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解题技巧如何运用概率统计解决高中数学问题在高中数学学习中，概率统计是一个重要的分支，帮助我们解决各种问题。
运用概率统计的解题技巧可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高解题效率。
本文将介绍一些常见的解题技巧，并通过实例来说明如何运用概率统计解决高中数学问题。
一、求概率的基本原理1. 事件的概率在解决概率问题时，首先需要确定事件的概率。
事件的概率可以通过计算有利结果的个数除以总结果的个数来得到。
例如，某次抛硬币的结果是正面或反面，正反两面的概率都是1/2.2. 事件的互斥与独立两个事件是互斥事件时，它们不能同时发生，例如掷骰子时出现1和出现2是互斥事件。
而两个事件是独立事件时，一个事件的发生不会对另一个事件的发生产生影响。
例如两次抛硬币的结果是独立事件。
3. 事件的和与积若事件A与事件B互斥，则事件A和事件B的概率和为A和B分别发生的概率之和。
若事件A与事件B独立，则事件A和事件B的概率积为A和B分别发生的概率之积。
二、掷骰子问题的解决方法掷骰子是一类常见的概率统计问题，下面通过几个实例来演示如何运用概率统计解决掷骰子问题。
1. 求某数出现的概率某骰子六个面上的数字为1、2、3、4、5、6。
求掷一次该骰子，出现奇数的概率。
解析：骰子各个数字出现的概率相等，都为1/6，奇数的数字有1、3、5，所以出现奇数的概率为(1+1+1)/6=3/6=1/2.2. 求两个数之和的概率某骰子六个面上的数字为1、2、3、4、5、6。
求掷两次该骰子，两个数之和为5的概率。
解析：假设第一次掷得的数字为a，第二次掷得的数字为b。
要使得两个数之和为5，只有两种可能，（1，4）和（2，3）。
每一种可能出现的概率都是1/6 * 1/6 = 1/36，所以两个数之和为5的概率为1/36 *2 = 1/18.三、概率统计在排列组合问题中的运用概率统计在排列组合问题中也起到重要的作用，下面将通过几个实例展示运用概率统计解决排列组合问题的方法。
概率问题常见解题方法作为<<概率统计>>这门应用数学的重要分支之一,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年高考的热点。
在高中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n 次独立重复试验）。
高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。
因此要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法。
一、公式法 概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P （A ）=nm （2）互斥事件有一个发生的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） （3）相互独立事件同时发生的概率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ） （4）独立重复试验概率公式k k n k n P C P =)((1―P)k n -，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。
例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为21，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。
解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）=21 由21= P （A ）=50001002=⇒K K ∴ P （B ）=9215050002= P （C ）=8120050002= ∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）=14495 二、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。
例2：设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有一个人住（2）恰好有n 个房间，其中各住一人解：∵每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有 N n 种，它们是等可能的，∴（1）指定n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n ！则 P （A ）=nN n ! （2）恰好有n 个房间其中各住一人记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选共有n N C 个, 由（1）可知：P （B ）=n n N Nn C ! 三、间接法某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。
掌握高中数学中的概率问题的解题技巧在高中数学中，概率问题是一个常见且重要的考点。
概率问题涉及到随机事件的发生与可能性的计算，是数学中的一门重要分支。
掌握概率问题的解题技巧对于高中数学的学习至关重要。
下面将介绍一些在解决高中数学中的概率问题时可以采用的解题技巧。
一、确定概率问题的基本信息在解决概率问题之前，我们首先要明确问题中所涉及的基本信息。
一般来说，我们需要知道事件的样本空间、随机试验和随机事件等基本概念。
样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合，而随机试验则是指在一定条件下，结果是随机的实验。
随机事件是指样本空间的一个子集，即在随机试验中某一特定事件的发生。
通过了解问题的基本信息，我们可以更好地进行概率问题的求解。
二、确定事件的概率在解答概率问题时，我们需要确定事件的概率。
概率是指某个事件在随机试验中发生的可能性。
确定概率的方法有多种，常见的有频率法、古典概型法和几何概型法等。
频率法是通过实验的统计数据来估计事件发生的概率。
在实际操作中，我们可以进行若干次试验，然后统计某一事件发生的次数，以此来估计该事件的概率。
古典概型法是指通过样本空间的基本元素计算事件发生的概率。
在使用古典概型法时，我们需要保证每一个基本元素发生的概率相等。
几何概型法是指通过几何图形的面积来计算事件的概率。
这种方法常用于涉及面积的问题，例如求解某个区域的面积占整个几何图形的比例。
三、利用概率的性质解题在解答概率问题时，我们可以利用概率的性质来简化问题，从而更好地进行计算。
