函数分类讨论型问题的求解策略

二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。

二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。

一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。

它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。

例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。

（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。

（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。

当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。

（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。

本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。

二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。

例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解 由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。

含参数的方程、不等式的问题解题策略含参数的方程、不等式的问题是历年高考常考的题型，由于含有参数对很多同学来说感到困难重重，一重困难是选择什么样的解题方法（如2012年山东卷第12题)，二重困难是含参数问题涉及到的分类讨论(如2017年全国卷1第21题)，根据我多年的研究发现，（1）这类题目解题方法有规可循，基本方法有：分离参数构建函数，不分离参数构建函数，半分离参数构建函数，总之，如何构建函数是解题的关键。

（2）很多求参数取值范围的问题，其实有时可以避开分类讨论这个陷阱。

本文就结合实例谈谈这类问题的求解策略。

一、分离参数构建函数：若方程或不等式中的参数容易分离出来，即参数分离 在方程或不等式的一边，另一边是关于自变量的函数，分离后的函数不复杂，容易求出导函数，容易研究函数的性质，就选择分离参数法构建函数。

例1（2017年全国高考卷1第21题）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+-- 若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.分析：2f(x)=ae (-2)e x x a x +-有两个零点，转化为方程2(2)0x x ae a e x +--=有两个根先分离参数22a x x x e x e e +=+，令222(1)(21)()g ()(1)x x x x x x x e x e x e g x x e e e e +-+-+'==++，设1x h x -+（x)=-e ，则()h x 递减，(0)0h =当(,0)x ∈-∞时()0h x > ()0g x '∴>()g x ∴递增，当(0,)x ∈+∞时，()0,()0,()h x g x g x '<∴<∴递减，所以当x →+∞时()0g x →,当x →-∞时，g(x)-→∞如图01a ∴<<评析：查阅高考评分标准，看出对参数a>0共分了三种情况讨论：（1）a=1（2）a>1（3）0<a<1，其中0<a<1时，要用函数零点的判定定理，找区间端点时非常困难，绝大多数同学完成不了。

数学应用数学函数解决实际问题的技巧与策略数学在日常生活中扮演着重要的角色，特别是数学函数在解决实际问题时具有显著的作用。

本文将探讨数学应用数学函数解决实际问题的技巧与策略，帮助读者更好地应用数学函数解决各种实际问题。

1. 明确问题：首先，在应用数学函数解决实际问题之前，我们需要明确问题的具体内容和要求。

明确问题可以帮助我们更好地选取适用的数学函数，并确定解决问题所需的方法和步骤。

2. 寻找数学模型：在解决实际问题时，我们可以将问题转化为数学模型，然后通过数学函数对其进行描述和求解。

因此，要仔细观察问题中的各个因素和变量，并通过逻辑推理建立相应的数学模型。

3. 选择适当的函数：根据问题的特点和要求，我们需要选择适当的数学函数来解决问题。

常用的数学函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

选择适当的函数可以使问题的求解更加简单和高效。

4. 运用数学工具：解决实际问题时，我们可以借助数学工具和软件来辅助计算和绘制图形。

例如，使用微积分求解函数的极值点、拐点和曲线的凹凸性；使用统计学方法分析数据的趋势和规律等。

5. 迭代与优化：在实际问题中，往往需要进行迭代和优化来得到更加准确和可行的解。

通过不断调整数学函数中的参数，我们可以逐步逼近问题的解，并找到最优的解决方案。

6. 实际应用：最后，我们需要将得到的数学解决方案应用到实际生活中。

在应用过程中，需要注意解决方案的可行性和可持续性，考虑到各种实际因素，如成本、时间、资源等。

在实际问题中，数学应用数学函数是一种重要的思维工具和解决方法。

通过合理运用数学函数，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。

因此，掌握数学应用数学函数解决实际问题的技巧与策略对于我们的日常生活和学习都具有重要的意义。

最后，我们需要注意，在解决实际问题时，数学函数只是问题解决的工具之一，还需结合实际情况和领域知识进行综合分析和判断。

通过不断的实践和学习，我们可以不断提升数学应用数学函数解决实际问题的技巧和策略，为实际问题的解决提供更加有效和可行的方法。

高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。

对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。

化抽象为具体,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。

一、数形结合使抽象函数具体一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n 个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。

例1、设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-，若当x (]5,0∈时，()f x 是增函数且f(2)=o 求不等式x ()0f x <的解。

分析：f(x)的图像如图所示x>0时2<x 5≤x<0时-2<x 0≤例2、已知函数f （x ）对一切实数x 都有f （2+x ）=f （2-x ），如果方程f （x ）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。

分析：由f （2+x ）=f （2-x ）知直线x=2是函数图象的对称轴，又f （x ）=0有四根，现从大到小依次设为x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1与x 4，x 2与x 3均关于x=2对称，∴x 1+x 4=x 2+x 3=2×2=4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=8。

评注：一般地，若函数f （x ）满足f （a+x ）=f （a-x ），则直线x=a 是函数图象的对称轴，利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。

