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最优化方法-步长加速法-

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【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第3章(07-4)

【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第3章(07-4)

的最优解S(k)和最优值
(k +1) (k ) (k )
q(S(k) )
(k + 1) (k )
) f (X = X + S 若 f (X (3)令 X 取 X * = X (k+1) ,停止,否则转(4) (4)计算 f = f (X (k) ) f (X (k+1) ), q = f (X (k) ) q(S(k) ) 1/ 2k ..若 f < 0.1q 令
第三章
无约束非线性规划
3.4 信赖域法, Matlab解无约束非线性规划
一.信赖域法: 1.思想: 1) 前两节方法的结构原理为用二次模型产生下降方 向,在下降方向上确定可接受的步长,得到新迭代点. 若二次模型不近似原目标函数,则在搜索方向上无 法找到满意的下降迭代点. 能否先指定步长的界,再用二次模型确定方向和步 长? *注:保证在下近似,可使f(x)与 二次模
y(1) = x +α(x xmax )
2 扩展:给定扩展系数 >1,计算.(加速) 扩展:给定扩展系数γ 计算.(加速) 计算.(加速
y(2) = x +γ ( y(1) x)
3.5 直接算法
一, 2,改进单纯形法: (续) ,改进单纯形法: (1)若f(y(1))<f(x min), 则 若 那么y 取代x 否则, 取代x 若f(y(1))> f(y(2)), 那么 (2)取代 max; 否则, y(1)取代 max (2)若max{f(x(i))| x(i) ≠x max } ≥ f(y(1)) ≥ f(x min), y(1)取代 max . 取代x 若 3° 收缩:若f(x max )> f(y(1)) > f(x(i)), x(i) ≠x max ,计算 ° 收缩: 计算

最速下降法解题步骤

最速下降法解题步骤

最速下降法（Steepest Descent Method）是一种数值优化算法，用于求解无约束优化问题的最小值。

下面是最速下降法的一般解题步骤：
1.定义目标函数：首先，需要明确要优化的目标函数。

这个函数通常表示为f(x)，其中
x 是优化变量。

2.初始化起始点：选择一个合适的起始点x0，作为最速下降法的初始点。

3.计算梯度：计算目标函数在当前点的梯度，即∇f(x)。

这可以通过对目标函数进行偏
导数计算得到。

4.确定搜索方向：将梯度反向取负作为搜索方向d，即d = -∇f(x)。

5.确定步长：确定沿着搜索方向移动的步长，也称为学习率或步长因子。

常见的选择
方法有固定步长、线性搜索和精确线搜索等。

6.更新当前点：根据步长和搜索方向，更新当前点x，即x = x + αd，其中α 表示步
长。

7.判断终止条件：判断是否满足终止条件，可以是达到预定的迭代次数、目标函数值
变化很小或梯度变化很小等。

8.若不满足终止条件，则返回第3步，重新计算梯度，并重复3-7步骤，直到满足终
止条件。

最速下降法的关键在于选择合适的步长和搜索方向。

步长过大可能导致无法收敛，步长过小可能导致收敛速度慢。

搜索方向的选择应该保证在当前点能够使目标函数值下降最快。

需要注意的是，最速下降法可能会陷入局部最小值，而无法达到全局最小值。

为了克服这个问题，可以考虑使用其他优化算法，如共轭梯度法、牛顿法等。

第三章 无约束最优化--梯度方法(1)

第三章 无约束最优化--梯度方法(1)

2 做直线搜索 zk 1 LS( zk , - gk ), 计算f k 1 f ( zk 1 ), gk 1 g ( zk 1 ); 3 判定终止准则H是否满足，若满足则打印最优解 z k+1 , f k+1， 终止。否则转2。 将最速下降法用于具有对称正定矩阵Q的二次函数： 1 T f ( z ) z Qz bT z c，可以推出步长公式来 : 2 设第 k 次迭代点为zk 。下面求zk 1的表达式:
f z k f z k 1 f z k f z k f zk
但λ到底取多大，没有统一的标准， λ取小了，收敛太慢，而λ取大 了，又会漏掉极小点。
1 T f ( z ) z Qz , 定理：对于二次函数 2
四 用于二次函数时的收敛速度
为了清除最优步长最速下降法中两个搜索方向正交的不良 后果，人们发明了不少方法，如： （1）选择不同初始点。
例如：对问题： min
取初点
为求 z1 ，沿 f z0 方向从 z0 出发求 f z 的极点，即在线 搜索 min f ( z0 tf z0 )
f ( z) x 25x T z0 2,2 f z0 104 , f z0 4,100T

