即-----解得-<m≤-2,故选A. 答案:A专题3利用导数解决不等式的有关问题■(2015河南省洛阳市高考数学一模,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理22)已知函数f(x)=ln(1+x)m-x.(1)若函数f(x)为(0,+∞)上的单调函数,求实数m的取值范围;(2)求证:(1+sin 1)<e2.(1)解:∵f(x)=m ln(1+x)-x,∴f'(x)=-1,∵函数f(x)为(0,+∞)上的单调函数,∴f'(x)≥0恒成立,或f'(x)≤0恒成立,要使f'(x)≥0恒成立,则m≥1+x,由x∈(0,+∞),则m不能满足.要使f'(x)≤0,则m≤1+x,m≤1时,可满足f'(x)≤0,f(x)为单调递减函数.综上:m≤1.(2)证明:由(1)得m=1时,f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(x)<f(0),即ln(x+1)<x,x∈(0,+∞),∵sin 1·sin…sin>0,∴ln(1+sin 1)<sin 1,…,ln<sin,令g(x)=sin x-x,x∈,则g'(x)=cos x-1<0,∴g(x)在上是减函数,∴g(x)<g(0),即sin x<x,x∈,∴sin 1<1,sin,…,sin,∴ln(1+sin 1)+ln+…+ln<sin 1+sin+…+sin<1++…+<1++…+-=1+--+…+--=2-<2,即ln (2)∴(1+sin 1)<e2.■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知f(x)=.(1)求函数y=f(x)的单调区间;(2)若关于x的方程h(x)=f(x)-x2+2x-k有零点,求实数k的取值范围;(3)当n∈N*,n≥2时,求证:nf(n)<2++…+-.(1)解:∵f(x)=,∴f'(x)=-=-.∴当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0.∴函数f(x)在区间(0,1)上为增函数;在区间(1,+∞)上为减函数.(2)解:由(1)得f(x)的极大值为f(1)=1,令g(x)=x2-2x+k,所以当x=1时,函数g(x)取得最小值g(1)=k-1,又根据题意知方程f(x)=x2-2x+k有实数解,那么k-1≤1,即k≤2,所以实数k的取值范围是k≤2.(3)证明:∵函数f(x)在区间(1,+∞)上为减函数,而1+>1(n∈N*,n≥2),∴f<f(1)=1,∴1+ln<1+,即ln(n+1)-ln n<,ln n=ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+…+ln n-ln(n-1)<1++…+-.即1+ln n<2++…+-,而n·f(n)=1+ln n,∴nf(n)<2++…+-结论成立.■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,利用导数解决不等式的有关问题,填空题,理16)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是.解析:不等式ax3-x2+4x+3≥0变形为ax3≥x2-4x-3.当x=0时,0≥-3,故实数a的取值范围是R;当x∈(0,1]时,a≥--,记f(x)=--,f'(x)=--->0,故函数f(x)递增,则f(x)max=f(1)=-6,故a≥-6;当x∈[-2,0)时,a≤--,记f(x)=--,令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍去正值),当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0;当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,故f(x)min=f(-1)=-2,则a≤-2.综上所述,实数a的取值范围是[-6,-2].答案:[-6,-2]■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,利用导数解决不等式的有关问题,选择题,理11)已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f'(1)>1,则f(x)>x的解集是()A.(0,1)B.(-1,0)∪(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:设g(x)=f(x)-x,因为f(1)=1,f'(x)>1,所以g(1)=f(1)-1=0,g'(x)=f'(x)-1>0,所以g(x)在R上是增函数,且g(1)=0.所以f(x)>x的解集即是g(x)>0的解集(1,+∞).故选C.答案:C■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x)恒成立,求k的取值范围.解:(1)由题意知f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4,而f'(x)=2x+a,g'(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1),设F(x)=kg(x)-f(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,则F'(x)=2k e x(x+2)-2x-4=2(x+2)(k e x-1),由题设得F(0)≥0,即k≥1,令F'(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2,①当1≤k<e2时,则-2<x1≤0,从而当x∈(-2,x1)时,F'(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增,故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1),而F(x1)=-x1(x1+2)≥0,x≥-2时F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②当k=e2时,则F'(x)=2e2(x+2)(e x-e-2),从而当x∈(-2,+∞)时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增,而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③当k>e2时,F(x)=2e2(x+2)(e x-e2),F(-2)=-<0,所以当x>-2时,f(x)≤kg(x)不恒成立,综上,k的取值范围是[1,e2).■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数h(x)=x ln x,φ(x)=(a>0).(1)求g(x)=φ(t)d t;(2)设函数f(x)=h'(x)-g(x)-1,试确定f(x)的单调区间及最大最小值;(3)求证:对于任意的正整数n,均有…成立.(1)解:g(x)=φ(t)d t=d t=-.(2)解:∵h'(x)=(x ln x)'=ln x+1(x>0),∴f(x)=ln x+1---1=ln x--(x>0),f'(x)=---(x>0),∵a>0,∴函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增,函数f(x)的最小值为f(a)=ln a,函数f(x)无最大值.(3)证明:取a=1,由(2)知,f(x)=ln x--≥f(1)=0,∴ln x≥-=1-,即≥1-ln x=ln,亦即,分别取x=1,2,…,n,得,…,,将以上各式相乘,得….■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理19)设函数f(x)=x+ax2+b ln x,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)≤2x-2.(1)解:f'(x)=1+2ax+,由已知条件,得即解之,得a=-1,b=3.(2)证明:f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知f(x)=x-x2+3ln x,设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,则g'(x)=-1-2x+=--.当0<x<1时,g'(x)>0;当x>1时,g'(x)<0,∴在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴g(x)在x=1处取得最大值g(1)=0,即当x>0时,函数g(x)≤0.∴f(x)≤2x-2在(0,+∞)上恒成立.专题4定积分在物理中的应用■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,定积分在物理中的应用,选择题,理8)曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为()A.2ln 2B.2-ln 2C.4-ln 2D.4-2ln 2解析:令x=4,代入直线y=x-1得A(4,3),同理得C.由=x-1,解得x=2,所以曲线y=与直线y=x-1交于点B(2,1).∴S阴=S梯形ABEF-S BCFC而S BCFE=d x=2ln x=2ln 4-2ln 2=2ln 2.∵S梯形ABEF=(1+3)×2=4,∴封闭图形ABC的面积S阴=S梯形ABEF-S BCFE=4-2ln 2,故选D.答案:D。

