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系统辨识算法一、引言系统辨识是指通过对系统输入输出数据进行观测和分析，从而建立数学模型以描述和预测系统行为的过程。
系统辨识算法是在给定输入输出数据的基础上，利用数学方法和计算机模拟技术，对系统的结构和参数进行估计和辨识的算法。
系统辨识算法在控制工程、信号处理、机器学习等领域具有广泛的应用。
二、系统辨识方法系统辨识方法可以分为参数辨识和非参数辨识两类。
1. 参数辨识参数辨识是指通过对系统模型中的参数进行估计，来描述和预测系统的行为。
常用的参数辨识方法有最小二乘法、最大似然估计法、递推最小二乘法等。
最小二乘法是一种基于最小化误差平方和的优化方法，通过优化目标函数来估计参数值。
最大似然估计法是一种基于概率统计理论的方法，通过似然函数最大化来估计参数值。
递推最小二乘法是一种基于递推迭代的方法，通过更新参数估计值来逼近真实参数值。
2. 非参数辨识非参数辨识是指通过对系统的输入输出数据进行分析，来估计系统的结构和参数。
常用的非参数辨识方法有频域分析法、时域分析法、小波分析法等。
频域分析法是一种基于信号频谱特性的方法，通过对输入输出信号的频谱进行分析，来估计系统的频率响应。
时域分析法是一种基于信号时域特性的方法，通过对输入输出信号的时序关系进行分析，来估计系统的时域特性。
小波分析法是一种基于小波变换的方法，通过对输入输出信号的小波变换系数进行分析，来估计系统的时频特性。
三、系统辨识应用系统辨识算法在实际工程中有着广泛的应用。
1. 控制工程系统辨识算法在控制系统设计中起到关键作用。
通过对控制对象进行辨识，可以建立准确的数学模型，从而设计出性能优良的控制器。
例如，在自适应控制中，可以利用系统辨识算法来实时辨识系统模型，从而根据实际系统特性调整控制器参数。
2. 信号处理系统辨识算法在信号处理领域有重要应用。
通过对信号进行辨识，可以提取信号的特征和结构，从而实现信号去噪、信号分析、信号识别等目标。
例如，在语音信号处理中，可以利用系统辨识算法来建立语音模型，进而实现语音识别和语音合成。
机械系统的系统辨识与参数辨识在机械工程领域，系统辨识和参数辨识是非常重要的研究方向。
系统辨识主要是指从输入和输出的测量数据中，通过建立数学模型来揭示系统的特性和行为规律。
而参数辨识则是指利用已知的数学模型，从实测数据中确定模型的参数值。
这两个方法的应用可以帮助工程师深入理解和优化机械系统的性能。
系统辨识方法的应用非常广泛，可以用于各种不同的机械系统，包括机器人、汽车、航空航天设备等。
通过系统辨识，工程师可以了解系统的内部结构和动力学特性，从而优化系统设计和控制策略。
例如，在机器人领域，系统辨识可以帮助研究人员确定机器人的动力学参数，从而实现更加精确的轨迹跟踪和运动控制。
在汽车行业，系统辨识可以用于优化发动机燃油效率和悬挂系统的动力学性能。
系统辨识的方法包括基于物理模型和基于数据的方法。
基于物理模型的方法主要是通过建立数学模型来描述系统的动力学特性。
这种方法需要事先了解系统的机械结构和物理参数，然后使用数学工具，如微分方程和线性代数等，来推导系统的动力学模型。
基于数据的方法则是基于实测数据来推断系统的动力学特性。
这种方法不需要事先了解系统的物理参数，而是通过对输入和输出数据进行统计分析和数学建模，来揭示系统的动力学行为。
参数辨识是系统辨识的一个重要组成部分。
在实际应用中，通常需要确定系统模型中的参数值。
参数辨识的方法可以分为线性和非线性方法。
线性参数辨识方法通常是通过最小二乘法或极大似然法来确定参数值。
而非线性参数辨识方法则需要使用更加复杂的数学工具，如优化算法或贝叶斯推断方法等。
参数辨识的目标是使得建立的数学模型和实测数据之间的误差最小化。
机械系统的系统辨识和参数辨识在实际应用中存在一定的挑战和困难。
首先，机械系统往往具有复杂的非线性特性，这使得建立准确的数学模型非常困难。
其次，实际采集到的输入和输出数据可能受到噪声和干扰的影响，这会导致辨识结果的误差。
