2018年高中理科数学优化设计第一轮复习8.5

考点规范练63二项分布与正态分布基础巩固1.(2016湖北武昌区调考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为,则p=()A. B. C. D.2.已知随机变量X服从正态分布N(2,32),且P(X≤1)=0.30,则P(2<X<3)等于()A.0.20B.0.50C.0.70D.0.803.在投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3124.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它被甲击中的概率为() A.0.45 B.0.6C.0.65D.0.755.(2016河北衡水模拟)甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则p值为()A. B. C. D.6.一袋中有5个白球,3个红球,这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于()A. B.C. D.7.甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为()A. B. C. D.8.(2016湖南永州二模)大学生甲、乙两人独立地参加论文答辩,他们的导师根据他们的论文质量估计他们都能过关的概率为,甲过而乙没过的概率为(导师不参与自己学生的论文答辩),则导师估计乙能过关的概率为.9.(2016河北唐山一模)1 000名考生的某次成绩近似服从正态分布N(530,502),则成绩在630分以上的考生人数约为.(注:正态分布N(μ,σ2)在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为0.682 7,0.954 5,0.997 3)10.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少?(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.11.某袋子中有1个白球和2个红球,这些球除颜色外完全相同.(1)每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球次数X的分布列;(2)每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次,求取球次数X的分布列;(3)每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X的分布列.能力提升12.(2016天津河西一模)在盒子里有大小相同,仅颜色不同的球共10个,其中红球4个,白球3个,蓝球3个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里,再取下一个球.重复以上操作,最多取3次,过程中如果取出蓝球则不再取球.求:(1)最多取两次就结束的概率;(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率;(3)设取球的次数为随机变量X,求X的分布列和均值.〚导学号37270395〛13.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?14.(2016山东,理19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,若两人都猜对,则“星队”得3分;若只有一人猜对,则“星队”得1分;若两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值E(X).〚导学号37270396〛高考预测15.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.参考答案考点规范练63二项分布与正态分布1.B解析由题意,得(1-p)+p=,故p=,故选B.2.A解析因为该正态密度曲线的对称轴方程为x=2,∴P(X≥3)=P(X≤1)=0.30,∴P(1<X<3)=1-P(X≥3)-P(X≤1)=1-2×0.30=0.40,∴P(2<X<3)=P(1<X<3)=0.20.3.A解析由题意知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次就算通过测试.故所求的概率为0.62(1-0.6)+0.63=0.648.4.D解析设目标被击中为事件B,目标被甲击中为事件A,则由P(B)=0.6×0.5+0.4×0.5+0.6×0.5=0.8,得P(A|B)==0.75.5.C解析设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中目标”为事件“乙射击一次,未击中目标”为事件,则P(A)=,P()=1-,P(B)=p,P()=1-p,依题意得(1-p)+p=,解得p=故选C.6.D解析由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,由于每次取到红球的概率为,所以P(X=12)=7.A解析设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P()=P(·P(·P(=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=---∴击中的概率为1-P()=解得p=,q=8解析设导师估计甲、乙能过关的概率分别为p,q,则-故导师估计乙能过关的概率为9.23解析由题意可知μ=530,σ=50,在区间(430,630)的概率为0.954 5,故成绩在630分-0.023,因此成绩在630分以上的考生人数约为1 000×0.023=23.以上的概率为10.解记“机器甲需要照顾”为事件A,“机器乙需要照顾”为事件B,“机器丙需要照顾”为事件C.由题意,各台机器是否需要照顾相互之间没有影响,因此,A,B,C是相互独立事件.(1)由已知得P(AB)=P(A)·P(B)=0.05,P(AC)=P(A)·P(C)=0.1,P(BC)=P(B)·P(C)=0.125.解得P(A)=0.2,P(B)=0.25,P(C)=0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.(2)记A的对立事件为B的对立事件为,C的对立事件为则P(=0.8,P(=0.75,P()=0.5,于是P(A∪B∪C)=1-P()=1-P(·P(·P(=0.7.所以这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.11.解(1)由题意可知X的取值为1,2,3.P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=1=所以X的分布列是(2)由题意可知X的取值为1,2,3,4,5.P(X=k)=-,k=1,2,3,4.P(X=5)=故X的分布列为(3)因为X~B,所以X的分布列为P(X=k)=-,其中k=0,1,2,3,4,5.12.解(1)设取球的次数为ξ,则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,所以最多取两次就结束的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=(2)由题意可知,可以如下取球方式:红白白,白红白,白白红,白白蓝,故恰好取到2个白球的概率为3+(3)随机变量X的取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,随机变量X的分布列为X的均值E(X)=1+2+313.解(1)X可能的取值为:10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=-,P(X=20)=-,P(X=100)=-,P(X=-200)=-所以X的分布列为(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是14.解(1)记事件A为“甲第一轮猜对”,记事件B为“乙第一轮猜对”,记事件C为“甲第二轮猜对”,记事件D为“乙第二轮猜对”,记事件E为“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+BCD+A CD+AB D+ABC由事件的独立性与互斥性,P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P( )P(B)·P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)·P(B)P(P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=+2所以“星队”至少猜对3个成语的概率为(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=,P(X=1)=2,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=2,P(X=6)=可得随机变量X的分布列为所以均值E(X)=0+1+2+3+4+615.解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A k表示“第k局甲获胜”,B k表示“第k 局乙获胜”,则P(A k)=,P(B k)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)·P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=故X的分布列为。