107三视图与直观图4.(2015辽宁锦州二模,文4,三视图与直观图,选择题)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π解析:根据图中三视图可得出该几何体的体积=长方体的体积与半圆柱体积的和,长方体的长、宽、高分别为10,4,5,圆柱的底面半径为3,高为2,所以几何体的体积=10×4×5+1×32π×2=200+9π.答案:A6.(2015辽宁锦州一模,文6,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.64B.72C.80D.112解析:由几何体的三视图可知,该几何体下部为正方体,棱长为4,体积为43=64.上部为三棱锥,以正方体上底面为底面,高为3.体积为1×1×42×3=8.故该几何体的体积是64+8=72.答案:B6.(2015辽宁沈阳一模,文6,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是()A.4 cm3B.8 cm3C.2 cm3D.4 cm3解析:由三视图可知,该几何体为底面是正方形,且边长为2cm,高为2cm的四棱锥,如图,故V=13×22×2=83(cm 3). 答案:B11.(2015辽宁沈阳四校联考,文11,三视图与直观图,选择题)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正视图如图所示,该四棱锥侧面积和体积分别是( )A.4 ,8B.4 8C.4( 5+1),83D.8,8解析:∵四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,∴该四棱锥为正四棱锥.其正视图为原图形中的△PEF ,如图,由该四棱锥的正视图可知四棱锥的底面边长AB=2,高PO=2,则四棱锥的斜高PE= 2+12= 5.∴该四棱锥侧面积S=4×12×2× 5=4 5,体积V=1×2×2×2=8.答案:B5.(2015河南开封二模,文5,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,则此几何体的外接球的表面积为( )A.3πB.4πC.2πD.52π 解析:如图所示,该几何体是一个直三棱柱,其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直,其外接球的直径2R= 3,故外接球的表面积S=4π 32=3π.答案:A11.(2015河南洛阳二模,文11,三视图与直观图,选择题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A.1B. 5C. 6D.2 3解析:由题意,几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥,有3个面是全等的等腰直角三角形,面积为12×2×2=2, 另一侧面是等边三角形,边长为2 ,面积为 3×(2 2=2 3,所以该几何体的各个面中最大面的面积为2 3. 答案:D15.(2015辽宁鞍山一模,文15,三视图与直观图,填空题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .解析:由已知中三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱.由俯视图可得棱柱的高h=2,由割补法,可得棱柱的底面面积S=2×3=6.故棱柱的体积V=2×6=12. 答案:127.(2015辽宁大连一模,文7,三视图与直观图,选择题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A.323B.64C.32 33D.643解析:由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长度都为4,故其体积V=13×4×4×4=643.答案:D16.(2015辽宁大连二模,文16,三视图与直观图,填空题)如图在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图,则该多面体的表面积为 .解析:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥P-ABC,且三棱锥的高PO=2,如图所示:∴侧面△PAB的面积为S△PAB=12×42×2=42,△PBC与△PAC的面积为S△PBC=S△PAC=12×4×2+2242,底面△ABC的面积为S△ABC=12×4×4=8.∴三棱锥的表面积为S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC=8+12答案:8+1229.(2015河南六市联考一模,文9,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是()A.1B.2C.3D.4解析:根据几何体的三视图,得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD,且底面为直角梯形ABCD,高为2.故该四棱锥的体积为V=13×12×(2+4)×2×2=4.答案:D7.(2015河南开封定位模拟,文7,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.108 cm3B.100 cm3C.92 cm3D.84 cm3解析:根据几何体的三视图知,该几何体是长为6,宽为3,高为6的长方体,去掉一个底面直角边长为4和3,高为4的三棱锥,可知该几何体的体积是V=V长方体-V三棱锥=6×3×6-1×1×4×3×4=100(cm3).答案:B10.(2015天津河北区一模,文10,三视图与直观图,填空题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱,半圆柱的半径为2,高为3,体积为6π;直三棱柱的底面为直角三角形,面积为4,高为3,体积为12.故几何体的体积为6π+12.答案:6π+128.(2015河南中原名校联盟模拟,文8,三视图与直观图,选择题)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且其体积为π4.则该几何体的俯视图可以是()解析:根据正视图与侧视图的形状和几何体的体积是π4,知该几何体的底面积是π,故底面可以是一个半径为1的四分之一圆.答案:D108空间几何体的表面积7.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文7,空间几何体的表面积,选择题)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积为()A.1403π+4 13π B.36π+2 13πC.32π+2 13πD.44π+2 13π 解析:根据三视图得知,该几何体是由下面是一个半径为4的半球,上面是一个底面半径为2,高为3的圆锥构成的组合体.首先求出上面圆锥的侧面展开图的半径r= 13, 圆锥的底面周长为l=4π, 所以圆锥的侧面面积为:S 1=12·4π· 13=2 13π,剩余的侧面面积为:S 2=2π·16+16π-4π=44π,所以组合体的侧面面积为:S=S 1+S 2=44π+2 13π. 答案:D15.(2015河南洛阳二模,文15,空间几何体的表面积,填空题)已知点A ,B ,C ,D 均在球O上,AB=BC= 6,AC=2 3,若三棱锥D-ABC 体积的最大值为3,则球O 的表面积为 . 解析:∵AB=BC= 6,AC=2 3,∴AB ⊥BC ,S △ABC =3.∵三棱锥D-ABC 的体积的最大值为3, ∴D 到平面ABC 的最大距离为3. 设球的半径为R ,则( 3)2=3×(2R-3), ∴R=2,∴球O 的表面积为4πR 2=16π. 答案:16π9.