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最优化与最优控制

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经济学中的数学分析方法——12 最优控制与动态最优化

经济学中的数学分析方法——12 最优控制与动态最优化
第十二章 最优控制理论与动态最优化
动态最优化的问题， 在自然科学和社会科学的很多领域中有着十分广泛的应用。 在经济 学中， 尤其在博弈论和宏观经济学中有着大量的应用。 研究动态最优化的数学工具有好几种， 如变分法、动态规划和最优控制理论等。我们在第十章中简要地介绍过动态规划，但是没有 介绍它的最优化原理。在本章我们来介绍变分法、动态规划的最优化原理和最优控制，重点 是最优控制理论。最优控制理论是数学上一个独立的学科，包含的内容很丰富。在本章我们 只 能 简要 地最 优控 制理 论的 框架 和主 要 的 结论 ： Bellman 最 优 化原 理， 庞 得 里亚 金 (Pontryagin) 极大值原理及其在宏观经济学中的应用。
故整个时段的总成本为：
J (u) = ∫ L( t , x ( t ), u( t ))dt
t0
T
（12.9）
于是问题就归结为：求生产速率 u(t)，使其满足约束条件（12.6） ， （12.7） ，且库存量 x(t)满 足（ 12.8） ，并使作为“性能指标”的总成本 J( u)为最小。 最优控制问题的一般提法 通过以上两个实例，可以看出最优控制问题有许多共同点。归纳起来，它们都具有如下 四个要素： （1） 受控对象的数学模型。 受控对象，即状态变量，都是由所谓状态方程描述的动态系统。一般可表为一个微分方 程：
t0 T
最优控制问题是要求一个容许控制 u( t ) ∈ U, t ∈ [ t0 , T ] ，使系统由初始状态 x0 出 发，在某一时刻 T > t 0，达到目标集 S，并使性能 J(u) 达到最小（或最大）值。
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x∈[ x1 , x2 ]

最优控制

最优控制

限制 条件 控制装置 初始 状态 控制 作用
性能 最好 受控对象 要求 状态
4.最优控制的性能指标 最优控制的性能指标 在状态空间中， 在状态空间中，要使系统的状态由初始状态 x(t 0 ) 转移到 可以用不同的控制规律来实现。 终端状态 x(t f ),可以用不同的控制规律来实现。为了衡量 可以用不同的控制规律来实现 控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣， 控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需 要用一个性能指标来判断。性能指标的内容与形式， 要用一个性能指标来判断。性能指标的内容与形式， 主要取决于最优控制问题所要完成的任务。 主要取决于最优控制问题所要完成的任务。因此不同
最优控制问题的实质， 最优控制问题的实质，就是确定给定条件下给定系统的 控制规律。致使系统在规定的性能指标（目标函数） 控制规律。致使系统在规定的性能指标（目标函数）下具 有最优值。也就是说， 有最优值。也就是说，最优控制就是要寻找容许的控制作 用（规律）。使动态系统（受控对象）从初始状态转移到 规律）。使动态系统（受控对象） ）。使动态系统 某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（ 某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函 数）达到最大（小）值。 达到最大（
静态最优化问题。（参数最优化），如果最优化问题的解 静态最优化问题。（参数最优化），如果最优化问题的解 。（参数最优化）， 随时间的变化而变化，即变量是时间的函数， 随时间的变化而变化，即变量是时间的函数，则称为动态 最优化（最优控制）问题。 最优化（最优控制）问题。解决静态最优化问题采用线性 规划和非线性规划方法。 规划和非线性规划方法。而解决动态最优化问题则采用动 态规划法或最大值原理。 态规划法或最大值原理。 例2：理想振荡器的最快停振问题 ： 组成。 理想振荡器的振荡电路由电感 L 和电容 C 组成。假设从 开始， 时刻 t 0 开始，在振荡电路上加上一个外加电势 e(t ) ，要求 该振荡器能最快停止振荡。 该振荡器能最快停止振荡。 解：根据基尔霍夫第二定律则有： 根据基尔霍夫第二定律则有：

最优化与最优控制课程的教学改革建议

最优化与最优控制课程的教学改革建议

最优化与最优控制课程的教学改革建议作者：任华玲来源：《教育教学论坛》 2017年第16期摘要：本文总结了研究生课程教学中存在的问题，尤其是最优化与最优控制这门研究生专业基础课目前教学中存在的问题。

