第五章 线性空间一、内容提要⒈ 线性空间定义1 设V 是一个非空集合,P 是一个数域. 若在V 中定义的加法和数乘运算对集合V 封闭,且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V 为数域P 上的线性空间.线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量.设V 是数域P 上的线性空间, W 是V 的非空子集, 若W 对于V 的加法和数乘运算也构成数域P 上的线性空间, 则称W 为线性空间V 的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标定义2 若线性空间V 中有n 个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V 是n 维线性空间,称V 中n 个线性无关的向量为V 的一组基,n 称为V 的维数,记作dim V = n ．注 向量组12,,,n ααα是V 的一组基⇔12,,,n ααα是V 中的n 个线性无关向量且V中的任一向量α可由12,,,n ααα线性表示.向量组12,,,s ααα生成的空间L (12,,,s ααα)的一组基就是12,,,s ααα的一个极大无关组, 其维数就是向量组12,,,s ααα的秩.定义3 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, α 为V 中的任一向量, 若1122n n x x x αααα=+++则称数12,,,n x x x 为向量α 在基12,,,n ααα下的坐标, 记作 12(,,,)n x x x .向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式.定义4 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 且（12,,,n βββ）=（12,,,n ααα）C (1)称C 为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵,（1）式称为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的基变换公式．定理1 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 由基12,,,nααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C = n n ij c ⨯)( ,即（12,,,n βββ）=（12,,,n ααα）C若向量α 在这两组基下的坐标分别为 ()n x x x ,,,21 与 ()n y y y ,,,21 , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y C x x x 2121 ⒊ 线性空间同构定义5 设V 与W 都是数域P 上的线性空间,如果由V 到W 有一个双射（一一对应）σ, 且σ具有如下性质：,,(1) ()()()(2) ()()V k Pk k αβσαβσασβσασα∀∈∈+=+= 则称线性空间V 与W 同构,并称σ为由V 到W 的同构映射.注 数域P 上任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同.定理2 设线性空间V 与W 同构,σ是由线性空间V 到W 的同构映射, 则V 中向量12,,,s ααα线性相关的充要条件是它们的像12(),(),,()s σασασα线性相关.⒋ 向量的内积、长度、距离、夹角定义6 设V 是实数域R 上的线性空间, 如果在V 上定义了一个二元实函数, 称为内积, 记作(,)αβ, 且它具有以下性质: ,αβγ,是V 中任意向量,k 是任意实数(1) (,)(,)(2) (,)(,)(3) (,)(,)(,)k k αββααβαβαβγαγβγ==+=+ (4) (,)0,ααα≥=当且仅当θ时,（α,α）= 0这个定义了内积的线性空间V 称为欧几里得空间,简称欧氏空间.当n R 的向量为列向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=. 当n R 的向量为行向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=., , ,V αααα设是欧氏空间中任一向量称非负实数（）为向量的长度或模,α记作 即,ααα=（）向量αα是单位向量, 将非零向量α化为单位向量称为将向量α单位化．βα-称为向量α 与β的距离,记作(,)d αβ, 即(,)d αβ=αβ-.柯西-布捏柯夫斯基不等式: (,)αβαβ≤⋅ , 当且仅当α 与β 线性相关时, 等号成立.定义7 设α,β 为欧氏空间V 中的非零向量, 定义α ,β 的夹角ω为(),arccosαβωαβ=⋅ （ 0 ≤ ω ≤ π）若(,)αβ= 0, 则称α与β正交（或垂直）, 记作βα⊥ ．5.向量组的正交化一组两两正交的非零向量组称为正交向量组. 正交向量组一定线性无关. 定义8 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, 若12,,,n ααα两两正交且都为单位向量, 则称它为V 的一个标准正交基.向量组12,,,n ααα是n 维欧氏空间V 中的一组标准正交基的充要条件是()01ij i ji j αα≠⎧=⎨=⎩,,, ,1,2,,i j n =.任何一组线性无关的向量组12,,,m ααα都可用Schmidt(施密特)正交化方法化为正交向量组12,,,m βββ, 且12,,,m βββ与12,,,m ααα等价.取 11αβ=, ()()1222111βαβαβββ=-,,,()()()()()()121121112211,,,,,,i i i i i i i i i βαβαβαβαβββββββββ----=----（i = 3 , 4 , …, m ）将向量组1β ,2β ,… ,m β 中的每个向量单位化, 令iii ββη=（i = 1 , 2 , … , m ） 则得到一个与原向量组12,,,m ααα等价的标准正交向量组1η,2η,… ,m η.6. 正交矩阵定义9 设Q 为n 阶实矩阵, 若TQ Q = E , 则称Q 为正交矩阵. 正交矩阵的性质：（1）若Q 为正交阵，则 Q = 1 或－1 ；（2）若Q 为正交阵，则Q 可逆，且 1-Q=T Q ；（3）若P ，Q 都是n 阶正交矩阵，则P Q 也是n 阶正交矩阵；（4）n 阶实矩阵Q 为正交矩阵的充要条件是Q 的列（行）向量组是n R 的标准正交基.二、重点难点1. 判定集合是否构成线性空间.2. 线性空间的基、维数, 向量在基下的坐标等概念以及过渡矩阵、基变换与坐标变换公式.3. 欧式空间以及内积的概念和运算性质, 用内积运算进行证明.4. 用施密特正交化方法将线性无关的向量组正交化.5. 正交矩阵的概念及其性质.三、 学习要求1. 了解线性空间、子空间的概念, 理解向量空间的基和维数, 会求向量关于基的坐标,熟悉坐标变换公式.2. 了解线性空间同构的概念.3. 了解向量的内积、长度、距离、夹角、正交等概念, 掌握内积运算的性质.4. 理解标准正交基的概念, 掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.5. 掌握正交矩阵的概念及其性质.四、典型题分析例1 全体n 维实向量集合V , 对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算,,k V k R ααα=∈∈其中是否构成实数域上的线性空间.解 设,, k l R α∈是集合V 中的非零向量.因为()2k l k l ααααααα+=+=+=而,所以()k l k l ααα+≠+, 故此集合不构成实数域上的线性空间.注 检验集合是否构成线性空间的方法:如果所定义的加法和数乘运算是通常意义下的加法和数乘运算, 则它们满足线性运算的八条运算规则, 因此只需检验集合对运算的封闭性. 如果所定义的加法和数乘运算不是通常意义下的加法数乘运算, 则不仅要检验集合对运算的封闭性, 还要仔细检验加法和数乘运算是否满足八条线性运算规律. 例2 求向量空间(){1212,,,0,,1,2,,,n n i V x x x x x x x R i n =+++=∈=}2n ≥的基和维数.分析 先找出向量空间V 的一组基, 即找出一组线性无关的向量, 使得V 中任一向量可由这组向量线性表示.解 在向量空间V 中取1n -个向量1(1,1,0,0,,0)α=-, 2(1,0,1,0,,0)α=-,,1(1,0,0,,0,1)n α-=-, 显然121,,,n ααα-线性无关.对V 中任一向量12(,,,)n x x x α=, 以121,,,,n αααα-为行构造矩阵A ,则1123110010101001ni i nA x x x x x =--===-∑, 从而121,,,,n αααα-线性相关, 又因为121,,,n ααα-线性无关, 所以α可由121,,,n ααα-线性表示.故121,,,n ααα-是V 的基, V 的维数是1n -.注 这个向量空间V 就是齐次线性方程组120n x x x +++=的解空间, V 的一组基就是齐次线性方程组的一个基础解系. 例3 设12,,,n t t t 是互不相同的实数,证明向量组21(1,,,,),1,2,,n i i i i t t t i n α-==是n 维向量空间n R 中的一组基. 并求出向量()12,,,n b b b β=在这组基下的坐标.分析 12,,,n ααα是n 维向量空间n R 中的n 个向量, 只需证明12,,,n ααα线性无关即可.证 令21111121222221111n n n n nnn t t t t t t A t t t ααα---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数,所以()121111121110n T ji i j nn n n nt t t A A tt ttt≤<≤---===-≠∏⇒12,,,n ααα线性无关.