(2015宁夏银川一中一模,文9,空间几何体的表面积,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )A.36πB.8πC.92πD.278π解析:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱锥, 如图所示,则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球, 设几何体外接球的半径为R , ∵底面是等腰直角三角形, ∴底面外接圆的半径为1. ∴R 2=1+1=2.∴外接球的表面积是4πR 2=8π. 答案:B109空间几何体的体积14.(2015辽宁锦州一模,文14,空间几何体的体积,填空题)在三棱锥A-BCD 中,侧棱AB ,AC ,AD 两两垂直,△ABC ,△ACD ,△ADB 的面积分别为22,32,62,则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .解析:三棱锥A-BCD 中,侧棱AB ,AC ,AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同一个,长方体的对角线就是球的直径,设长方体的长、宽、高分别为a ,b ,c ,则由题意,得 ab= 6,ac= 3,bc= 2, 解得a= b= ,c=1.所以球的直径为 3+2+1= 6,球的半径为 6.故三棱锥A-BCD 的外接球的体积为43π× 623= 6π.答案: 6π16.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文16,空间几何体的体积,填空题)如图,四棱锥P-ABCD 中,四边形ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD.若∠BPC=90°,PB= 2,PC=2,则四棱锥P-ABCD 体积的最大值为 .解析:如图所示,作PO ⊥AD ,垂足为O ,作OG ⊥BC ,垂足为G ,连接GP.∵平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD=AD ,∴PO ⊥平面ABCD. 在△BPC 中,∵∠BPC=90°,PB= 2,PC=2, ∴BC= BP 2+PC 2= 6.∴PG=BP ·PC =2 3.设AB=x ,则OG=x ,PO= PG 2-OG 2= 43-x 2,∴V P-ABCD =1PO ·S 四边形ABCD =1 4-x 2× 6x , ∴V2=23 43-x 2 x 2≤2343-x 2+x222=23 3,当且仅当x= 63时取等号.∴V P-ABCD ≤2 69,即四棱锥P-ABCD 体积的最大值为2 69. 答案:2 69110 组合体的“接”“切”综合问题14.(2015辽宁沈阳四校联考,文14,组合体的“接”“切”综合问题,填空题)在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,AB=BC= 2,PA=2,则此三棱锥外接球的体积为 .解析:∵PC 是Rt △PAC 和Rt △PBC 的公共的斜边,记它的中点为O ,则OA=OB=OP=OC=12PC= 2,即该三棱锥的外接球球心为O ,半径为 , 故它的体积为4π·( 2)3=8 2π. 答案:8 2π16.(2015辽宁大连一模,文16,组合体的“接”“切”综合问题,填空题)如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD ,该四棱锥的体积为4 2,则该半球的体积为 .解析:设球的半径为R ,则底面ABCD 的面积为2R 2,∵半球内有一内接正四棱锥S-ABCD ,该四棱锥的体积为4 23, ∴13×2R 2×R=4 23, ∴R 3=2 2,∴该半球的体积为V=12×43R 3π=4 23π. 答案:4 23π.11.(2015辽宁大连二模,文11,组合体的“接”“切”综合问题,选择题)已知三棱锥P-ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC ,2AC= 3AB ,若三棱锥P-ABC 的体积为3,则该三棱锥的外接球的体积为( ) A.8 3π B.6 3πC.4 3πD.2 3π解析:如图所示,∵三棱锥P-ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,∴PO是三棱锥P-ABC的高,OA=OB=OC=OP=x,∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC.∵2AC=3AB,∴∠ABC=60°,∴BC=x,AC=3x.∴V P-ABC=1·S△ABC·PO=1×1×3x2×x=3,解得x=3.∴该三棱锥的外接球的体积V=4πx3=43π.答案:C14.(2015河南六市联考一模,文14,组合体的“接”“切”综合问题,填空题)已知三棱锥P-ABC的所有棱长都等于1,则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为.解析:∵三棱锥P-ABC的所有棱长都等于1,∴底面外接圆的半径为33.∴三棱锥P-ABC的高为1-1=6.∵三棱锥P-ABC的外接球与内切球的半径的比为3∶1,∴三棱锥P-ABC的内切球的半径为612.∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4π×62=π.答案:π68.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文8,组合体的“接”“切”综合问题,选择题)半径为1的球面上有四个点A,B,C,D,球心为点O,AB过点O,CA=CB,DA=DB,DC=1,则三棱锥A-BCD的体积为() A.3 B.3 C.3 D.6解析:由题意可知图形如图,AB过点O,CA=CB,DA=DB,三角形ABD与ACB都是等腰直角三角形, 半径为1的球面上有四个点A,B,C,D,球心为点O,∴AD=BD=AC=BC=,DC=1,OD=OC=1,AB⊥OD,AB⊥OC.∴三棱锥A-BCD的体积为1×1S△OCD·(AO+OB)=1×3×12×2=3.答案:A11.(2015河南商丘二模,文11,组合体的“接”“切”综合问题,选择题)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.πa2B.7πa2C.11πa2D.5πa2解析:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,上下底面中心连线的中点就是球心,则其外接球的半径为R=a22+a2sin60°2=712a2,球的表面积为S=4π·7a 2=7πa2.答案:B112空间两条直线的位置关系3.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文3,空间两条直线的位置关系,选择题)已知平面α及空间中的任意一条直线a,那么在平面α内一定存在直线b使得()A.a∥bB.a与b相交C.a与b是异面直线D.a⊥b解析:当直线a与平面α相交时,平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种:异面、相交,此时就不可能平行了,故A错.当直线a与平面α平行时,平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种:异面、平行,此时就不可能相交了,故B错.当直线a在平面α内时,平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种:平行、相交,此时就不可能异面了,故C错.不管直线a与平面α的位置关系相交、平行,还是在平面内,都可以在平面α内找到一条直线与直线b垂直,因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况,故D正确.答案:D19.(2015河南开封二模,文19,空间两条直线的位置关系,解答题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B⊥平面ABC,AB⊥AC.(1)求证:AC⊥BB1;(2)若P是棱B1C1的中点,求平面PAB将三棱柱ABC-A1B1C1分成的两部分体积之比.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵A1B⊥平面ABC,A1B⊂平面ABB1,∴平面ABB1A1⊥平面ABC.∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB,AB⊥AC,∴AC⊥平面ABB1A1,∴AC⊥BB1.(2)解:设平面PAB与棱A1C1交于Q,∵P为棱B1C1的中点,∴Q为棱A1C1的中点,连接AQ,PQ,设三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为S,高为h,体积为V,则Sh=V,如图,将棱台C1PQ-ABC还原为棱锥S-ABC,解得V PQC1-ABC =712V,V AB-A1B1PQ =V-712V=512V.