二、利用单调性定义使问题具体加上函数符号f 即为“穿”，去掉函数符号f 即为“脱”。

对于有些抽象函数，可根据函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。

例3已知f(x)是定义在（0，）上的增函数，且f(y x )=f(x)-f(y)，若f(6)=1，解不等式。

f(x+5)-f(x1)<2分析：由f(6)=1，f(yx )=f(x)-f(y)得：f(636)=f(36)-f(6)，所以f(36)=2。

微专题08 函数解析式的求解策略【方法技巧与总结】 函数解析式的求解策略有：（1）直接法：已知()f x 的解析式，求(())f g x 的解析式类型，直接将()g x 整体代入()f x 中的x ； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式；（3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数(())f g x 的解析式求()f x 的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令()g x t =，反解出x ，然后代入(())f g x 中得到()f t ，进而得到()f x 的解析式；（4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个f 的解析式，最后可以得到()f x 的解析式；（5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含x ，y ）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式．【题型归纳目录】题型一：已知函数类型求解析式 题型二：已知(())f g x 求解析式 题型三：求抽象函数的解析式 题型四：求解析式中的参数值 题型五：函数方程组法求解析式 【典型例题】题型一：已知函数类型求解析式例1．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 是一次函数，2(2)3(1)5f f -=，()()2011f f --=-，则()f x =（ ）A ．32x +B ．32x -C ．23x +D ．23x -【答案】D【解析】依题意，设(),0f x kx b k =+≠，则有2(2)3()52()1k b k b b k b +-+=⎧⎨--+=-⎩，解得2,3k b ==-，所以()23f x x =-. 故选：D例2．（2022·全国·高一课时练习）设()f x 为一次函数，且()()41f f x x =-．若()35f =-，则()f x 的解析式为（ ）A ．()211f x x =-或()21f x x =-+B ．()21f x x =-+C ．()211f x x =-D ．()21f x x =+【答案】B【解析】设()f x kx b =+，其中0k ≠，则()()()()241f f x k kx b b k x kb b x =++=++=-，所以，241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =-⎧⎨=⎩或213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩.当2k =-时，()21f x x =-+，此时()35f =-，合乎题意； 当2k =时，()123f x x =-，此时()1733f =，不合乎题意.综上所述，()21f x x =-+. 故选：B.例3．（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数23m my x-=(0m ≠且3m ≠)的图象在第一象限交于点A 、B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A 、B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E 、D ．已知()4,1A ，4CE CD =．(1)求m 的值和反比例函数的解析式；(2)若点M 为一次函数图象上的动点，求OM 长度的最小值． 【解析】（1）由已知点()4,1A 为函数23m my x-=上的点，所以2314m m-=，解得：4m =或1m =-， 所以反比例函数的解析式为4y x=； （2）因为()4,1A ，所以4AE =由已知CDE △与CEA 相似，4CE CD =，所以4EA DB =，所以1DB =，故点B 的横坐标为1， 又点B 在函数4y x=的图象上， 所以B 的坐标为(1,4)，因为点,A B 都在函数y kx b =+的图象上， 所以4k b +=，41k b +=， 所以1k =-，5b =，所以5OF =，5OC =，由COF 为直角三角形， 设点O 到直线CF 的距离为d ， 则5255d ⨯⨯，故522d =， 又当OM CF ⊥时，OM 的长度最小， 所以OM 52. 例4．（2022·全国·高一课时练习）在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-，且()03f =，③()2f x ≥恒成立，且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数()f x 的图像经过点（1，2），______.(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 在[)1,-+∞上的值域. 【解析】（1）选条件①.设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++.因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.因为函数()f x 的图像经过点（1，2），所以()1122f a b c c =++=-+=，得3c =.故()223x x x f =-+.选条件②.设()()20f x ax bx c a =++≠，则函数()f x 图像的对称轴为直线2b x a=-.由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故()223x x x f =-+.选条件③设()()20f x ax bx c a =++≠.因为()03f =，所以3c =.因为()()21f x f ≥=恒成立，所以()13212f a b b a⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，故()223x x x f =-+.（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+.因为1x ≥-，所以()210x -≥， 所以()2122x -+≥.所以()f x 在[)1,-+∞上的值域为[)2,+∞.例5．（2022·全国·高一专题练习）设()f x 是一次函数，且()43f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式. 【解析】设()()0f x ax b a =+≠，则()()()2=43f f x af x b a ax b b a x ab b x =+=++=+++⎡⎤⎣⎦,所以243a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或23a b =-⎧⎨=-⎩，所以函数()f x 的解析式为()21f x x =+或()23f x x =--.例6．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x ； （2）已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，求()f x . 【解析】（1）设()(0)f x ax b a =+≠，则2(())()()f f x f ax b a ax b b a x ab b =+=++=++ 因为(())41f f x x =-，所以241a x ab b x ++=-所以241a ab b ⎧=⎨+=-⎩解得213a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21a b =-⎧⎨=⎩ 所以1()23f x x =-或 ()21f x x =-+（2）设2()(0)f x ax bx c a =++≠ 由(0)1f =，得1c = 由(1)()2f x f x x +-=得22(1)(1)112a x b x ax bx x ++++---=整理，得22ax a b x ++=所以220a a b =⎧⎨+=⎩ 所以11a b =⎧⎨=-⎩ 所以2()1f x x x =-+例7．（2022·全国·高一专题练习）若二次函数()f x 满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x . 【解析】因为二次函数()f x 满足(0)1f =；所以设2()1f x ax bx =++， 则：22(1)(1)(1)112f x a x b x ax bx ax a b +=++++=+++++； 因为(1)()2f x f x x +-=，所以221212ax bx ax a b ax bx x +++++---=；∴22ax a b x ++=；∴220a a b =⎧⎨+=⎩；∴1a =，1b =-；∴2()1f x x x =-+. 故答案为：21x x -+ .例8．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知f （x ）是一次函数，且满足f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋3，求f （x ）的解析式．（2）若二次函数g （x ）满足g （1）＝1，g （－1）＝5，且图象过原点，求g （x ）的解析式． 【解析】（1）设f （x ）＝kx ＋b （k ≠0），则f （x ＋1）－2f （x －1）＝kx ＋k ＋b －2kx ＋2k －2b ＝－kx ＋3k －b ， 即－kx ＋3k －b ＝2x ＋3不论x 为何值都成立，∴2,33,k k b =-⎧⎨-=⎩解得2,9,k b =-⎧⎨=-⎩∴f （x ）＝－2x －9.（2） 设g （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），∵g （1）＝1，g （－1）＝5，且图象过原点，∴1,5,0,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得3,2,0,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴g （x ）＝3x 2－2x .题型二：已知(())f g x 求解析式例9．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）若函数()221)20(1x f x x x --=≠，则（ ）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()24101()f x x x =-≠-D ．