单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a6=15,S9=99,则等差数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.公比为的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.73.(2016河北衡水中学考前仿真二)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1>0,且,当S n取最大值时,n的值为()A.9B.10C.11D.124.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.365.(2016陕西汉中市质检二)设S n是数列{a n}的前n项和,当n≥2时,点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,且{a n}的首项a1是二次函数y=x2-2x+3的最小值,则S9的值为()A.6B.7C.36D.32 〚导学号37270578〛6.(2016河北保定一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数,则f(a11)=()列{a n}满足a1=,且a n+1=-A.2B.-2C.6D.-6 〚导学号37270579〛二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2016河北唐山一模)已知S n为等比数列{a n}的前n项和,且S n=2a n-1,则数列{a n}的公比q=.8.已知等比数列{a n}满足a2+8a5=0,设S n是数列的前n项和,则=.〚导学号37270580〛三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2016河南郑州一模)已知数列{a n}的首项为a1=1,其前n项和为S n,且数列是公差为2的等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n,求数列{b n}的前n项和T n.10.(15分)(2016河南八市重点高中4月质检)数列{a n}满足a n=6-(n∈N*,n≥2).-是等差数列;(1)求证:数列-(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.〚导学号37270581〛参考答案单元质检六数列(A)1.B解析∵{a n}是等差数列,a6=15,S9=99,∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.2.B解析由等比中项的性质得a3a11==16,又数列{a n}各项为正,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.B解析不妨设a6=9t,则a5=11t,故公差d=-2t,其中t>0.因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,S n取最大值,故选B.4.D解析由3a1-+3a15=0得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0,因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.5.C解析由点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,得2a n=2a n-1+1,a n-a n-1=,故数列{a n}是公差为的等差数列.由函数y=x2-2x+3的最小值为2,得a1=2,故S9=9×2+×9×8×=36.6.C解析设x>0,则-x<0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由a1=,且a n+1=-,得a2=--=2,a3=--=-1,a4=---.……所以数列{a n}是以3为周期的周期数列,即a11=a3×3+2=a2=2.所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.7.2解析∵S n=2a n-1,∴a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得a1=1,a2=2.∴等比数列{a n}的公比q=2.8.-11解析由a2+8a5=0得a1q+8a1q4=0,解得q=-.易知是等比数列,公比为-2,首项为,所以S2=----=-,S5=----,所以=-11.9.解(1)∵数列是公差为2的等差数列,且=a1=1,∴=1+(n-1)×2=2n-1.∴S n=2n2-n.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.又a1符合a n=4n-3,∴a n=4n-3.(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n·(4n-3).当n为偶数时,T n=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;当n为奇数时,n+1为偶数T n=T n+1-b n+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上,T n=∈--∈10.(1)证明∵------------(n≥2),∴数列-是等差数列.(2)解∵-是等差数列,且-,d=.∴--(n-1)=.∴a n=.∴lg a n=lg(n+1)-lg n+lg 3.设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 1 000-lg 999)=999lg 3+lg 1 000=3+999lg 3.11.解(1)由已知,当n≥1时,a n+1=[(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=22n-1.(2)由b n=na n=n·22n-1知S n=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①从而22·S n=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②①-②,得(1-22)S n=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即S n=[(3n-1)22n+1+2].。

第七章不等式推理与证明(组)与简单的线性规划问题专题1二元一次不等式(组)表示的平面区域问题■(2015甘肃省兰州一中三模,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题,理16)关于x的不等式<2-ax有唯一整数解x=1,则的取值范围是.解析:∵<2-ax⇔x2+ax+2b<0,∴函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴在[0,1)和(1,2]内各有一个交点.∴作出可行域,如图所示:∵为可行域内的点(a,b)与定点P(1,2)的连线的斜率,由图可知,k PA<<k PB,其中点A(-3,1),B(-1,0),∴k PA=,k PB=1,故的取值范围是.故答案为.答案:■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题,理8)在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为()A.2B.C.D.2解析:画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分,由题意M(2,3),N,P(0,-1),Q(0,1)不等式组所表示的平面区域的面积为:×2×2+×2×.故选B.答案:B专题2与目标函数有关的最值问题■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,与目标函数有关的最值问题,填空题,理15)设实数x,y满足向量a=(2x-y,m),b=(-1,1),若a∥b,则实数m的最小值为.解析:∵向量a=(2x-y,m),b=(-1,1),若a∥b,∴,即m=-2x+y,由m=-2x+y,得y=2x+m,作出不等式对应的可行域(阴影部分),平移直线y=2x+m,由平移可知当直线y=2x+m经过点B时,直线y=2x+m的截距最小,此时m取得最小值,由解得即B(2,2).将B(2,2)坐标代入m=-2x+y得z=-4+2=-2,即目标函数m=-2x+y的最小值为-2.故答案为-2.答案:-2■(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,与目标函数有关的最值问题,选择题,理7)若实数x,y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是()A.10B.11C.13D.14解析:由约束条件作出可行域如图,当x≥0时,z=|x|+2y化为y=-x+z,表示的是斜率为-,截距为的平行直线系,当过点B(1,5)时,直线在y轴上的截距最大,z最大,z max=1+2×5=11;当x<0时,z=|x|+2y化为y=x+,表示斜率为,截距为的平行直线系,当直线过点C(-4,5)时,直线在y轴上的截距最大,z最大,z max=4+2×5=14.∴z=|x|+2y的最大值是14.故选D.答案:D专题1利用基本不等式求最值■(2015河南省六市高考数学二模,利用基本不等式求最值,解答题,理24)设函数f(x)=+|x|(x∈R)的最小值为a.(1)求a;(2)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求的最小值.解:(1)f(x)=∴当x<-2时,f(x)>f(-2)=2;当-2≤x≤0时,f(x)≥f(0)=1;当x>0时,f(x)>f(0)=1.综上可得:函数f(x)的最小值为1,∴a=1.(2)由(1)可知:m2+n2=1,∴1≥2mn,∴mn≤.∵m,n>0,∴≥2≥2,当且仅当m=n=时取等号.∴的最小值为2.■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,利用基本不等式求最值,填空题,理16)如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=,且≥8恒成立,则正实数a的最小值为.解析:∵PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,∴V P-ABC=×3×2×1=1=+x+y,即x+y=,则2x+2y=1.(2x+2y)=2+2a+≥2+2a+4≥8,解得a≥1,∴正实数a的最小值为1.故答案为1.答案:1专题1综合法■(2015河南省六市高考数学二模,综合法,填空题,理15)已知数列{a n}的首项为a1=1,a2=3,且满足对任意的n∈N*,都有a n+1-a n≤2n,a n+2-a n≥3×2n成立,则a2 015=.解析:∵a n+1-a n≤2n,∴-a n+1+a n≥-2n,又a n+2-a n≥3×2n,∴a n+2-a n+1=a n+2-a n-a n+1+a n≥3×2n-2n=2n+1,∴a n+1-a n≥2n,又a n+1-a n≤2n,∴a n+1-a n=2n,∴a2015=a2015-a2014+a2014-a2013+…+a3-a2+a2-a1+a1=22014+22013+…+22+2+1==22015-1,故答案为22015-1.答案:22 015-1。

