初三数学 分类讨论型问题

分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。

综合中考的复习规律，我觉得分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

例1. 化简a 32a ---。

例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值 例3．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 变式思考：1.化简：1x 2x --+2.已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-=（1）若方程有实数根，求k 的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.例1. 已知0≠abc ，且,p ba c a cbc b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定过 A . 第一第二象限 B 第二第三象限 C 第三第四象限 D 第一第四象限例题2、如图（1）边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.（1）当t 取何值时，S ＝3？（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S 与t 的函数图像.变式思考： 1.已知实数b ,a 满足0ab ,1b a 22>=+，求22a 1b b 1a -+-的值。

分类讨论型问题一、选择题1. 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为(C )A ． 2 5 cmB ． 4 5 cmC ． 2 5 cm 或4 5 cmD ． 2 3 cm 或4 3 cm 【解析】 连结AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ， ∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OA ＝OC ＝5 cm.当点C 位置如解图①所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，CD ⊥AB ， ∴OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3(cm)， ∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)， ∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝45(cm)．,①),②)(第1题解)当点C 的位置如解图②所示时，同理可得OM ＝3 cm. ∵OC ＝5 cm ，∴CM ＝OC －OM ＝5－3＝2(cm)．∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋22＝25(cm)． 2. 在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，且AC ＝1.过点C 作直线l ∥AB ，P 为直线l 上一点，且AP ＝AB .则点P 到BC 所在直线的距离是(D )A ．1B ．1或－1＋32C ．1或1＋32D ．－1＋32或1＋32【解析】 ①如解图①，过点P 作PD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，作PE ⊥AC 交CA的延长线于点E .∵CP ∥AB ，∴∠PCD ＝∠CBA ＝45°.∵∠PDC ＝∠DCA ＝∠PEC ＝90°， ∴四边形CDPE 是矩形． ∴∠DPC ＝90°－∠PCD ＝45°， ∴DC ＝DP ，∴矩形CDPE 是正方形． ∴CD ＝DP ＝PE ＝EC .在等腰直角三角形ABC 中，∵AC ＝BC ＝1，∴AB ＝2， ∴AP ＝AB ＝ 2.在Rt △AEP 中，∵AE 2＋EP 2＝AP 2， ∴(DP －1)2＋DP 2＝(2)2，解得DP ＝1±32(负值不合题意，舍去)．∴DP ＝1＋32.(第2题解)②如解图②，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，作PE ⊥AC 交AC 的延长线于点E . 同(1)可证四边形CDPE 是正方形， ∴CD ＝DP ＝PE ＝EC .在Rt △AEP 中，∵AE 2＋EP 2＝AP 2， ∴(PD ＋1)2＋PD 2＝(2)2，解得PD ＝－1±32(负值不合题意，舍去)，∴PD ＝3－12.(第3题)3. 如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，回到点A 后运动停止，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为(B )【解析】 不妨设线段AB 的长度为1个单位/s ，点P 的运动速度为1个单位/s ，则 ①当点P 在A →B 段运动时，PB ＝1－t ，S ＝π(1－t )2(0≤t ＜1)． ②当点P 在B →A 段运动时，PB ＝t －1，S ＝π(t －1)2(1≤t ≤2)．综上所述，在整个运动过程中，S 与t 的函数表达式为S ＝π(t －1)2(0≤t ≤2)，这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求．(第4题)4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为1，AD 边的中点处有一动点P ，动点P 沿P →D →C →B →A →P 运动一周，则点P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是(D )【解析】 动点P 运动的过程中：①当0≤s ≤12时，动点P 在线段PD 上运动，此时y ＝2保持不变．②当12＜s ≤32时，动点P 在线段DC 上运动，此时y 由2到1逐渐减小．③当32＜s ≤52时，动点P 在线段CB 上运动，此时y ＝1保持不变．④当52＜s ≤72时，动点P 在线段BA 上运动，此时y 由1到2逐渐增大．⑤当72＜s ≤4时，动点P 在线段AP 上运动，此时y ＝2保持不变．故选D ．二、填空题5. 若函数y ＝mx 2＋4x ＋4的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是__0或1__． 【解析】 ①若m ＝0，则函数y ＝4x ＋4是一次函数，与x 轴只有一个交点． ②若m ≠0，则函数y ＝mx 2＋4x ＋4是二次函数． 根据题意，得Δ＝16－16m ＝0，解得m ＝1. 综上所述，m 的值是0或1.