()2214()1011x f x x x x =-≠≠-⎛⎫⎪⎝⎭且 【答案】AD【解析】令()121x t t -=≠，则12t x -=，所以2221142()1(1)12t f t t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭==---⎛⎫⎪⎝⎭，则24()1(1)(1)f x x x =-≠-，故C 错误；1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；()23f =，故B 错误； 22214411(1)11x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭（0x ≠且1x ≠），故D 正确． 故选：AD ．例10．（2022·全国·高一课时练习）已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.【答案】()1,+∞ 【解析】令1x t x +=，则111t x=+≠，所以11t x =-， 所以()()211f t t =-+，故()f x 的解析式为()()()2111f x x x =-+≠，其值域为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.例11．（2022·全国·高一课时练习）已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.【解析】222121x x x x ⎛⎫-=- ⎝+⎪⎭，因为2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭212x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以()22f x x =+，故答案为：22x + .例12．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知(1)2f x x x =+()f x 的解析式为（ ） A ．2()1f x x =- B ．()21(1)f x x x =->C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()1(0)f x x x =-≥【答案】C【解析】因为()2(1)211f x x x x =+=-令()11t x t =≥，所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选：C.例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()22f x x x =+ B ．()268f x x x =++ C ．()24f x x x =+D ．()286f x x x =++【答案】A【解析】方法一（配凑法）∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++， ∴2()2f x x x =+.方法二（换元法）令2t x =+，则2x t =-，∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+， ∴2()2f x x x =+. 故选：A例14．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（ ）A 6B 6或6-C ．6-D ．3【答案】B【解析】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=故选；B例15．（2022·全国·高一专题练习）设()23f x x =+，()()21g x f x +=-，则()g x =（ ） A ．21x + B ．23x -C ．21x -D ．23x +【答案】B【解析】因为()23f x x =+，所以()()1=21321f x x x --+=+ 又因为()()21g x f x +=-，所以()221g x x +=+， 令2x t +=，则2x t =-，()()22123g t t t =-+=-，所以()23g x x =-. 故选：B.题型三：求抽象函数的解析式例16．（2022·全国·高一课时练习）已知()01f =，对于任意实数x y ，，等式()()()21f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式.【解析】对于任意实数x y 、，等式()()()21f x y f x y x y -=--+恒成立，不妨令0x =，则有 ()()()()201111f y f y y y y y y -=--+=+-=-+ 再令y x -=，得函数解析式为：()2 1.f x x x =++例17．（2022·全国·高一课时练习）定义在实数集上的函数()f x 的图象是一条连绵不断的曲线，x ∀∈R ，()()()3266f x x f x x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()f x 的最大值为1，最小值为0．(1)求()1f 与()1f -的值； (2)求()f x 的解析式．【解析】（1）令1x =，则()()()321111f f f +=+，得()()()()211111f f f -=-∴()()()()2111100f f f x +-=≥，（） ∴()11f =令1x =-，则()()()321111f f f -+=-+-，同理()11f -=；（2）由()()()2366f x x f x x x f ⎡⎤+=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 得()()2610fx x f x ⎡⎤--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()3310f x x f x x f x ⎡⎤⎡⎤-+-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这说明x ∀∈R ，()f x 至少与1，3x ，3x -其中之一相等 ∵()f x 的最大值为1，最小值为0∴在区间(],1-∞和[)1,+∞上，一定有()1f x =()0f x =只能在0x =处取得，因此()00f =又∵函数()f x 的图象是一条连绵不断的曲线 ∴()f x 的解析式为()(][)()[)331,,11,,1,0,0,1x f x x x x x ∞∞⎧∈-⋃+⎪=-∈-⎨⎪∈⎩例18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()y f x =满足：对一切实数a 、b ，均有()()()21f a b f b a a b +-=++成立，且()10f =．(1)求函数()y f x =的表达式； (2)解不等式()34f x -<．【解析】(1)由已知等式()()()21f a b f b a a b +-=++，令1a =，0b =，得()()102f f -=．又()10f =，所以()02f =-．再令0b =，可得()()()01f a f a a -=+，即()()12f a a a =+-． 因此，函数()y f x =的表达式为()()12f x x x =+-． (2)因为()()124f x x x =+-<的解集为()3,2-， 所以令332x -<-<，解得15x <<， 即原不等式的解集为(1,5)．例19．（2022·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）已知函数()f x 对一切的实数x ，y ，都满足222()()632f x y f x y x y xy x y +--=++++-，且(0)2f =-.（1）求(2)f 的值； （2）求()f x 的解析式； （3）求()f x 在[)3,1-上的值域.【解析】（1）令1,x y ==则2(2)(0)11613210,f f -=++++-=(0)2,(2)4;f f =-∴=（2）令0y =则222()()2,()2f x f x x x f x x x -=+-∴=+-； （3）()f x 对称轴为[)11,32x =-∈-， min max 9(),()44f x f x ∴=-=，9(),44f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦．例20．（2022·上海·高一专题练习）函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()21f x y f y x y x +-=++成立，且()10f =.求()f x 的解析式；【解析】令1x =，0y =，则()()()1001011f f +-=++⨯，即()002f -=，()02f ∴=-.令0y =，则()()()201f x f x x x x -=+=+，()22f x x x ∴=+-.例21．（2022·江苏·高一课时练习）已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．1-【答案】A【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=， 则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =-+，则有()21f t t t =-+=，解可得1t =-，则()21f x x =--，故(2)413f -=-=； 故选：A.例22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有()34f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则()2f 的值是（ ）A ．2B ．4C ．7D ．10【答案】C 【解析】()f x 在R 上是单调函数，∴可令()3f x x t -=，()3f x x t ∴=+，()44f t t ∴==，解得：1t =，()31f x x ∴=+，()23217f ∴=⨯+=.故选：C.例23．（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数()y f x =，x ∈R ，且()02f =，()()0.520f f =，()()120.5f f =，…，()()()0.520.51f n f n =-，*n N ∈，则满足条件的函数()f x 的一个解析式为________. 【答案】()24x f x =⨯ 【解析】由己知得(1)(0.5)(1)4(0)(0)(0.5)f f f f f f =⋅=，2(2)(0.5)(1)(1.5)(2)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=， 3(3)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)(3)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)f f f f f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅⋅⋅=， ()4(0)x f x f ∴=，又(0)2f =，()24x f x ∴=⨯ 故答案为：()24x f x =⨯例24．