所以12,,,n ααα是n 个线性无关的n 维向量, 构成n 维向量空间n R 中的一组基. 设β在基12,,,n ααα下的坐标为()12,,,n x x x , 则有1122n n x x x βααα=+++⇒β=()()121212,,,,,,n n n x x x x x x A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.因为A 可逆, 所以()112,,,n x x x A β-=. 故β在基12,,,n ααα下的坐标为1A β-.例4 设3R 中的向量α在基1231032,1,2111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标为123x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,在基123,,βββ下的坐标为123y y y ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 且11232123132y x x x y x x y x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ （1）123123,,,,;βββααα求由基到基的过渡矩阵（2）求基123,,βββ. 解 (1)由题有111232123233(,,)(,,)x y x y x y ααααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112323111(,,)110102x x x βββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123111(,,)(,,)110102αααβββ--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(*),所以123123,,,,C βββααα由基到基的过渡矩阵=111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 由（*）式得123(,,)βββ=123(,,)ααα1111110102---⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭123(,,)ααα=221231110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭111431342--⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭,故1231114,3,1342βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例 5 设,a b 是欧氏空间中的任意向量, 证明平行四边形法则(对角线的平方和等于四边的平方和).证 设,a b 是平行四边形的两条邻边, 则a b a b +-和为两条对角线. 因为22(,)(,)a b a b a b a b a b a b ++-=+++--(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)a a a b b b a a a b b b =+++-+ 222()a b =+.所以平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和.例 6 1212,,,,(,)0i j ααββαβ=设线性无关线性无关且满足, 1,2,1,2.i j ==证明:1212,,,ααββ线性无关.证 设有数1212,,,,k k λλ使得112211220k k ααλβλβ+++= (*) 上式两边分别与12,αα做内积, 由(,)0i j αβ=,1,2,1,2.i j ==得111221112222(,)(,)0(,)(,)0k k k k αααααααα+=⎧⎨+=⎩ (**) 由柯西-布捏柯夫斯基不等式及12,αα线性无关得112121122211222(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)αααααααααααααα=->.故方程组(**)只有零解120k k ==, 将其代入(*), 由已知12,ββ线性无关, 得120λλ==. 于是得1212,,,ααββ线性无关.例7 将R 3的一组基1231100,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )利用施密持正交化方法将其正交化取1110,1βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 1222111111/2(,)1101 (,)2011/2βαβαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,132333*********/22/3(,)(,)11/21012/323/2(,)(,)111/22/3βαβαβαββββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123,,βββ则是正交向量组.(2 ) 将123,,βββ单位化11122233322, 62, 3, 3T T Tβββββββββ====3121231236320, 26, 3 263βββηηηβββ⎡⎤⎡-⎡⎢⎥⎢⎢∴======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦,则123,,ηηη为R 3的一组标准正交基.例8 设m+n 阶矩阵P O A R Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中P , Q 分别是m , n 阶矩阵, O 为零矩阵.证明: 若A 为正交矩阵, 则P 和Q 也是正交矩阵且R 为零矩阵. 分析 用正交矩阵的定义证 证 由题知TT TTT P R A OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因A 为正交矩阵, 所以 TT T T T mT TT T T n E P O P R P P R R R Q A A E R Q OQ Q R Q Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 上式最后一个等号两边比较得 T n Q Q E Q =⇒为n 阶正交矩阵.T R Q O =且Q 可逆⇒R O =.T T m P P R R E +=且R O =T m P P E ⇒=⇒P 是m 阶正交矩阵.五、习题解析习题5. 11． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答 是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕;(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;()(8)()().a b ab ab a b a b a b λλλλλλλλλ⊕====⊕=⊕所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为A B AB BA ⊕=-按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否.,()A B AB BA B A BA AB AB BA ⊕=-⊕=-=--A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间. 答 否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中1234111111,,,111111a a A A A A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的线性相关性.解 设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 3 1 , , a a =-=或 时方程组有非零解这组向量线性相关. 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中1234010011001111ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111，=，=，=，3010解 设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换 得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).2212342347P ααααα⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000 解 设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩.由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知3R 的两组基（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3） 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.（3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.5．