从做中学 的实践与思考
从 函数模型及应用 教学实录谈起
王思俭 (江苏省苏州中学 215006)
牛艳杰 (苏州大学数学科学学院2008级研究生 215006)
1 教学实录
师:我们已学习了函数的概念、图象与性质,以及指数函数、对数函数、幂函数等.利用这些函数,我
们就能研究一些日常生活、生产实践以及科学实验等领域中的问题.下面看一份资料(屏幕显示):
据国家统计局网站2006年统计资料显示,我国能源生产自1985年以来发展速度迅猛,1990年能源生产总量(折合亿吨标准煤)10 4亿吨标准煤,1995年能源生产总量12 9亿吨标准煤,2000年能源生产总量 亿吨标准煤,2005年能源生产总量20 6亿吨标
准煤.
师:你们能预测2010年我国能源生产总量吗?(学生开始讨论,有的动手画图,有的列表)
生:描点画折线图,可以估算出来.
师:画图需要数据,但问题中哪些数据是有用的,你是否需要筛选呢?
生:先列表,再画图.画前先选取坐标系.
年 份199019952000
2005能源生产总量(亿吨)
10 4
12 9
20 6
师:坐标系中坐标轴的长度单位如何选取?生:将1990取在原点,建立直角坐标系.师:是否可以再简单一点?你们看年份相差5年,我们能不能想办法使数字简单化,但又不失去一般意义.
生:将1985年定在原点,1985对应数字0.于是1990对应数字5,以此类推.这样就可以进行描点画图了.
图1
师:怎样估算2010年能源生产总量呢?
生:根据这几点所画的线,运用函数解析式方法进行估算.
师:选用哪种函数呢?
生:凭直觉,图形 长相 很像抛物线,于是就选取二次函数.
师:同学们,解题就需要有一点直觉.回答得很好!请同学们先计算.(教师巡视并观察学生的运算是否有误)
生:(板演)猜想模型是二次函数y =ax 2
+b x +c(a 0).分别将A (5,10 4),B(10,12 9),C(20,20 6)的坐标代入,得
25a+5b+c =10 4,100a+10b+c =12 9,400a+20b+c =20 6,
解得a =0 018,b =0 23,c =8 8.
即函数模型应该是y =0 018x 2
+0 23x +8 8.师:现在我们可以估算2010年和2000年的能源生产总量了吧?
生:当x =15时,y =16 3;当x =25时,y =25 8.故估计2010年的产量为25 8亿吨标准煤,2000年的产量是
16 3亿吨标准煤.
师:好!现在请同学们看屏幕.(教师现场演示,
边操作计算机边讲解)
演示步骤:输入数据 选中数据区 点击插入 图表 XY 散点图 完成 对准散点图中的点右击 添加曲线趋势图 多项式,再点击 选项 点击 显示公式,R 2值 确定(图2).
图2
师:通过电脑计算出的结果与同学们用手工计算的结果完全相同.同学们还有没有其他的数学模型?请大家自由发言.
生:我感觉还可以用指数函数模型进行模拟.设y =b a x
+c,其中a,b,c 为常数,a>0,a 1.分
别将A ,
B,C 三点的坐标代入,得b a 5+c =10 4,b a 10+c =12 9,b a 20
+c =20 6.
(此时学生望式兴叹,不知如何下手)
师:是否可以先消去c,化成关于a,b 的二元方程组后再进行求解?关于a 的a 5
,a 10
,a 20
,我们又怎样处理?
生:换元法,令a 5=t,方程组化为
b(t 2
-t)=2 5,b(t 4-t 2)=7 7.消去b 后化成25t 2
+25t -77=0,所以t =
5+
333
10
2 325(舍负).从而a
1 32,b 0 658,c 8 4771.y =0 658 1 32x +8 4771.当x =15时,y =16 747;当x =25时,y =27 704.
师:解决得很好!与上述模型比较哪一个更接近呢?众生:二次函数模型较好.
师:有的同学提出用电脑操作,再看结果.现在看屏幕.(教师操作)
师:电脑显示的结果与我们选择的指数类型结
果相差很大.特别是当x =25时,电脑上的结果是y =25 7974(图3),这说明我们的选择有不合理的因素.那么,怎样选择模型才能较好地拟合数据呢?同学们还有其他数学模型吗?是否可以用最简单的模型来刻画呢?请大胆发言.
图3
生:直线A B 的方程为y =0 5x +7 9.当x =15时,y =15 4;当x =25时,y =20 4.直线BC 的方程为y =0 77x +5 2.当x =15时,y =16 75;当x =25时,y =24 45.结合问题的要求以一次函数y =0 77x +5 2为模型较好.
生:老师,我们再看计算机是怎样选取模型的!(学生的求知欲望已经超出教师的预料)
师
:好,我们再用计算机进行数据拟合.(教师实时操作)
生:按计算机处理的直线方程y =0 6929x +6 55(图4),我们验算所列出的三个点均不在这条
直线上,那么这样的数学模型合理吗?
图4
师:这位同学的质疑很好!刚才一个同学用两种直线方程作为模型,均不合适,而计算机给出的模型又不经过这三个点,这个方程是如何推导出来的呢?原来在平面直角坐标系中选取一条直线,使这些已知点到此直线的距离之和最小,误差就最小(画草图).这样的直线就叫做回归直线,对应方程就叫做线性回归方程.以后我们还会继续研究.
师:还有没有其他函数模型?(学生讨论交流)生:我们认为选取幂函数作为函数模型也可以.师:敢于设想,不错!说说你的思路.
生:设函数y =ax b
+c,其中a,b,c 均为常数.将
三个点的坐标代入,得方程组a 5b +c =10 4,
a 10b
+c=12 9,a 20b +c=20 6.
转
化为a 5b
(2b
-1)=2 5,a 5b
2b
(2b
-1)=7 7.
得2b
=
7 7
2 5
=3 08,故b =
ln 3 08
ln 2
.下面不会计算了.(如何计算a,b,c 的值?学生又陷入困境,教师及时指导,提示利用对数与指数的知识求解.有的学生提出用计算器计算)
师:下面我们用计算机来计算,我说操作要点和公式的输入方法,请一位同学来操作.(师说生做)
生:b =1 623,5b =13 626,代入方程组求出a =0 088,c =9 198.故函数的解析式为y =
0 088x
1 623
+9 198.
师:很好!再请一位同学来演示计算x =15和x =25时的函数值(略).
师:函数模型的选取对于我们的计算是一种严峻的考验.现在我们再来看用计算机进行数据拟合结果如何?也请一位同学仿照我前面的操作过程来演示(图5).
师:我们已经选取了四种不同的函数进行研究,发现结果均不相同,R 2越接近于1,说明函数模型就越好.比较上述四种模型,大家可以看出哪个较好?
生:第一是二次函数、第二是指数函数类型、第三是一次函数、第四是幂函数类型.