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 满足,,()()()x y f xy f x f y ∀∈=R ，写出一个符合要求的解析式()f x =_________． 【答案】x(答案不唯一)【解析】因为函数()f x 满足,,()()()x y f xy f x f y ∀∈=R ， 所以()f x =x ，故答案为：x ,答案不唯一题型四：求解析式中的参数值例25．（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知函数()q f x px x =+（p ，q 为常数），且满足5(1)2f =，17(2)4f =. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若0x ∀>，关于x 的不等式()3f x m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】(1)()()512{1724f f ==，∴52{17224p q q p +=+=，解得2{12p q ==，∴函数()f x 的解析式为1()2(0)2f x x x x=+≠. (2)0x >，∴由基本不等式可得()11222222f x x x x x=+≥⋅=， 当且仅当122x x =，即12x =时取等号， ∴当0x >，函数()212f x x x=+的最小值是2， 要使0x ∀>，关于x 的不等式()3f x m ≥-恒成立，只需()min 3f x m ≥-， 所以23m ≥-，解得m 1≥. ∴实数m 的取值范围是[1,)+∞例26．（2022·江苏省盱眙中学高一阶段练习）已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则（ ） A ．3c ≤ B ．36c <≤C ．69c <≤D ．9c >【答案】C【解析】由已知得(1)(2)(1)(3)f f f f -=-⎧⎨-=-⎩,即184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩， 又0(1)63f c <-=-≤，所以69c <≤， 故选：C.例27．（2022·全国·高一）已知()()()222f x x x x ax b =+++，若对一切实数x ，均有()()2f x f x =-，则()3f =___. 【答案】15-【解析】由对一切实数x ，均有()()2f x f x =-可知()()()()0213f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即08(42)(1)15(93)a b a b a b =++⎧⎨--+=++⎩解之得68a b =-⎧⎨=⎩ 则()()()22268f x x x x x =+-+，满足()()2f x f x =-故()()()223323363815f =+⨯-⨯+=-故答案为：15-题型五：函数方程组法求解析式例28．（2022·全国·高一专题练习）若函数f （x ）满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则f （x ）可以是___．（举出一个即可）【答案】()()10f x x =≠【解析】若()()10f x x =≠，满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.若()21xf x x =+，满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故答案为：()()10f x x =≠，答案不唯一.例29．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 满足()2()23f x f x x +-=+，则()f x =___________. 【答案】21x -+【解析】因为()2()23f x f x x +-=+①， 所以()2()2()3f x f x x -+=⋅-+②， ②2⨯-①得，()21f x x =-+． 故答案为：21x -+．例30．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 是R →R 的函数，满足对一切x ∈R ，都有()()22f x x f x +-=，则()f x 的解析式为()f x =______．【答案】2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩ 【解析】由()()22f x x f x +-=，得()()()222f x x f x -+-=， 将()f x 和()2f x -看成两个未知数，可解得()()211f x x x=≠-， 当1x =时，()()()212112f f -+-=，解得()11f =，综上，()2,1,11, 1.x f x xx ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 故答案为：2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩. 例31．（2022·重庆市江津中学校高一阶段练习）已知函数()f x 满足()()21f x f x x --=，则()1f =_________【答案】13-【解析】令1x t -=，则1x t =-， 所以()()121f t f t t --=-① 因为()()21f t f t t --=②由①2⨯+②得()32f t t -=-，所以()23tf t -=-，即()23x f x -=-，所以()113f =-故答案为：13-例32．（2022·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习）已知函数()f x 对0x ≠的一切实数都有()202132f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()2021f =______．【答案】10092-【解析】()()2021322021202132?f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，()202186?2f x x x ∴=-，()320211·44f x x x ∴=-，()100920212f ∴=-， 故答案为：10092-. 例33．（2022·全国·高一课时练习）已知12()(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.【解析】利用方程组法求解即可：因为12()(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，所以()112(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，消去1f x ⎛⎫⎪⎝⎭解得()2133x f x x =-，()(),00,x ∈-∞⋃+∞ 故答案为：2133x x-，()(),00,x ∈-∞⋃+∞. 例34．（2022·全国·高一专题练习）若对任意实数x ，均有()2()92f x f x x --=+，求()f x . 【解析】利用方程组法求解即可； ∵()2()92f x f x x --=+（1） ∴()()()292f x f x x --=-+（2） 由(1)2(2)+⨯得3()96f x x -=-+， ∴()32()f x x x R =-∈.故答案为：32x - .【过关测试】一、单选题 1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 为一次函数，且()()3751f f ==-，，则()1f =（ ） A ．15 B ．15-C ．9D ．9-【答案】A【解析】设()f x kx b =+，则3751k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得419k b =-⎧⎨=⎩，()419f x x ∴=-+，()141915f ∴=-+=．故选：A2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()2156f x x +=-，且()9f t =，则t =（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】()()51721562122f x x x +=-=+-, ()51722f x x ∴=-. ()517922f t t ∴=-=,解得7t =．故选：A.3．（2022·全国·高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A ．11分钟B ．12分钟C ．15分钟D ．20分钟【答案】C【解析】当010x ≤≤时，设y kx =， 将点(10,8)代入y kx =得：108k =，解得45k =，则此时45y x =， 当10x >时，设a y x=， 将点(10,8)代入ay x=得：10880a =⨯=， 则此时80y x=， 综上，()4010580(10)x x y x x⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，当010x ≤≤时，445x =，解得5x =，当10x >时，804x=，解得20x ，则当4y ≥时，520x ≤≤，所以此次消毒的有效时间是20515-=（分钟）， 故选：C ．4．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（ ）A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【答案】C【解析】由题意得，()10f =，又()()0130f f +=， ∴()00f =，()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==. ∵()2,1x ∈--，∴()20,1x +∈，∴()()()()()21144311221399929f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=++=+- ⎪⎝⎭，故当32x =-时，()f x 取得最小值19-.综上，当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是19-.故选:C.5．（2022·吉林油田高级中学高一期中）若(1)1f x x =+，则()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x =B ．2()22(0)f x x x x =-+≥C ．2()22(1)f x x x x =-+≥D ．2()1f x x =+【答案】C1x t =，1t ≥，则2(1)x t =-， 则22()(1)122f t t t t =-+=-+，1t ≥， ∴函数()f x 的解析式为2()22(1)f x x x x =-+≥. 故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 满足()12()3f x f x x +=，则()f x 等于（ ）A ．12x x--B ．12x x-+ C ．12x x +D ．