考点规范练50双曲线基础巩固1.(2016吉林白山三模)当双曲线x 2m+8−y26-2m=1的焦距取得最小值时,其渐近线的斜率为()A.±1B.±23C.±13D.±122.(2016河南信阳、三门峡一模)若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,一条渐近线的方程为y=2e-1x,则e=()A.2B.3C.2D.63.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()A.x 221−y228=1 B.x228−y221=1C.x 23−y24=1 D.x24−y23=14.已知F1,F2是双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是() A.2 B.3 C.2 D.55.设F1,F2分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=94ab,则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D.3 〚导学号37270497〛6.(2016河南焦作二模)已知双曲线x 2a2−y2b2=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为()A.32B.2C.3D.4 〚导学号37270498〛7.(2016河北南宫一中三模)若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14,则该双曲线的离心率为.8.(2016山东,理13)已知双曲线E:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.9.设A,B分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=t OD,求t的值及点D的坐标.〚导学号37270499〛10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA·OB的最小值.〚导学号37270500〛能力提升11.(2016浙江,理7)已知椭圆C1:x 2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m>n,且e1e2>1B.m>n,且e1e2<1C.m<n,且e1e2>1D.m<n,且e1e2<1 〚导学号37270501〛12.(2016东北三省四市二模)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.52B.5C.2D.2 〚导学号37270502〛13.若点P在曲线C1:x 216−y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.〚导学号37270503〛14.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为2,求实数k的值.〚导学号37270504〛15.如图,O为坐标原点,双曲线C1:x 2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:y2a22+x2b22=1(a2>b2>0)均过点P233,1,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|?证明你的结论.〚导学号37270505〛高考预测16.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,试在“8”字形曲线上求点P,使得∠F1PF2是直角.〚导学号37270506〛参考答案考点规范练50 双曲线1.B 解析由题意可得6-2m>0,即m<3.由c 2=m 2+8+6-2m=(m-1)2+13,可得当m=1时,焦距2c 取得最小值,此时双曲线的方程为x 29−y 24=1.故渐近线方程为y=±23x , 即其渐近线的斜率为±23. 2.C 解析因为e=c ,双曲线x 22−y 2b2=1的渐近线方程为y=±bx ,所以 2e -1=ba .又b= c 2-a 2,所以 2e -1= c 2-a2a 2= e 2-1,即为e 2=2e ,解得e=2(e=0舍去). 3.D解析因为双曲线x 22−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b x ,所以2b= 3.① 又因为抛物线y 2=4 7x 的准线为x=- 7,所以c=2+b 2= 7. ②由①②,得a 2=4,b 2=3.故所求双曲线的方程为x 24−y 23=1.4.D 解析不妨设点P 位于第一象限,F 1为左焦点,|PF 2|=m-d ,|PF 1|=m ,|F 1F 2|=m+d ,其中m>d>0,则有(m-d )2+m 2=(m+d )2,解得m=4d ,故双曲线的离心率e=|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=5.5.B 解析由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,又|PF 1|+|PF 2|=3b ,所以(|PF 1|+|PF 2|)2-(|PF 1|-|PF 2|)2=9b 2-4a 2, 即4|PF 1|·|PF 2|=9b 2-4a 2, 又4|PF 1|·|PF 2|=9ab , 因此9b 2-4a 2=9ab ,即9 b a 2−9ba -4=0,则 3ba +1 3ba -4 =0,解得b a=43 b a=-13舍去 ,则双曲线的离心率e= 1+ ba2=53.6.B解析因为双曲线x 2a 2−y 2b2=1的一个焦点为F (2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x-2)2+y 2=1相切,所以圆心为F (2,0),半径R=1. 所以c-a=1,即a=1,所以双曲线的离心率e=ca =2.7.2 33 解析因为双曲线的一条渐近线方程为y=ba x ,即为bx-ay=0,一个焦点为(c ,0),所以焦点到渐近线的距离为a 2+b=b=1×2c=1c ,所以c 2=a 2+b 2=a 2+1c 2,得c =2 3. 8.2 解析由双曲线和矩形的对称性可知AB ⊥x 轴,设点A 的横坐标为c ,则由c 2a 2−y 2b2=1,解得y=±b 2a .不妨设A c ,b 2 ,B c ,-b 2 ,则|AB|=2b 2,|BC|=2c ,由2|AB|=3|BC|,c 2=a 2+b 2得离心率e=2或e=-1(舍去),所以离心率为2. 9.解(1)由题意知a=2 3,故可得一条渐近线方程为y=23x ,即bx-2 3y=0,所以b +12= 3.所以b 2=3,所以双曲线的方程为x 2−y 2=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),D (x 0,y 0),则x 1+x 2=tx 0,y 1+y 2=ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得x 2-16 3x+84=0, 则x 1+x 2=16 3,y 1+y 2=12.故 x 00=4 3,x 02-y 02=1,解得 x 0=4 3,y 0=3. 由OM +ON =t OD,得(16 3,12)=(4 3t ,3t ),故t=4,点D 的坐标为(4 3,3). 10.解(1)由|PM|-|PN|=2 2知动点P 的轨迹是以M ,N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长a= 2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b= c 2-a 2= 2. 所以W 的方程为x 22−y 22=1(x ≥ .(2)设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).当AB ⊥x 轴时,x 1=x 2,y 1=-y 2,从而OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=x 12−y 12=2.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y=kx+m (k ≠±1),与W 的方程联立,消去y 得(1-k 2)x 2-2kmx-m 2-2=0,则x 1+x 2=2km 1-k2,x 1x 2=m 2+2k 2-1,所以OA ·OB=x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m ) =(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(m 2+2)k 2-1+2k 2m 21-k2+m 2=2k 2+2k 2-1=2+4k 2-1.又因为x 1x 2>0,所以k 2-1>0.所以OA ·OB>2. 综上所述,当AB ⊥x 轴时,OA ·OB取得最小值2. 11.A 解析∵椭圆与双曲线的焦点重合,∴m 2-1=n 2+1. ∴m 2-n 2=2,∴m>n.∵e 1= 1-1m 2,e 2= 1+1n 2, ∴e 1e 2= 1-1m 2 1+1n 2= 1+1n 2-1m 2-1m 2n 2= 1+m 2-n 2-1m 2n 2= 1+1m 2n 2>1.故选A .12.C 解析设F (c ,0),渐近线方程为y=b a x ,可得点F 到渐近线的距离为 a 2+b=b ,即有圆F 的半径为b.令x=c ,可得y=±b c 2a 2-1=±b 2a .由题意可得b2a =b ,即a=b ,则c= a 2+b 2= 2a. 即离心率e=ca = 2.13.10 解析依题意得,点F 1(-5,0),F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点,因此有|PQ|-|PR|≤|(|PF 2|+1)-(|PF 1|-1)|≤||PF 2|-|PF 1||+2=2×4+2=10,故|PQ|-|PR|的最大值是10. 14.解(1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点,则方程组 x 2-y 2=1,y =kx -1有两个不同的实数根,整理得(1-k 2)x 2+2kx-2=0.故 1-k 2≠0,Δ=4k 2+8(1-k 2)>0, 解得- 2<k< 2,且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时,k 的取值范围是(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 与y 轴交于点D (0,-1), 由(1)知,C 与l 联立的方程组可化简为(1-k 2)x 2+2kx-2=0. 故 x 1+x 2=-2k 1-k 2,x 1x 2=-21-k 2.当A ,B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时,S △OAB =S △OAD -S △OBD =1(|x 1|-|x 2|)=1|x 1-x 2|; 当A ,B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时, S △OAB =S △ODA +S △OBD =1(|x 1|+|x 2|)=1|x 1-x 2|. 故S △OAB =1|x 1-x 2|= 2,即(x 1-x 2)2=(2 2)2, 即-2k1-k2 2+81-k2=8,解得k=0或k=± 6. 