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动态优化理论最优决策与动态经济模型动态优化理论（Dynamic Optimization Theory）是指在一定时间范围内，通过调整决策变量来最大化或最小化某个目标函数的理论。
动态优化问题常见于经济学、管理学、工程学等领域，通过数学建模与分析，可以寻求最优决策策略，进而指导实际操作。
一、动态优化理论的基本原理动态优化问题的基本原理是在给定约束条件下，通过对决策变量的调整，使得目标函数在一定时间段内达到最优值。
动态优化问题通常包括状态方程、路径约束和终端约束。
1.1 状态方程状态方程描述了系统状态的演化过程，通常采用微分方程或差分方程的形式表示。
状态方程是衡量系统动态变化的关键因素，对于理解问题的本质和设计决策策略具有重要意义。
1.2 路径约束路径约束是指决策变量的取值必须满足的条件，例如资源限制、技术限制、市场需求等。
路径约束是动态优化问题中的限制条件，对于寻求最优决策具有指导作用。
1.3 终端约束终端约束是指在给定时间段内，目标函数必须满足的条件。
终端约束是动态优化问题中的最终目标，通过调整决策变量来使得目标函数在规定时间内达到最优值。
二、动态优化理论的最优决策方法动态优化理论采用多种数学方法和计算工具，如微积分、动态规划、最优控制理论等，以求解最优决策问题。
2.1 微积分方法微积分方法是解决动态优化问题的基本工具之一。
通过对目标函数和约束条件进行求导，可以得到最优解的局部性质和判别条件。
微积分方法在研究动态经济模型、资本积累问题等方面应用广泛。
2.2 动态规划方法动态规划方法是一种针对递推问题的优化技术。
通过将大问题分解为子问题，并使用递推关系求解，最终得到最优策略。
动态规划方法在资源分配、项目管理等领域具有重要应用。
2.3 最优控制理论最优控制理论是研究在给定目标下，如何使系统状态在一定时间内达到最优值的理论框架。
最优控制理论对于动态经济模型中的决策优化和控制调节具有重要意义。
三、动态经济模型与决策优化动态经济模型是基于动态优化理论构建的经济分析工具，用于研究经济系统的演化过程和决策策略。
控制系统中的优化控制理论与方法在控制系统中，优化控制理论与方法是一种重要的技术手段，旨在通过对系统的调整和改进，实现系统性能的最优化。
本文将从优化控制的基本概念、常用的优化控制方法以及优化控制在实际系统中的应用等方面进行阐述。
一、优化控制的基本概念优化控制是指通过对系统参数、结构、控制算法等进行合理设计和调整，使得系统的性能指标达到最优水平的一种控制方法。
其目标是在满足系统动态响应、鲁棒性等基本要求的前提下，使系统的效率、稳定性、鲁棒性等性能指标达到最优。
优化控制理论与方法主要包括数学优化理论、控制理论和计算方法等。
二、常用的优化控制方法1. 最优化理论的应用最优化理论是优化控制的理论基础，主要包括线性规划、非线性规划、动态规划、最优控制等方法。
通过将系统的控制问题转化为一个数学优化问题，可以利用最优化理论的方法求解最优控制策略。
2. PID控制器的优化PID控制器是目前应用最广泛的控制器之一，通过对PID参数的优化，可以提高系统的性能。
常用的PID参数优化方法包括试探法、经验法、遗传算法、粒子群算法等。
3. 模型预测控制模型预测控制是一种基于模型的优化控制方法，通过对系统的动态模型进行建立和优化，可以在一定的预测范围内求解最优控制策略。
模型预测控制主要包括线性模型预测控制、非线性模型预测控制等方法。
4. 自适应控制自适应控制是一种能够自动调整控制器参数的优化控制方法，通过对系统的建模和参数实时调整，可以适应不同工况下的控制需求。
自适应控制主要包括模型参考自适应控制、基于模型的自适应控制等。
三、优化控制在实际系统中的应用优化控制理论与方法在实际系统中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 工业过程控制：优化控制在化工、电力、冶金等工业过程中的应用较为广泛。
通过对控制参数的优化调整，可以提高生产效率、降低能耗、优化产品质量等。
2. 机器人控制：优化控制方法在机器人运动控制、轨迹规划、力控制等方面的应用，可以提高机器人的运动精度、路径规划效果等。
控制论的数学基础控制论作为一门独立的学科，是研究动态系统的行为及其控制方法的一门交叉学科。
它的理论基础主要建立在数学基础之上，通过数学模型描述系统的动态行为，并通过控制方法实现对系统的控制。
本文将从控制论的数学基础展开讨论，介绍控制论中常用的数学工具和方法，以及其在实际应用中的重要性。
一、微积分微积分是控制论中最基础也是最重要的数学工具之一。
微积分主要包括微分学和积分学两个部分，它们为控制论提供了描述系统动态行为的数学工具。
在控制论中，微分方程是描述系统动态行为的主要数学工具，通过微分方程可以描述系统状态随时间的变化规律。
控制论中的状态空间模型就是基于微分方程建立的，通过状态空间模型可以描述系统的状态、输入和输出之间的关系，是控制系统设计和分析的基础。
二、线性代数线性代数是控制论中另一个重要的数学基础。
在控制论中，系统的状态、输入和输出通常用向量和矩阵来表示，线性代数提供了描述向量和矩阵运算的数学工具。
在控制系统设计中，经常需要对系统进行状态空间表示、状态反馈控制、观测器设计等操作，这些操作都需要用到线性代数的知识。