2 T

* T z ( 0 , 0 ) z 然后再从 1开始迭代，经过10次迭代，近似得最优解
f ( z1 ) 3.686164 .
计算中可以发现，开始几次迭代，步长比较大，函数值下将降 较快但当接近最优点时，步长很小，目标函数值下降很慢。如 T ,0)T虽然后一初点较前一 果不取初点为 z0 (2,2) 而取 z0 (100 初点离最优点 z * (0,0)T 远，但迭代中不出现锯齿现象。这时：

最优化计算方法(工程优化)第4章

最优化计算方法(工程优化)第4章
f (x*) 0, 2 f x 正定，则 x 为 f (x) 的严格局部极小
点。
如果 2 f x 负定，则 x 为 f (x) 的严格局部极大点。
无约束优化的最优性条件----凸优化的一阶条件
定理(一阶充要条件)
设 f : Rn R 是凸函数且在 x 处连续可微，则 x 为 f (x)的全局极小点的充要条件是 f (x*) 0.
f (x p) f (x)+f (x)T p o( )
P是什么方向时，函数值 f (x p) 下降最快？也就是
p是什么方向时，f (x)T p 取得最小值？
f (x)T p f (x) p cos(f (x), p)
当 cos(f (x), p) 1 时，f (x)T p 最小，最小值为
令 f x 0, 即：
利用一阶条件 求驻点
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
x12 1 0
x22
2x2
0
得到驻点： 1 1 1 1
x1
0 ,
x2
2 ,
x3
0
,
x4
2
.
无约束优化的最优性条件
函数 f x 的Hesse阵：
2
f
x
2x1
0
0
2
x2
2
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
2 0
0 2
的行列式小于0；
x1, x4是鞍点；
2
f
x2
2 0
0
2
是正定矩阵；
x2 是极小点；
2
f
x3
2 0
0 2
是负定矩阵；
x3 是极大点。
• 对某些较简单的函数，这样做有时是可行的；

最优化方法求解技巧

最优化方法求解技巧

最优化方法求解技巧最优化问题是数学领域中的重要课题，其目标是在给定一组约束条件下寻找使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。