(第6题)6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为(2，4)，(3，4)或(8，4)．【解析】由题意知，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：①如解图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD－DE＝5－3＝2，此时点P的坐标为(2，4)．,(第6题解①)),(第6题解②))②如解图②所示，OP＝OD＝5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.在Rt△POE中，由勾股定理，得OE＝OP2－PE2＝52－42＝3，此时点P的坐标为(3，4)．③如解图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．(第6题解③)过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD＋DE＝5＋3＝8，此时点P的坐标为(8，4)．综上所述，点P的坐标为(2，4)或(3，4)或(8，4)．(第7题)7. 如图，射线QN与等边三角形ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2 cm，QM＝4 cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以1 cm/s的速度向右移动，经过t(s)，以点P为圆心， 3 cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上)，请写出t可取的一切值：t＝2或3≤t≤7或t＝8(单位：s)．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝AM＋MB＝4 cm，∠A＝∠C＝∠B＝60°，∴高为2 3 cm.∵QN ∥AC ，AM ＝BM ， ∴MN 为△ABC 的中位线，∴MN ＝12AC ＝2 cm ，∠BMN ＝∠A ＝60°，∠BNM ＝∠C ＝60°，∴△BMN 的高线长为 3 cm ，∴MN 到AC 的距离为23－3＝3(cm)． 分为三种情况： ①如解图①，(第7题解①)当⊙P 切AB 于点M ′时，连结PM ′， 则PM ′＝ 3 cm ， ∠PM ′M ＝90°.∵∠PMM ′＝∠BMN ＝60°，∴M ′M ＝1 cm ，PM ＝2MM ′＝2 cm ， ∴QP ＝4－2＝2(cm)， 即t ＝2.②如解图②，(第7题解②)当⊙P 切AC 于点A 时，连结P A ，则∠CAP ＝∠APM ＝90°，∠PMA ＝∠BMN ＝60°，AP ＝ 3 cm ， ∴PM ＝1 cm ，∴QP ＝4－1＝3(cm)， 即t ＝3.当⊙P 切AC 于点C 时，连结P ′C ，则∠CP ′N ＝∠ACP ′＝90°，∠P ′NC ＝∠BNM ＝60°，CP ′＝ 3 cm ， ∴P ′N ＝1 cm ，∴QP ′＝4＋2＋1＝7(cm)，即t ＝7. ∴当3≤t ≤7时，⊙P 和AC 边相切． ③如解图③，(第7题解③)当⊙P 切BC 于点N ′时，连结PN ′， 则PN ′＝ 3 cm ， ∠PN ′N ＝90°.∵∠PNN ′＝∠BNM ＝60°，∴N ′N ＝1 cm ，PN ＝2NN ′＝2 cm ， ∴QP ＝4＋2＋2＝8(cm)， 即t ＝8. 三、解答题(第8题)8．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝43，BD ＝4，动点P 在线段BD 上从点B 向点D 运动，PF ⊥AB 于点F ，四边形PFBG 关于BD 对称，四边形QEDH 与四边形PEBG 关于AC 对称．设菱形ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为S 1，未被盖住部分的面积为S 2，BP ＝x .(1)用含x 的代数式分别表示S 1，S 2. (2)若S 1＝S 2，求x 的值．(第8题解)【解析】 (1)①当点P 在BO 上(即0＜x ≤2)时，如解图所示． ∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝43，BD ＝4，∴AC ⊥BD ，BO ＝12BD ＝2，AO ＝12AC ＝23，且S 菱形ABCD ＝12BD ·AC ＝8 3.∴tan ∠ABO ＝AOBO＝3，∴∠ABO ＝60°. 在Rt △BFP 中， ∵∠BFP ＝90°，∠FBP ＝60°，BP ＝x ， ∴FP ＝BP ·sin ∠FBP ＝32x ，∴BF ＝x2. ∵四边形PFBG 关于BD 对称，四边形QEDH 与四边形PEBG 关于AC 对称，∴S △BFP ＝S △BGP ＝S △DEQ ＝S △DHQ . ∴S 1＝4S △BFP ＝4×12×32x ·x 2＝32x 2，∴S 2＝83－32x 2. ②当点P 在OD 上(即2＜x ≤4)时，如题图所示． 同①可得，∠ABD ＝60°，BF ＝x2.∵AB ＝AO 2＋BO 2＝4，∴AF ＝AB －BF ＝4－x2.在Rt △AFM 中，∵∠AFM ＝90°，∠F AM ＝90°－∠ABD ＝30°，AF ＝4－x2，∴FM ＝AF ·tan30°＝33⎝⎛⎭⎫4－x 2. ∴S △AFM ＝12AF ·FM ＝12⎝⎛⎭⎫4－x 2×33⎝⎛⎭⎫4－x 2＝36⎝⎛⎭⎫4－x 22.同理可得， S 2＝4S △AFM ＝4×36⎝⎛⎭⎫4－x 22＝36(x －8)2，∴S 1＝83－S 2＝83－36(x －8)2. 综上所述，当0＜x ≤2时，S 1＝32x 2，S 2＝83－32x 2； 当2＜x ≤4时，S 1＝83－36(x －8)2，S 2＝36(x －8)2. (2)①当0＜x ≤2时， ∵S 1＝S 2，S 1＋S 2＝83， ∴S 1＝32x 2＝43，解得x 1＝22，x 2＝－2 2. ∵22＞2，－22＜0，∴当0＜x ≤2时，S 1＝S 2的情况不存在． ②当2＜x ≤4时， ∵S 1＝S 2，S 1＋S 2＝83， ∴S 2＝36(x －8)2＝43， 解得x 1＝8＋26，x 2＝8－2 6.∵8＋26＞4，2＜8－26＜4，∴x ＝8－2 6. 综上所述，若S 1＝S 2，则x 的值为8－2 6.(第9题)9．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以1个单位/s 的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以2个单位/s 的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造□PCOD ，在线段OP 的延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t (s)．