又- 2<k< 2,且k ≠±1,所以当k=0或k=± 6时,△AOB 的面积为15.解(1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2.从而a 1=1,c 2=1.因为点P 2 3,1 在双曲线x 2-y2b 12=1上,所以 2 32−1b 12=1.故b 12=3. 由椭圆的定义知2a 2= 2 332+(1-1)2+ 2 332+(1+1)2=2 3.于是a 2= 3,b 22=a 22−c 22=2.故C 1,C 2的方程分别为x2-y 23=1,y 23+x 22=1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为x= 2或x=- 2.当x= 2时,易知A ( 2, 3),B ( 2,- 3),所以|OA +OB |=2 2,|AB |=2 3.此时,|OA +OB |≠|AB |.当x=- 2时,同理可知,|OA +OB |≠|AB |.②若直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y=kx+m.由 y =kx +m ,x 2-y 23=1 得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0.当l 与C 1相交于A ,B 两点时, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根, 从而x 1+x 2=2km 3-k2,x 1x 2=m 2+3k 2-3.于是y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3k 2-3m 2k 2-3.由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此OA·OB=x1x2+y1y2=m 2+3k2-3+3k2-3m2k2-3=-k2-3k2-3≠0,于是OA2+OB2+2OA·OB≠OA2+OB2-2OA·OB,即|OA+OB|2≠|OA−OB|2,故|OA+OB|≠|AB|.综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.16.解(1)上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为2 2.则下半圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为2 2.双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即a=2.由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点,则令y=2,解得x=±2 2.即交点为(±22,2).设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则82−4b2=1,且a=2,解得b=2.则双曲线的标准方程为x24−y24=1.(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-22,0),F2(22,0).若∠F1PF2是直角,则设P(x,y),则有x2+y2=8.由x2+y2=8,x2-y2=4,解得x2=6,y2=2.由x2+y2=8,x2+(y±2)2=8,解得y=∓1,不满足题意,舍去.故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为(6,2),(-6,2),(-6,-2),(6,-2).11。

第五节椭圆1．椭圆的标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．2．椭圆的几何性质掌握椭圆的简单性质．知识点一椭圆的定义易误提醒当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．[自测练习]1．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为( )A．2 B．3C．5 D．7解析：∵a2＝25，∴2a＝10，∴由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝7.答案：D知识点二椭圆的标准方程和几何性质易误提醒注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．必记结论 (1)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是不相等的正常数，或设成x 2m 2＋y 2n2＝1(m 2≠n 2)的形式．(2)以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，注意以下公式的灵活运用：①|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；②4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ； ③S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ.[自测练习]2．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：因为焦点在x 轴上，所以0<m <2，所以a 2＝2，b 2＝m ，c 2＝a 2－b 2＝2－m .椭圆的离心率为e ＝12，所以e 2＝14＝c 2a 2＝2－m 2，解得m ＝32.答案：323．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点P 到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为13，则椭圆方程为________．解析：由题意得2a ＝6，故a ＝3.又离心率e ＝c a ＝13.所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝8，故椭圆方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝14．椭圆Γ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：依题意得∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，设|MF1|＝m，则有|MF2|＝3m，|F1F2|＝2m，该椭圆的离心率是e＝|F1F2||MF1|＋|MF2|＝3－1.答案：3－1考点一椭圆的定义及方程|1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.答案：D2.(2016·大庆模拟)如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )A.x225＋y25＝1 B.x236＋y216＝1C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 解析：设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F (－25，0)，得c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF 1|，知PF 1⊥PF . 在Rt △PF 1F 中，由勾股定理，得|PF 1|＝|F 1F |2－|PF |2＝52－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：B3．若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由题意得a ＝3，c ＝7，则|PF 2|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得 cos ∠F 2PF 1＝42＋22－722×4×2＝－12.又∵∠F 2PF 1∈(0，π)，∴∠F 2PF 1＝2π3.答案：C椭圆定义应用的两个方面一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．考点二 椭圆的几何性质|(1)(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9(2)如图，已知椭圆E 的左、右焦点分别为F1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23D.13[解析] (1)由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. (2)由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2.又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3.根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.[答案] (1)B (2)A求解直线与椭圆位置关系问题的常规思路(1)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．(2)求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式或不等式，从而求出e 的值或范围．离心率e 与a ，b的关系．e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2⇒ba＝1－e 2.1．如图，已知F1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22D.32解析：因为过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，所以可得∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c .因为|F 1F 2|＝2c ，所以可得|MF 1|＝3c .由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，可得离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：A考点三 直线与椭圆的位置关系|已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的一个焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．