解决最优化问题有多种方法，下面将介绍一些常用的最优化方法求解技巧。

1. 直接搜索法：直接搜索法是一种直接计算目标函数值的方法。

它的基本思路是在给定变量范围内，利用迭代计算逐步靠近最优解。

常用的直接搜索法包括格点法和切线法。

- 格点法：格点法将搜索区域均匀划分成若干个小区域，然后对每个小区域内的点进行计算，并选取最优点作为最终解。

格点法的优点是简单易行，但对于复杂的问题，需要大量的计算和迭代，时间复杂度较高。

- 切线法：切线法是一种基于目标函数的一阶导数信息进行搜索的方法。

它的基本思路是沿着目标函数的负梯度方向进行迭代搜索，直到找到最优解为止。

切线法的优点是收敛速度较快，但对于非光滑问题和存在多个局部最优点的问题，容易陷入局部最优。

2. 数学规划法：数学规划法是一种将最优化问题转化为数学模型的方法，然后借助已有的数学工具进行求解。

常用的数学规划法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。

- 线性规划：线性规划是一种求解目标函数为线性函数、约束条件为线性等式或线性不等式的优化问题的方法。

常用的线性规划求解技巧包括单纯形法和内点法。

线性规划的优点是求解效率高，稳定性好，但只能处理线性问题。

- 非线性规划：非线性规划是一种求解目标函数为非线性函数、约束条件为非线性等式或非线性不等式的优化问题的方法。

常用的非线性规划求解技巧包括牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。

非线性规划的优点是可以处理更广泛的问题，但由于非线性函数的复杂性，求解过程相对较复杂和耗时。

- 整数规划：整数规划是一种在变量取值为整数的前提下求解优化问题的方法，是线性规划和非线性规划的扩展。

由于整数规划的复杂性，常常利用分支定界法等启发式算法进行求解。

3. 近似法：近似法是一种通过近似的方法求解最优化问题的技巧，常用于处理复杂问题和大规模数据。

优化设计约束优化方法第06章-1

优化设计约束优化方法第06章-1

3、压缩
若上述方法均无效，可让复合形各顶点向xL靠拢，即压缩复 合形。
若某顶点压缩后在可行域外，可将其继续向 xL靠拢，直到其 回到可行域。
四、复合形法的迭代步骤
只含反射功能的复合形法迭代步骤为：
1、确定k值，产生初始复合形；
2、比较各顶点，排序； 3、计算除xH外的中心点xC。若可行，则继续，否则则重新 确定设计变量的下限和上限，即a=xL，b=xC，转而重新构造初始 复合形； 4、反射，反复反射，直至成功。 5、收敛条件
一、基本原理
在约束可行域S内选取一个初始点X(0)，在不破坏约束的条件 下以合适的步长 α ，沿 X(0) 点周围几个不同的方向（以某种形式 产生的随机方向）进行若干次探索，并计算各方向上等距离（ 步长α ）点的函数值，找出其中的最小值f(X(l))及点X(l)。 若f（X(l)）＜f（ X(0)），则继续沿方向（ X(l)-X(0)）以适当的 步长 α 向前跨步，得到新点 X(1) ，若 f （ X(1) ） <老 f （ X(l) ），则将 新的起点移至X(1) ，重复前面过程。 d 否则应缩短步长 α，直至取得约束好点。如此循环下去。当 迭代的步长已经很小时，则表明已经逼近约束最优点。达到计 算精度要求时，即可结束迭代计算。 随机方向探索法的一般迭代计算公式为： X(k+1)=X(k)+αd(k) (k=0,1,2,…) 式中α为步长，d(k) 为第k次迭代的可行搜索方向。 可行搜索方向产生的条件.. ..
复合形法例题
二、算法技术
1、随机数的产生 可以利用各种计算机语言的随机函数，也可利用随机数的数学 模型自行产生。 2、初始点的选择 （1）产生一个随机点
0～1之间的随机数
无法人工给出初始点时，可以用随机选择的方法得到。

最速下降法-最优化方法

最速下降法-最优化方法

（4）f
(
X
)
3

(0.04,0.04)T
,
f ( X 3) 2 0.0032 0.01
X 3 已达到预定精度要求，迭代终止。
故f（x）的无约束近似极小点为
X X 3 (0.96,1.44)T
注：原问题的精确极小点为
X (1,1.5)T
3. 最速下降法性质与评价
x1 x1

2 2
x2 x2
1 1
（1） X 0 (1,1)T
,
f
(
X
)
0

(1,1)T
,
P0

f
(
X
)
0

(1,1)T
X P (t ) f( 0 t
)
0

5t 2

2t
1
,t>0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用一维搜索技术，可解得 (t) 的极小点为t0=0.2
所以 X 1 X 0 t0 P0 (1,1)T 0.2(1,1)T (0.8,1.2)T
X X P
Y f (X ) N 输出X
停止
例3.18 用最速下降法求解无约束优化问题：
x x x x x x min f (X ) 2 2 2
2
1
12
2
1
2
初始点 X 0 (1,1)T
,迭代终止准则为
f
(X k)
2
0.01
。
解：
f
(
X
)

4 2
1. 最速下降法原理 2. 最速下降法算法 3. 最速下降法性质与评价

优化设计第2章 优化设计

优化设计第2章 优化设计
x1 d , x2 l
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则

工程最优化设计理论、方法和应用

工程最优化设计理论、方法和应用

1 2 2
其中，I钢管截面惯性矩 4 4 A 2 I ( R r ) (T D 2 ) 4 8 刚好满足强度约束条 件 时，有
F1 F(B2 h ) y A TDh
1 2 2
1 2 2
其中 A是钢管截面面积 A=π(R2-r2)= πTD 稳定约束条件 σ(x) ≦ σe ，可写成
21
2) 迭代算法的终止准则
• 任何迭代计算都不应无限地迭代下去; • 计算机的计算精度是有限的; • 工程中所需要的数值精度也是有限的; 因此,依据数值精度作为算法的终止判别准则具有实际意义. 判断迭代点是否达到给定精度要求的判别式称为最优化算 法的终止准则,或称收敛准则. 常用的有: a 相邻两迭代点的向量差 |Xk+1 - Xk| < 1 点距准则
甲 乙 供应量 9 4 360 3 10 300 4 5 200 60 120 ？
分析：设每天生产甲产品 x1 件， 乙产品 x2 件，于是该生产计划问题可归结为
求变量 x1， x2 使函数 需满足条件
f(x1,x2)=60x1+120x2
极大化
g1 ( x1 , x2 ) 9 x1 4 x2 360 g 2 ( x1 , x2 ) 3 x1 10 x2 300 g3 ( x1 , x2 ) 4 x1 5 x2 200 g 4 ( x1 , x2 ) x1 0 g5 ( x1 , x2 ) x2 0
相邻两迭代点之间的移动距离已充分小时，可作为收敛判据之一。即：
可认为Xk+1是满足给定收敛精度的最优解.令X*=Xk+1.输出X*,f(X*) . 一般可取收敛精度 1=10-6~10-4
m(D,h) = C