常见的概率性质包括加法原理、乘法原理以及补事件的概率等。
加法原理是指若事件A、B互斥（即事件A和事件B不能同时发生），则事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
乘法原理是指若事件A发生的同时，事件B也发生，则事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
补事件的概率是指事件A不发生的概率，它等于1减去事件A发生的概率。
高中数学概率题型及解题方法
高中数学概率那可真是让人又爱又恨啊！概率题型多样得就像一个神秘的百宝箱，你永远不知道打开后会遇到啥惊喜。
比如说古典概型，解题步骤就是先确定基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。
咋确定呢？那就要仔细分析题目中的条件啦！注意事项呢，可千万别数错基本事件数，不然就像在森林里迷了路，找不到正确答案喽。
这就好比你去菜市场买菜，得把各种菜的种类和数量数清楚，不然咋知道自己买得对不对呢？
还有独立重复试验概率问题，这种题型就像打地鼠，一次次地重复出现。
解题方法就是记住公式，明确每次试验的概率。
但要小心别把概率弄混了，不然就像炒菜放错了调料，味道全变啦。
概率在实际生活中的应用场景那可多了去了。
比如抽奖，你难道不好奇自己中奖的概率有多大吗？优势就是能让我们更好地理解生活中的不确定性，做出更明智的决策。
就像航海中的指南针，虽然不能保证一帆风顺，但能让我们心中有数。
举个实际案例吧，假如有个抽奖活动，中奖概率为0.1，你抽了三次，求至少中奖一次的概率。
这时候就可以用对立事件的概率来求解。
先求一次都不中奖的概率，再用1 减去这个概率。
算出来的结果会让你对概率有更直观的感受。
高中数学概率题型虽然有时候让人头疼，但只要掌握了方法，就像找到了打开宝藏的钥匙。
它能让我们在数学的世界里畅游，感受数学的魅力。
所以啊，别怕概率，勇敢地去挑战它吧！。
第十章概率10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算1．随机试验(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本点和样本空间(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．3．事件的分类(1)随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．(2)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．(3)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．■名师点拨必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况．4．事件的关系或运算的含义及符号表示(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.(2)类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生．典型应用1事件类型的判断指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．(3)若x∈R，则x2＋1≥1.(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.【解】由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．判断事件类型的思路要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．典型应用2样本点与样本空间同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？【解】(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)样本点的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．典型应用3事件的运算盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？【解】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A⊆C，B⊆C，E⊆C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．典型应用4互斥事件与对立事件的判定某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．【解】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系相似；②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．10.1.3古典概型1．古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．■名师点拨古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．2．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．典型应用1样本点的列举一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个样本点？(2)“2个都是白球”包含几个样本点？【解】(1)法一：采用列举法．分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．法二：采用列表法．设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：事件，故共有10个样本点．(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．样本点的三种列举方法(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法．(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．典型应用2古典概型的概率计算(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45 B.35C.25 D.15(2)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【解析】(1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝410＝25.