在此基础上，给出了几点切实可行的教学改革建议，为后期专业课的学习打下坚实的理论基础，并为培养研究生从事科学研究的能力作好准备。

关键词：专业基础课；最优化与最优控制；教学改革中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）16-0141-02一、最优化与最优控制课程的性质和教学目标最优化与最优控制课程是硕士研究生系统分析与集成、系统理论等专业的专业基础课，该课程以最优化与最优控制的基本概念、建模方法、基本理论、求解方法等为主要内容，为相关专业硕士研究生在以后的科研中遇到优化问题而提供引导思路，起到“抛砖引玉”的作用。

其主要教学目标包括：掌握最优化和最优控制方法的基本思路、特点和适用条件；掌握相关理论和算法；能够应用这些方法对实际问题进行建模；了解现代优化方法发展的前沿和最新的优化工具软件。

二、最优化与最优控制教学中存在的问题1.研究生课程教学中普遍存在的问题。

首先谈谈研究生课程教学中普遍存在的问题。

研究生课程的学习对提高研究生培养质量具有非常重要的作用，但研究生与本科生不同，他们已经具备了较扎实的基础知识，然而目前仍有许多研究生课程还是主要采用传统的灌输式教学方式。

这种让学生被动接受知识的方法无法调动学生学习的积极性和主动性，也没有考虑学生学业及个人需求的差异性，教学效果不佳。

另外，大部分研究生课程没有统一教材，任课教师忙于科研工作难以及时更新教学内容，导致一些公共基础的教学内容陈旧或不够全面[1]。

然而，专业基础课是进一步学习后期相关专业课程的基础，其学习质量的优劣将直接关系到专业课教学的学习效果，关系到学生能否在理论深度上更好地理解和掌握专业课的学习，关系到在专业课中能否发挥出一定的自主和创新能力[2]。

最优控制与最优化问题中的动态规划方法

最优控制与最优化问题中的动态规划方法

最优控制与最优化问题中的动态规划方法动态规划方法是一种在最优控制和最优化问题中常用的方法。

它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。

本文将介绍动态规划方法的基本原理和应用，以及其在最优控制和最优化问题中的具体应用案例。

一、动态规划方法的基本原理动态规划方法的基本原理是将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解整体问题的最优解。

具体来说，动态规划方法有以下几个基本步骤：1. 定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。

2. 确定状态转移方程：根据问题的特点和约束条件，确定状态之间的转移关系。

3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即最简单的情况下的解。

4. 递推求解：利用状态转移方程和边界条件，递推求解问题的最优解。

二、动态规划方法在最优控制中的应用动态规划方法在最优控制中有广泛的应用。

最优控制问题的目标是找到一种控制策略，使得系统在给定的约束条件下达到最优性能。

动态规划方法可以用来求解最优控制问题的控制策略。

以倒立摆控制为例，倒立摆是一种常见的控制系统，其目标是使摆杆保持竖直位置。

动态规划方法可以将倒立摆控制问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的控制动作。

通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个控制过程的最优策略。

三、动态规划方法在最优化问题中的应用动态规划方法在最优化问题中也有广泛的应用。

最优化问题的目标是找到一组变量的最优取值，使得目标函数达到最小或最大值。

动态规划方法可以用来求解最优化问题的最优解。

以旅行商问题为例，旅行商问题是一个经典的最优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够经过所有城市并且总路程最短。

动态规划方法可以将旅行商问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的下一个城市。

通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个旅行路径的最优解。

四、动态规划方法的优缺点动态规划方法有以下几个优点：1. 可以求解复杂的最优控制和最优化问题，具有较高的求解效率。

最优化及最优控制计算研究精确罚函数途径

最优化及最优控制计算研究精确罚函数途径

最优化及最优控制计算研究精确罚函数途径摘要最优化及最优控制是现代控制领域中研究的重点之一。

随着科技发展和信息技术的广泛应用，人们对最优化与最优控制的需求越来越强烈。

而在最优化与最优控制中，精确罚函数方法是一种重要的技术手段，它已被广泛应用于各种实际问题的求解中。

本文主要介绍精确罚函数方法的研究现状和应用，包括其基本概念、基本原理及其数值求解方法，并对精确罚函数方法进行了深入的剖析和思考。

关键词：最优化、最优控制、精确罚函数、数值求解AbstractOptimization and optimal control are one of the research focuses in the field of modern control. With the development of science and technology and the widespread application of information technology, people's demand for optimization and optimal control is becoming more and more urgent. In optimization and optimal control, the accurate penalty function method is an important technical means, which has been widely used in the solution of various practical problems. This paper mainly introduces the research status and application of the accurate penalty function method, including its basic concepts, basic principles, and numerical solution methods, and deeply analyzes and thinks about the accurate penalty function method.Keywords: optimization, optimal control, accurate penalty function, numerical solution1.引言目前，最优化与最优控制已经成为现代控制领域中研究的重点之一，其在各个领域中得到了广泛的应用，特别是对于涉及到大量数据和多变量的问题求解中，最优化与最优控制更是不可或缺的重要手段。