此外，线性代数还在控制系统的稳定性分析、性能评价等方面发挥着重要作用。
三、概率论与统计学概率论与统计学是控制论中用来描述系统随机性的数学工具。
在实际控制系统中，系统受到各种随机扰动和噪声的影响，因此需要考虑系统的随机性。
概率论与统计学提供了描述系统随机性的数学方法，通过概率论与统计学的知识可以对系统的随机性进行建模和分析，从而设计出更加鲁棒的控制系统。
四、优化理论优化理论是控制论中用来设计最优控制器的数学工具。
控制系统设计的目标通常是使系统在给定性能指标下达到最佳控制效果，这就需要通过优化理论来设计最优控制器。
优化理论可以帮助我们找到系统的最优控制策略，使系统在给定约束条件下达到最佳性能。
五、动态规划动态规划是一种重要的优化方法，也是控制论中常用的数学工具之一。
动态规划通过将多阶段决策问题分解为单阶段决策问题，并逐步求解，从而得到最优解。
最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。
这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。
通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。
一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。
这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。
为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。
这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。
然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。
最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。
二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。
其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。
1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。
这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。
2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。
这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。
3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。
这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。
三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。
最优控制基本原理
最优控制基本原理是控制理论中的一个重要分支，它主要研究如何设计最优控制器以实现系统的最优性能。
最优控制的基本原理包括动态规划、变分法和最优化理论等。
动态规划是一种通过将问题分解成子问题并递归地解决这些子问题来求解最优控制问题的方法。
它通过构建最优化问题的状态转移方程和边界条件来寻找最优控制策略。
变分法则是一种数学方法，它通过将最优控制问题转化为弱形式的变分问题来寻找最优控制策略。
变分法运用泛函分析中的概念和方法，可以得到对动力学过程进行最优控制的必要条件。
最优化理论是一种通过最小化或最大化目标函数来寻找最优控制策略的方法，它主要应用于连续系统和非线性系统的最优控制问题中。
最优化理论的方法包括拉格朗日乘数法、Kuhn-Tucker条件和梯度下降法等。
最优控制基本原理在实际应用中有着广泛的应用，例如控制机器人、导弹、航天器和工业过程等。
通过研究最优控制基本原理，可以提高控制系统的性能，提高工业过程的效率，优化资源利用等。
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控制与设计知识点大全【控制与设计知识点大全】一、引言控制与设计是现代工程领域中不可或缺的重要环节，涉及到各种系统、设备和过程的调节和优化。
本文旨在全面介绍控制与设计的相关知识点，包括控制理论、设计方法以及实际应用等方面内容。
二、控制理论1. 控制系统的基本概念控制系统是指由传感器、执行器和控制器组成的系统，通过对系统的输入和输出进行监测和调节，实现对目标状态或性能的控制。
2. 反馈控制理论反馈控制理论是控制系统设计中的基础理论，通过对系统输出与期望输出之间的差异进行反馈调节，实现对系统稳定性和性能的优化。
3. 控制系统的稳定性与鲁棒性控制系统的稳定性是指系统在各种干扰和不确定性的影响下，是否能保持稳定。
鲁棒性则是指系统抵抗干扰和不确定性的能力。
4. 线性控制与非线性控制线性控制是指控制系统中的数学模型是线性的，而非线性控制则是指系统模型具有非线性特性，需要采用专门的设计方法。