[解] (1)设F (c,0)，由题意k AF ＝2c ＝233，∴c ＝3，又∵离心率e ＝c a ＝32，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1， 故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx －2，联立直线与椭圆方程，得⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx －2，化简，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. ∵Δ＝16(4k 2－3)>0，∴k 2>34.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1·x 2＝121＋4k 2，∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·44k 2－31＋4k 2.坐标原点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1.S △OPQ ＝121＋k 2·44k 2－31＋4k 2·2k 2＋1＝44k 2－31＋4k 2.令t ＝4k 2－3(t >0)，则S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.∵t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4t，t ＝2时，等号成立，∴S △OPQ ≤1，故当t ＝2，即4k 2－3＝2，k ＝±7时，△OPQ 的面积最大，从而直线l 的方程为y ＝±72x －2.2．(2016·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，32，离心率为22，点F 1，F 2分别为其左、右焦点．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP→⊥OQ →？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，得c a ＝22，得b ＝c .因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－222a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1(a >b >0)，得c ＝1，所以a 2＝2，所以椭圆C 方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝r 2(0<r <1)．当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，x22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0.令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4bk1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2.∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴＋k 2b 2－1＋2k 2－4k 2b 21＋2k2＋b 2＝0，∴3b 2＝2k 2＋2. 此时Δ＝323k 2＋83>0恒成立．∵直线PQ 与圆相切，∴r 2＝b 21＋k 2＝23，∴存在圆x 2＋y 2＝23.当直线PQ 的斜率不存在时，也存在圆x 2＋y 2＝23满足题意．综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝23满足题意．26.几何法求解椭圆离心率范围问题【典例】 (2015·山西大学附中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[思维点拨] 利用对称性分|PF 1|＝|F 1F 2|，|PF 2|＝|F 1F 2|两种性质讨论，结合几何特征建立相关不等式求解．[解析] 6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称．不妨设P 在第一象限，|PF 1|>|PF 2|，当|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2c ，即2c >2a －2c ，解得e ＝c a >12.因为e <1，所以12<e <1.当|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ，即2a －2c>2c，且2c＋2c>2a－2c，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1，故选D.[答案] D[方法点评] 椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解．利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用．[跟踪练习] 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．解析：由asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，得ca＝sin∠PF2F1sin∠PF1F2.又由正弦定理得sin∠PF2F1sin∠PF1F2＝|PF1||PF2|，所以|PF1||PF2|＝ca，即|PF1|＝ca|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a2a＋c，|PF1|＝2aca＋c.因为|PF2|是△PF1F2的一边，所以有2c－2aca＋c<2a2a＋c<2c＋2aca＋c，即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0<e<1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．答案：(2－1,1)A组考点能力演练1．点F为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使得△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为( )A.22B.32C.3－12D.3－1解析：由题意，可设椭圆的焦点F 的坐标为(c,0)，因为△AOF 为正三角形，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 在椭圆上，代入得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，即e 2＋3e 21－e 2＝4，得e 2＝4－23，解得e ＝3－1，故选D.答案：D2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点为M (1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：D3．(2016·厦门模拟)椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的右焦点为F ，直线y ＝x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，若△FAB 周长的最大值是8，则m 的值等于( )A ．0B ．1 C. 3D ．2解析：设椭圆的左焦点为F ′，则△FAB 的周长为AF ＋BF ＋AB ≤AF ＋BF ＋AF ′＋BF ′＝4a ＝8，所以a ＝2，当直线AB 过焦点F ′(－1,0)时，△FAB 的周长取得最大值，所以0＝－1＋m ，所以m ＝1.故选B.答案：B4．已知F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，P 是该椭圆上的任意一点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．9B ．16C ．25D.252解析：设P (x ，y )，则|PF 1→|＝a －ex ，|PF 2→|＝a ＋ex ，∴|PF 1→|·|PF 2→|＝(a －ex )(a ＋ex )＝a 2－e 2x 2. 当x ＝0时，|PF 1→|·|PF 2→|取最大值a 2＝25. 答案：C5．已知F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析：设P (x ，y )，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→·PF 2→＝0，即(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2a 2－c 2＝c 2x 2a 2＋b 2－c 2＝0，∴x 2＝a 2c 2－b 2c 2≥0，∴c 2－b 2≥0，∴2c 2≥a 2，∴e ≥22.又∵e <1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.答案：B6．(2016·黄山质检)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________.解析：因为圆(x －2)2＋y 2＝1与x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以c ＝1，a＝3，e ＝c a ＝13.答案：137．(2015·泰安模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________．解析：设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·nm ＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝20，所以椭圆方程为x 220＋y 216＝1.答案：x 220＋y 216＝18．(2016·保定模拟)直线l 过椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，M 为弦PQ 的中点，O 为原点，若△FMO 是以线段OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为________．解析：因为△FMO 是以线段OF 为底边的等腰三角形，所以直线OM 与直线l 的斜率互为相反数．设直线l 的斜率为k ，则有k ·(－k )＝－12，解得k ＝±22.答案：±229.