简化牛顿法与牛顿下山法的比较

简化牛顿法与牛顿下山法的比较

简化牛顿法与牛顿下山法的比较1.引言1.1 概述牛顿法和牛顿下山法都是用于求解方程根或最优化问题的常用数值计算方法。

牛顿法是一种迭代方法，通过使用函数的一阶和二阶导数来找到函数的零点或最小值。

而牛顿下山法则是对牛顿法的改进，在每次迭代时引入一个步长参数，以便更快地接近最优解。

在牛顿法中，我们首先需要给定一个初始猜测值，然后通过使用函数的一阶导数和二阶导数来更新猜测值，直到找到函数的零点或最小值。

牛顿法的优点在于其收敛速度较快，在适当的初始化条件下，通常能够快速找到解。

然而，牛顿法也存在局限性，例如可能出现迭代过程发散的情况，并且在某些情况下需要计算复杂的二阶导数。

与之相比，牛顿下山法在牛顿法的基础上引入了步长参数。

通过在每次迭代时选择合适的步长，可以更快地接近最优解。

牛顿下山法的优点在于其对初值的选择较为不敏感，即使初始猜测值较远离最优解，也能够通过适当的步长控制方法逐渐逼近最优解。

然而，牛顿下山法也存在局限性，例如可能会陷入局部最小值而无法找到全局最小值。

综上所述，牛顿法和牛顿下山法都是求解方程根或最优化问题的常用方法。

牛顿法适用于已知初始猜测值较接近最优解的情况，而牛顿下山法适用于对初始猜测值较不确定的情况。

根据具体的问题要求和初始条件，可以选择合适的方法来进行数值计算。

1.2文章结构文章结构是指文章的框架和组织方式，用于展示文章中各个部分之间的逻辑关系。

本文旨在比较简化牛顿法和牛顿下山法，因此文章的结构应该清晰地展示这两种方法的差异和优劣，同时对它们进行详细的介绍和分析。

下面是文章1.2部分的内容：1.2 文章结构在本文中，我们将按照以下结构来比较简化牛顿法和牛顿下山法：1.2.1 算法原理：- 简化牛顿法的算法原理：该部分将详细介绍简化牛顿法的基本思想和计算步骤，包括如何利用一阶导数和二阶导数进行迭代优化。

- 牛顿下山法的算法原理：这部分将详细介绍牛顿下山法的基本原理，包括如何结合简化牛顿法和线性搜索，在每次迭代中选择合适的下降方向。

北邮最优化课件11 无约束最优化的直接方法

北邮最优化课件11 无约束最优化的直接方法
.3 )
再从y(2)出发,沿e2进行探测.方法同上,得到的点记为 y(3) .按此方式作下去直至沿n个方向探测完毕,得到 点y(n+1).
若f (y
( n 1)
) f (x x
(1)
), 则 y y
( n 1)
作 为 新 的 基 点 .记 做 (1 .4 )
x
(k )
,p
(2)
,..., p
(n)
如下
p
( j)
( j) d n (i) id i j
当 j=0 当 j 0
TP SHUAI
(2 .6 )
20
2. Rosenbrock算法
将其正交化
( j) p p
( j)
, p q
( j) (i)
2 2 2
取初点x
(1)
( 2, 0 ) , 坐 标 方 向
T
e1 (1, 0 ) , e 2 (0,1) .
T T

1 2
, 1,
1 2
, 0 .2
计算结果如下
TP SHUAI
12
1. 模式搜索法
x
(k )
j
y
( j)
f (y
( j)
)
y
( j)
+ e j
T (k )
开始， ，
目标函数f 沿每个方向迭代地极小化，导出点x 特别，x
(k 1 )
(k 1 )
x
(k )