(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为3 10.【答案】(1)C(2)3 10求古典概型概率的步骤(1)判断是否为古典概型．(2)算出样本点的总数n.(3)算出事件A中包含的样本点个数m.(4)算出事件A的概率，即P(A)＝m n.在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．典型应用3数学建模——古典概型的实际应用已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【解】(1)由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种．(ii)由(1)设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝5 21.如何建立概率模型(古典概型)(1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型．(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①样本点的有限性；②每个样本点发生的可能性相等．(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．10.1.4概率的基本性质概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．典型应用1互斥事件与对立事件概率公式的应用一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E “射中7环以下”是对立事件，则P (至少射中7环)＝1－P (E )＝1－0.13＝0.87.所以至少射中7环的概率为0.87.[变问法]在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．解：事件“射中环数小于8环”包含事件D “射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，则P (射中环数小于8环)＝P (D ∪E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29.互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．[注意] 有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即P (∑ni ＝1A i )＝∑n i ＝1P (A i )． 典型应用2互斥、对立事件与古典概型的综合应用某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．【解】 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A ，B ，C .由图知3支球队共有球员20名．则P (A )＝520，P (B )＝320，P (C )＝420.(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D .则D ＝A ＋B ＋C ，因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝520＋320＋420＝35.(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E ，则E －为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P (E )＝1－P (E －)＝1－220＝910.求复杂事件的概率常见的两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率．10.2 事件的相互独立性1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． ■名师点拨 (1)必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．(2)事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P (A )·P (B )．典型应用1相互独立事件的判断一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．【解】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为1 4.这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的．判断两个事件是否相互独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.典型应用2相互独立事件同时发生的概率王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．【解】 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件．则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．解：恰有一列火车正点到达的概率为P 3＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝P (A )P (B －)P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C )＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P (ξ≤20)．解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P (ξ≤20)＝1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.与相互独立事件有关的概率问题的求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，那么：(1)A ，B 中至少有一个发生为事件A ＋B .(2)A ，B 都发生为事件AB .(3)A ，B 都不发生为事件A －B －.(4)A ，B 恰有一个发生为事件A B －＋A － B .(5)A ，B 中至多有一个发生为事件A B －＋A －B ＋A － B －.