∴平面PAB将三棱柱ABC-A1B1C1分成的两部分体积之比为VPQC1-ABCVAB-A1B1PQ =75.4.(2015辽宁鞍山一模,文4,空间两条直线的位置关系,选择题)已知空间中不共面的四点A ,B ,C ,D 及平面α,下列说法正确的是( ) A.直线AB ,CD 可能平行 B.直线AB ,CD 可能相交C.直线AB ,CD 可能都与α平行D.直线AB ,CD 可能都与α垂直解析:由题意,AB ,CD 不共面,故A,B 不正确;经过AC ,BD ,AD ,BC 中点的平面与AB ,CD 平行,故C 正确; 若直线AB ,CD 都与α垂直,可得AB 与CD 平行,故D 不正确. 答案:C115直线与平面平行的判定与性质17.(2015河南洛阳二模,文17,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,四边形ABCD 中,AB ⊥AD ,AD ∥BC ,AD=6,BC=2AB=4,E ,F 分别在BC ,AD 上,EF ∥AB ,现将四边形ABCD 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC.(1)若BE=1,是否在折叠后的线段AL 上存在一点P ,且AP=λPD ,使得CP ∥平面ABEF ?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.(2)求三棱锥A-CDF 的体积的最大值,并求此时点F 到平面ACD 的距离.解:(1)存在P ,使得CP ∥平面ABEF ,此时λ=3.证明:当λ=32,此时AP AD=35,过P 作MP ∥FD ,与AF 交于点M ,则MPFD =35. 又FD=5,∴MP=3.∵EC=3,MP ∥FD ∥EC , ∴MP ∥EC ,且MP=EC.∴四边形MPCE 为平行四边形,∴PC ∥ME. ∵CP ⊄平面ABEF ,ME ⊂平面ABEF , ∴CP ∥平面ABEF 成立.(2)∵平面ABEF ⊥平面EFDC ,ABEF ∩平面EFDC=EF ,AF ⊥EF , ∴AF ⊥平面EFDC.设BE=x ,则AF=x ,(0<x<4),FD=6-x , 故三棱锥A-CDF 的体积V=13x×12×2×(6-x )=13x (6-x )≤13× x +6-x 22=3,∴当x=3时,三棱锥A-CDF 的体积V 有最大值,最大值为3.建立如图所示的空间直角坐标系,则F (0,0,0),A (0,0,3),C (2,1,0),D (0,3,0).AD =(0,3,-3),CD =(-2,2,0),FA=(0,0,3). 设平面ACD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ·AD =0,n ·CD=0,∴ 3y -3z =0,-2x +2y =0,取y=1,则x=1,z=1,∴n =(1,1,1).∴点F 到平面ACD 的距离d=|n ·FA ||n |=3= 3.19.(2015河南郑州一模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,PD ⊥底面ABCD ,∠ADC=90°,AD=2BC ,Q 为AD 的中点,M 为棱PC 的中点.(1)证明:PA ∥平面BMQ ;(2)已知PD=DC=AD=2,求点P 到平面BMQ 的距离.(1)证明:连接AC 交BQ 于N ,连接MN ,因为∠ADC=90°,Q 为AD 的中点,所以N 为AC 的中点.因为M 为PC 的中点,即PM=MC ,所以MN 为△PAC 的中位线,故MN ∥PA. 又MN ⊂平面BMQ ,所以PA ∥平面BMQ.(2)解:由(1)可知,PA ∥平面BMQ ,所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离,所以V P-BMQ =V A-BMQ =V M-ABQ ,取CD 的中点K ,连接MK ,所以MK ∥PD ,MK=1PD=1,又PA ⊥底面ABCD ,所以MK ⊥底面ABCD.因为BC=12AD=1,PD=CD=2,所以AQ=1,BQ=2,MQ= 3,NQ=1, 所以V P-BMQ =V M-ABQ =1×1·AQ ·BQ ·MK=1,S △BQM = 2,则点P 到平面BMQ 的距离d=3V P -BMQ△BMQ= 2.19.(2015辽宁大连二模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,△ABC 是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又PA=AB=4,∠CDA=120°,点N 在线段PB 上,且PN= . (1)求证:BD ⊥PC ;(2)求证:MN ∥平面PDC.证明:(1)∵△ABC 是正三角形,M 是AC 中点,∴BM ⊥AC ,即BD ⊥AC.又PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥BD. 又PA ∩AC=A ,∴BD ⊥平面PAC. ∴BD ⊥PC.(2)在正△ABC 中,BM=2 3.在△ACD 中,∵M 为AC 中点,DM ⊥AC ,∴AD=CD.∵∠ADC=120°,∴DM=2 3, ∴BM=3.在等腰直角△PAB 中,PA=AB=4,PB=4 2,∴BN =3,∴BM =BN,∴MN ∥PD.又MN ⊄平面PDC ,PD ⊂平面PDC ,∴MN ∥平面PDC.18.(2015宁夏银川一中一模,文18,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ADC=90°,CD ∥AB ,AD=CD=1AB=2,点E 为AC 中点.将△ADC 沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D-ABC ,如图2所示. (1)在CD 上找一点F ,使AD ∥平面EFB ; (2)求点C 到平面ABD 的距离.解:(1)如图,取CD 的中点F ,连接EF ,BF ,在△ACD 中,∵E ,F 分别为AC ,DC 的中点, ∴EF 为△ACD 的中位线.∴AD ∥EF ,EF ⊂平面EFB ,AD ⊄平面EFB. ∴AD ∥平面EFB.(2)设点C 到平面ABD 的距离为h , ∵平面ADC ⊥平面ABC ,且BC ⊥AC , ∴BC ⊥平面ADC. ∴BC ⊥AD.又AD ⊥DC ,∴AD ⊥平面BCD. ∴AD ⊥BD. ∴S △ADB =2 3.∴三棱锥B-ACD 的高BC=2 2,S △ACD =2, ∵V C-ABD =V B-ACD ,∴13×2 2h=13×2×2 2.∴h=2,即点C 到平面ABD 的距离为2.19.(2015宁夏银川一中二模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面ABE ,AE=EB=BC=2,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证:AE ⊥BE ;(2)求三棱锥D-AEC 的体积;(3)设M 在线段AB 上,且满足AM=2MB ,试在线段CE 上确定一点N ,使得MN ∥平面DAE.(1)证明:∵AD ⊥平面ABE ,AD ∥BC ,∴BC ⊥平面ABE ,∴AE ⊥BC. 又BF ⊥平面ACE ,∴AE ⊥BF. ∵BC ∩BF=B , ∴AE ⊥平面BCE.又BE ⊂平面BCE ,∴AE ⊥BE.(2)解:过E 点作EH ⊥AB ,∵AD ⊥平面ABE ,∴AD ⊥EH.∴EH ⊥平面ABCD.∵AE=EB=2,∴AB=2 ,EH= .∴V D-AEC =V E-ADC =13×2 2× 2=43.(3)解:在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点,在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点,连接MN.∵AM=2MB ,∴CN=13CE.∵MG ∥AE ,MG ⊄平面ADE ,AE ⊂平面ADE , ∴MG ∥平面ADE.同理可证,GN ∥平面ADE ,∵MG ∩GN=G ,∴平面MGN ∥平面ADE. 又MN ⊂平面MGN ,∴MN ∥平面ADE.∴点N 为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.19.(2015河南六市联考一模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱SD 上的点. (1)求证:AC ⊥SD.(2)若SD ⊥平面PAC ,侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面PAC.若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,试说明理由.