d
i i= 1
n
i
, 其 中 j是 沿 方 向 d j移 动 的 距 离 。

第5章 约束优化方法

第5章 约束优化方法

可行域D为凸集
可行域D为非凸集
根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为:直接 解法、间接解法。 （1）直接法
这种方法主要用于求解仅含不等式约束条件的最 优化问题。其基本思想是在可行域内按照一定的原则 直接探索出它的最优解，而不需要将约束最优化问题 转换成无约束问题去求优。设计一个直接解法的迭代 程序，除应具有下降性、收敛性外，还必须具有可行 性，即每次迭代后得到的新点都应在可行域内。 直接法包括：随机试验法、随机方向探索法、复 合形法、可行方向法、可变容差法和简约梯度法等。
若
rr 1
则
r r r1 ;
则
q r/r 1
q 为（0，1）区间内的伪随机数。利用q，容易求 得任意区间（a，b）内的伪随机数，其计算公式 为：
x a q(b a)
二、 随机产生初始点： ① 输入设计变量的上、下限值：
ai≤ x i ≤bi ，（i=1,2,…n）；
② 在区间[0,1]中产生n个伪随机数 {qi }，计算x的 各分量 xi ai qi (bi ai )(i 1, 2, n) ③ 判断随机点是否可行，若随机点x为可行点， 则取初始点 x 0 x ；若随机点x为非可行 点，则转步骤②重新计算，直到产生的随机点 是可行点为止。
0
随机方向法评价
优点 1、对函数无性态要求
2、收敛快
3、不受维数影响，维数愈高，愈体现优点 缺点 1、对于严重非线性函数，只能得到近似解 2、对于非凸函数，有可能收敛于局部解
§5-3 复合形法
复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种
重要的直接方法。它来源于用于求解无约束非线性最
优化问题的单纯形法，实际上是单纯形法在约束问题 中的发展。 如前所述，在求解无约束问题的单纯形法中，不 需计算目标函数的梯度，而是靠选取单纯形的顶点并

非线性规划-无约束问题

非线性规划-无约束问题

一般地，解非线性规划问题要比解线性规划问题困难的多，因为它不像解线性规划问题有单纯形法这一通用的方法，非线性规划目前还没有适合于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的应用范围。
1.1 非线性规划问题及其数学模型
例：某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方形容器，按规格要求，上下底的材料为25元/m2，侧面的材料为40元/m2，试确定长、宽、高的尺寸，使这个容器的成本最低。
线性规划：
可能在其可行域中的任意一点达到。
非线性规划：
02
01
非线性规划的解的特点
目标函数是线性函数，可行域为凸集，求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。
线性规划：
01
有时求出的解是一部分可行域上的极值点，但并不一定是整个可行域上的全局最优解。
非线性划：
02
1.2 极值问题
局部极值定义
定理1：极值存在的必要条件
称该点列{X(k)}收敛于X*. 由于算法产生的点列使目标函数值逐步减小，称这一算法为下降算法。
或
超线性收敛：当 1<<2, q>0，或＝1, q＝0时，称为超线性收敛速度
二阶收敛：当 =2 ，k充分大时有
收敛速度
一般地认为，具有超线性收敛或二阶收敛速度的算法是比较快速的算法。
对于不同的问题，要根据具体情况来选择算法，因为我们事先并不知道最优解，迭代到什么时候停止呢？常用的准则是：
01
02
01
迭代中我们从一点出发沿下降可行方向找一个新的、性质有所改善的点。
02
下降方向：
可行方向：设 ∈S，d∈Rn,d≠0,若存在 ，使 ，称d 为 点 的可行方向。
2
如果继续缩小区间[a,b1](或[a1,b])，就需要在区间[a,b1](或[a1,b])内取一点b2，并计算出f(b2)的值，并与f(a1)比较。

第五章 有约束优化方法

第五章 有约束优化方法

根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为 直接 根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为:直接 解法、间接解法。 解法、间接解法。 （1）直接法 ） 直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、 直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、 随机方向法、可变容差法和可行方向法。 随机方向法、可变容差法和可行方向法。 （2）间接法 ） 间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、 间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚 函数法、混合罚函数法、广义乘子法、 函数法、混合罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度 法和约束变尺度法等。 法和约束变尺度法等。
2. 初始复合形顶点的确定 1) 用试凑方法产生 适于低维情况; 用试凑方法产生---适于低维情况 适于低维情况; 2) 用随机方法产生 用随机方法产生K ①用随机方法产生K个顶点 先用随机函数产生 n 个随机数 ξ i (0 < ξ i < 1) , 中去. 然后变换到预定的区间 ai < xi < bi 中去.
K − −计数器 (方向数 ) j − −计数器 (沿该方向前进过为 1, 否则为0)
α 0 − − 初始步长 ；
m − −在一迭代点处允许产生 的方向数 ；
α=α0, F0=F(X0) α
K=0, j=0
ε − −终止误差限 (步长 )
产生随机方向
X = X 0 + αS
j =1
否 j =0 是 否
2)取一试验步长a0，按下式计算k个随机点
x = x + a0 e
j 0
j
3）检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算余下 的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标函数最小的点 XL 。 4)比较XL 和X0两点的目标函数值，若f(XL) <f(X0)，则取XL 和 X0连线方向为可行搜索方向；若f(XL) >f(X0)，则步长α0 缩小， 专步骤1）重新计算，直至f(XL) <f(X0)为止。如果α0 缩小到 很小，仍然找不到一个XL，使f(XL) <f(X0)则说明X0是一个局 部极小点，此时可更换初始点，转步骤1）。

