空间几何体完整版

空间几何体知识点总结一、空间几何体的结构特征1．柱、锥、台、球的结构特征由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。

围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。

（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。

棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

注：棱锥的性质：①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。

一、空间几何体题型精选讲解题型一空间几何体的基本概念的考察1、下列命题中正确的是()A．以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面圆的半径解析：A符合圆锥的定义．B不符合圆台的定义．C中圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面，不是圆．D中圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长．所以选A.答案：A题型二三视图的考察1、(2009·海南、宁夏)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为（)A．48＋122B．48＋242C．36＋122D．36＋242解析：根据三视图可知，这个三棱锥的一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面．其直观图如图所示，其中PD⊥平面ABC，D为BC中点，AB⊥AC，ED⊥AB.连结PE，由于AB⊥PD，AB⊥DE，故AB⊥PE，即PE为△PAB的底边AB上的高．在直角三角形PDE中，PE＝5，侧111面PAB，PAC的面积相等，故这个三棱锥的全面积是2××6×5＋×6×6＋×62×4＝48＋12 2.222故选A.答案：A2、(2011·辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4B．23C．2 D.3解析：设正三棱柱底面边长为a，利用体积为23，容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为3，故所求矩形的面积为2 3.答案：B题型三平面图的直观图（斜二测面法）1、如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）32A．3 B.C．6D．322解析：由斜二测作图法，水平放置的△OAB为直角三角形，且OB＝2O′B′＝4，OA＝O′A′＝3，1则S＝×4×3＝6.2答案：C2、如图所示为一平面图形的直观图，则这个平面图形可能是（）解析：由平行于x、y轴的直线仍然平行知C正确．答案：C题型四其他类型：展开、投影、截面、旋转体等1、面积为3的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是________．l解析：设等边三角形的边长为l，则旋转所得的圆锥的母线长为l，底面圆的半径为，如图a，231图b.因为S正三角形＝3，所以l2＝3，即l＝2.所以圆锥侧面积为S侧＝πl2＝2π.42答案：2π2、如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，交于顶点A的三条棱长分别为AD＝3，AA1＝4，AB＝5，则从A点沿表面到C1的最短距离为()A．52 B.74C．45D．310解析：长方体可分别沿三条边B1B、A1B1、BC展开，展开后为三个不同矩形，对角线为最短距离，分别为45，74，310，因此，此题选B.3、已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离为()A．1B．2C．1或7D．2或6解析：由截面周长为6π和8π，知两截面圆半径分别为3和4，所以两截面可在某条直径的同侧或异侧．同侧时，所求距离为52－32－52－42＝1；异侧时，所求距离为52－32＋52－42＝7.二、简单几何体的表面积与体积题型精选讲解题型一与三视图相结合1、(2010·天津)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________解析：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，由正视图和俯视图可知该几何体的高为1，1结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积为(1＋2)×2×12＝3.2、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是：4πA.B ．2π38π10πC. D.33解析：这个几何体是一个底面半径为1，高为2的圆锥和一个半径为1的半球组成的组合体，1144π故其体积为π×12×2＋×π×13＝.故选A 3233题型二内接与外接的知识1、(2008·福建)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________．解析：考查空间想象能力和创新能力．以已知三棱锥的三个侧面为侧面，可作一个棱长为3的正方体．已知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，易求半径和表面积．(2R )2=()()()32+32+3,R 2=294S =4πR 2=9π2、(2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球3面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者16的高的比值为________．解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目．πr 33r 3R R =由圆锥底面面积是这个球面面积的，得所以＝，则小圆锥的高为R －＝，16R 2224πR 21613R 1大圆锥的高为R ＋R ＝，所以比值为.223题型三表面积与体积综合问题1、(2010·全国)已知正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A ．1 B.3C ．2D ．32解析：设底面边长为a，则高h＝11所以体积V＝a2h＝33112a4－a6.2SA2－⎛2a⎫2＝⎝2⎭a212－.21设y＝12a4－a6，则y′＝48a3－3a5，2当y取最值时，y′＝48a3－3a5＝0，a2解得a＝0(舍去)或a＝4时，体积最大，此时h＝12－＝2.22、如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时，圆的半径是()3162A. B. C. D.3333解析：本题考查三视图及锥体的体积计算．设底面半径为r，高为h，又r2＋h2＝1，111则V＝Sh＝πr2h＝π(1－h2)h，333当h＝36，即r＝时，体积最大，故选C.33补充知识：1．平行于棱锥底面的截面的性质棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥，有如下比例性质：S小锥底S小锥全面积S小锥侧＝＝＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方S大锥底S大锥全面积S大锥侧之比．注：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积的比时，会大大简化计算过程；在求台体的侧面积、底面积的比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．2．有关棱柱直截面的补充知识在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的上、下底面就是直截面．棱柱的侧面积与截面周长有如下关系：S棱柱侧＝c直截l(其中c直截、l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长)．3．圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问题的关键．(2)计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件求出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．。