12x x-【答案】D【解析】把()12()3f x f x x +=①中的x 换成1x ，得()132()f f x x x+=②由①2⨯-②得()()31362f x x f x x x x=-⇒=-. 故选：D7．（2022·浙江·高一阶段练习）设()y f x =在定义域(0,)+∞上是单调函数，当()0,x ∈+∞时，都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则(3)f 的为A ．2B ．3C ．32D ．43【答案】D 【解析】设1()f x t x -=,则()2f t =,1()f x t x=+ ∵()y f x =在定义域(0,)+∞上是单调函数 ∴方程()2f t =只有一解,即t 为定值.又∵()12f t t t =+=∴1t =即()14333f t =+=故选：D.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（ ） A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3 【答案】B【解析】用3x -代替原方程中的x 得：f (3－x )＋2f [3－(3－x )]＝f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2＝x 2－6x ＋9，∴22()2(3)(3)2()69?f x f x x f x f x x x ⎧+-=⎨-+=-+⎩消去(3)f x -得：－3f (x )＝－x 2＋12x －18，21()463f x x x ∴=-+.故选：B 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数)123f x x x =，则（ ）A ．()17f =B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258-D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 【答案】AD【解析】令11t x =≥-1x t =+，则()21x t =+，得)()2125fx f t t t ==+，故()225f x x x =+，[)1,x ∞∈-+，()17f =，A 正确，B 错误.()2252525248f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)1,-+∞上单调递增，()()min 13f x f =-=-，()f x 的图象与x 轴只有1个交点，C 错误，D 正确.故选：AD10．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．若y ＝f (x )是一次函数，则y ＝f (f (x ))为一次函数 B ．若y ＝f (x )是二次函数，则y ＝f (f (x ))为二次函数 C ．若y ＝f (x )是二次函数，f (x )＝x 有解，则f (f (x ))＝x 有解 D ．若y ＝f (x )是二次函数，f (x )＝x 无解，则f (f (x ))＝x 无解 【答案】AC【解析】A.因为y ＝f (x )是一次函数，设()(0)f x kx b k =+≠，则()()2(0)f kx b k kx b b k x kb b k +=++=++≠，即y ＝f (f (x ))为一次函数，故正确；B. 因为y ＝f (x )是二次函数，设()2(0)f x ax bx c a =++≠，则()()()2222f ax bx c a ax bx c b ax bx c c ++=++++++，34222232222222a x ab x abcx ac a bx a cx abx b x bc c =+++++++++，()()342322222222(0)a x a bx ab ab a c x b abc x ac bc c a =+++++++++≠所以 y ＝f (f (x ))不是二次函数，故错误；C.因为f (x )＝x 有解，设0x ，则()00f x x =，所以()()()000f f x f x x ==，则f (f (x ))＝x 有解，故正确；D.若f (x )＝x 无解，即()210ax b x c +-+=无解，则()2140b ac ∆=--<，由()()()2222=f ax bx c a ax bx c b ax bx c c x ++=++++++,得()()34232222222210(0)a x a bx ab ab a c x b abc x ac bc c a ++++++-+++=≠，此方程不是一元二次方程，故根据()2140b ac ∆=--<，无法判断方程是否有解，故错误； 故选：AC11．（2022·全国·高一课时练习）一次函数()f x 满足：(())43f f x x =+，则()f x 的解析式可以是（ ） A ．()f x =21x + B ．()f x =12x - C ．()f x =23x - D ．()f x =23x --【答案】AD【解析】设()()0f x kx b k =+≠，则()2(())43f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以243k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩或23k b =-⎧⎨=-⎩，即()21f x x =+或()23f x x =--． 故选：AD ．12．（2022·江西·模拟预测）已知一次函数1()(0)3f x x b b =-+≠满足2((0))f f b =，且点()Q m n ,在()f x 的图象上，其中0m >，0n >，则下列各式正确的是（ ）A ．43b =B ．32m n +=C ．13mn ≤D ．1123m n+≥ 【答案】BCD 【解析】21((0))()3f f f b b b b ==-+=，23b ∴=， 即12()33f x x =-+，故A 不正确；由()Q m n ,在函数图象上可得23m n -+=，即32m n +=，故B 正确； 由均值不等式可得323m n mn +=≥13mn ≤，故C 正确；因为111111313(3)(2)2223232323n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝， 所以D 正确. 故选：BCD 三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习）已知()2215f x x x =-++，则()2f x 的值域为______．【答案】(,16]-∞【解析】设2t x =，0t ≥，()()2221511616f t t t t =-++=--+≤，所以值域是(,16]-∞． 故答案为：(,16]-∞.14．（2022·全国·高一）已知函数()213f x x x +=-+，那么()1f x -的表达式是___________.【答案】259x x -+【解析】()213f x x x +=-+，令1x t ，则1x t =-，故()()()222113211335f t t t t t t t t =---+=-+-++=-+，故()235f x x x =-+，()()()222113152133559f x x x x x x x x -=---+=-+-++=-+故答案为：259x x -+15．（2022·全国·高一专题练习）若()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()f x =______．【答案】12855x x- 【解析】由()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，将x 用1x 代替得()1432ff x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭②，由①②得()12855x f x x-=. 故答案为：12855x x-. 四、解答题16．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知)24fx x x =+()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（4）已知()f x 的定义在R 上的函数，()01f =，且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）方法一 设2t x =，则2t ≥2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24f x x =-（2x ≥）.方法二 因为)()2224fx x =-，所以()()242f x x x =-≥．（2）因为()f x 是二次函数，所以设()()20f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以()21f x x x =-+．（3）因为()()22f x f x x x +-=-，① 所以()()22f x f x x x -+=+，② 2⨯-②①，得()233f x x x =+，所以()23x f x x =+．（4）方法一 令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，所以()21f x x x =++．方法二 令0x =，则()()()001f y f y y -=--+，即()21f y y y -=-+，令x y =-，则()21f x x x =++．17．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()2f x x =，求()21f x +的解析式；（2）已知()24fx x x =+()f x 的解析式；（3）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（4）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；21 （5）已知()f x 是R 上的函数，()01f =，并且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）∵()2f x x =，∴()()222121441f x x x x +=+=++．（2）设2t x =，则2t ≥2x t -，即()22x t =-， ∴()()()222424f t t t t =-+-=-，∴()()242f x x x =-≥．（3）∵()f x 是二次函数，∴设()()20f x ax bx c a =++≠． 由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ， 整理得()()220a x a b -++=，∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+．（4）∵()()22f x f x x x +-=-，①∴()()22f x f x x x -+=+，②②2⨯-①，得()233f x x x =+，∴()23x f x x =+．（5）令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=， ∴()21f x x x =++．。