最优化理论与最优控制.ppt

最优化理论与最优控制.ppt
通常又称为参数最优化问题。 即：最优控制变量与时间t没关系或说 在 所研究的时间区域内为常数。 目标函数：多元的普通函数。 最优解：古典微分法对普通函数求极值方法完成。
静态最优化方法：
a. 解 析法（间接法） 无约束条件 有约束条件
b. 数值计算法（直接法) 区间消去法
黄金分割法（0.618法） 插值法
2) 有关数学模型中变量的边界条件，即系统的初态和终态，
即 确定：X (t0 ) ，X (t f ) 。
一个动态过程，归根到底，是状态空间中的状态由初态
课程参考教材：1 系统最优化及控制 付曦 著 机械工业出版社 电气自动化新丛书
2 最优控制理论及应用 解学书著 清华大学 出
版社
第一章
容，是现代理论的一个 研究热点和中心话题。
现代控制理论：以多变量系统控制、最优控制、系统辩识为 主要内容，最优控制发展早。20世纪60年 代，现代控制理论才得以迅速发展。我国 著名学者：钱学森 1945年编著的《工程
研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优方案， 其间包括以下任务 1）根据所提出的最优化问题，建立最优化问题数学模型。
确定变量，列出约束条件，确定目标函数（性能指标） 2） 模型分析，选择合适的最优化求解方法。 3）根据选定的最优化算法，编程，求解 。
最优化的基本问题： 就是寻找一个最优的控制方案或控制规律，使所研究
2）动态规划法和最优化原理 3）极大值原理
总结：最优控制是现代控制理论的核心，它的主要内容是： 在满足一定的约束条件下，根据控制系统的数学模型，寻求最 优控制，使目标函数为极大或极小。 用最优控制设计系统与传统解析法相比，特点如下：
1） 适用于多变量，非线性，时变系统的设计 2） 初始条件可任意 3） 可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情 况 4） 便于计算机求解

控制系统中的最优控制与最优化技术

控制系统中的最优控制与最优化技术随着科技的不断进步和应用范围的扩大，控制系统在各行各业中的重要性也日益凸显。

最优控制与最优化技术作为控制系统中的重要概念和方法，在提高系统性能和效率方面发挥着关键作用。

本文将就控制系统中的最优控制与最优化技术进行深入探讨。

一、最优控制的定义与概念最优控制是指在满足给定约束条件的前提下，通过使某种性能准则达到最大或最小值来确定控制器参数或控制策略的问题。

最优控制的实现可以使系统在最短时间内达到期望状态或在给定资源条件下获得最佳性能。

最优化技术是实现最优控制的关键方法之一，它利用数学和计算方法来寻找系统中使性能准则达到最大或最小值的最优解。

最优化技术广泛应用于各种领域，例如经济学、工程学、管理学等，其中最为常见的应用是在控制系统中。

二、最优控制的分类最优控制可以分为离散最优控制和连续最优控制两大类。

离散最优控制是指在离散时间点上确定控制器参数或控制策略的问题。

典型的离散最优控制方法包括动态规划、贝尔曼方程等。

连续最优控制是指在连续时间范围内确定控制器参数或控制策略的问题。

常见的连续最优控制方法有经典最优控制、最速控制、最小能耗控制等。

三、最优化技术在控制系统中的应用最优化技术在控制系统中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域。

1. 机器人控制机器人控制是利用最优化技术来实现机器人移动、定位和路径规划等问题。

通过对机器人运动过程中的能耗、时间等指标进行优化，可以实现机器人的高效控制和优化运动。

2. 制造业控制在制造业中，最优化技术可以用来优化物料和生产设备的调度、工艺参数的优化以及生产线的平衡等问题。

通过合理地设计和优化控制策略，可以提高制造业的生产效率和产品质量。

3. 能源系统控制能源系统控制是指在能源产生、传输和消费过程中，通过最优化技术实现能源的高效利用。

例如在电力系统中，可以通过最优化技术对电网的输电线路和发电机组进行优化调度，以最大限度地提高电网的稳定性和电能的利用率。

最优化控制 线性二次型最优控制问题


用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持在零值 附近——状态调节器问题。
7
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
若Yr(t)0，则 e(t) Yr (t) Y (t)
于是性能指标可写为
J