(1)证明:连接BD ,交AC 于点O ,由题意SO ⊥AC ,在正方形ABCD 中,AC ⊥BD ,所以AC ⊥平面SBD ,所以AC ⊥SD.(2)解:若SD ⊥平面PAC ,设正方形ABCD 的边长为a ,则SD= 2a ,OD= 2a ,可得PD= 2a ,故可在SP 上取一点N ,使PN=PD ,过N 作PC 的平行线与BC 的交点即为E ,连接BN. 在△BDN 中知BN ∥PO ,又由于NE ∥PC ,故平面BEN ∥面PAC , 得BE ∥面PAC. 由于SN ∶NP=2∶1, 故SE ∶EC=2∶1.19.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是菱形,∠BCD=60°,四边形BDEF 是正方形且DE ⊥平面ABCD.(1)求证:CF ∥平面ADE ;(2)若AE= 求多面体ABCDEF 的体积V.(1)证明:∵底面ABCD 是菱形,∴AD ∥BC.∵四边形BDEF 是正方形,∴DE ∥BF. ∵BF ∩BC=B ,∴平面ADE ∥平面BCF. ∵CF ⊂平面BCF ,∴CF ∥平面ADE. (2)解:连接AC ,交BD 于点O ,∵四边形BDEF 是正方形且DE ⊥平面ABCD , ∴DE ⊥平面ABCD.又AC ⊂平面ABCD ,∴AC ⊥DE. ∵底面ABCD 是菱形, ∴AC ⊥BD.又BD ∩DE=D ,∴AC ⊥平面BDEF. ∵AE= 2,∠BCD=60°, ∴AD=DE=BD=1.∴AO=CO= 32.∴多面体ABCDEF 的体积:V=2V A-BDEF =2×13×AO×S 正方形BDEF =2×1×3×12= 3.116平面与平面平行的判定与性质19.(2015辽宁沈阳一模,文19,平面与平面平行的判定与性质,解答题)如图,设四棱锥E-ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE= (1)证明:平面EAB ⊥平面ABCD ; (2)求四棱锥E-ABCD 的体积.(1)证明:取AB 的中点O ,连接EO ,CO.由AE=BE= 2,AB=2,知△AEB 为等腰直角三角形. 故EO ⊥AB ,EO=1.又AB=BC ,∠ABC=60°,所以△ABC 是等边三角形,从而CO= 3.又EC=2,所以EC 2=EO 2+CO 2,所以EO ⊥CO. 又EO ⊥AB ,CO ∩AB=O , 因此EO ⊥平面ABCD.又EO ⊂平面EAB ,故平面EAB ⊥平面ABCD. (2)解:V E-ABCD =13S 菱形ABCD ·EO=13×2×2×sin60°×1 =2 3. 118直线与平面垂直的判定与性质18.(2015河南中原名校联盟模拟,文18,直线与平面垂直的判定与性质,解答题)如图1所示,直角梯形ABCD ,∠ADC=90°,AB ∥CD ,AD=CD=12AB=2,点E 为AC 的中点,将△ACD 沿AC 折起,使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直(如图2),在图2所示的几何体D-ABC 中. (1)求证:BC ⊥平面ACD ;(2)点F 在棱CD 上,且满足AD ∥平面BEF ,求几何体F-BCE 的体积.(1)证明:在图1中,由题意知,AC=BC=2 ∴AC 2+BC 2=AB 2, ∴AC ⊥BC.连接DE ,则DE ⊥AC. 又平面ADC ⊥平面ABC ,且平面ADC ∩平面ABC=AC ,DE ⊂平面ACD ,∴ED ⊥平面ABC , ∴ED ⊥BC.又AC ⊥BC ,AC ∩ED=E ,∴BC ⊥平面ACD.(2)解:取DC 中点F ,连接EF ,BF ,∵E 是AC 中点, ∴EF ∥AD.又EF ⊂平面BEF ,AD ⊄平面BEF , ∴AD ∥平面BEF.由(1)知,BC 为三棱锥B-ACD 的高,∵三棱锥F-BCE 的高h=1BC=1×2 = ,S △BCE =1S △ACD =1×1×2×2=1,∴三棱锥F-BCE 的体积为V F-BCE =13S △BCE ·h=13×1× =23.119平面与平面垂直的判定与性质18.(2015辽宁锦州一模,文18,平面与平面垂直的判定与性质,解答题)如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB ,F 为CD 的中点. 求证:(1)AF ∥平面BCE ; (2)平面BCE ⊥平面CDE.证明:(1)取CE 的中点G ,连接FG ,BG.∵F 为CD 的中点,∴GF ∥DE 且GF=1DE.∵AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD , ∴AB ∥DE ,∴GF ∥AB.又AB=1DE ,∴GF=AB.∴四边形GFAB 为平行四边形,∴AF ∥BG.∵AF ⊄平面BCE ,BG ⊂平面BCE ,∴AF ∥平面BCE. (2)∵△ACD 为等边三角形,F 为CD 的中点, ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ,AF ⊂平面ACD ,∴DE ⊥AF.又CD ∩DE=D ,故AF ⊥平面CDE. ∵BG ∥AF ,∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ,∴平面BCE ⊥平面CDE.19.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文19,平面与平面垂直的判定与性质,解答题)如图1,在等腰梯形PDCB 中,DC ∥PB ,PB=3DC=3,PD= 2,DA ⊥PB ,垂足为A ,将△PAD 沿AD 折起,使得PA ⊥AB ,得到四棱锥P-ABCD ,如图2.(1)证明:平面PAD ⊥平面PCD ;(2)点M 在棱PB 上,平面AMC 把四棱锥P-ABCD 分成两个几何体,当这两个几何体的体积之比V PM -ACD M -ABC=2时,求点B 到平面AMC 的距离.(1)证明:∵在等腰梯形PDCB 中,DA ⊥PB ,∴在四棱锥P-ABCD 中,DA ⊥AB ,DA ⊥PA. 又PA ⊥AB ,DC ∥AB , ∴DC ⊥PA ,DC ⊥DA , ∴DC ⊥平面PAD. ∵DC ⊂平面PCD ,∴平面PAD ⊥平面PCD. (2)解:∵DA ⊥PA 且PA ⊥AB ,∴PA ⊥平面ABCD.又PA ⊂平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面ABCD , 过M 作MN ⊥AB ,垂足为N ,则MN ⊥平面ABCD.依据题意,V M-ABC =1V P-ABCD ,而V P-ABCD =1S ABCD ·PA=1,∴V M-ABC =1S △ABC ·MN=1.又易知AC=BC= 2,AB=2. ∴AC 2+BC 2=AB 2,即AC ⊥BC.∴S △ABC =1,∴MN=12,故MN=12PA , ∴M 是PB 的中点.由AC ⊥BC ,PA ⊥BC ,得BC ⊥平面PAC ,∴BC ⊥PC.在Rt △PAB 和Rt △PBC 中,CM=AM=1PB= 5,又AC= 2,故可求得S △MAC = 6. 设B 到平面MAC 的距离为d ,则由13S △MAC ·d=13S △ABC ·MN=16,得d= 63.10.(2015河南开封二模,文18,平面与平面垂直的判定与性质,选择题)三棱锥S-ABC 中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC 是斜边AB=a 的等腰直角三角形,则以下结论中: ①异面直线SB 与AC 所成的角为90°; ②直线SB ⊥平面ABC ; ③平面SBC ⊥平面SAC ;④点C 到平面SAB 的距离是1a. 其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:由题意知AC ⊥平面SBC ,故AC ⊥SB ,故①正确;再根据SB ⊥AC ,SB ⊥AB ,可得SB ⊥平面ABC ,平面SBC ⊥平面SAC ,故②③正确;取AB 的中点E ,连接CE ,可证得CE ⊥平面SAB ,故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离,且CE=1a ,④正确.答案:D6.(2015辽宁丹东二模,文6,平面与平面垂直的判定与性质,选择题)设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( ) A.若m ∥α,m ∥β,则α∥β B.若m ∥α,m ∥n ,则n ∥α C.若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β D.若m ∥α,n ⊂α,则m ∥n解析:A.因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行,故不正确;B.m ∥α,m ∥n ,则n ∥α,或n ⊂α,故不正确;C.