它们之间的概率关系如表所示：典型应用3相互独立事件的综合应用本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P (ξ＝4)和P (ξ＝6)的值．【解】 (1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为5 16.(2)P(ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P(ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316.概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(A－)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．10．3频率与概率频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率f n(A)估计概率P(A)．■名师点拨频率与概率的区别与联系由频率估计随机事件的概率(1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 ；[15.5，19.5) 4 ；[19.5，23.5) 9；[23.5，27.5) 18 ；[27.5，31.5) 11 ；[31.5，35.5) 12；[35.5，39.5) 7 ；[39.5，43.5] 3.根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5，43.5]内的概率约是()A.16 B.13C.12 D.23(2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．【解】(1)选B.由已知，样本容量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率约为2266＝13.(2)①频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6.即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.随机事件概率的理解及求法(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．(2)求法：通过公式f n(A)＝n An＝mn计算出频率，再由频率估算概率．典型应用2概率的含义某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？【解】如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.对概率的正确理解(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．(2)任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．(4)必然事件M的概率为1，即P(M)＝1；不可能事件N的概率为0，即P(N)＝0.典型应用3游戏的公平性某校高二年级(1)(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？【解】该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝612＝12，(2)班代表获胜的概率P2＝612＝12，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．[变条件]在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？解：不公平．因为出现奇数的概率为412＝13，而出现偶数的概率为812＝23.游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．典型应用4随机模拟法估计概率池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695 1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343据此估计四天中恰有三天下雨的概率为()A.34 B.25C.2140 D.1740【解析】在40组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为1640＝25.【答案】B应用随机数估计概率的步骤(1)明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系．(2)产生随机数．(3)统计试验次数N及所求事件包含的次数n.(4)计算nN便可．。
高中数学六种概率模型概率是数学中的重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在高中数学中，概率是一个重要的内容，它有着广泛的应用。
在数学中，我们常常使用六种概率模型来描述和计算概率，它们分别是等可能模型、几何模型、排列模型、组合模型、条件概率模型和贝叶斯模型。
一、等可能模型等可能模型是最简单的概率模型之一，它假设每个事件发生的可能性相等。
例如，抛一枚公正的硬币，出现正面或反面的概率都是1/2。
又如，掷一颗公正的骰子，出现任意一个数字的概率都是1/6。
等可能模型的特点是简单明了，计算方法也非常简单，只需将某个事件发生的可能性除以总的可能性即可。
二、几何模型几何模型是描述概率的一种模型，它应用于空间中的几何问题。
例如，在一个正方形的平面上随机选择一个点，那么这个点落在正方形的某个子集中的概率就可以使用几何模型来描述。
几何模型的特点是需要用到几何图形的性质和计算方法，通常需要使用面积或体积的概念来描述概率。
三、排列模型排列模型是用于描述事件发生顺序的概率模型。
例如，从1到10这十个数字中随机选择3个数字，按照选择的顺序排列，那么不同的排列方式的概率可以使用排列模型来计算。
排列模型的特点是需要考虑事件发生的顺序，通常需要使用排列的计算方法。
四、组合模型组合模型是用于描述事件发生组合的概率模型。
例如，从1到10这十个数字中随机选择3个数字，不考虑选择的顺序，那么不同的组合方式的概率可以使用组合模型来计算。
组合模型的特点是不考虑事件发生的顺序，通常需要使用组合的计算方法。
五、条件概率模型条件概率模型是用于描述事件在给定条件下发生的概率。
例如，已知某个学生参加了数学竞赛，并且获得了奖项，那么在已知该学生获奖的条件下，他是男生的概率可以使用条件概率模型来计算。
条件概率模型的特点是需要考虑给定条件下事件发生的概率，通常需要使用条件概率的计算方法。