5. 自适应控制理论自适应控制理论是指控制系统可以根据实时的系统状态和性能变化，自动调整控制策略和参数，以适应不断变化的工况条件。
三、设计方法1. 系统建模与仿真系统建模是指将实际系统抽象成数学模型，以便进行分析和设计。
仿真则是利用计算机模拟系统的动态响应和性能，评估不同控制策略的效果。
2. PID控制器设计PID控制器是最常用的控制器之一，通过比例、积分和微分三个部分的组合，实现对系统的稳定控制和响应速度调节。
3. 先进控制方法除了传统的PID控制，还有一些先进的控制方法，如模糊控制、神经网络控制、自适应控制等，可以更好地处理非线性、时变等复杂系统。
4. 优化与最优控制优化与最优控制是通过优化理论和方法，寻找最优的控制策略和参数，以实现系统性能的最大化或最小化。
四、实际应用1. 工业自动化控制与设计在工业自动化中起着重要作用，包括生产线控制、工艺控制、机械控制等方面。
2. 动力系统控制对于动力系统，如发电厂、机车等，控制与设计能够提高系统的效率和稳定性，保证安全运行。
控制工程基础理论与概念解析控制工程是一门应用科学，旨在通过设计和实施系统来影响系统的行为。
它涉及模型建立、系统识别以及控制系统的设计与实现。
本文将针对控制工程的基础理论和概念进行深入解析。
一、控制工程的基本概念1.1 控制系统控制系统是一个将输入转换为所需输出的组合，用于对某个过程、设备或系统进行控制的集成系统。
它由传感器、执行器以及控制器组成。
传感器用于采集实时的信息，而执行器则用于实现控制输出。
1.2 反馈控制反馈控制是一种常见的控制方法，通过不断对输出进行测量，并将测量结果与期望输出进行比较，从而调整控制器的输出。
这种反馈机制可以使系统对不确定性和扰动具有一定的鲁棒性。
1.3 系统建模与识别系统建模与识别是控制工程的关键环节。
它涉及将实际系统抽象为数学模型，以便进行系统分析和控制设计。
常用的建模方法包括物理建模、黑箱模型以及灰箱模型等。
1.4 控制器设计控制器设计是控制工程的核心任务之一。
它的目标是通过调整控制器的参数和结构，实现系统稳定性、动态响应和鲁棒性等性能指标的要求。
常见的控制器设计方法包括比例积分微分控制器（PID控制器）、模型预测控制（MPC）以及适应性控制等。
二、控制工程的核心理论2.1 线性控制理论线性控制理论是控制工程中最常用和基础的理论之一。
它基于线性系统理论，通过对线性系统的数学模型进行分析，实现对系统行为的控制。
线性控制理论包括稳定性分析、稳态误差分析、频域分析以及根轨迹法等。
2.2 非线性控制理论非线性控制理论是对非线性系统进行建模和控制的理论体系。
由于现实系统往往具有非线性特性，所以非线性控制理论对于解决实际问题具有重要意义。
非线性控制理论包括滑模控制、自适应控制以及神经网络控制等。
2.3 最优控制理论最优控制理论是控制工程中的一种高级控制理论，它的目标是通过优化控制策略，实现系统性能指标的最优化。
最优控制理论包括最优控制问题的建模、极大极小原理以及最优控制算法等。
工程师中的控制科学与工程知识点梳理在工程师的职业中，控制科学和工程是非常重要的一部分。
它涉及了许多关键概念和知识点，对于工程师们来说理解和掌握这些内容至关重要。
本文将对工程师中的控制科学与工程的知识点进行梳理。
一、控制科学的基础概念1. 控制系统：控制系统是指由输入、输出和反馈组成的一个整体，通过对输入信号进行处理和反馈调节输出信号以达到控制目标的过程。
2. 控制器：控制系统中的关键部分，它接收输入信号和反馈信号，并产生输出信号来控制被控制对象。
3. 控制对象：控制系统中需要被调节和控制的对象或过程，比如机器人、电机等。
4. 开环控制与闭环控制：开环控制是指控制器输出信号不受反馈信号影响的控制方式，闭环控制是在开环控制的基础上添加反馈元件，通过对反馈信号的调节来实现更准确的控制。
二、控制工程的基本原理1. 反馈原理：控制系统中的反馈机制可以将输出信号与期望信号进行比较，并对差异进行修正，以实现控制系统的稳定性和准确性。
2. 控制对象动态特性：控制对象会受到其自身的特性和环境的影响，了解和分析控制对象的动态特性是设计有效控制系统的重要前提。
3. PID控制器：PID（比例-积分-微分）控制器是最常用的控制器之一，它根据当前误差的大小，以及过去误差和未来误差的变化趋势来决定输出信号。
三、控制理论与方法1. 系统建模：通过对被控制对象的特性进行数学建模，可以获得系统的数学描述，为控制设计提供基础。
2. 线性控制系统理论：线性控制系统是指控制对象以线性特性变化的系统，其设计方法主要基于线性控制理论，如根轨迹法和频率响应法等。
3. 非线性控制系统理论：非线性控制系统是指控制对象以非线性特性变化的系统，其设计方法则需要使用非线性控制理论，如滑模控制和自适应控制等。
4. 状态空间理论：状态空间理论是一种系统的描述方法，通过描述系统的状态变量来进行控制系统的设计和分析。
5. 最优控制理论：最优控制理论是一种通过优化目标函数来设计控制系统的方法，通过最小化性能指标来获得最优控制策略。
最优控制理论
最优控制理论是控制理论的一个重要分支，它的主要目的是求解和优化控制系统的性能，以最小化控制系统的成本和最大化控制系统的绩效。
最优控制理论是由工程师和科学家们提出的，他们希望能够构建一种新型的控制系统，能够实现更高效和更优质的控制效果。