另外，系统辨识和参数辨识需要大量的计算和数据处理，对计算资源和存储空间有一定的要求。
系统辨识方学习总结一．系统辨识的定义关于系统辨识的定义，Zadeh是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观测的基础上，在指定的一组模型类中确定一个与所测系统等价的模型”。
L.Ljung也给“辨识即是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。
出了一个定义：二．系统描述的数学模型按照系统分析的定义，数学模型可以分为时间域和频率域两种。
经典控制理论中微分方程和现代控制方法中的状态空间方程都是属于时域的范畴，离散模型中的差分方程和离散状态空间方程也如此。
一般在经典控制论中采用频域传递函数建模，而在现代控制论中则采用时域状态空间方程建模。
三．系统辨识的步骤与内容(1)先验知识与明确辨识目的这一步为执行辨识任务提供尽可能多的信息。
首先从各个方面尽量的了解待辨识的系统，例如系统飞工作过程，运行条件，噪声的强弱及其性质，支配系统行为的机理等。
对辨识目的的了解，常能提供模型类型、模型精度和辨识方法的约束。
(2)试验设计试验设计包括扰动信号的选择，采样方法和间隔的决定，采样区段（采样数据长度的设计）以及辨识方式（离线、在线及开环、闭环等的考虑）等。
主要涉及以下两个问题，扰动信号的选择和采样方法和采样间隔(3)模型结构的确定模型类型和结构的选定是决定建立数学模型质量的关键性的一步，与建模的目的，对所辨识系统的眼前知识的掌握程度密切相关。
为了讨论模型和类型和结构的选择，引入模型集合的概念，利用它来代替被识系统的所有可能的模型称为模型群。
所谓模型结构的选定，就是在指定的一类模型中，选择出具有一定结构参数的模型M。
在单输入单输出系统的情况下，系统模型结构就只是模型的阶次。
当具有一定阶次的模型的所有参数都确定时，就得到特定的系统模型M，这就是所需要的数学模型。
(4)模型参数的估计参数模型的类型和结构选定以后，下一步是对模型中的未知参数进行估计，这个阶段就称为模型参数估计。
(5)模型的验证一个系统的模型被识别出来以后，是否可以接受和利用，它在多大程度上反映出被识别系统的特性，这是必须经过验证的。
第02讲系统辨识三要素系统辨识是指通过对系统输入和输出数据的观测和分析，求解出系统的数学模型的过程。
系统辨识主要有两种方法：非参数辨识和参数辨识。
在进行参数辨识时，需要确定三个基本要素，分别是模型结构、参数估计方法和误差分析方法。
本文将详细介绍这三个要素。
首先，模型结构是系统辨识的核心要素之一、模型结构决定了辨识出的数学模型与实际系统之间的对应关系。
模型结构的选择需要根据实际问题和已有的知识和经验来确定。
常用的模型结构包括线性模型、非线性模型、时变模型等。
例如，对于一个物理系统来说，可以尝试使用一阶惯性环节、二阶惯性环节等常见的线性模型结构进行辨识；对于一个生物系统来说，可以采用Lotka-Volterra模型等非线性模型结构进行辨识。
选择合适的模型结构可以提高系统辨识的精度和可靠性。
其次，参数估计方法是指在给定模型结构的情况下，通过对系统输入和输出数据进行处理和分析，求解出模型参数的过程。
参数估计方法分为两类：最小二乘法和最大似然法。
最小二乘法通过最小化观测数据与模型预测数据之间的残差平方和来估计模型参数；最大似然法通过最大化观测数据的似然函数来估计模型参数。
当观测数据服从高斯分布时，最小二乘法和最大似然法等效。
参数估计方法的选择需要根据数据性质和实际问题来确定。
对于小样本数据，最大似然法常常具有更好的效果；对于大样本数据，最小二乘法通常是更好的选择。
最后，误差分析方法是指用来评估辨识结果的准确性和可信度的方法。
误差分析方法主要包括残差分析、模型检验和辨识结果评价等。
残差分析是通过分析辨识结果与观测数据之间的差异来评估模型拟合程度的方法。