浅谈抽象函数的几种问题求解策略摘要：抽象函数问题是近年来高考考查的热点之一，其中关于周期性、对称性是考查的重难点.本论文以高考常考题型为背景，较详细地归纳了各类题型及其解法点拨，并给出了历年高考题作为例题说明，对以周期性问题与对称性问题本文归纳了一些常考性质并给出了部分证明.关键词：抽象函数换元周期性奇偶性一、引言函数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点内容.近几年来，以抽象函数为背景或载体的函数问题成为高考函数命题的新亮点[1].所谓抽象函数是指没有给出具体的函数解析式和函数图象，只给出的的一些性质，并且它所涉及的知识较广泛，处理方法也不唯一，因此抽象函数是高中数学的一个难点.二、几种抽象函数问题的求解1、定义域问题在高中数学中，关于抽象函数的定义域问题一般会出现2种题型：对于已知或的定义域，求函数或的定义域的题型解法可表示为：若已知的定义域为，相当于已知的定义域为，据此求出的值域就是的定义域；若已知的定义域为，相当于已知的值域为，据此只要求出函数关于的定义域就是的定义域.对于已知函数的定义域，求函数的定义域(其中，均为关于的函数)，可利用的定义域作为过渡，也就是若已知的定义域，则先求出的定义域，然后由的定义域再求出的定义域.例1若函数的定义域是[0,2]，求函数的定义域.解：∵的定义域是[0,2]，则对于函数有，即.∴函数的定义域为[0,1].而分母不能为0，故.∴函数的定义域为[0,1).2、奇偶性、对称性问题在高中数学中，函数的对称问题是个难点也是重点，学生在学习的过程中感觉难以理解，而且易混淆.其实函数的对称性质只有两类：一类是函数自身对称；另一类是函数与函数的对称.其中对称又分为关于点对称、关于直线对称.另外，抽象函数的对称问题也可以转化为函数图象变化来考虑，通过函数图象按照题设的变化来找出其中的对称点或对称直线.下面将其几条对称性质加以归纳：性质1.对于函数，若为奇函数，则成立，那么函数的图象关于点对称[2].性质2.对于函数，若为偶函数，则成立，那么函数的图象关于直线对称[2].性质3.函数与函数的图象关于点对称[2].性质4.函数与函数的图象关于直线对称[2].例2设函数是定义在实数集上的偶函数，则函数与的图象关于（）1.直线对称 B. 直线对称 C. 直线对称 D. 直线对称解：若熟悉上述几种对称情况时不难知道选D.函数与函数关于y轴对称，函数是由函数向右平移了2个单位，函数是由向右平移了2个单位，故对称轴也向右平移了2个单位，由变为，故选D.3、周期性问题在高中数学中，函数的周期性考查较多，其中抽象函数的周期性问题常常与奇偶性、数列等知识结合考查，难度适中.要解决此类问题首先就要从题设中找到函数的周期，再结合其它知识那么这类问题就能够顺利解决.1.型如[3].令，则,即成立，即函数是以为周期.2.型如.，即函数是以为周期.3.型如.用代换,得到,即，即函数是以为周期.4.型如.用代换，则，即，即函数是以为周期.例3 已知函数的定义域为R，且满足，求证：是周期函数.证明：∵∴，即函数是以4为周期的周期函数.4、单调性问题在高中数学中，函数的基本性质是非常重要的，特别是函数的单调性是必考的内容之一，其中抽象函数的单调性问题主要会从三方面来考察：一是用定义证明函数的单调性；二是利用函数单调性求函数的最值；三是用函数的单调性求解不等式与证明不等式[4].下面对上述问题结合实例作简要说明：当抽象函数与不等式结合考查时一般就是求解不等式与证明不等式，此类问题的综合性较强而且比较繁琐，但是只要能够巧妙地利用赋值转化、反证、递推等特殊方法再结合不等式的性质，此类问题就迎刃而解了.例4 函数的定义域为，，对任意，，求的解集.解：设，则，即在时为增函数，由，即也就是的解为(-1,∞).所以的解为(-1,∞).5、函数值问题在高中数学中，关于抽象函数值得问题考查频率较高，一般会从值域、函数值、最大值、最小值、比较函数值大小等方面考查，值域、最大值、最小值问题一般考查会涉及单调性、奇偶性等内容.对于求函数值的方法一般是采用赋值法求解，也就是结合题设中的已知条件，取特定的值代入求解即可，其中在迭代的过程中容易出错.例 5 设函数的定义域为,且为偶函数，为奇函数，则（）解：因为函数为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，即.又为奇函数，所以.设，则，所以，所以.又易得到函数的周期为4，所以不一定为0.故选.小结本文主要对高中数学中经常出现的抽象函数问题进行归纳并给出解法及点拨，其中包括定义域问题、函数值问题、奇偶性问题、单调性问题、对称性问题、周期性问题等.通过历年高考数学题发现，高考涉及到的抽象函数问题难易程度一般都会偏难，其综合性较强，对学生的综合素养要求较高.本文尚有不足之处还望各位老师批评指正.参考文献[1] 袁建民，熊群，刘南山.应重视以抽象函数为背景的高考函数命题趋势[J].中学数学研究，2007，2：19-22.[2] 黄以民.抽象函数对称性的证明与辩证[J].考试（高考版），2003，04：47-48.[3] 郑艳.从抽象函数形式看函数性质[J].教育教学论坛，2011，15：200.[4] 张国栋.例谈抽象函数单调性问题的求解[J].中学数学研究，2006，7：31-32.。