必修2第一章空间几何体〖1.1〗空间几何体的结构(1)空间几何体的概念我们只考虑物体的形状和大小，不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.我们高中学习的空间几何体主要有多面体与旋转体两大类. (2)多面体的概念一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体•高中学习的多面体主要有棱柱、棱锥、棱台•①棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱②棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台•(3)旋转体的概念我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体•这条定直线叫做旋转体的轴•①圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱•②圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥•③圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台④球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球•棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体（4）简单组合体的构成简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成•〖1.2〗空间几何体的三视图与直观图（1）中心投影与平行投影我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；我们把在一束平行光线照射・・■・・■■・・■!■■■!■■ 丿下形成的投影，叫做平.行投影.._.在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.我们可以用平行投影的方法，画出空间几何体的三视图和直观图.（2）空间几何体的三视图三视图分为从前往后看得到的正视图（主视图）、从左往右看得到的侧视图（左视图）、从上往下看得到的俯视图.（3）空间几何体的直观图我们常用斜二测画法画几何体的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.画直观图时掌握原有图形中横向长度不变，纵向长度变成一半，竖向长度不变，横向与纵向的直角变成45°.〖1.3〗空间几何体的表面积与体积（1）柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积是由底面积与侧面积两部分组成.①棱柱表面积：是由两个全等多边形的底面积与多个平行四边形的侧面积组成.②棱锥表面积：是由一个多边形的底面积与多个三角形的侧面积组成.③棱台表面积：是由两个相似多边形的底面积与多个梯形的侧面积组成.④圆柱表面积：是由两个全等圆的底面积与侧面展开图为矩形的侧面积组成. S表2 r2 2 rl （其中r为底面圆半径，I为母线长）.⑤圆锥表面积：是由一个圆的底面积与侧面展开图为扇形的侧面积组成.S表r2 rl （其中r为底面圆半径，I为母线长），且侧面展开图扇形的中心角⑥圆台表面积：是由两个相似圆的底面积与侧面展开图为扇环的侧面积组成.S表r2r2（r r）l （其中r为上底面圆半径，r为下底面圆半径，I为母线长）.⑦球表面积：S表4 R2（其中R为球半径）.（2）柱体、锥体、台体的体积①柱体: 包括棱柱与圆柱. V柱体Sh （S为底面积，h为柱体高）②锥体: 包括棱锥与圆锥. V锥体gh3（S为底面积，.SS S）hh为锥体高）③台体: 包括棱台与圆台. V台体-(S3（S , S分别为上、下底面面积，h为台体高）④球体:4 3V球 4 R.第二章点、直线、平面之间的位置关系〖2.1〗空间点、直线、平面之间的位置关系（1）平面的基本性质：公理1，公理2,公理3及其推论1, 2, 3①公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.②公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线.③公理3 :经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.(2)公理的运用 ① 证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法，一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内.二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合. 通常证明这些点都在两个平面的交线上， 即先确定出某两点 再证明第三点是两个平面的公共点， 那它当然必在两个平面先证两条直线交于一点， 再证明第三条直线经过这点， 把问 题转化为证明点在直线上的问题. (3)空间两条直线的位置关系① 空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面. ② 公理4 :平行于同一条直线的两条直线平行. ③ 等角定理：对应边平行且方向相同的两个角相等. (4)异面直线① 定义：不同在任何 一个平面内的两条直线是异面直线. ② 证明异面直线的方法 依据定义采用反证法，假设共面. ③ 求异面直线所成角的方法平移法：通过平移直线，把异面问题转化为共面问题来解决(主要通过中位线、平行 四边形来平移直线).(5) 直线与平面的位置关系①直线在平面内②直线与平面相交③直线与平面平行注意：直线和平面相交、直线和平面平行统称为直线在平面外，记作 |(6) 平面与平面的位置关系①两个平面平行 ②两个平面相交.公理1 公理2 推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面. 公理3推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.推论1 推论2 推论3② 证明三点共线问题 证明空间三点共线问题, 在某两个平面的交线上, 的交线上.③ 证明三线共点问题 证明空间三线共点问题,『2.2〗直线、平面平行的判定及其性质判定：①ba②a性质：①aa baa bb门//性质：①a ab ②ac a判定：①a , bap|b A(1直线与平面平行的判定与性质定理(2)平面与平面平行的判定与性质定理a //下鱼制造b下鱼制造『2.3〗直线、平面垂直的判定及其性质,a b flb,a（2）三垂线定理及其逆定理（不必掌握）定理:POPA^ AaA a OAa OA a PA（1）直线与平面垂直的判定与性质定理m , nb a④b a bbb②aPA逆定理:PAp|下鱼制造② A a, A aa实际是以该直线为轴的一个旋转，通过对翻折问题的研究，可以进一步发展空间想象能力. ②求翻折问题的基本方法是： 先比较翻折前后的图形， 弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体几何中， 将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立几问题.③ 把平面图形翻折成空间图形后的有关计算问题，必须抓住在翻折过程中点、 线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些不变，特别要抓住不变量. 一般地， 在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的， 涉及到两个半平面内的几何元素之间的关系是变的.④ 另外，在解题中还须注意：因折叠所形成的是一个二面角图形， 而大多数问题都与 这个二面角有关，所以必须以折叠前后的一些不变垂直关系为依据， 找出或作出二面角的平面角.⑤ 在处理几何体(翻折后)中线面之间的关系时，要充分利用折叠前平面图形，在平 面图形中，各元素的数量关系和位置关系易于观察和计算.(5) 几何体的展开 几何体的展开，是平面图形翻折的逆过程，常用此法求两点间的最短距离.(3) 平面与平面垂直的判定与性质定理②依定义，二面角的平面角90性质：①, ba ,a b(4)处理翻折的基本方法①将平面图形沿直线翻折成立体图形,。

第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1. 多面体与旋转体：（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.（2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.2. 棱柱：（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。

（4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。

（5）棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

3. 棱锥：（1）有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。

正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。

（3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等.（4）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（5）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。