最优控制理论的基本思想是，通过构建一个有效模型来表示控制系统，然后利用模型进行优化，以求解最优的控制策略。
为了实现最优控制，首先要分析和建立控制系统的模型，然后根据模型的特性，通过综合考虑控制系统的性能和成本，来确定控制系统的控制参数。
最优控制理论可以应用于各种类型的控制系统，包括模糊控制，PID控制，模型预测控制，状态反馈控制等。
在某些情况下，最优控制理论可以帮助控制系统提高性能，减少资源消耗，提高质量，降低噪声，提高稳定性等，从而提高控制系统的性能。
总的来说，最优控制理论是一种有效的控制理论，可以有效提高控制系统的性能，同时降低控制系统的成本。
它的应用可以让控制系统更加精确、稳定、可靠，从而为人们提供更好的服务。
控制系统中的最优控制理论及应用控制系统是现代工程中不可或缺的一部分，它能够将输入信号转化为相应的输出信号，以实现对系统行为的调整和控制。
而在控制系统中，最优控制是一种关键的理论和方法，它能够在给定的条件下寻找到最优的控制策略，以使系统的性能达到最佳。
最优控制理论的核心是最优化问题，即在给定一组约束条件下，寻找能使某个性能指标达到最优的控制策略。
常见的性能指标有能耗最小、系统响应最快、误差最小等。
为了解决这类问题，最优控制理论通常利用微积分和变分法等数学工具来建立系统的数学模型，并通过求解最优化问题得到最优控制策略。
在最优控制理论中，常用的方法有数学规划、动态规划和最优化方法。
其中，数学规划是在一组约束条件下，通过建立目标函数的数学模型，利用数学优化算法求解最优解。
动态规划是一种递推算法，它通过将复杂的最优控制问题分解为一系列子问题，并利用最优化原理逐步递推求解。
最优化方法则是一类数学求解算法，通过迭代优化搜索来找到目标函数的最优解。
除了理论研究，最优控制理论在实际应用中也具有广泛的价值。
例如，在工程领域中，最优控制可应用于航空航天、自动化控制、能源管理等方面。
在航空航天领域，最优控制可以用于飞行器的轨迹规划和姿态控制，以实现飞行器的安全、高效运行。
在自动化控制领域，最优控制可以用于工业生产中的过程控制和优化，以提高生产效率和降低能源消耗。
在能源管理领域，最优控制可以用于电力系统的调度和优化，以合理分配能源资源和提高能源利用效率。
此外，在生物学、经济学和社会科学等领域中，最优控制理论也有广泛的应用。
在生物学中，最优控制可用于模拟和研究生物系统的行为和进化规律。
在经济学中，最优控制可用于确定最佳的生产方案和资源配置，以实现社会效益的最大化。
在社会科学中，最优控制可用于指导社会政策和管理决策，以实现社会资源的合理分配。
综上所述，最优控制理论是控制系统中的重要组成部分，它通过数学建模和优化算法，为控制系统提供了有效的解决方案。
分数: ___________任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业学年学期：2013-2014第二学期课程名称：优化理论和最优控制学生姓名：学号：提交时间：2014年4月26日《优化理论和最优控制》结课总结摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。
尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。
这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。
最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。
关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value.Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， TheTime Domaint ’s Model ， The Frequency domain ’s Model ，The Control Law 0 引言最优控制理论的形成和发展和整个现代自动控制理论的形成和发展十分不开的。
在20世纪50年代初期，就有人开始发表从工程观点研究最短时间控制问题的文章，尽管其最优性的证明多半借助于几何图形，仅带有启发性质，但毕竟为发展现代控制理论提供了第一批实际模型。
由于最优控制问题引人注目的严格表述形式，特别是空间技术的迫切需求，从而吸引了大批科学家的密切注意。
经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的。
而实际上碰到的更多的是容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们去探索、求解最优控制问题的新途径。
下面介绍本课程的主要内容，线性规划：单纯形法和对偶规划；非线性规划：共轭梯度法、最速下降法和牛顿法，还有最优控制问题。
1 优化理论的数学模型1.1 基本数学概述线性规划的标准形式：12111112211112212max (,,,)(),,,0n n j jj n n m m mn n m n f x x x c x a x a x a x b LP a x a x a x b x x x =⎧=⎪⎪⎪+++=⎪⎨⎪+++=⎪≥⎪⎪⎩∑方程解的情况:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧有无穷多最优解有唯一最优解有最优解无最优解有可行解无可行解 有规划数学的基本知识可以知道：二维线性规划问题若有最优解，则最优解一定可在可行域的某个顶点上达到。