因为m ∥β,则一定存在直线n 在β内,使得m ∥n ,又m ⊥α可得出n ⊥α,由面面垂直的判定定理知,α⊥β,正确;D.m ∥α,n ⊂α,则m ∥n 或m ,n 异面,故不正确. 答案:C120空间中的距离问题19.(2015河南开封定位模拟,文19,空间中的距离问题,解答题)如图,四棱锥P-ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,BC ⊥CD ,BC=CD=1AD.(1)若E 为PD 中点,证明:CE ∥平面APB ;(2)若PA=PB ,PC=PD ,证明:平面APB ⊥平面ABCD.证明:(1)取PA 中点F ,连接EF ,BF ,因为E 为PD 中点,所以EF 12AD.因为BC 12AD ,所以EF BC.所以EFBC 为平行四边形.所以BF ∥CE.因为BF ⊂平面APB ,CE ⊄平面APB , 所以CE ∥平面APB.(2)取CD 中点G ,AB 中点H ,连接PG ,HG ,PH ,∵PC=PD ,G 为CD 中点,∴PG ⊥CD. ∵PA=PB ,H 是AB 中点, ∴PH ⊥AB ,HG ∥AD.∵BC ∥AD ,BC ⊥CD ,∴HG ⊥CD.∵HG ∩PG=G ,HG ⊂平面PHG ,PG ⊂平面PHG , ∴CD ⊥平面PHG.又PH ⊂平面PHG ,∴CD ⊥PH.∵AB⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,AB和CD相交, ∴PH⊥平面ABCD.又PH⊂平面APB,∴平面APB⊥平面ABCD.。

第八章立体几何专题2三视图与直观图■(2015辽宁丹东二模,三视图与直观图,选择题,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),画该四面体三视图中的正视图时,以平面zOy为投影面,则得到正视图可以为()解析:由题意,画出直角坐标系,在坐标系中各点对应位置如图所示.以平面zOy为投影面,得到的正视图为答案:D■(2015辽宁葫芦岛二模,三视图与直观图,选择题,理7)某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是()A.B.2 C.5 D.答案:D专题1空间几何体的表面积■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,空间几何体的表面积,选择题,理11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为()A.B.C.D.3解析:由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=×1×1=,S△ABC=S△ABE=×1×,S△ACD=×1×.故侧面面积最大为.答案:B■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,空间几何体的表面积,填空题,理15)已知矩形ABCD的周长为18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的体积最大时,它的外接球的表面积为.解析:设正六棱柱的底面边长为x,高为y,则6x+y=9,0<x<1.5,正六棱柱的体积V=6×x2y=·3x·3x(9-6x)≤,当且仅当x=1时等号成立,此时y=3.可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点,则半径为.∴外接球的表面积为4π×=13π.答案:13π■(2015江西南昌三模,空间几何体的表面积,填空题,理14)正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若正四棱锥的底面边长是4,侧棱长为2,则此球的表面积为.答案:36π■(2015河北保定二模,空间几何体的表面积,填空题,理16)三棱锥的四个面中,设Rt△的个数为n.若当n取最大值时,该三棱锥的最大棱长为(n+1)2-2n,则该三棱锥外接球的表面积为.解析:如图,三棱锥P-ABC的四个面中,Rt△的个数n的最大值为4,此时PA⊥面ABC,∠ABC=90°,则∠PBC=90°,三棱锥的最大边为PC.由题意可得PC=52-24=9,其外接球的半径为PC=,故外接球的表面积为S=4π·=81π.答案:81π■(2015河北衡水中学高三一调,空间几何体的表面积,选择题,理7)已知一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的表面积为()A.4+4+5B.2+2C. D.2+2+3解析:由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱,底面三角形的三边长为:1,.故底面三角形的面积为:×1×1=;底面周长为:1+;棱柱的高为2;故棱柱的表面积:S=2×+(1+)×2=2+2+3.答案:D■(2015辽宁丹东一模,空间几何体的表面积,选择题,理6)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为60°的扇形,则该几何体的侧面积为()A.12+πB.6+πC.12+2πD.6+4π解析:由三视图知几何体是圆柱体的,且母线长为3,底面半径为2,∴弧长为×2=,∴几何体的侧面积S=×3=12+2π.答案:C■(2015辽宁葫芦岛二模,空间几何体的表面积,选择题,理10)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=2,则此四棱锥的外接球的表面积为()A.12πB.24πC.144πD.48π解析:如图所示.连接AC,BD相交于点O1.取SC的中点O,连接OO1.则OO1∥SA.∵SA⊥底面ABCD,∴OO1⊥底面ABCD.可得点O是四棱锥S-ABCD外接球的球心.因此SC是外接球的直径.∵SC2=SA2+AC2=48,∴四棱锥P-ABCD外接球的表面积为48π.答案:D专题2空间几何体的体积■(2015江西南昌三模,空间几何体的体积,选择题,理4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.16B.20C.4D.60答案:B■(2015河北保定二模,空间几何体的体积,选择题,理7)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是2,则正视图中的x=()A.2B.3C.D.解析:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,其底面面积S=(1+2)×2=3,高h=x,故棱锥的体积V=Sh=x=2.答案:A■(2015河北邯郸二模,空间几何体的体积,选择题,理9)某三棱锥的三视图如图所示,图中网格小正方形的边长为1,则该三棱锥的体积为()A.5B.4C.3D.2解析:由已知三棱锥的三视图,可得该三棱锥的直观图如下所示:其高为2,底面是直角边长为3的等腰直角三角形,故其底面面积S=×3×3=,高h=2,故体积V=Sh=3.答案:C■(2015河北邯郸二模,空间几何体的体积,选择题,理11)四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上,若AB,AC,AD两两垂直,=2,则该四面体体积的最大值为()A.B.C.2 D.7答案:A■(2015河北衡水中学高三一调,空间几何体的体积,选择题,理11)四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,点S,A,B,C,D均在半径为的同一半球面上,则当四棱锥S-ABCD的体积最大时,底面ABCD 的中心与顶点S之间的距离为()A.2-B.2C.D.+1答案:C■(2015辽宁丹东一模,空间几何体的体积,填空题,理16)四面体ABCD的体积是,△ABC是斜边AB=2的等腰直角三角形,若点A,B,C,D都在半径为的同一球面上,则D与AB中点的距离是.解析:设AB的中点为E.∵四面体ABCD的体积是,△ABC是斜边AB=2的等腰直角三角形,∴D到平面ABC的距离为DF=.∵点A,B,C,D都在半径为的同一球面上,∴球心O到平面ABC的距离为OE=1.如图所示,取OE的中点G,则DG⊥OE.∴DE=OD=.答案:■(2015辽宁锦州二模,空间几何体的体积,选择题,理4)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π解析:根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和.长方体的三边为10,4,5;圆柱的底面半径为3,高为2,所以几何体的体积=10×4×5+×32π×2=200+9π.