第四章 系统辨识中的实际问题
§4 —1 辨识的实验设计
一、系统辨识的实验信号
实验数据是辨识的基础，只有高质量的数据才能得出良好的数学模型，而且实验数据如果不能满足起码的要求，辨识根本得不出解。
系统辨识学科是在数理统计的时间序列分析的基础上发展起来的，两者的区别在于系统辨识的对象存在着人为的激励（控制）作用，而时序分析则没有。因此，前者能通过施加激励信号u(k)达到获得较好辩识结果的目的（即实验信号的设计），而后者不能。 （一）
系统辨识对实验信号的最起码的要求 为了辨识动态系统，激励信号u 必须在观测的周期内对系统的动态持续地激励。满足辨识对激励信号最起码的要求的持续激励信号应具备的条件称“持续激励条件”，分以下四种情况讨论： 1． 连续的非参数模型辨识（辩识频率特性）
如果系统通频带的上下限为 ωmin ≤ ω ≤ ωmax ,要求输入信号的功率密度谱在此范围内不等于零。
)
()
()}({)}({)(ωωωj U j Y t u F t y F j G =
=
2． 连续的参数模型辨识 被辩识的连续传函为
，共包含(m+n+1)个参数
对于u(t)的每一个频率成分ωi 的谐波，对应的频率响应有一个实部R(ωi )和一个虚部Im(ωi )，由此对应两个关系式（方程），能解出两个未知参数。因此，为辩识(m+n+1)个参数，持续激励信号至少应包含：
j ≥( m+n+1 )/2 个不同的频率成分。 3． 离散的脉冲响应 g(τ)的辨识
g(τ) ;τ = 0,1,..m ，假设过程稳定，当 τ > m 时 g(τ)= 0 。由维纳—何甫方程有：
R uy (τ )=∑ g(σ)R uu (τ - σ) 式(4-1-1)
由上式得出(m+1)个方程的方程组:
上式表达成矩阵形式
φuy = φuu G 式（4-1-2） 可解出 G = φuu -1 φuy 式（4-1-3）
G s b b s b s a s a s m m
n n ()=
++++++0111
R R R m R R R m R R R m R m R m R g g g m uy uy uy uu uu uu uu uu uu uu
uu uu ()()()()
()()()()()()()()()()()010******** ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥
G = [ g(0),…,g(m) ]T 有解的条件是:如果所有的输出自相关函数
式(4-1-4)
都存在,且方阵φuu 非奇异, 即det φuu ≠ 0 。 4． 离散差分方程模型辨识
输入信号应保证（φT φ），即det （φT φ）≠ 0非奇异。
（二） 最优输入信号
持续激励信号是使得辨识问题有解对输入的最低要求。所谓最优输入信号是在实际条件受限制的条件下，如何使得与估计精度有关的品质指标为最优的输入信号。实际条件的限制如：
a) 对 u 和 y 以及中间变量的幅值或功率的限制； b) 测试时间的限制 ；
c) 采样数量（样本长度）的限制 ； d) 最大采样速率的限制 ； e) 设备的其他限制。
二进制伪随机码很接近理论上的最优实验信号。
R N
u k u k uu k N ()lim
()()ττ=+=-∑1
1
1
二、 样间隔 ∆T 和实验长度的选择 1． 采样间隔 ∆T 的影响
以下例说明∆T 对模型参数的影响
其中T 1= 10s, T 2= 7s, T 3= 3s, T 4= 2s, T t = 4s, K= 1。 离散化后得到差分方程如下：
y(k)+a 1y(k-1)+a 2y(k-2)+a 3y(k-3) = b 0u(k-d)+ +b 1u(k-d-1)+ b 2u(k-d-2)+b 3u(k-d-3) 其中静态增益K=∑ b i / (1+∑ a I )
以不同的采样间隔 ∆T = 1s,4s,8s,16s ，进行采样，得出的离散模型参数如下表：
由上表可见 ∆T 值太大或者太小都会造成不利影响：
G s K T s T s T s T s e T S t ()()
()()()
=++++-11114123
若∆T值太大，模型对动态特性描述就变得不精确了，当∆T=8s时模型退化为二阶，而∆T=16s时模型甚至退化为一阶；如果∆T值太小，带来的问题是参数估计的微小误差都会对模型的输入/输出特性造成显著影响，甚至b i的小数点后第4、5位的值都会影响到∑b i的值。因为当∆T值太小时，临近的几个采样数据的差异很小，在参数估计时出现病态方程组的问题，产生计算上的困难。但是，实际上∆T的允许取值范围又是比较宽的，以下给出∆T值选择的经验结果。
2．∆T选择的经验公式
a) 按照过渡过程时间T95 选择
∆T=(1/15—1/5)T95式(4-1-5)
b) 按系统的主要时间常数T a 选择
∆T=(0.05—0.1)T a式(4-1-6)
c) 按系统的最小时间常数T min 选择
∆T=(1—2)T min式(4-1-7)
由PID控制系统的知识可知，上述三种经验公式给出的选择，基本上是一致的。
三、实验长度N 的选择
随着实验长度N的加大，参数估计的精度增高，并且估计误差的方差下降，故N应取得长一些。但是由于实际条件的限制，N值愈长出现漂移和窜入额外干扰的机率增加，计算量亦加大，故N值又不宜