2020中考数学压轴题：9种题型+5种策略数学压轴题不会做，没思路，怎么破？中高考的设立是为了高一级学校选拔优秀人才提供依据，其中中高考压轴题更是为了考查学生综合运用知识的能力而设计的题型，具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活等特点。

因此，如何解中高考数学压轴题成了很多同学关心话题。

下面介绍几种常用的压轴题的九种形式和解题策略，供大家参考学习！九种题型1线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

2图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

4一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

常见的分类讨论问题解题策略（仅供教师参考）许多数学问题由于受某些因素的限制，例如概念的不同，位置的不同，范围的不同，性质的不同等，不能按统一的方法、统一的标准或同一的公式来进行处理，这就需要我们对所研究的对象进行分类，然后进行讨论．分类讨论的思想法是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略．在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件和结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚，刻画得十分准确．在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用．有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样、综合性强，对于培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性有着十分重要的作用．▲引起分类讨论的因素：（1）涉及的数学概念是分类定义的；（2）涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；（3）涉及题中所给的限制条件或研究对象的性质而引起的；（4）涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；（5）涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的；（6）一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的．在解题中，我们要明确分类的原因是什么？对象是什么？掌握好分类的原则，这被称之为逻辑划分．同时，我们有要把握好分类讨论的时机，重视分类讨论的合理性和完整性．▲分类讨论的基本原则：（1）按引起讨论的原因分类；（2）不重复、不遗漏；即每一类均是定义域的真子集，任何两类的交集为空集，所有各类的并集为定义域；（3）每一类中自变量的取值对结论的影响是相同的；（4）分类应是最少的．12▲分类讨论的基本步骤：（1）确定讨论对象和研究的全域范围； （2）按照科学的分类原则进行分类； （3）逐类进行讨论； （4）归纳总结讨论的结果．每当我们努力解决一个非常复杂的问题时，如果能出现一个非常惊人的转折：它把这各个复杂的问题分解为若干的部分，通过简单的方法就能轻而易举的解决了，这就是我们平时所讲的真正的一种数学美．它展现了“建筑”结构上的“优美”，又让你体验了人类在追求的完美的目标，即数学的“简洁美”，清晰易懂和不失数学的严格性．因为人类学习数学的目的就是为了能尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界．下面就根据不同的分类原则，举例说明：一．按元素存在的不确定性进行分类讨论例1：已知非空集合({},log 0,0,1a M x y y t a a =-+=>≠且，(){}22,3N x y xy =+=，当MN =∅时，求t 得取值范围．解：设圆心()0,0到直线l o g 0a y t -+=的距离为d ，则MN d =∅⇔d =>当1a >时，log 3a t >，故3t a >或30t a -<<； 当01a <<时，3t a ->或30t a <<．点评：本题根据对数中底数的定义及性质进行分类，解决了不等式解的问题．例2：已知函数()c o s 23s i nc o s 2f x a x a x x a b =--++的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]5,1-，求常数,a b 的值．3解：化简函数表达式得()2cos 223f x a x a b π⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，210,2,cos 21233323x x x πππππ⎛⎫≤≤∴-≤-≤∴-≤-≤ ⎪⎝⎭， 当0a >时，()3b f x a b ≤≤+，31255a b a b b +==⎧⎧∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎩； 当0a <时，3()a b f x b +≤≤，12351b a a b b ==-⎧⎧∴⇒⎨⎨+=-=⎩⎩． 点评：本题根据函数单调性的定义进行分类，解决了函数的值域问题．二．按概念、定理、公式进行分类讨论：例3：已知直线l 经过点(3,1)P -，且被圆2225x y +=截得的弦长为8，求直线l 的方程．解：当l 的斜率不存在时，即l 垂直于x 轴时，如图所示，22225916AE r OE =-=-=，4,8AE AB ∴==，此时直线l 的方程为3x =-；当l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为()13y k x -=+，原点到直线的距离3OE =，即3OE ==，解得43k =，则此时直线l 的方程为43150x y -+=； 综上，直线l 的方程为3x =-或43150x y -+=．点评：本题根据斜率的存在性进行分类，也可不分类直接设直线的法向量，但计算相对要繁琐一些．4例4：如图，过点()0,B b -作椭圆()22221,0x y a b a b+=>>的弦BM ；（1）记()2BM f y =，写出()f y 的表达式； （2）求弦长BM 的最大值．解：（1）设(),M x y 为椭圆上任意一点， 则()222BM x y b =++，又由22221x y a b+=得()22222a x b y b =-，()()2222222222212a a BM b y y b y by a b b b ⎛⎫∴=-++=-+++ ⎪⎝⎭[]234222221,,a b a y y b b b a b a b ⎛⎫⎛⎫=--+∈- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭； （2）220,10a a b b>>∴-<，2BM ∴有最大值，又[],y b b ∈-，∴当322b b a b≤-时，即a ≥，则最大值在二次函数的顶点取到，即当322b y a b =-时，4222maxa BMa b =-； 当322b b a b>-时，即a <，则最大值在二次函数的端点取到，即当y b =时，22max4BMb =；综上，2max2,a BM b a ⎧≥=<⎩． 点评：本题利用变量y 的有界性，对二次函数的对称轴进行分类，从而解决了该函数的最值问题．5例5：已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为()0,1,2,n S n >=；（1）求公比q 的取值范围；（2）设2132n n n b a a ++=-，{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．解：（1）0n S >，可得110a S =>，且0q ≠，∴当1q =时，10n S na =>，成立；当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即()10,1,2,1nq n q->=-，解得()()()1,00,11,q ∈-+∞；综上，q 的取值范围是()()1,00,q ∈-+∞；（2）由2132n n n b a a ++=-，得232n n b a q q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，232n n T q q S ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则()2311222n n n n T S q q S q q S ⎛⎫⎛⎫-=--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0n S >，∴当()11,2,2q ⎛⎫∈--+∞ ⎪⎝⎭时，n n T S >；当12q =-或2q =时，n n T S =；当()1,00,22q ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，n n T S <．点评：本题根据等比数列中公比q 进行分类，划分的标准为1q =与1q ≠，公比1q =常常是等比数列求和中容易忽视的一个部分，必须要加以足够的重视．例6：已知222223231111n n n S r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记62n n T S n =+，1nn n T W T -=，其中0r ≠，求lim n n W →∞的值．解：()2462246211112n n n S r r r r n rr r r ⎛⎫=+++++++++- ⎪⎝⎭， 当1r =时，0n S =，则2,,lim 11n n nn nT n W W n →∞==∴=-， 当1r ≠时，()()()()22222222222111111221111nn n n n n r r r r r r S n n r r r r+⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+-=----， 则()()()22222111nn nnr r T r r +-+=-，22242222241n n n nn n nr r r W r r r r+++-+-=-+-， 若01r <<时，21lim n n W r→∞=； 若1r >时，2lim n n W r →∞=；综上，22101lim 111n n r r W r r r →∞⎧<<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩点评：本题先根据等比数列的不同取值来进行求和，再进一步根据公比的范围来求极限．