已知P [x ]4的两组基（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101*********(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 10110111100011101110101101000011 1100110100100112100111000011113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. （2）设多项式f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 （*）因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组（*）只有零解，则f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T，所以f (x ) = 0习题证明线性方程组1234512345123453642022353056860x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪+--+=⎨⎪--+-=⎩ 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明 设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.316421568622353043751568600000A -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1． 求向量()1,1,2,3α=- 的长度. 解 22221(1)2315α=+-++.2． 求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解 (,)d αβ=2222(12)(10)(01)(13)7αβ-=-+--+-+-. 3．求下列向量之间的夹角（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,,（3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，， 解（1）(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.（2）(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,22222222122318,31516,αβ+++=+++=,4618πβ∴==.（3）(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,11147α=+++, 911011β=+++=,77αβ∴=.3． 设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+. 证明 因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+-22(,)(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2αγαγαγγβγβαγγβγβαγαγαγγβγβγβαγαγγβγβ=--+--+--+--=--+--+--≤-+-⋅-+-所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1． 在4R 中，求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，， 正交.解 设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交, 则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即 （*）. 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2． 将3R 的一组基1231,2,1111ααα ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 132********1122113121020(1)()1(,)(,)2333100121(,)(,)3()()()11333123βαβαβαββββββ⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎪-⨯+⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++- ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化***123362,,036236βββ⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基. 3．求齐次线性方程组123451235300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+-+=⎩ 的解空间的一组标准正交基.分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解 对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11113111011110100014---⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭可得齐次线性方程组的一个基础解系123100,,010004001ηηη ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组***12311/21/311/21/33,,011/326213004001βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3． 设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明 因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则⎩⎨⎧=≠====j i j i A A A A A A j T i j T T i j T i j i10)()()(),(αααααααα (,1,2,,)i j n = 故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基. 5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明112321233123111(22),(22),(22)333βαααβαααβααα=+-=-+=--也是V 的一组标准正交基. 证明 由题知()()1231232211,,,,2123122βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭因为是一组标准正交基,且的行向量组是单位正交向量组.()1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭所以和都是正交矩阵.()123,,.βββ从而也是正交矩阵123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1．当k 满足 时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解 三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解 向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1.3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解 根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算 ()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换，所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 . 解 因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解 四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1. 故答案为12a =. 二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111 （B ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 （C ） (){}R x x x x x x x V i n n∈=+++=,1,,,21213(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C ）.2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为（ ）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 向量组A =123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选（A ）. 331231223311223311223123123123123,,( )() ,, ()2,23,3() ,,2 () ,2322,355R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααααααα++-+++++++++-++-3.已知是的基,则下列向量组是的基.