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标． (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形．(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD 的面积为S .①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值． ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 的内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．【解析】 (1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3，∴2t ＝3，即t ＝32，∴OE ＝32＋3＝92，∴点E ⎝⎛⎭⎫92，0. (2)如解图①，连结CD 交OP 于点G . ∵在□PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ， 又∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形．(第9题解)(3)①当点C 在BO 上时，第一种情况：如解图②，当点M 在CE 边上时， ∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO . ∴MF CO ＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1，且符合题意．第二种情况：如解图③，当点N 在DE 边上时， ∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD ， ∴FN PD ＝EF EP ，即16－2t ＝23，解得t ＝94，且符合题意．(第9题解)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如解图④，当点M 在DE 边上时， ∵MF ∥PD ，∴△EMF ∽△EDP ， ∴MF DP ＝EF EP ，即22t －6＝23，解得t ＝92，且符合题意．(第9题解⑤) 第二种情况：如解图⑤，当点N 在CE 边上时， ∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC . ∴FN OC ＝EF EO ，即12t －6＝23＋t，解得t ＝5，且符合题意． 综上所述，满足题意的t 的值为1，94，92，5.②当1≤t ＜94时，S ＝t (6－2t )＝－2⎝⎛⎭⎫t －322＋92，∵t ＝32在1≤t ＜94范围内，∴278＜S ≤92.当92＜t ≤5时，S ＝t (2t －6)＝2⎝⎛⎭⎫t －322－92，∴272＜S ≤20. 综上所述，278＜S ≤92或272＜S ≤20.10．如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过A (3，0)，B (4，4)两点．(1)求抛物线的函数表达式．(2)将直线OB 向下平移m 个单位后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标．(3)如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠ABO ，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P ，O ，D 分别与点N ，O ，B 对应)．(第10题)【解析】 (1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，0)，B (4，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＝0，16a ＋4b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. ∴抛物线的函数表达式是y ＝x 2－3x .(2)设直线OB 的函数表达式为y ＝k 1x . 将点B (4，4)的坐标代入，得 4＝4k 1，解得k 1＝1.∴直线OB 的函数表达式是y ＝x .∴直线OB 向下平移m 个单位后的函数表达式为y ＝x －m . ∵点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上， ∴可设点D (x ，x 2－3x )．又∵点D 在直线y ＝x －m 上， ∴x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0. ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴Δ＝16－4m ＝0，解得m ＝4. 此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2， ∴点D 的坐标为(2，－2)．(3)∵直线OB 的函数表达式为y ＝x ，且点A (3，0)， ∴点A 关于直线OB 的对称点A ′的坐标是(0，3)． 设直线A ′B 的函数表达式为y ＝k 2x ＋3. ∵直线A ′B 过点B (4，4)，∴4k 2＋3＝4，解得k 2＝14. ∴直线A ′B 的函数表达式是y ＝14x ＋3. ∵∠NBO ＝∠ABO ，∴点N 在直线A ′B 上．设点N ⎝⎛⎭⎫n ，14n ＋3， 又∵点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴14n ＋3＝n 2－3n ， 解得n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，舍去)． ∴n ＝－34，14n ＋3＝4516. ∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－34，4516. 如解图，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1.(第10题解)则点N 1⎝⎛⎭⎫－34，－4516，B 1(4，－4)， ∴O ，D ，B 1都在直线y ＝－x 上．∵△P 1OD ∽△NOB ，∴△P 1OD ∽△N 1OB 1，∴OP 1ON 1＝OD OB 1＝12， ∴点P 1的坐标为⎝⎛⎭⎫－38，－4532. 将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2⎝⎛⎭⎫4532，38.综上所述，点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫－38，－4532或⎝⎛⎭⎫4532，38.。