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝5|BF |，即a 2＋b 2＝5a,4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y2b2＝1，消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP→·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而－4b 217－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动点P 在直线x ＝－1上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l ⊥MN .证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1.又椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，所以a 2＝4，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)设P (－1，y 0)，y 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y －y 0＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y －y 0＝k x ＋，得(3＋4k 2)x 2＋(8ky 0＋8k 2)x ＋(4y 20＋8ky 0＋4k 2－12)＝0，所以x 1＋x 2＝－8ky 0＋8k 23＋4k 2.因为P 为MN 中点，所以x 1＋x 22＝－1，即－8ky 0＋8k 23＋4k 2＝－2，所以k ＝34y 0(y 0≠0)．因为直线l ⊥MN ，所以k l ＝－4y 03，所以直线l 的方程为y －y 0＝－4y 03·(x ＋1)，即y ＝－4y 03⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，显然直线l 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. ②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝－1， 此时直线l 为x 轴，也过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.综上所述，直线l 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析：设椭圆的左焦点为F 1，半焦距为c ，连接AF 1，BF 1，则四边形AF 1BF 为平行四边形，所以|AF 1|＋|BF 1|＝|AF |＋|BF |＝4.根据椭圆定义，有|AF 1|＋|AF |＋|BF 1|＋|BF |＝4a .所以8＝4a ，解得a ＝2.因为点M 到直线l ：3x －4y ＝0的距离不小于45，即4b 5≥45，b ≥1，所以b 2≥1，所以a 2－c 2≥1,4－c 2≥1，解得0<c ≤3，所以0<c a ≤32，所以椭圆的离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，32.故选A.答案：A2．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bc x的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设左焦点为F 1，由F 关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF ，不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2ca ＝k ＝2ab ＋c ，即c a ＝ab ＋c，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.答案：223．(2015·高考陕西卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)由题设知c a ＝2，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k 2，x 1x 2＝2kk －1＋2k 2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4kk －2kk －＝2k －2(k －1)＝2.4．(2015·高考天津卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )． 由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝3.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝c ＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝43，解得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立得⎩⎨⎧y ＝t x ＋，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 2x ＋2>2，解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.②当x ∈(－1,0) 时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.。

综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知x,y∈R,i是虚数单位,若2+x i与互为共轭复数,则(x+y i)2=()A.3iB.3+2iC.-2iD.2i2.若集合A={x|lo(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B=()A. B.- C.(0,2) D.3.(2016河南高考押题卷)设a=,b=,c=logπ,则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c4.根据下边程序框图,当输入x为2 017时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28(第4题图)(第5题图)5.(2016河南开封四模)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为()A.4B.4C.8D.86.若将函数f sin x-cos x的图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=()A.B.C.D.7.(2016河南开封四模)若椭圆+y2=1(m>1)与双曲线-y2=1(n>0)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是()A.3B.1C.D.8.(2016山西太原一模)已知变量x,y满足约束条件----若-,则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[0,1)C.[0,1]D.(0,1)9.(2016安徽合肥质检)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.若a=,S为△ABC的面积,则S+3cos B cos C的最大值为()A.3B.C.2D.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-211.(2016河南郑州二模)对∀α∈R,n∈[0,2],向量c=(2n+3cos α,n-3sin α)的长度不超过6的概率为()A. B. C. D.〚导学号37270682〛12.已知数列{a n}满足a1=15,-=2,则的最小值为()A.7B.2-1C.9D.〚导学号37270683〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016辽宁丹东高三二模)(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数等于.14.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则=.15.若函数f(x)=-在其定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是.〚导学号37270684〛16.(2016河南信阳、三门峡一模)已知e是自然对数的底数,实数a,b满足e b=2a-3,则|2a-b-1|的最小值为.〚导学号37270685〛三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)(2016湖南益阳一模)若数列{a n}满足:a1=,a2=2,3(a n+1-2a n+a n-1)=2.(1)证明:数列{a n+1-a n}是等差数列;(2)求使+…+成立的最小的正整数n.18.(12分)某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表:(1)求年推销金额y与工作年限x之间的相关系数;(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.参考数据:≈1.02;由检验水平0.01及n-2=3,查表得r0.01=0.959.参考公式:线性相关系数公式r=----;线性回归方程系数公式:x+,其中---.19.(12分)(2016河南开封四模)如图,已知在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若E是线段DB的中点,求AE与平面BDM所成角的正弦值.〚导学号37270686〛20.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若k AC·k BD=-.①求的最值;②求证:四边形ABCD的面积为定值.〚导学号37270687〛21.(12分)设函数f(x)=a e x(x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)若对∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数k的取值范围.〚导学号37270688〛请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求的取值范围.〚导学号37270689〛[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).(1)当a=1时,解不等式f(x)>8;(2)若不等式f(x)≥3在(-∞,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.