模型检验是通过将辨识结果应用到实际应用中，观察其预测能力和鲁棒性来评价模型的有效性。
辨识结果评价是通过计算模型的性能指标，如均方误差、决定系数等来评估辨识结果的准确性和可靠性。
误差分析方法的选择需要根据实际问题和辨识结果的要求来确定。
对于较为简单的问题，可以选择较为简单的误差分析方法；对于复杂的问题，需要选择更为精确和全面的误差分析方法。
系统辨识与模型预测控制系统辨识与模型预测控制是现代控制理论中的关键概念，它们在工程领域中被广泛应用于系统建模及控制设计中。
本文将详细介绍系统辨识与模型预测控制的基本概念、原理、方法和应用。
一、系统辨识系统辨识是指通过实验数据对系统的动态行为进行建模和估计的过程。
它可以帮助我们了解系统的性质和结构，并在控制系统设计中提供准确的数学模型。
系统辨识的主要任务是确定系统的参数和结构，并评估模型的质量。
1.1 参数辨识参数辨识是系统辨识的主要内容之一，它通过收集系统的输入和输出数据，并根据建模方法对参数进行估计。
常用的参数辨识方法包括最小二乘法、极大似然法、频域法等。
参数辨识的结果对建模和控制设计具有重要的指导意义。
1.2 结构辨识结构辨识是指确定系统的数学结构，即选择合适的模型形式和结构。
常用的结构辨识方法有ARX模型、ARMA模型、ARMAX模型等。
结构辨识的关键是根据系统的性质和实际需求选择适当的模型结构，以保证模型的准确性和有效性。
二、模型预测控制模型预测控制是一种基于系统动态模型的控制方法，它通过在线求解最优控制问题实现对系统的控制。
模型预测控制通过对系统未来动态行为的预测，结合控制目标和约束条件，求解优化问题得到最优控制输入。
它具有优良的鲁棒性和适应性，并且能够处理多变量、非线性以及时变系统的控制问题。
2.1 模型建立模型预测控制的第一步是建立系统的数学模型，通常采用系统辨识的方法得到。
模型可以是线性的或非线性的，根据实际需求选择适当的模型结构和参数。
2.2 控制器设计模型预测控制的核心是设计控制器，控制器的目标是使系统输出跟踪参考轨迹，并满足约束条件。
控制器设计通常通过求解一个离散时间最优控制问题来实现，常用的方法有二次规划、线性规划、动态规划等。
2.3 优化求解模型预测控制的关键是求解最优控制问题，将系统的模型和控制目标转化为一个优化问题，并通过数值优化方法求解得到最优解。
常用的优化算法包括线性规划、非线性规划、遗传算法等。
系统辨识理论及应用引言系统辨识是通过对已知输入和输出进行处理，从而识别出系统的数学模型并进行建模的过程。
在现代科学和工程应用中，系统辨识技术被广泛应用于控制系统设计、信号处理、预测和模型识别等领域中。
本文将介绍系统辨识的理论基础、常用方法以及在实际应用中的案例分析，以便读者能够更好地了解系统辨识技术的原理和应用。
系统辨识的理论基础系统辨识的定义系统辨识是一种通过对系统的输入和输出数据进行处理，来推导出系统的数学模型的方法。
系统辨识可以用来描述和预测系统的行为，从而实现对系统的控制和优化。
系统辨识的基本原理系统辨识建模的基本思想是将输入和输出之间的关系表示为一个数学模型。
这个模型可以是线性模型、非线性模型、时变模型等。
在系统辨识中，常用的数学模型包括差分方程模型、状态空间模型、传递函数模型等。
系统辨识的基本原理是通过收集系统的输入和输出数据，然后利用数学方法来推导出系统的数学模型。
这个过程可以看作是一个参数优化的过程，通过不断调整模型参数，使得模型的输出与实际系统的输出尽可能接近。
系统辨识的常用方法系统辨识的常用方法包括参数估计方法、频域分析方法和结构辨识方法。
参数估计方法是最常用的系统辨识方法之一，它通过最小化模型的预测误差来估计模型参数。
常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计法、最小二乘法等。
频域分析方法是基于系统的频率响应特性进行辨识的方法。
常用的频域分析方法包括递归最小二乘法、频域辨识方法等。
结构辨识方法是用来确定系统的结构的方法。
结构辨识方法可以分为模型选择方法和模型结构确定方法。