1.2 一维搜索1.2.1 进退法进退法特点&适用条件：->可以用相同的试点数计算出最精确的解的估计区间.->所用函数)(t f 为下单峰函数基本算法：->确定试点个数n->根据相对精度δ，得出Fibonacci 数Fn->使n 是满足δ≤nF 1的最小数。
->对于初始区间],[00b a 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+='-+=--)()(0010100101a b F F a t b a F F b t n n n n 计算函数值)(),(11t f t f '，比较其大小 若)()(11t f t f '<，则令121101,,t t t b a a =''==，并令)(111212b a F F b t n n -+=-- 否则，令120111,,t t b b t a '===，并令)(111212a b F F a t n n -+='-- 如第3步继续迭代，通式为2,,2,1,)()(11111111-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+='-+=--+-----+---n k a b F F a t b a F F b t k k k n k n k k k k k n k n k k 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++='+=-------))(21()(212221221n n n n n n n a b a t b a t ε，其中ε是充分小的数在11,--'nn t t 两点中以函数值较小的为近似极小点，相应的函数值为近似极小值，并得最终区间],[12--'nn t a 或],[21--n n b t 1.2.2 黄金分割法黄金分割法实际上是试探法的一种，它根据单峰函数构造。
设F(x)是搜索区间[a ，b]上的单峰函数。
为了进行一维搜索，求一维目标函数的极小点，我们可以采用试探方法来进行。
为了逐步缩小单峰区间．在区间内任取两点1x ，2x 算函数值为F 1（x ）和F 2（x ）)，比较这两个函数值的大小，将出现以下三种情况。
(1)当F F 12（x ）<（x ）时，由于函数单峰性．极小点必于区间2[a x ]内，这时可丢掉2[x b]，把搜索区间缩小为2[a x ]。
(2)当F F 12（x ）>（x ）时，同理．极小点必在区间1[x b]内．把搜索区间缩小为1[x b] 。
(3)当F F 12（x ）=（x ）时，这时极小点应在区间12[x x ]内，缩小了区间。
若计算出搜索区间内两个点函数值，能把搜索区间缩短，这样不断的重复，就可越来越精确的估出区间0x 的位置，这就是试探法的基本思想。
F 1（x ）F 2（x ）1x 2x a b若第一次选取的试点为21x x <，则下一步保留区间为[a,x 2]或[x 1,b]，两者的机会是均等的，因此选取试点时希望x 2-a=b-x 1，实际计算取近似值：0.382(),0.618()a b a a b a =+-=+-12x x黄金分割法是Fibonacci 法的极限形式。
每次缩小区间的比例是一致的，每次将区间长度缩小到原来的0.618倍。
2 线性规划2.1 单纯形法线性规划问题的可行域是 n 维向量空间Rn 中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n 的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。
使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。
这样，一个或多个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。
求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。
最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在三种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。
现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有10^6个决策变量和10^4个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。
2.2 对偶规划原始规划与对偶规划是同一组数据参数，只是位置有所不同，所描述的问题实际上是同一个问题从另一种角度去描述。
推论若0x 是原始线性规划的可行解，y 1是对偶线性规划的可行解，00cTx bTy =，则0x 与y 1分别是原始线性规划问题与对偶线性规划问题的最优解。
对偶的线性规划都有最优解的充要条件是两者都有可行解。
若原始线性规划问题与对偶线性规划问题之一具有无界的目标函数值，则另一个无可行解。