答案:A■(2015辽宁锦州一模,空间几何体的体积,选择题,理6)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.64B.72C.80D.112解析:由几何体的三视图可知,该几何体下部为正方体,边长为4,体积为43=64;上部为三棱锥,以正方体上底面为底面,高为3,其体积×42×3=8.故该几何体的体积是64+8=72.答案:B专题3组合体的“接”“切”综合问题■(2015辽宁锦州一模,组合体的“接”“切”综合问题,填空题,理14)在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面积分别为,则三棱锥A-BCD的外接球的体积为.解析:三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,可把三棱锥补成长方体,两者的外接球是同一个,故长方体的对角线就是球的直径.设长方体的三边为a,b,c,则由题意得ab=,ac=,bc=.解得a=,b=,c=1.所以球的直径为.所以球的半径为.所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为π×π.答案:π专题1利用空间向量证明平行、垂直■(2015辽宁丹东二模,利用空间向量证明平行、垂直,解答题,理19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1=B1B=BA=BC,∠B1BC=90°,D为AC的中点,AB⊥B1D.(1)求证:平面ABC⊥平面ABB1A1;(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值.解:(1)取AB的中点为O,连接OD,OB1.∵B1B=B1A,∴OB1⊥AB.又AB⊥B1D,OB1与B1D交于点B1,∴AB⊥平面B1OD,∵OD⊂平面B1OD,∴AB⊥OD.由已知,BC⊥BB1,又OD∥BC,∴OD⊥BB1.∵AB与BB1交于点B,∴OD⊥平面ABB1A1,又OD⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABB1A1.(2)由(1)知,OB,OD,OB1两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的方向,||为单位长度1,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, 由题设知B1(0,0,),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2,),则=(0,1,-),=(2,2,0),=(-1,0,),设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,即x+y=0,-x+z=0,可取n=(,-,1),|cos<,n>|=,则直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值是.专题2利用空间向量解决探索性问题■(2015辽宁锦州一模,利用空间向量解决探索性问题,解答题,理18)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1.(1)求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值;(2)在线段AC上找一点P,使所成的角为60°,试确定点P的位置.解:(1)以为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,则E(0,0,1),D(,0,0),B(0,,0),A(,0),F(,1), 因为AC⊥BD,AF⊥BD,所以是平面ACEF的法向量.又因为=(-,0),=(0,,1),所以cos<>=.故直线DF与平面ACEF所成角正弦值为.(2)设P(a,a,0)(0≤a≤),则=(-a,-a,1),=(0,,0).因为<>=60°,所以cos60°=.解得a=,故存在满足条件的点P为AC的中点.专题3利用空间向量求空间角■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M 是棱PB中点.(1)求证:AM∥平面PCD;(2)设点N是线段CD上一动点,且DN=λDC,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值. (1)证明:以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1).∴=(0,1,1),=(1,0,-2),=(-1,-2,0).设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则令z=1,则x=2,y=-1,于是n=(2,-1,1).∵·n=0,∴⊥n.∴AM∥平面PCD.(2)解:由点N是线段CD上的一点,可设=λ=λ(1,2,0).=(1,0,0)+λ(1,2,0)=(1+λ,2λ,0),=(1+λ,2λ,0)-(0,1,1)=(1+λ,2λ-1,-1).又面PAB的法向量为m=(1,0,0),设MN与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=.∴当时,即5=3+3λ,λ=时,sinθ最大,∴MN与平面PAB所成的角最大时,λ=.■(2015江西南昌三模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,四边形ABCD是正方形,PD⊥面ABCD,PD∥AQ,且AQ=AB=PD,M为PC中点.(1)求证:PD⊥QM;(2)求二面角B-PQ-A大小的余弦值.解法一:(1)取PD中点N,连接MN,QN,则MN∥CD,QN∥AD.又PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD,于是PD⊥MN,PD⊥QN,又MN∩QN=N,MN⊂面MNQ,QN⊂面MNQ,所以PD⊥面MNQ,由QM⊂面MNQ,得PD⊥QM.(2)延长PQ,DA交于E,过A作AF⊥EQ交EQ于F,连接BF,则易证∠AFB为二面角B-PQ-A的平面角,不妨取AD=1,则由已知可得AF=,于是BF=, 所以cos∠AFB=.解法二:(1)过M作MN∥PD交CD于N,则易得四边形ANMQ为平行四边形,∴AN∥QM.又面ABCD,AN⊂面ABCD,PD⊥AN,∴PD⊥QM.(2)同法一解法三:(1)由题意可知,DA,DP,DC两两互相垂直,以点D为原点,DA,DP,DC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨取AD=1,则A(1,0,0),B(1,0,1),C(0,0,1),D(0,0,0),P(0,2,0),Q(1,1,0),∴M,得=(0,-2,0),由=-1×0+0×(-2)+×0=0,∴PD⊥QM.(2)由(1)知=(1,-2,1),=(1,-1,0),设面PQB的法向量为n=(x,y,z),由取n=(1,1,1),又面PAQ的法向量为=(0,0,1),设二面角B-PQ-A的大小为α,则cosα=.■(2015河北保定二模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD=CD=2AB=2,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,E为PC的中点,且DE=EC.(1)求证:PA⊥面ABCD;(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈,求a的取值范围.(1)证明:∵E为PC的中点,DE=EC=PE,∴PD⊥DC.∵CD⊥AD,PD∩AD=D,∴CD⊥平面PAD.∵PA⊂平面PAD,∴CD⊥PA.∵PA⊥AD,AD∩CD=D,∴PA⊥面ABCD.(2)解:以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间坐标系,如图所示.B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E.可得平面BCD法向量n1=(0,0,1),平面EBD法向量n2=(2a,a,-2).cosθ=,可得a∈.■(2015河北邯郸二模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在等腰梯形CDFE中,A,B分别为底边DF,CE的中点.AD=2AB=2BC=2.沿AE将△AEF折起,使二面角F-AE-C为直二面角,连接CF,DF.(1)证明:平面ACF⊥平面AEF;(2)求平面AEF与平面CDF所成二面角的余弦值.(1)证明:在等腰梯形CDFE中,由已知条件可得,CD=AC=AE=EF=,AF=AD=2,所以AE2+EF2=AF2,∴EF⊥EA.同理可证,EF⊥AC.在四棱锥F-AECD中,∵二面角F-AE-C为直二面角,∴平面AEF⊥平面AECD.又EF⊥EA,∴EF⊥平面AECD.