常用的结构辨识方法包括正则化算法、信息准则准则方法等。
系统辨识的应用控制系统设计系统辨识技术在控制系统设计中起着重要的作用。
通过对系统辨识建模，可以对系统进行建模和优化。
控制系统设计中的系统辨识可以用来预测系统的响应、设计合适的控制器以及优化控制算法。
信号处理系统辨识技术在信号处理中也有广泛的应用。
通过对信号进行系统辨识建模，可以分析信号的特性、提取信号中的有用信息以及去除信号中的干扰等。
最小二乘法的系统辨识摘要：在研究一个控制系统过程中，建立系统的模型十分必要。
因此，系统辨识在控制系统的研究中起到了至关重要的作用。
本文主要介绍了系统辨识的最小二乘方法，最小二乘法的一次完成过程进行了推导，最小二乘法的一次完成的缺陷在于对于有色噪声并没有很好的辨识效果。
其中系统辨识在工程中的应用非常广泛,系统辨识的方法有很多种,最小二乘法是一种应用极其广泛的系统辨识方法，阐述了动态系统模型的建立及其最小二乘法在系统辨识中的应用,并通过实例分析最小二乘法应用于直流调速系统的系统辨识。
关键词：系统辨识、最小二乘法一、系统辨识的定义系统辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个相互渗透的环节。
1962年，L．A．zadeh给出“辨识”的定义为：系统辨识是在对输入和输出观测的基础上，在指定的一类系统中，确定一个与被识别的系统等价的系统。
[1]最先提出了系统辨识的定义。
随着科技的发展，数学建模对科学研究及指导及生产都有非常重要的意义。
给一个系统建立数学模型是一个比较复杂的工作，其中关键的一个环节是系统辨识。
系统辨识就是研究如何利用系统的输入、输出信号建立系统的数学模型。
[7]系统数学模型是系统输入、输出及其相关变量间的数学关系式，它描述系统输入、输出及相关变量之间相互影响、变化的规律性。
换句话说，系统辨识就是从系统的运算和实验数据建立系统的模型(模型结构和参数)。
系统辨识的三要素：数据、模型类和准则。
系统辨识的基本原理：在输入输出的基础上，从一类系统中确定一个与所测系统等价的系统。
[2]二、最小二乘法的引出最小二乘法是1795年高斯在预测星体运行轨道最先提出的，它奠定了最小二乘估计理论的基础．到了20世纪60年代瑞典学者Austron把这个方法用于动态系统的辨识中，在这种辨识方法中，首先给出模型类型，在该类型下确定系统模型的最优参数。
我们可以将所研究的对象按照对其了解的程度分成白箱、灰箱和黑箱。
于其内部结构、机制只了解一部分，对于其内部运行规律并不十分清楚，这样的研究对象通常称之为“灰箱”；如果我们对于研究对象的内部结构、内部机制及运行规律均一无所知的话，则把这样的研究对象称之为“黑箱”。
研究灰箱和黑箱时，将研究的对象看作是一个系统，通过建立该系统的模型，对模型参数进行辨识来确定该系统的运行规律。
对于动态系统辨识的方法有很多，但其中应用最广泛，辨识效果良好的就是最小二乘辨识方法，研究最小二乘法在系统辨识中的应用具有现实的、广泛的意义。
[4]应用最小二乘法对系统模型参数进行辨识的方法有离线辨识和在线辨识两种离线辨识是在采集到系统模型所需全部输入输出数据后，用最小二乘法对数据进行集中处理，从而获得模型参数的估计值；而在线辨识是一种在系统运行过程中进行的递推辨识方法，所应用的数据是实时采集的系统输入输出数据，应用递推算法对参数估计值进行不断修正，以取得更为准确的参数估计值。
[8]三、最小二乘法的原理3.1 最小二乘法一次完成推导[1]本文中以一个SISO 系统为例说明最小二乘法的原理。
假设一个SISO 系统如下图所示：图1 SISO 系统结构图其离散传递函数为：3.1输入输出的关系为：)()()()(1k y k e z G k u =+•- 3.2进一步，我们可以得到：)()()()()(11k e z B k u z A k y +⋅=⋅-- 3.3其中，扰动量)(k e 为均值为0，不相关的白噪声。