最优化算法（牛顿、拟牛顿、梯度下降）

最优化算法（牛顿、拟牛顿、梯度下降）

最优化算法（⽜顿、拟⽜顿、梯度下降）1、⽜顿法 ⽜顿法是⼀种在实数域和复数域上近似求解⽅程的⽅法。

⽅法使⽤函数f (x)的泰勒级数的前⾯⼏项来寻找⽅程f (x) = 0的根。

⽜顿法最⼤的特点就在于它的收敛速度很快。

具体步骤： ⾸先，选择⼀个接近函数f (x)零点的x0，计算相应的f (x0) 和切线斜率f ' (x0)（这⾥f ' 表⽰函数f 的导数）。

然后我们计算穿过点(x0, f (x0)) 并且斜率为f '(x0)的直线和x 轴的交点的x坐标，也就是求如下⽅程的解： 我们将新求得的点的x 坐标命名为x1，通常x1会⽐x0更接近⽅程f (x) = 0的解。

因此我们现在可以利⽤x1开始下⼀轮迭代。

迭代公式可化简为如下所⽰： 已经证明，如果f ' 是连续的，并且待求的零点x是孤⽴的，那么在零点x周围存在⼀个区域，只要初始值x0位于这个邻近区域内，那么⽜顿法必定收敛。

并且，如果f ' (x)不为0, 那么⽜顿法将具有平⽅收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代⼀次，⽜顿法结果的有效数字将增加⼀倍。

下图为⼀个⽜顿法执⾏过程的例⼦。

由于⽜顿法是基于当前位置的切线来确定下⼀次的位置，所以⽜顿法⼜被很形象地称为是"切线法"。

⽜顿法的搜索路径（⼆维情况）如下图所⽰： ⽜顿法搜索动态⽰例图：2、拟⽜顿法（Quasi-Newton Methods） 拟⽜顿法是求解⾮线性优化问题最有效的⽅法之⼀，于20世纪50年代由美国Argonne国家实验室的物理学家W.C.Davidon所提出来。

Davidon设计的这种算法在当时看来是⾮线性优化领域最具创造性的发明之⼀。

不久R. Fletcher和M. J. D. Powell证实了这种新的算法远⽐其他⽅法快速和可靠，使得⾮线性优化这门学科在⼀夜之间突飞猛进。

拟⽜顿法的本质思想是改善⽜顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷，它使⽤正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从⽽简化了运算的复杂度。

最优化第3章一维搜索方法

最优化第3章一维搜索方法
一维搜索方法一般分两步进行： ■ 首先确定一个包含函数极小点的初始区间，即确定 函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间； ■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长， 最终求出该搜索区间内的一维极小点。
§3.1 搜索区间的确定
根据函数的变化情况，可将区间分为单峰区间和多峰区间。 所谓单峰区间，就是在该区间内的函数变化只有一个峰值， 即函数的极小值。
§3.4 插值方法
一、牛顿法
f(x)
利用一点的函数值、 一阶导数以及二阶 导数构造二次多项 式。用构造的二次 多项式的极小点作 为原函数极小点的 近似。
φ0(x)
φ1(x) f(x)
x*
x2
x1
x0 x
§3.4 插值方法
一、牛顿法
设f(x)为一个连续可微的函数，则在点x0附近 进行泰勒展开并保留到二次项：
§3.1 搜索区间的确定
f(x)
f(x)
f(a0) f(a0+h)
f(a0+3h)
f(a0-h) f(a0)
f(a0+h)
0 a0 a
a0+h
a0+3h x b
0 a0-h
a0
a
进退试算法的运算步骤如下：
a0+h x b
(1)给定初始点α0和初始步长h (2)将α0及α0+h 代入目标函数 f(x) 进行计算并比较大小
φ0(x)
φ1(x) f(x)
f ′ (x)
x*
x2 x1
x0
φ ′ 1(x) f ′ (x)
x* x2
x1
x0
牛顿法程序框图
开始
x 给定初始点 ，误差 0
,
令k=0

最优化各算法介绍

最优化各算法介绍

最速下降法：算法简单，每次迭代计算量小，占用内存量小，即使从一个不好的初始点出发，往往也能收敛到局部极小点。

沿负梯度方向函数值下降很快的特点，容易使认为这一定是最理想的搜索方向，然而事实证明，梯度法的收敛速度并不快．特别是对于等值线（面）具有狭长深谷形状的函数，收敛速度更慢。