初三数学分类讨论题
以下是一些初三数学中常见的分类讨论题：
1.在一个直角三角形中，有一个锐角为45度，求另一个锐角的度数。

这个问题需要对直角三角形的性质进行分类讨论。

首先，需要考虑直角的角度为90度，然后根据三角形内角和为180度的性质，计算出另一个锐角的度数。

还需要考虑45度角是直角三角形的一个直角边还是斜边，因为这会对另一个锐角的计算产生影响。

2.在一个等腰三角形中，底边为8厘米，高为6厘米，求三角形的腰长。

这个问题需要对等腰三角形的性质进行分类讨论。

首先，需要考虑等腰三角形的两边相等，然后根据勾股定理计算出三角形的腰长。

首先，需要考虑菱形的对角线互相垂直平分，然后根据勾股定理计算出菱形的边长。

还需要考虑菱形的角度和边长之间的关系，因为这会对边长的计算产生影响。

3.在一个正方体中，一个面的面积为16平方厘米，求正方体的体积。

这个问题需要对正方体的性质进行分类讨论。

首先，需要考虑正方体的面是正方形，然后根据正方形的面积计算出正方体的体积。

还需要考虑正方体的边长和体积之间的关系，因为这会对体积的计算产生影响。

4.在一个圆中，一条弦的长度为6厘米，这条弦所对的圆周角为30度，求圆的半径。

这个问题需要对圆的性质进行分类讨论。

首先，需要考虑圆的半径和弦之间的关系，然后根据圆周角和弦所对的圆心
角之间的关系计算出圆的半径。

还需要考虑圆周角和弦所对的圆心角之间的位置关系，因为这会对半径的计算产生影响。

分类讨论型问题在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。

正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。

类型1 代数计算中的分类讨论（数学公式、性质引起的分类讨） 例1 =+=-+a 3x 49x ax 3-x 32无解，则例题分层分析本题既要讨论方程有增根无解，还要讨论去分母后得到的整式方程无解。

对应练习：1．若关于x 的函数y=k 2x ＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 ． 2.一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ）A ．14B ．－6C ．－4或21D ．－6或143．已知抛物线1y =a 2x ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴相交于点A ，B （点A ，B 在原点O 两侧），与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数2y =34x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当1y 随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．类型2 几何图形中的分类讨论例2 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .例题分层分析⊙P 与x 轴可能在x 轴上方相切，也有可能在x 轴下方相切，要分别讨论。

对应练习：1、如图，已知直线l 的表达式是y ＝43x －4，并且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．一个半径为1.5的⊙C ，圆心C 从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动，当⊙C 与直线l 相切时，则该圆的运动时间为( )A ．3 s 或6 sB ．6 sC ．3 sD ．6 s 或16 s2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx(k ＞0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图象于点C ，连结AC.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．类型3 动点问题中的分类讨论例3 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造□PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD 的面积为S.①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值； ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．例题分层分析对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．（1）当点C 在BO 上时，第一种情况，当点M 在CE 边上时，由△EMF ∽△ECO 求解，第二种情况，当点N 在DE 边上时，由△EFN ∽△EPD 求解；当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况，当点M 在DE 边上时，由EMF ∽△EDP 求解，第二种情况，当点N 在CE 边上时，由△EFN ∽△EOC 求解；（2）当1≤t ＜94时和当92＜t≤5时，分别求出S 的取值范围．这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略． 对应练习：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q 从点O 、动点P 从点A 同时出发，分别沿着OA 方向、AB 方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t （秒）（0＜t≤5）．以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连接CD 、QC ． （1）求当t 为何值时，点Q 与点D 重合？（2）设△QCD 的面积为S ，试求S 与t 之间的函数关系式，并求S 的最大值； （3）若⊙P 与线段QC 只有一个交点，请直接写出t 的取值范围．课后作业：1．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．5或7D ．62．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为___________，底边长为_____________．3．如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则P 点的坐标为 .4．已知3+=kx y 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式。