将式3.3写成差分方程的形式：)()()2()1()()2()1()(2121k e n k u b k u b k u b n k y a k y a k y a k y n n +-⋯+-+-+--⋯-----= 3.4令T n k u k u k u n k y k y k y k ])()2()1()()2()1([)(-⋯----⋯----=ϕ][2121n nb b b a a a ⋯⋯=θnn nn z a z a z a z b z b z b z A z B z G ---------+⋯++++⋯++==221122111111)()()(则式3.4可以写为：)()()(k e k k y T+=θϕ 3.5将上述式子扩展到N 个输入、输出观测值{)(),(k y k u }，k=1,2,…，N+n 。
将其代入到式3.5中，写成矩阵的形式为：e Y +Φ=θ 3.6其中，取泛函)(θJ 为)()()()()(212θθθθΦ-Φ-=•=+=Φ-=∑∑=Y Y e e i n e Y J T T Ni最小二乘法原理既是使)(θJ 最小，对其求极值得：由此可得系统的最小二乘法估计值为：Y T T T ΦΦΦ=)(θ这样，我们就得到了系统的最小二乘估计值。
以上推导的最小二乘法存在一些缺点，比如：预先取得的观测值越多，系统参数估计的精度越高，但使得矩阵ΦΦT 的阶数越大，矩阵求逆计算量也越大，所需的存储空间也会越大；每增加一次观测值，必须重新计算Φ和1)(-ΦΦT ； 若T Φ列相关,即不满秩,则ΦΦT 为病态矩阵,无法求得最小二乘估计值。
因此可以对该方法进行改进，从而可以得到递推最小二乘法，广义最小二乘法等改进后的方法。
这里不做具体的介绍。
3.2最小二乘法的缺陷[ 5]最小二乘是一种最基本的辨识方法，最小二乘法可以用于线性系统，也可以用于非线性系统；可用于离线估计和在线估计。
在随机情况下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方法的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。
但它具有两方面的缺陷：一是当模型噪声是有色噪声时，最小二乘估计不是无偏、一致估计；二是随着数据的增长，将出现所谓的“数据饱和”现象。
针对这两个问题，出现了相应的辨识算法，如遗忘因子法、限定记忆法、偏差补偿法、增广最小二乘、广义最小二乘、TTN n e n e n e e N n y n y n y Y ])()2()1([])()2()1([+⋯++=+⋯++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-⋯⋯+-⋯---⋯-⋯---=Φ)()()()1()()2()1()2()()1()1()()1()1()(N u N n u N y N n y N n y u n u y n y n y u n u y n y n y 0)]()[(=Φ-Φ-∂∂=∂∂θθθθY Y J T辅助变量法、二步法及多级最小二乘法等。
四、最小二乘法应用在直流调速系统的系统辨识举例闭环系统是把反映输出转速的电压信号反馈到系统输入端，与给定电压比较，形成一个闭环。
由于反馈的作用，系统可以自行调整转速，这种方式也称为反馈控制。
引入转速负反馈信号以后，放大器的输入信号是给定信号s U 和反馈信号fn U 之差，即fn s n U U U -=∆。
当电动机负载增加时，电枢电阻压降必然增大。
若是开环系统，电动机转速只能下降，但是在闭环系统中，转速稍有降落，反馈电压fn U 随之下降，接着是↑↑→↓→↑→↑→∆n U U U d ct n α上述调节过程是当负载增加（或降低）时，相应地整流电压d U 就提高（或减小），从而补偿掉电动机电枢回路电阻电压的增量，维持电动机反电势E （或转速n ）几乎不变。
转速反馈闭环调速系统是一种基本的反馈控制系统，它具有三个基本特征。
一，只用比例放大器的反馈控制系统，其被调量仍是有静差的。
二，反馈控制系统的作用是：抵抗扰动，服从给定。