〚导学号37270690〛参考答案综合测试卷1.D解析∵--=-,∴解得--∴(x+y i)2=(1+i)2=2i.2.A解析∵A={x|lo(2x+1)>-1}=-,B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},∴A∩B=,故选A.3.B解析设d=,由指数函数f(x)=与g(x)=的单调性知,a>d,b>,再由幂函数h(x)=的单调性知,d>b,故a>b>.又π>e,所以c<.所以c<b<a.故选B.4.B解析由程序框图可知,每运行一次,x的值减少2,当程序框图运行了1 009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.5.A解析根据三视图可得此棱锥的高为SO=4,底面为直角梯形,且CD=AB=2,AB∥CD,且ABCO为正方形,如图所示,故该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面为SCD,它的面积为CD·SO=×2×4=4,故选A.6.A解析f(x)=sin x-cos x=sin-,图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到y=sin--,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以--m=kπ,k∈Z,当k=-1时,m=.7.B解析设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长为2,双曲线的实轴长为2,由题意,得m-1=n+1,即m-n=2.不妨令P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2, ①由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2, ②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n),即有|PF1|·|PF2|=m-n=2,又|F1F2|=2-,可得|PF1|2+|PF2|2=4(m-1),|F1F2|2=4(m-1),即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则△F1PF2为直角三角形.即有△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=×2=1.8.C解析-表示区域内的点(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率k.作出约束条件所表示的平面区域如图所示.观察上图可知,当BC与y轴重合时,|k|≤k AC=;当BC向右移动时,|k|≤k AC<.综上可知,a∈[0,1].9.A解析由cos A=--=-,可知A=,又a=,故S=bc sin A=·a sin C=3sin B sin C.因此S+3cos B cos C=3sin B sin C+3cos B cos C=3cos(B-C), 于是当B=C时,S+3cos B cos C取得最大值3.10.C解析依题意知,f'(x)=3x2+a,则由此解得-所以2a+b=1.11.C解析由题意知|c|≤6,即(2n+3cos α)2+(n-3sin α)2≤36,整理得5n2+6n(2cos α-sin α)≤27,即6n cos(α+θ)≤27-5n2其中, 即当n=0时,不等式成立;当n≠0时,不等式等价于cos(α+θ)≤,要使cos(α+θ)≤恒成立, 则1≤,即5n2+6n-27≤0,解得-≤n≤.∵n∈[0,2],∴0<n≤.综上,0≤n≤.故所求的概率为--,故选C.12.D解析由题意知,a n+1-a n=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=2×2,……,a n-a n-1=2(n-1),将以上(n-1)个式子相加,得a n-a1=2(1+2+3+…+n-1)=--=n2-n,所以a n=n2-n+15,所以=n+-1,令g(x)=x+-1,则g'(x)=1--,当x∈[0,3]时,g'(x)<0,当x∈[4,+∞),g'(x)>0,g(3)=7,g(4)=,故最小值为.13.-10解析(y+x2-x)5的展开式的通项公式T r+1=y5-r(x2-x)r,令5-r=2,解得r=3.(x2-x)3的展开式的通项公式T k+1=(x2)3-k(-x)k=(-1)k x6-k,令6-k=3,解得k=3.故(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数为-=-10.14.-解析如图,作OC⊥AB于点C,|AB|=,在Rt△OAC中,因为AC=,OA=1,所以∠AOC=60°,则∠AOB=120°,所以=1×1×cos 120°=-.15.(16,+∞)解析当x≤0时,y=-x与y=3x的图象有一个交点,而f(x)在其定义域上只有一个零点,所以当x>0时,f(x)没有零点.当x>0时,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0得x=2,所以f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,f(x)在x=2处取得最小值f(2)=>0,解得a>16.16.3解析e是自然对数的底数,实数a,b满足e b=2a-3,可知2a-3>0,可得b=ln(2a-3),则|2a-b-1|=|2a-ln(2a-3)-1|,令2a-3=x,上式化为|x-ln x+2|.令y=x-ln x+2,可得y'=1-,由y'=0,可得x=1.当x∈(0,1)时,y'<0,函数y是减函数;当x>1时,y'>0,函数y是增函数;故当x=1时,y=x-ln x+2取得最小值3.因此|2a-b-1|的最小值为3.17.(1)证明由3(a n+1-2a n+a n-1)=2可得,a n+1-2a n+a n-1=,即(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=,故数列{a n+1-a n}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2)解由(1)知a n+1-a n=(n-1)=(n+1),于是累加求和得a n=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),故=3-,因此+…+=3-,可得n>5,故最小的正整数n为6.18.解(1)由(x i-)(y i-)=10,(x i-)2=20,(y i-)2=5.2,--≈0.98;可得r=--即年推销金额y与工作年限x之间的相关系数约为0.98.(2)由(1)知,r=0.98>0.959=r0.01,故可以认为年推销金额y与工作年限x之间具有较强的线性相关关系.设所求的线性回归方程为x+,--=0.5,=0.4.则-因此年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.5x+0.4.(3)由(2)可知,当x=11时,=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元).故可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.19.(1)证明∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,M为CD的中点,∴AM=BM=AD.∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM,∴BM⊥平面ADM.∵AD⊂平面ADM,∴AD⊥BM.(2)解过M作平面ABCM的垂线Mz,以M为原点,以MA,MB,Mz为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=1,则AM=BM=,M(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),D,E.∴-=(0,,0),.设平面BMD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得n=(-1,0,1).∴n·.∴cos<n,>=.∴AE与平面BDM所成角的正弦值为.20.解(1)由题意知e==1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆的标准方程为=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)∵k OA·k OB=-=-,∴=-.y1y2=-x1x2=--=--,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·-+km·-+m2=-, ∴---,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.①=x1x2+y1y2=----=2-,∴-2=2-4≤<2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,取最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,=2,∴的最大值为2.②证明:设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=|AB|·d=|x2-x1|·=-=---=--=2-=2,∴四边形=4S△AOB=8,即四边形ABCD的面积为定值.21.解(1)f'(x)=a e x(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.∴f'(0)=2a,g'(0)=b, ∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f'(x)=2e x(x+2),由f'(x)>0得x>-2,由f'(x)<0得x<-2,∴f(x)在(-2,+∞)内单调递增,在(-∞,-2)内单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.①当-3<t<-2时,f(x)在[t,-2]上单调递减,[-2,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2e t(t+1);∴f(x)min=-----(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,由题意当x≥-2,F(x)min≥0.∵∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k-2≥0,∴k≥1.F'(x)=2k e x(x+1)+2k e x-2x-4=2(x+2)(k e x-1).∵x≥-2,由F'(x)>0得e x>,∴x>ln;由F'(x)<0得x<ln.∴F(x)在-上单调递减,在内单调递增.①当ln<-2,即k>e2时,F(x)在[-2,+∞)内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2k e-2+2=(e2-k)<0,不满足F(x)min≥0.