《分类讨论专题训练》在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一 直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°或50°D ．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B′处，点A 落在点A′处，(1)求证：B′E=BF ；(2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何等量关系，并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ．6.（•威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．。

中考数学专题复习：分类讨论题中考数学专题复：分类讨论题直线型分类讨论直线型分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题。

这些问题中，等腰三角形顶角度数和三角形高的长度是重要的考点。

例如，对于一个等腰三角形，如果其中一个角度数为50°，则需要分类讨论这个角是顶角还是底角。

如果这个角是顶角，则可以通过求解另外两个角的度数得到顶角的度数；如果这个角是底角，则可以通过计算底角的度数来得到顶角的度数。

因此，顶角可能是50°或80°。

同样地，在解决三角形高的问题时，也需要分类讨论。

例如，如果一个三角形的底边和斜边长度已知，需要求解这个三角形的高的长度，则需要分类讨论这个高是否在三角形内部。

如果高在三角形内部，则可以利用勾股定理和相似三角形的性质求解高的长度；如果高在三角形外部，则可以利用平移和相似三角形的性质求解高的长度。

圆形分类讨论圆形分类讨论主要是解决圆的有关问题。

由于圆是轴对称图形和中心对称图形，因此在解决圆的问题时，需要注意分类讨论，以避免漏解。

例如，对于一个直角三角形，如果以直角为圆心画圆，则这个圆与斜边只有一个公共点。

这个问题可以分类讨论，分别考虑圆与斜边相切和圆与斜边相交的情况，从而得到圆的半径的取值范围。

函数方程分类讨论函数方程分类讨论主要是解决复杂的函数方程和方程组的问题。

在解决这些问题时，需要注意分类讨论，以避免遗漏解或得到错误的解。

例如，对于一个函数方程，如果该方程在某个区间内有多个解，则需要分类讨论这些解的性质，例如它们是否为连续函数、是否为单调函数等等。

从而可以得到方程的解的取值范围。

总之，分类讨论是解决数学问题的重要方法之一，尤其适用于复杂的问题。

在进行分类讨论时，需要认真分析问题，将问题分成若干个互不重叠的情况，并对每种情况进行单独的讨论和求解。

本题涉及到函数的分类讨论和解析式的求解，同时也需要注意特殊点的情况。

第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查•这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行.类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要•1. （沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50 °则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A . 50 ° B. 80 ° C. 65。

或50 ° D . 50。

或80 °2. （?乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A . 9cm B. 12cm C. 15cm D . 12cm 或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处,（1）求证：B ' E=B；（2）设AE=a, AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明•类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等.4. （湖北罗田）在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AC = 3, BC = 4•若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是__ _ .,,5. （上海市）在厶ABC中，AB=AC=5 , COSB 3.如果圆O的半径为.10，且经5过点B、C,那么线段AO的长等于_____________ .6. （碱海市）如图，点A, B在直线MN上，AB = 11厘米，O A , O B的半径均为1厘米.O A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，O B的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r = 1+t （t ＞）.（1 ）试写出点A , B之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式;（2）问点A出发后多少秒两圆相切？B C类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况7. (上海市)已知AB=2 , AD=4，/ DAB=90°, AD // BC (如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合)，M是线段DE的中点.(1 )设BE=x , △ ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；(3)联结BD ,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与△ BME相似，求线段BE的长.备甲图8. (福州市)如图，以矩形OABC的顶点0为原点，OA所在的直线为x轴，0C所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知0A = 3, 0C= 2，点E是AB的中点，在0A上取一点D，将△ BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.(1) 直接写出点E、F的坐标;(2) 设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式;(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：(【答案】D小题要注意分类讨论•证：连结BE ,贝y BE BE .点A 在圆的内部，点 B 在圆的外部或在圆上，此时 3v r <4【答案】3 v r <4或 r = 2.4得BC 边上的高AD 为4,圆O 经过点B 、C 则O 必在直线AD 上，若O 在BC 上方，则 BC 下方，则AO=5。

中考数学分类讨论题型整编【知识整合创新】整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。

目前，中考试卷中，觉见的需分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.中考高分解密：题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

