专题六 分类讨论型问题探究学生

中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。

形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。

二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。

三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。

四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。

五、教学用具打印互动背景资料、三角板、多媒体。

六、作业布置附后1：分式方程无解的分类讨论问题例题1：（2011武汉）=+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得：1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或例题2：（2011郴州） ==--+a 2112无解，求x a x2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3：（2010上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。

（1） 当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，41-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。

一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。

数学教研组²复习专题分类讨论问题数学教研组 鲁长友我们先看一个熟知的问题：一张正方形的桌子，锯掉一个角后，还剩几个角？不假思索者答：4-1=3，还剩3个角。

自以为聪明者答：反而多一个，应该是5个。

实际上，以上答案都不全面，因为“锯掉一个角”这个条件并不明确，所以应该分以下三种情况来进行解答：（如图1）根据以上图示的锯法，所以这个问题的答案应该是：还剩5个角，或者4个角，或者3个角。

象上面这样的问题，因为条件不明确而其解答过程和答案不唯一。

近年各地中考试题中，经常出现一些需要分类考虑的问题．本文就常见的类型举例进行介绍如下。

一、与绝对值概念有关的问题 如果∣X ∣=a ，则x=±a 。

例：如果∣a ∣=3，∣b ∣=5，则a+b= 。

解：a=±3，b=±5，a+b 的值分别为： ①a+b=2+3=5； ②a+b=-2+3=1； ③a+b=2-3=-1； ④a+b=-2-3=-5。

二、与偶次方根有关的分类求解如果x 2n=a ，那么x=±2na 。

如x 2=9，则x=±3 。

三、与三角形有关的分类求解 1．角的计算．例1、已知等腰三角形的一个内角50°，则其它两角的度数是 ．分析：50°的角有可能为底角，也有可能为顶角，故必须分类求解．解(1)当50°的角为底角时，则顶角为180°一2³ 50°=80°(2)当50°的角为顶角时，则底角为 21（180°-50°）=65° 故应填 50°、80°或65°、65°．例2、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45。

，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．分析：根据题意，可画出如图所示的两种图形：(1)当垂足在腰上时，如图∠A=45° (2)当垂足在腰的延长线上时，如图，得∠BAC=90°+45°=135°．故应填45~或135。

中考压轴题分类之分类讨论如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法.它是一种比较重要的解题方法，也是近年来中考命题的热点内容之一；要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1)分类中的每一部分是相互独立的；（2)一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4)以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型初中数学中的分类讨论问题往往是不容易掌握好的一类问题，碰到此类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时得分率偏低，分类讨论问题主要有：1、代数类:代数有绝对值、方程及根的定义，分式、根式方程、方案策划、函数的定义以及点(坐标未给定）所在象限等；函数定义域变化；函数图象未给出;函数对称性(反比例函数的图象,二次函数）2、几何类：几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等；3、综合类：代数与几何分类情况的综合运用。

一、代数类专练例1。

代数式aabbabab||||||++的所有可能的值有（）A. 2个B. 3个C. 4个D。

无数个例2：化简：｜x—1｜+|x-2｜例3：代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有（ ） A 。

初三数学专题复习—分类讨论问题在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。

另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。

把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。

它体现了数学中化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。

分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。

分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．一、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足， 则第三边长为 。

例2. ⊙O 的半径为5㎝，弦AB ∥CD ，AB ＝6㎝，CD ＝8㎝， 则AB 和CD 的距离是（ ）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝ 例3. 如图，正方形ABCD 的边长是2，BE ＝CE ，MN ＝1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动。

当DM ＝ 时，△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似。

例4. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝900，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。

设运动时间为秒。

⑴设△BPQ 的面积为S ，求S 与之间的函数关系式。

⑵当为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、练习1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0)2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，2x x ＞，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( ) A ．± 6 B ．4 C ．±6或4 D ．4或－ 63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，4 4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或85．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝k x(k ≠0) 的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A．－2或 2 B．－22或22C.22D. 26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．一个等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角是°7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P有_____个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为多少？9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为多少？10．(柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF 是直角三角形．11．(南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．12、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。