∵AC⊂平面AECD,∴AC⊥EF.又∵AC⊥AE,∴AC⊥平面AEF.∴平面ACF⊥平面AEF.(2)解:以E为原点,EC所在直线为x轴,EF所在直线为z轴建立如图所示的坐标系,则A(1,1,0),C(2,0,0),D(3,1,0),F(0,0,).=(1,-1,0),=(1,1,0),=(-2,0,).显然,=(1,-1,0)为平面AEF的法向量,设平面FCD的法向量n=(x,y,z),则所以n的一个取值为(1,-1,).故平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值为.■(2015河北衡水中学高三一调,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E为BC的中点,AA1⊥平面ABCD.(1)证明:平面A1AE⊥平面A1DE;(2)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值;(3)在(2)的条件下,试求二面角C-A1D-E的余弦值.解:(1)依题意,BE=EC=BC=AB=CD,∴△ABE是正三角形,∠AEB=60°.又∵△CDE中,∠CED=∠CDE=(180°-∠ECD)=30°,∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=90°,即DE⊥AE.∵AA1⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD,∴DE⊥AA1.∵AA1∩AE=A,∴DE⊥平面A1AE.∵DE⊂平面A1DE,∴平面A1AE⊥平面A1DE.(2)如图1,取BB1的中点M,连接EM,AM,B1C.图1∵△BB1C中,EM是中位线,∴EM∥B1C.∵A1B1∥AB∥CD,A1B1=AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,可得B1C∥A1D.∴EM∥A1D.可得∠AEM(或其补角)是异面直线AE与A1D所成的角.∵△CDE中,DE=CD==A1E=,AE=AB=1,∴A1A=.由此可得BM=,AM=EM=.∴cos∠AEM=,即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为.(3)如图2,取BE的中点F,以A为原点,AF所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,AA1=,则A(0,0,0),D(0,2,0),C,A1(0,0,).又=(0,2,-).图2设平面CA1D的法向量n1=(x,y,z),则得n1=(1,).同理可得平面A1DE的一个法向量为n2=(,1,).设二面角C-A1D-E的平面角为θ,且θ为锐角,则cosθ=|cos<n2,n1>|=.所以二面角C-A1D-E的余弦值为.■(2015辽宁丹东二模,利用空间向量求空间角,选择题,理10)如图,正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C,则二面角A-CD-B的余弦值是()A.B.C.D.解析:∵正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角,∴平面ABD⊥平面BCD.连接A1C,与BD相交于O,连接AO,则AO⊥BD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD,则OC,OA,OD两两互相垂直.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz.设正方形的棱长为1,则O(0,0,0),A,C,B,D是平面BCD的一个法向量..设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则即令x=1,则y=-1,z=1,解得n=(1,-1,1).从而|cos<n,>|=.二面角A-BC-D的余弦值为.11答案:B■(2015辽宁丹东一模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,侧棱长为,D为A1C1中点.(1)求证:BC1∥平面AB1D;(2)求二面角A1-AB1-D的大小.解:(1)连接A1B,与AB1交于E,则E为A1B的中点.∵D为A1C1的中点,∴DE为△A1BC1的中位线.∴BC1∥DE.又DE⊂平面AB1D,BC1⊄平面AB1D,∴BC1∥平面AB1D.(2)过D作DF⊥A1B1于F,由正三棱柱的性质可知,DF⊥平面AB1.连接EF,DE,在正△A1B1C1中,可知,B1D=A1B1=.在直角三角形AA1D中,∵AD=,∴AD=B1D.∴DE⊥AB1.又DF⊥AB1,∴AB1⊥平面DEF,∴EF⊥AB1.则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角,可得DF=.∵△B1FE∽△B1AA1,∴,则EF=.∴∠DEF=.故所求二面角A1-AB1-D的大小为.■(2015辽宁葫芦岛二模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)13如图,在多面体ABCDEF 中,BA ⊥BE ,BA ⊥BC ,BE ⊥BC ,AB ∥EF ,CD ∥BE ,AB=BE=2,BC=CD=EF=1,G 在线段AB 上,且BG=3GA. (1)求证:CG ∥平面ADF ;(2)求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值; (3)求锐二面角B-DF-A 的余弦值.(1)证明:分别取AB ,AF 中点M ,H ,连接FM ,GH ,DH ,则有AG=GM ,MF ∥BE.∵AH=HF ,∴GH MF. 又∵CD BE ,BE MF , ∴CD GH.∴四边形CDHG 是平行四边形, ∴CG ∥DH.又CG ⊄平面ADF ,DH ⊂平面ADF , ∴CG ∥平面ADF. (2)解:如图,以B 为原点,分别以BC ,BE ,BA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则A (0,0,2),C (1,0,0),D (1,1,0),E (0,2,0),F (0,2,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,2),=(0,-2,1). 设平面ADF 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则有n ·=-x-y+2z=0且n ·=-2y+z=0, 解得x=3y ,z=2y. 令y=1,得n =(3,1,2).设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ,则有sin θ=. 所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为. (3)解:由已知平面ADF 的法向量n =(3,1,2),=(0,2,1),设平面BDF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),=(1,1,0), 由m ·=2y+z=0且m ·=x+y=0, 解得z=-2y ,x=-y.令y=-1,得m =(1,-1,2),设锐二面角B-DF-A 的平面角为α, 则cos α=|cos <m ,n >|=.所以锐二面角B-DF-A 的余弦值为.■(2015辽宁锦州二模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D ,E 分别是BC 和CC 1的中点,已知AB=AC=AA 1=4,∠BAC=90°. (1)求证:B 1D ⊥平面AED ;(2)求二面角B 1-AE-D 的余弦值; (3)求三棱锥A-B 1DE 的体积.(1)证明:以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴,AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由已知得B 1(4,0,4),C (0,4,0),B (4,0,0),D (2,2,0),A (0,0,0),E (0,4,2), =(-2,2,-4),=(0,4,2),=(2,2,0).设平面AED 的法向量n =(x ,y ,z),则取x=1,得n=(1,-1,2).∴∥n,∴B1D⊥平面AED.(2)解:=(4,0,4).设平面B1AE的法向量m=(a,b,c),取a=2,得m=(2,1,-2),又平面AED的法向量n=(1,-1,2),∴|cos<n,m>|=,∴二面角B1-AE-D的余弦值为. (3)解:∵B1D⊥平面AED,∴B1D×DE==6.A到平面B1DE的距离AD==2,∴三棱锥A-B1DE的体积:V=×AD=8.。