三，系统的精度依赖于给定和反馈检测精度。
图1.1是用集成电路运算放大器作为电压放大器的转速负反馈闭环控制有静差直流调速系统。
检测的反馈信号fn U 与转速n 成正比，n U fn α=，α又称为转速反馈系数。
由该调速系统的工作原理可以确定系统的输入量为电压S U ，输出量 为电动机转速n电压比较环节：fn s n U U U -=∆放大器： n P c K U U ∆=测速发电机：n U fn α=——放大器的电压放大系数；0fP R K R =-α——测速反馈系数，单位为Vmin/r; 额定励磁下直流电动机E dtdI LRI dd d ++=0U （主电路，假定电流连续） n C Ee Φ=（额定励磁下的感应电动势）dt dnGD T T L e ⋅=-3752（牛顿动力学定律，忽略粘性摩擦）d me I C T Φ=（额定励磁下的电磁转矩）式中 L T —包括电机空载转矩在内的负载转矩，单位为Nm ；2GD —电力拖动系统运动部分折算到电机轴上的飞轮力矩，单位为2Nm ；e m C C π30=——电动机额定励磁下的转矩电流比，单位为Nm/A ；定义下列时间常数：RLT l =——电枢回路电磁时间常数，单位为s ； me m C C GD T 3752=——电力拖动系统机电时间常数，单位为； 得电压与电流间的传递函数1/1)()()(I s 0+=-s T Rs E s U s d d电流与电动势间的传递函数为sT Rs I s I s E m dl d =-)()()(额定励磁下直流电动机的动态结构图如下：图4.2 额定励磁下直流电动机的动态结构图如果是理想空载，则0)(=s I dl ，直流电动机电枢回路的传递函数()201()()1e d m l m C N s U s T T s T s Φ=++对以上各环节表达式整理，得到以电压为S U 输入，转速n 为输出的传递函数：(*)其中 该系统为典型的二阶系统。
在不影响数学模型的结构，性质的基础上简化数学模型，我们令 这样就有P K K α=，需要辨识的参数就有3个m T ,l T ,K .我们取观测的数据3N =. 以直流电压()S U s 为输入，以电动机转速n 为输出的系统模型为2()()1S m l m N s KU s T T s T s K=+++ (**) 其中P K K α=.采用双极性变换法将式（**）离散化，即将11211z s T z ---=+代入式（**）得21222212()(12)()42(1)2(1)842(1)m l m m l m l m N z T K z z U z T T T T K T z K T T T z T T TT K T -----++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤-++++-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦将上式化为差分方程得到：()()12345(1)2()(1)(2)N K a N K a N K a U K a U K a K =----++-+- 其中2122(1)842(1)m l m l m K T T T a T T TT K T -+-=+++ T=1s 为采样周期22242(1)42(1)m l m m l m T T T T K T a T T TT K T-++=+++()2()()1e S m l m K C N s U s T T s T s K Φ=+++P e K K C α=Φ11e C =Φ23242(1)m l m KT a T T TT K T=+++ 242242(1)m l m KT a T T TT K T=+++25242(1)m l m KT a T T TT K T =+++ 现取电机调速的传递函数为 则采用双极性变换法将其离散化得：现θ∧的真实值已知,取.则仿真对象为 其中e(K)为均值为0，方差为1的不相关随机序列。