解 因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）, 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆， 所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选（B ）.33123122313122331122313122313,, () ,, () 2,2,2() ,, () 2,2,2R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααα++++++------4.已知是的基,则下列向量组（）不是的基. 解 因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C ）. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选（B ）6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数） 解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选（C ）.7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（ ）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵 选（B ）(B)1．已知4R 的两组基 （Ⅰ）： 1234, αααα,,（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解 （１）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. （2）设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 （*） 齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈． 故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.312312313123122323133123123123123123,, ,, ,, (1),, ,, ,, ;(3) 2 ,,R R αααβββββαααββααββααββββββαααααααβββ+=+++=++=+=+-2.已知是 的基,向量组满足证明 是的基;(2)求由基 到基的过渡矩阵求向量 在基 下的坐标.解 ( 1 ) 由题有123123110101(,,)011(,,)110101111βββααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇒123123001(,,)(,,)100111222βββααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因 0011001112220≠，所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量，构成3 R 的基. (2 ) 因为123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为412341234123412341234123412002100,,,,0012002121001100,,,,003500121,,2 2R ααααββββααααββββααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=++-3.设的两组基,与=，，且由基,到基,的过渡矩阵为（）求基,；（）求向量1234,,ββββ在基,下的坐标.解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 )11234123412341111 2(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.222123324. ()1,()12,()123[]()6914f x x x f x x x f x x x P x f x x x =++=++=++=++证明是线性空间的一组基,并求在这组基下的坐标.证明 设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++= 即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组（*）只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基. 设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++ 则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为（1, 2, 3）. 5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A = 020010a bc ⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解 要使矩阵A 为正交阵，应有 T AA E = 001002200100100010001a b a c bc ⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⇒=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222101002201001000102a ac acbc ⎛⎫++ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪++⎪⎭⇒2221120 21a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩①121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6．设 α 是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T T E A αααα）（/2-=为正交矩阵. 证明 因为α 是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT T T T T A E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,所以22 T T T T T A A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2224444()()T T T T T TTTTTE E Eαααααααααααααααααααα=-+=-+=故A 为正交矩阵．7．设TE A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明 因为A E E E A TTTTTTT=-=-=-=αααααα2)(2)2(，所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=, 所以A 为正交阵.8. , , , 0.A B n A B A B =-+=设均为阶正交矩阵且证明证明 因为, ,A B n 均为阶正交矩阵 所以0T A A =≠且T T T T T T TA AB E A B B B A B B A BB A B B A B+=+=+=+⋅=+⋅=⋅+（）()0200T A B A B A A B A B ⇒-⋅+=⇒⋅+=⇒+=.。
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。
2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。
3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。
第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。
2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。
总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。
第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。
2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。
4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。
5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A 可逆，则)A -(1|A |A -1T T αααα=+。
第三章 线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n 21,,,ααα ，右边常则看作一个向量β，1）若向量β被向量组n 21,,,ααα 表出唯一（即满足关系：n n n ==),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，因为只有向量组n 21,,,ααα 线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若β不能由向量组n 21,,,ααα 线性表出（即满足条件),,,,(r 1),,,(r 2121βααααααn n =+时）则无解；3）若β由向量组n 21,,,ααα 表出不唯一（即满足条件n n n <=),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，只有n 21,,,ααα 线性相关才表出不唯一）有无穷解。