其原因是由于每次迭代后下一次搜索方向总是与前一次搜索方向相互垂直，如此继续下去就产生所谓的锯齿现象。

从直观上看，在远离极小点的地方每次迭代可能使目标函数有较大的下降，但是在接近极小点的地方，由于锯齿现象，从而导致每次迭代行进距离缩短，因而收敛速度不快.牛顿法：基本思想：利用目标函数的一个二次函数去近似一个目标函数，然后精确的求出这个二次函数的极小点，从而该极小点近似为原目标函数的一个局部极小点。

优点 1. 当目标函数是正定二次函数时，Newton 法具有二次终止性。

2. 当目标函数的梯度和Hesse 矩阵易求时，并且能对初始点给出较好估计时，建议使用牛顿法为宜。

缺点：1. Hesse 矩阵可能为奇异矩阵，处理办法有：改为梯度方向搜索。

共轭梯度法：优点：收敛速度优于最速下降法，存贮量小，计算简单.适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题.缺点：变度量法：较好的收敛速度，不计算Hesse 矩阵1．对称秩1 修正公式的缺点（1）要求( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k k T k y B s s − ≠0（2）不能保证B ( k ) 正定性的传递2．BFGS 算法与DFP 算法的对比对正定二次函数效果相同，对一般可微函数效果可能不同。

1） BFGS 算法的收敛性、数值计算效率优于DFP 算法；（2） BFGS 算法要解线性方程组，而DFP 算法不需要。

基本性质：有效集法：算法思想：依据凸二次规划问题的性质2，通过求解等式约束的凸二次规划问题，可能得到原凸二次规划问题的最优解。

有效集法就是通过求解一系列等式约束凸二次规划问题，获取一般凸二次规划问题解的方法。

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第十一节 步长加速法
内容概要
一、步长加速法简介 二、步长加速法原理 三、步长加速法算法 四、步长加速法的性质与评价
一、步长加速法简介
1961年，Hooke和Jeeves提出的解无约束极 值问题的一种直接搜索方法，主要解决的问题:目 标函数不可微，甚至不连续或者没有解析式。
该方法不需要梯度，仅通过比较目标函数值 的大小来移动迭代点，并最终找出最优点的一种 算法。
N
f Yj e j1 f Yj ?
j ←j+1
Y
N
J<n-1?
N
终点
Y
Y Y j e j1
Y
Y Y j e j1
二、步长加速法原理
当探测完成后，有两种可能：
① X0 Y
f Y f X 0
② X0 Y
沿所有方向探测全部失败
如果探测移动失败，则缩短步长，最从初始 基点重新探索…..，直至步长小于预定的△。
1 2
Y0 Yn
Y
步长
N
输出 Yn
停止Y0 X 0从Y0出发，依次沿ei 试探，得到Yi直到Yn
Y
f Yn f Y0
N
X k 1 Yn
Y0 X k X k1 X k
f Y0 f X k 1
Y
算法流程
N
Y0 X k 1
探测移动从一个基点 X0出发，依次沿n个坐 标轴方向用固定步长△探测目标值更小的点（新 的基点）。
二、步长加速法原理
为了形象的描述这个过程，我们可以设立一个动点Y。
探测移动,基点X 0 Y←X 0 , j=0
e j 0 • •010• •0T 为坐
标轴的单位方向向量
f Yj e j1 f Yj ?
1.步长加速法的收敛速度是线性的，如果目标 函数可微，则可收敛到平稳点；
2.可用于任何形式的目标函数； 3.收敛速度比较慢，但是编制程序比较简单，
而且可靠。
谢谢！
令X 1
Y2

(0,
2),
模矢为X 1

X0
(1, 1),
f
(X1)
f (Y2 ) 12
Y0 X0 (X1 X0 ) (1,1)
f (Y0 ) 4 12 f (X1), 模矢加速成功
三、步长加速法算法
Y0 +e1=（2，1），f(Y0 +e1)=5>f(Y0 )=4
f (Y1+e2 )=f (Y1 e2 ) 0.75 0 f (Y0 )
故Y2 Y1 (0, 0), f (Y2 ) f (Y0 ) 0, 坐标循环试探失败
三、步长加速法算法
令=
1 2
=0.25，Y0