例7：已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()f x 在[)0,+∞上是增函数，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求解关于x 的不等式()log 0,(0,1)a f x a a >>≠． 解：()f x 是偶函数，()()()log log log a a a f x f x f x ∴=-=，则有()1log 2a f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，7又()f x 在[)0,+∞上是增函数，1log 2a x ∴>，即1log 2a x >或1log 2a x <-， 若1a >，则x >或0x <<若01a <<，则0x <<或x >．点评：本题涉及到对数函数的单调性，应按底数进行分类．三．按参变量的取值范围进行分类讨论：例8：解关于x 的不等式20,x aa R x a -<∈-． 解：当2a a >，即01a <<时，解集为{}2x a x a <<； 当2a a =，即0a =或1a =时，解集为∅；当2a a <，即0a <或1a >时，解集为{}2x a x a <<．点评：本题根据涉及参数a 及2a 的大小，求解不等式，解题的关键是分类标准的划分．例9：设集合()21M a ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，{}23310N x x ax a =-+-≤，且M N ⊆，求实数a 的取值范围．解：对于集合:M ()2222121,221x a a x a a a ⎡⎤-≤-⇒∈--+⎣⎦，对于集合:N ()()1310x x a ⎡⎤---≤⎣⎦， 当311a -<时，即23a <时，[]31,1N a =-， 此时要满足M N ⊆，则2213102211a a a a a -≥-⎧⇒=⎨-+≤⎩；8当311a ->时，即23a >时，[]1,31N a =-， 此时要满足M N ⊆，则[]22111,222131a a a a a -≥⎧⇒∈⎨-+≤-⎩；当311a -=时，即23a =，此时{}15,,139M N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，不满足M N ⊆． 综上，{}[]01,2a ∈．点评：本题根据参数a 的大小来确定不等式的解集．例10：设a 为任意实数，函数()21,f x x x a x R =+-+∈， （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值．解：（1）当0a =时，()()()21f x x x f x -=-+-+=，则()f x 为偶函数； 当0a ≠时，()()221,21f a a f a a a =+-=++，显然()()f a f a-≠且()()f a f a -≠-，则()f x 既非奇函数又非偶函数； （2）当x a ≤时，()2213124f x x x a x a ⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭，若12a ≤，则()f x 在(],a -∞上，单调递减，则()2min 1f f a a ==+， 若12a >，则min 1324f f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；当x a ≥时，()2213124f x x x a x a ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭，若12a ≤-，则min 1324f f a ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，9若12a >-，则()f x 在[),a +∞上，单调递增，则()2min 1f f a a ==+；综上，当12a ≤-时，min 34f a =-+；当1122a -<≤时，2min 1f a =+；当12a >时，min 34f a =+．点评：本题根据所含有绝对值符号，作为分类的依据，去掉绝对值符号的主要策略是，先找零点，然后将定义域划分成几个子区间，再在各个子区间上去掉绝对值进行求解．例11：实系数方程22240x kx k a -+-=的两根为12,x x ，求()12f a x x =+的解析式．解：,k a R∈，12,x x ∴同为实根，或互为共轭虚根，()2244416k k a a ∆=--=，当0a ≥时，两根为实根，则2124x x k a ⋅=-，若204k a ≤≤，则120x x ⋅≥，则()12122f a x x x x k =+=+=，若24k a >，则120x x ⋅<，则()12121f a x x x x =+=-==；当0a <时，两根为共轭虚根，则()1212f a x x x =+=====；综上，()2220440k ka k f a a a ⎧≤≤⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪<⎪⎩10点评：本题根据判别式对实系数一元二次方程根的情况进行讨论．例12：已知函数()2f x x x =-，实数a 为何值时，集合(){sin x M x f x a ==-解：()2sin sin f x =即213sin ,24x a x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭根据图像可知，当34a -当304a -=或1344a <-<当3144a -=，即1a =时，有三解，即此时为三元集； 当31044a <-<，即314a <<时，有四解，即此时为四元集． 点评：本题在分类的同时还要利用数形结合的思想，将问题由难变易，由大变小，条理清晰．四．按图形的位置或形状不确定进行分类：例13：与不共面的四点等距离的平面有_________________个．解：当四个点中，有一个点在所求平面的一侧，另三个点在所求平面的另一侧，这样的平面有4个；当四个点中，有两个点在所求平面的一侧，另两个点在所求平面的另一侧，这样的平面有3个；综上，满足条件的平面共有7个． 点评：本题按照四点的不同位置进行分类，很好的解决了图形的不确定性．例14：已知常数0a >，如图所示，在矩形ABCD 中，4,4AB BC a ==，O11为AB 中点，,,E F G 分别在,,BC CD DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA==，P 为GE 与OF 的交点，问是否存在两个定点，使P 到这两点距离之和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．解：由题意知，()()()()2,0,2,0,2,4,2,4A B C a D a --， 设(),01BE CF DG k k BC CD DA===≤≤， 则()()()2,4,24,4,2,44E ak F k a G a ak ---，直线OF 的方程为()2210a x k y +-=，直线GE 的方程为()2120a j k x y a --+-=， 由这两个方程，消去k 得点(),P x y 的坐标满足方程222220a x y ay +-=， 即()222112y a x a -+=； 当212a =时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合条件的两点； 当212a ≠时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离之和为定长， 若212a <时，点P到该椭圆的焦点,a a ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭的距离之和为定值2， 若212a >时，点P到该椭圆的焦点0,,0,a a ⎛⎛+ ⎝⎝的距离之和为定值2a ．点评：本题根据参数2a 的取值进行分类，2a 值的不同直接影响点P 轨迹的形状．12 例15：已知直线y kx =与直线(),0y kx k =->分别与椭圆221Ax By +=，(),,a b R A B +∈≠相交于,C E 和,D F 两点； （1）用,,A B k 表示四边形CDEF 的面积S ； （2）当k 在区间(]0,1上变化时，求面积S 得最大值t ；（3）当21ABt >时，求A B的取值范围． 解：（1）由椭圆和直线的对称性可知，四边形CDEF 为矩形，若设(),C m n ，则4S mn =，22222222141x y kx k A Bk S A Bk Ax By ky A Bk ⎧=⎪=⎧⎪+⇒⇒=⎨⎨++=⎩⎪=⎪+⎩； （2）4S A Bk k =≤=+，当且仅当A Bk k =，即k =时，等号成立；(]0,1k ∈，∴当01A B <≤时，max S =； 当1A B>时，24k S A Bk =+在(]0,1上单调递增，∴当1k =时，max 4S A B =+；综上，0141A B t A A B B<≤=⎪>⎪⎩+； （3）当01A B <≤时，2441ABt AB AB =⋅=>恒成立，(]0,1A B∴∈； 当1A B >时，13 ()(221611407A B A ABt AB B A B A B =⋅>⇒+-<⇒∈-++，(1,7A B ⇒∈+； 综上，(](0,11,74A B ∈+点评：本题根据基本不等式取最值得条件进行分类，特别要注意基本不等式等号成立的条件，若娶不到这个最值，则根据函数的单调性来解决值域问题．例16：现有,,,A B C D 四个长方体容器，,A B 的底面积均为2a ，高分别为a 和b ，,C D 的底面积均为2b ，高分别为a 和b ，其中a b ≠，现规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中取出两个盛水，盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？解：根据题意可知，,,,A B C D 四个容器的容积分别为3223,,,a a b ab b ， 从四个容器中任取两个的取法有246C =，按游戏规则可分为三种情形：（1）先取,A B ，后取,C D ；（2）先取,A C ，后取,B D ；（3）先取,A D ，后取,B C ；也可交换前后顺序，共6种；0,0,a b a b >>≠，由不等式性质可证明3322a b a b ab +>+，所以先取,A D 为必胜的方案．点评：本题根据可能出现的情形进行分类，若游戏规则改变，则分类方式也将改变．。