1 2
[Yr
(t
f
) Y (t f
)]T
S[Yr (t f
) Y (t f
)]
1 2
性能指标的物理意义
➢性能指标中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证
终端状态X(tf)具有适当的准确性。
➢性能指标中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，
以保证系统响应具有适当的快速性。 9
t
f
]
(t f ) P(t f )X (t f )
(t f ) SX (t f )
所以，
P(t f ) S
矩阵黎卡提(Riccati)微分方程 的边界条件
21
P(t)的3个重要性质:
由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明P(t) 存在而且唯一。 对于任意的t[t0，tf]， P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)。
由(1)和(2)，得
[P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t)]X (t) 0 20
由于X(t)是任意的，所以有
P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t) 0

最优控制


(3)
j [ x ( t 0 )] 0
j 1, 2, ..., m m ≤ r
相应的始端集为 Ω 0 { x ( t 0 ) | j [ x ( t 0 )] 0} 此时，
x (t0 ) Ω 0
称之为可变始端。
四、明确终端条件 固定终端： 终端时刻 tf 给定，终端状态 自由终端： 终端时刻 tf 给定，终端状态

最优控制 26
§6-3 静态最优化问题的解 (10)
⑵ 拉格朗日乘子法（增元法） 约束条件 × 新的可调整函数 乘子λ ＋ 目标函数
H J g r , l
没有约束条件的三元函数 取得极值的条件：
H l 0 H r 0 H 0
最优控制 27
§6-4 离散时间系统的最优控制 (1)
2
...

2
fu
u
2 2
... ... ...
... f
2
u nu 2
u1 u n 2 f u 2 u n 2 f 2 u n f
2
最优控制 21
§6-3 静态最优化问题的解 (5)
例题6-1 设：
f ( x ) 2 x1 5 x 2 x 3 2 x 2 x 3 2 x 3 x1 6 x 2 3
最优控制 9
§6-1 概述
五、静态优化和动态优化
(6)
1. 静态优化：若变量 x 与时间无关，为静态优化。
2. 动态优化：在最优控制系统中，受控对象是一个动态 系统，所有的变量都是时间的函数，为动 态优化。
3. 静态优化和动态优化的关系 在动态优化中，将时域 [t0，tf] 分成许多有限区段，在 每一个区段中将变量近似看作常量，则动态优化问题 可近似按分段静态优化问题来处理； —— 离散时间优化问题！