考题1．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 名师点拔：二次项系数中含有参数k ，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对52k -分类讨论.解：（1）当502k -=时，即52k =时，此函数为1122y x =-+，故其与x 轴只有一个交点（1，0） （2）当55022k k -≠≠，即时，此函数为二次函数，2251(3)4()(2)22k k k ∆=--⨯-⨯=-.①当2k =时，Δ＝0.抛物线与x 轴的交点只有一个.212110,122x x x x -+===，交点坐标为（1，0）②当2k ≠时，Δ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点.1(1,0)(,0)52k-和. 综合所述：当52k =或2k =时，函数图像与x 轴只有一个交点（1，0）；当52k ≠且2k ≠时，函数图像与x 轴有两个不同交点1(1,0),(,0)52k -. 变式思考1已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-=（1）若方程有实数根，求k 的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰，故应考虑其所有可能情况.题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.考题2．如图（1）边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.（1）当t 取何值时，S ＝3？（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S 与t 的函数图像.名师点拔：设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，易知ΔDMN 是等腰Rt Δ，只有当MD ＝2时，1MDN S ∆=，那么3ABCD MDN S S S =-=，此时求得42t =-，第（2）问中，随着t 的变化，S 的表达式发生变化，因而须分类讨论t 在不同取值时S 的表达式，进而作出图像.解：（1）设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，∵l 的解析式y x t =+，在x 轴，y 轴上所截线段相等.∴ΔDMN 为等腰Rt ΔDMN∵S ＝3，∴2231DMN ABCD S S S ∆=-=⨯-=又∵21122DMN S MD ND ND ∆=⋅= ∴MD ＝ND ＝2，∴ON ＝OD －DM ＝4－2，即D 点的坐标为（0，4－2）∴42t =-，即当42t =-时，S ＝3.（2）∵直线l 与y 轴的交点M 的坐标为(0,)t∴当0≤t ＜2时，21122S B B t =M ⋅N = 当2≤t ＜4时，21(4)42ABCD DMN S S S t ∆=-=--+ 当t ≥4时，S ＝4根据以上解析式，作图如下图（图2）变式思考2 如图所示，在平行四边形ABCD 中， 4AD cm =， ∠A ＝60°，BD ⊥AD ，一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A B C →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE的面积；（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B C→→的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动.过Q 作直线QN ，使QN//PM.设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t ≤10），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm 2.①求S 关于t 的函数关系式；②（附加题）求S 的最大值.易误点睛：讨论变量t 的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.考题3．在ΔABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，圆A 的半径为1，如图所示，若点O 在BC 边上运动，（与点B 和C 不重合），设BO ＝x ，ΔAOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域.（2）以点O 为圆心，BO 长为半径作圆O ，求当圆O与圆A 相切时ΔAOC 的面积.名师点拔：（1）过点A 作AD ⊥BC 于D 点 ∵AB ＝AC ＝22∴AD ＝AB sin 45⋅︒=2图（2）445AB BC Sin ==︒ ∴OC=BC －BO=4－x ，故ΔAOC 的面积y 与x 的函数解析式为12y OC AD =⋅即1(4)242y x x =-⨯=- （2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论.解：（1）过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵∠BAC=90° AB=AC=22 ∴BC=4 AD ＝12BC ＝2 ∴112(4)422AOC S OC AD x x ∆=⋅=⨯⨯-=- 即4(04)y x x =-+<<（2）当点O 与点D 重合时，圆O 与圆A 相交，不合题意；当点O 与点D 不重合时，在Rt ΔAOD 中，222224248AO AD OD x x x =+=+-=-+∵⊙A 的半径为1，⊙O 的半径为x∴①当⊙A 与⊙O 外切时 22(1)48x x x +=-+ 解得76x =此时，ΔAOC 的面积717466y =-= ②当⊙A 与⊙O 内切时，22(1)48x x x +=-+ 解得72x =此时ΔAOC 的面积71422y =-= ∴当⊙A 与⊙O 相切时，ΔAOC 的面积为17162或. 变式思考3如图，直线443y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N （1）求M ，N 两点的坐标；（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125为半径的圆与直线443y x =-+相切，求点P 的坐标. 易误点睛：本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.考题4如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，直线:33l y x m =-与y 轴的交点为B ，其中m ＞0. （1）写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标 （用含有m 的代数式表示）（2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数.（3）动点Q 在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由.名师点拨：（1）对称轴x m =，顶点A （m,0）（2）把x ＝m 代入33y x m =-得330y m m =-= ∴点A （m,0）在直线l 上，直线l 与y 轴相交，则B 点的横坐标为：3y m =-；B 点坐标为(0,3)m -，由三角函数知识可得：3tan 3OB m OAB OA m∠=== 即∠OAB ＝60° （3）因为全等的对应关系，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解决问题。