②当ln=-2,即k=e2时,由①知,F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0,满足F(x)min≥0.③当ln>-2,即1≤k<e2时,F(x)在-上单调递减,在内单调递增.F(x)min=F=ln k(2-ln k)>0,满足F(x)min≥0.综上所述,满足题意的k的取值范围为[1,e2].22.解(1)由题意,直线l的参数方程为(t为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1得,x2+y2-2x-4y+4=0,将y=ρsin θ,x=ρcos θ,ρ2=x2+y2代入得,ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cos α-sin α)t+=0,由Δ>0,得|2cos α-sin α|>1.故=4|2cos α-sin α|∈(4,4 ].23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,①当x≤-1时f(x)=2-x-2(x+1)=-3x,由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-;②-1<x≤2时,f(x)=2-x+2(x+1)=x+4,由f(x)>8,得x>4,∴此时不等式无解;③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x,由f(x)>8,得3x>8,解得x>.综上,不等式f(x)>3的解集为--.(2)∵a>0,∴-a<0<2,f(x)=|x-2|+2|x+a|=-----∴f(x)min=f(-a)=a+2,f(x)≥3,即a+2≥3,解得a≥1.。

考点规范练51抛物线基础巩固1.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-B.-C.D.3.(2016河南中原学术联盟仿真)过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于()A.2B.4C.6D.8 〚导学号37270370〛4.(2016河南商丘三模)已知抛物线y2=8x与双曲线-y2=1的一个交点为M,F为抛物线的焦点,若|MF|=5,则该双曲线的渐近线方程为()A.5x±3y=0B.3x±5y=0C.4x±5y=0D.5x±4y=05.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.126.(2016河北南宫一中三模)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A. B. C. D.7.(2016浙江,理9)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.〚导学号37270371〛9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.〚导学号37270372〛10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.〚导学号37270373〛能力提升11.设F为抛物线y2=6x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若=0,则||+||+||=()A.4B.6C.9D.12 〚导学号37270374〛12.(2016四川,理8)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.1 〚导学号37270375〛13.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=.14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.〚导学号37270376〛高考预测15.已知抛物线x2=2py(p>0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1>x2.(1)若直线AB的斜率为,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程;(2)若=λ,是否存在异于点P的点Q,使得对任意λ,都有⊥(-λ)?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.〚导学号37270377〛参考答案考点规范练51抛物线1.B解析由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为(1,0).2.B解析抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y=设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知-y0=1,y0=-3.D解析由题设知线段AB的中点到准线的距离为4.设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8.4.A解析由题意可知抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2.设M(m,n),则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=5,解得m=3.由n2=24,可得n=±2将M(3,±2)代入双曲线-y2=1,可得-24=1,解得a=,即有双曲线的渐近线方程为y=±x,即5x±3y=0.5.B解析∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),∴E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为=1(a>b>0),∴c=2.,∴a=4.∴b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.6.A解析因为抛物线的准线为x=-,所以1+=5,解得p=8,所以m=4.又双曲线的左顶点坐标为(-,0),所以,解得a=,故选A.7.9解析设点M坐标为(x M,y M).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知x M+1=10,即x M=9.8.2解析由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.解(1)由题意得直线AB的方程为y=2-,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4-2).又=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.10.解(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,则点P(x,y)满足--x=1(x>0),化简得y2=4x(x>0).(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m.由得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,于是-①②因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又<0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0, ③因为x=,所以不等式③可变形为+y1y2-+1<0,即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④将①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤因为对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式⑤对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,即3-2<m<3+2由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0,且m的取值范围是(3-2,3+2).11.C解析由题意得抛物线的焦点为F,准线方程为x=-设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).=0,∴点F是△ABC的重心,∴x1+x2+x3=由抛物线的定义可得|FA|=x1--=x1+,|FB|=x2--=x2+,|FC|=x3--=x3+,∴||+||+||=x1++x2++x3+=9.12.C解析设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),F,则-,,∴k OM=,当且仅当t=时等号成立.∴(k OM)max=,故选C.13.1+解析由正方形的定义可知BC=CD,结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点,所以|AD|=p=a,D,F,将点F的坐标代入抛物线的方程得b2=2p=a2+2ab,变形得-1=0,解得=1+或=1-舍去),所以=1+14.解(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=所以|PQ|=,|QF|=+x0=由题设得,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E-,|MN|=|y3-y4|=由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.15.解(1)由已知得p=2,直线和y轴交于点(0,2),则直线AB的方程为y-2=x,即x-2y+4=0.由-得A,B的坐标分别为(4,4),(-2,1).又x2=4y,可得y=x2,故y'=x,故抛物线在点A处切线的斜率为2.设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则------解得a=-1,b=,r2=,故圆的方程为(x+1)2+-,即为x2+y2+2x-13x+12=0.(2)依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-8=0,故x1x2=-8.①由已知=得-x1=λx2.若k=0,这时λ=1,要使(-),点Q必在y轴上.设点Q的坐标是(0,m),从而=(0,2-m),-=(x1,y1-m)-λ(x2,y2-m)=(x1-λx2,y1-m-λ(y2-m)),故(-)=(2-m)[y1-λy2-m(1-λ)]=0,即y1-λy2-m(1-λ)=0,即-m=0,即(x1+x2)(x1x2-4m)=0,将①代入得m=-2.所以存在点Q(0,-2)使得(-).11。