最优化与最优控制


可行解的全部集合称为可行域，记为D
数学表达：
D x ci x 0,i 1,2, m,ci x 0,i m 1, ,p,x R n
npjiangb@
定义 整体最优解 若： x * D , 对于一切
x D 恒有 f x * f x , 则称 x * 为最优化
x 0 时 x 0；
（２）对任意 x R n 及实数 有 x • x ；
（３）对任意 x ,y R n 有 x y x y
则称函数 x 为R n上的范数。
常见的范数： P-范数：
x p
n
1/ p
xi p
i 1
1 p
特别：
2-范数：
x 2
n i 1
xi
1/2
2
-范数：
在T时刻实现软着陆，终点条件为 hT 0, vT 0
最优化问题可以为：确定推力u(t)，使飞船在软着陆过程中消耗最少燃料。
在控制过程中，推力u(t)不能超过发动机所提供的最大推力umax
min mT
s.t. 0 ut umax
0
)
2 f (X0)
2
f
(
X
0
)
x2x1
2 f (X0
)
xnx1
2 f (X0) x1x2
2 f (X0 x1xn
)
2 f (X0) x2 2
2 f (X0)
xn x2
2 f (X0)
x2xn
2 f (X0
)
xn 2
是f在点X 0处的Hesse矩阵
npjiangb@
F(X 0) m nF(X 0)
npjiangb@
npjiangb@
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0
)
2 f (X0)
2
f
(
X
0
)
x2x1
2 f (X0
)
xnx1
2 f (X0) x1x2
2 f (X0 x1xn)源自2 f (X0) x2 2
2 f (X0)
xn x2
2 f (X0)
x2xn
2 f (X0
)
xn 2
是f在点X 0处的Hesse矩阵
npjiangb@
npjiangb@
• 2.2 多元函数无约束的极小化 一、Hesse矩阵
设f
: Rn
R1 ,
X
0
Rn
, 如果f在点X
处对于自变量
0
X的各分量的二阶偏导数 2 f ( X 0 ) (i, j 1,2,, n) xix j
都存在，
则
称
函数f在
点X
处
0
二阶
可
导，
并且称矩阵
2
f (X x12
其中 N x * x x x * , 0 。 同样有：严格局部最优解。若 f x * f x
npjiangb@
定义 范数： 在 n 维实向量空间 R n 中，
定义实函数 x , 使其满足以下三个条件：
（１）对任意 x R n 有 x 0 , 当且仅当
dt
t0
• 五 终端控制问题
J Q[x(t f ), t f ]
• 六 非线性系统的最优控制
npjiangb@
• 1.5 最优化问题的解法
• 解析法：利用函数的解析性质去构造迭代公式使之收敛 到最优解
• 直接法：它对函数的解析性质没有要求，而是根据一定 的数学原理来确定
• 图解法：
npjiangb@
第一章 最优化方法的一般概念 • 1.1 目标函数、约束条件和求解方法
npjiangb@
• 1.2 静态最优化与动态最优化问题
静态最优化：与时间无关的所描述问题的最优解。 代数方程。
动态最优化：与时间相关的所描述问题动态过程的最优解。 微分方程。
x
max 1i n
xi
第二章 非线性规划
• 2.1 一元函数的极小化
• 牛顿迭代公式：
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• 平分法（二分法）： • 弦截法（线性插入法）
npjiangb@
• 费波那奇(Fibonacci)法： • 抛物线法
npjiangb@
• 一 时间最优控制
J tf dt t0
• 二 线性调节问题
J tf[xTQx uT Ru]dt t0
使线性系统的状态保持在平衡位置状态的误差最小，
控制能量也最小。
• 三 跟踪问题
J
tf t0
[(x
xr
)T
Q(
x
xr
)
uT
Ru]dt
系统的状态跟踪某一个确定的状态
• 四 最少燃料问题
u dm , J t f u dt
之和最小。
• 建模：设第i个货栈的位置为(xi,yi)——决策变量
•
第i个货栈供给第j个市场的货物量为Wij。第i个货栈到第j个市
场的距离为dij。
dij xi a j 2 yi bj 2
• 数学模型：
m n
min
Wij xi a j 2 yi bj 2
导，并且称矩阵
npjiangb@
f1(X 0)
x1 f2(X
0
)
m nF(X 0)
x1
fm(X
0
)
x1
f1(X 0) x 2
f2(X 0)
x 2
fm(X 0) x 2
f1(X 0)
x n f2(X
0
)
x n
fm(X
0
)
xn
是F(X )在点X 0处的一阶导数或Jacobi矩阵， 简记为：
x 0 时 x 0；
（２）对任意 x R n 及实数 有 x • x ；
（３）对任意 x ,y R n 有 x y x y
则称函数 x 为R n上的范数。
常见的范数： P-范数：
x p
n
1/ p
xi p
i 1
1 p
特别：
2-范数：
x 2
n i 1
xi
1/2
2
-范数：
如何使描述问题的动态过程达到最优---最优控制。
• 1.3 线性规划与非线性规划问题
线性规划：目标函数和约束条件都是变量的线性函 数的最优化问题。 非线性规划：目标函数和约束条件中至少存在一个 变量，使函数或约束为非线性的最优化问题。
npjiangb@
• 1.4 最优化方法在控制领域中的应用
可行解的全部集合称为可行域，记为D
数学表达：
D x ci x 0,i 1,2, m,ci x 0,i m 1, ,p,x R n
npjiangb@
定义 整体最优解 若： x * D , 对于一切
x D 恒有 f x * f x , 则称 x * 为最优化
问题的整体最优解。
若： x D ,x x *, 恒有 f x * f x ,
则称 x * 为最优化问题的严格整体最优解。
定义 局部最优解 若：x * D , 存在 x * 的某邻域
N
x*
,
使得对于一切
x
D
N
x*
恒有 f x * f x
则称x * 为最优化问题的局部最优解。
二、Jacobi矩阵
设F : R n R m ,X 0 R n ,记
F(X ) f1(X ),f2(X ), fm(X )T ,
如果fi(X )(i 1,2, ,m )在点X 0处对于自变量
X x1,x2, xn T 的各分量的偏导数
fj(X 0)(j x j
1,2, ,n)
都存在，则称向量函数F(X）在点X 0处一阶可
F(X 0) m nF(X 0)
npjiangb@
npjiangb@
• ◆选址问题 有n个市场，第j市场的位置为（aj，bj），对某种货物的
需要量为qj(j=1,…,n).计划建立m个货栈，第i个货栈的容量为 ci(i=1,…,m)。确定货栈位置，使各货栈到各市场的运输量与路程乘积
npjiangb@
• 最优化问题的数学表达
目标函数 ： min f x
1.1
约束： s.t. ci x 0,i 1,2, m, 1.2
ci x 0,i m 1, ,p, 1.3
其中：
x x1,x 2, x n T R n
满足约束的目标函数的解x称为可行解