Yn

(0, 0),计算结果仍有
f (Y2 ) f (Y0 ) 0,坐标循环试探失败
Y1=Y0 +e1=（0，3），f(Y1)=27
Y1+e2 =（0，4），f(Y1+e2 )=48>27=f(Y1)
Y1 e2 (0, 2), f (Y1 e2 ) 12 27=f(Y1)
Y2 Y1 e2 (0, 2),且f (Y2 ) f(Y0 ), 试探成功
二、步长加速法原理
两个基本阶段
步长加速法的算法过程可以分成两个基本 阶段：坐标循环试探和模矢加速搜索。
坐标循环试探：探求一个沿各坐标方向搜 索得到的一个函数值小于出发点函数值的对应点， 并得到一个有利的方向。
模矢加速搜索：沿此有利方向加速移动。
二、步长加速法原理
1.坐标循环试探 设问题为
min f x, x En
N
Y Y Y ej
f Y ej f Y ?
Y Y Y ej
N j ←j+1 N j=n?
Y
终点
坐标试探
X 0 Y0
Y1
Y X0 (X1 X0) 加速搜索
二、步长加速法原理
步长加速法解题思想
Y
开始 探测移动
成功？ Y 模式加速
N
成功？ N 退回起点
减缩步长
N
步长<误差？
Y 停止
三、步长加速法算法
设问题为：
min f x, x En
X0为初始点，e1, e2 ,..... en 依次为n个坐标的
单位方向量，初始坐标循环步长为 ，模式加
速搜索的加速因子为 2 ，迭代终止条件为
（为预先设定的正数）
三、步长加速法算法
开始
三、步长加速法算法
Y0 +e1=（1，0），f(Y0 +e1)=1>f(Y0 )=0
Y0 e1 (1, 0), f (Y0 e1) 1 f(Y0 )=0
故Y1 Y0 (0, 0), f (Y1) f (Y0 ) 0
Y1+e2 =（0，1），f(Y1+e2 )=3>0=f(Y1) Y1 e2 (0, 1), f (Y1 e2 ) 3 0=f(Y1)
=0.25<0.3= ,满足终止条件
原问题最优解为X * Y2 (0, 0) 事实上，原问题的精确极小点正是(0, 0)点
三、步长加速法算法
x2
(-1,3)
(0,3)
取 1， 2， 0.3，
e1 1,0T , e2 0,1T
(1,1)
(1,0)
x1
三、步长加速法性质与评价
Y0 e1 (0,1), f (Y0 e1) 3 f(Y0 )=4
故Y1 Y0 e1 (0,1), f(Y1)=3
Y1+e2 =（0，2），f(Y1+e2 )=12>3=f(Y1)
Y1 e2 (0, 0), f (Y1 e2 ) 0 3=f(Y1)
故Y2 Y1 (0, 0), f (Y2 ) f (Y0 ) 0, 坐标循环试探失败
令=
1 2
=0.5，Y0

Yn

(0, 0),有
f (Y0 +e1)=0.25=f (Y0 e1) 0.25 0 f (Y0 )
故Y1 Y0 (0, 0), f (Y1) f (Y0 ) 0
如果探测成功，则执行第二个动作—模式加 速搜索。
二、步长加速法原理
2.模矢加速搜索 前一个动作探测移动得到了更好的点Y，我
们把这个点赋给 X k1 ，这是我们的第二个基点。 我们猜测方向 (Xk1 Xk ) 是一个有利方向，则令 Y0 Xk (Xk1 Xk ) ，以得到下一次迭代的出发 点Y。这个动作称为模式加速移动， 称为加速因 子（一般取2） 。
二、步长加速法原理
如果有 f Y0 f X1 ，则加速成功,转入第一
步。 否则，令Y X1 ，转入第一步。
二、步长加速法原理
e2
Y2 X1
步长加速图例
Y0
探测移动,基点 X 0 Y←X 0 , j=1
ej 0 ••010••0T 为坐
标轴的单位方向向量
f Y ej f Y ?
Y2 Y1 e2 (0, 0),且f (Y2 ) f(Y0 ), 试探成功
令X 2
Y2
(0, 0),
f
(Y2 )

f
(X1)
0,
Y0 X1 (X2 X1) (0, 2), f (Y0 ) 12 f (X2 ) 0
故Y0

X 2

(0, 0), 模矢加速失败
三、步长加速法算法
例题2：
设 X0 （1，3）, 终止条件是 0.3 ，用步长
加速法求解 min f X x12 3x22 。
三、步长加速法算法
解 取=1， =2， =0.3，e1=（1，0）T，e2 =（0，1）T
k =0
Y0 =X0 =（-1，3），
故 Y0 +e1=（0，3），f(Y0 +e1)=27<f(Y0 )=28