六、贝叶斯模型贝叶斯模型是用于描述事件的先验概率和后验概率之间的关系的概率模型。
高中数学掌握概率统计的五大解题方法概率统计是高中数学中的一个重要内容，也是考验学生解题能力和逻辑思维的关键之一。
在掌握概率统计的过程中，学生需要掌握一些解题方法来提高解题效率和准确性。
本文将介绍高中数学掌握概率统计的五大解题方法。
第一种解题方法是“排列组合法”。
排列组合是概率统计中常用的计数方法，用于确定事件发生的可能性。
在解题过程中，首先确定事件的基本单位，然后根据排列组合公式计算可能的情况数。
通过计算可能性数量，我们可以得到概率值，进而解决问题。
例如，有5个学生参加某项竞赛，问他们获奖的可能性有多大？我们可以利用排列组合公式计算出共有多少种可能性，再根据题目给出的条件计算出所需概率。
第二种解题方法是“事件的补集法”。
在概率统计中，我们可以通过求一个事件的补集来间接地计算概率。
补集是指与某一事件相对立的事件，其发生与原事件不发生是互相排斥的。
通过计算补集的概率，我们可以用1减去补集的概率得到原事件的概率。
例如，某班级男生占全班的60%，求女生占全班的概率。
我们可以通过求男生不占全班的概率来得到女生占全班的概率。
第三种解题方法是“条件概率法”。
条件概率是指在某一条件下，事件发生的可能性。
在解题过程中，我们需要根据题目给出的条件来确定事件发生的概率。
例如，某班级有40%的学生患有近视，已知该班级的男生患有近视的概率为30%，女生患有近视的概率为50%，求某个学生为女生的条件下，患有近视的概率。
通过条件概率的计算，我们可以得到所需概率值。
第四种解题方法是“贝叶斯定理”。
贝叶斯定理是概率统计中一个重要的公式，用于计算在已知某一条件下，另一事件发生的概率。
在解题过程中，我们需要利用已知的条件概率和事件的边际概率来计算所需概率。
例如，在某疾病流行的地区，已知某种疾病的发生率为1%，而某种药物的阳性率为95%，由此求某人得了这种疾病的概率。
我们可以利用贝叶斯定理来计算所需概率。
第五种解题方法是“期望值法”。
高中数学概率问题的技巧与思路概率问题在高中数学中占据着重要的地位，它不仅是数学知识的一部分，也是我们日常生活中经常会遇到的问题。
掌握解决概率问题的技巧和思路，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还能够在实际生活中做出准确的判断和决策。
本文将通过具体题目的举例，分析概率问题的考点，并给出解题的思路和技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。
一、基本概念的理解在解决概率问题之前，我们首先需要理解一些基本概念。
例如，事件、样本空间、随机试验等。
以一个简单的例子来说明：某班有30名学生，其中有15名男生和15名女生。
现在从中随机抽取一名学生，问这名学生是男生的概率是多少？解题思路：首先我们需要确定样本空间，即所有可能的结果。
在这个例子中，样本空间就是这30名学生的集合。
然后我们需要确定事件，即我们关心的结果。
在这个例子中，事件就是抽取的学生是男生。
最后，我们可以通过计算事件出现的次数与样本空间的大小之比，来得到概率。
二、互斥事件与独立事件在概率问题中，互斥事件和独立事件是两个重要的概念。
互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
以一个例子来说明：某班有30名学生，其中有15名男生和15名女生。
现在从中随机抽取两名学生，问这两名学生都是男生的概率是多少？解题思路：首先我们需要确定样本空间，即所有可能的结果。
在这个例子中，样本空间就是这30名学生中任选两名学生的所有可能情况。
然后我们需要确定事件，即我们关心的结果。
在这个例子中，事件就是抽取的两名学生都是男生。
由于题目中没有明确指出抽取的两名学生是否有先后顺序之分，我们可以假设抽取的两名学生是无序的。
最后，我们可以通过计算事件出现的次数与样本空间的大小之比，来得到概率。
三、条件概率与贝叶斯定理条件概率和贝叶斯定理是概率问题中的重要概念和工具。
条件概率指的是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
高中数学解概率题的常用技巧和注意事项概率题是高中数学中的一个重要考点，也是让很多学生头疼的难题。
在解概率题时，我们需要掌握一些常用的技巧和注意事项，以提高解题的效率和准确性。
本文将介绍几个常见的概率题类型，并给出相应的解题技巧和注意事项。
一、排列组合型概率题在排列组合型概率题中，常常涉及到从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的情况。
例如：从10个不同的球中任意取3个，求其中有2个红球的概率是多少？解题技巧：1. 确定元素个数和要求的条件：在这个例子中，元素个数为10，要求有2个红球。
2. 计算总的可能性：从10个球中任意取3个的总共可能性为C(10,3)。
3. 计算满足条件的可能性：从10个球中选取2个红球的可能性为C(4,2)，再从剩下的6个球中选取1个非红球的可能性为C(6,1)。
4. 计算概率：满足条件的可能性除以总的可能性即为所求的概率。
注意事项：1. 在计算组合数时，要注意使用组合公式C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)。
2. 在计算概率时，要将满足条件的可能性除以总的可能性。
二、事件的互斥与独立性在概率题中，有时会涉及到多个事件的互斥或独立性。
例如：从一副扑克牌中任意抽取2张牌，求第一张是红心牌，第二张是黑桃牌的概率是多少？解题技巧：1. 确定事件的互斥与独立性：在这个例子中，第一张是红心牌与第二张是黑桃牌是两个独立的事件。
2. 计算第一张是红心牌的概率：红心牌有13张，总共有52张牌，所以第一张是红心牌的概率为13/52。
3. 计算第二张是黑桃牌的概率：黑桃牌有13张，总共有51张牌，所以第二张是黑桃牌的概率为13/51。
4. 计算概率：两个事件独立，所以将两个概率相乘即为所求的概率。
注意事项：1. 在判断事件的互斥与独立性时，要根据题目中给出的条件进行分析。
2. 在计算概率时，要注意将独立事件的概率相乘。
三、条件概率与贝叶斯定理在概率题中，有时会涉及到条件概率与贝叶斯定理。
随机事件概率的几种常见模型王红敢随机事件的概率问题是近几年高考中重点考查的内容之一，掌握这一问题的求法，有助于同学们对概率这一章的学习，下面从常见的几种模型出发来探讨一下此类题目的求法。
一、分组问题模型分组问题一定要分清是有序分组或是无序分组，在此基础上又需考虑是平均分组或是非平均分组，或是局部平均分组等。
例1 现有强弱不同的10支球队，若把它们均匀分为两组进行比赛，分别计算： （1）2支最强的队被分在不同组的概率； （2）2支最强的队恰在同一个组的概率。
解：（1）10支球队均分为两组，共有510C 21种分法，而2支最强的队必须分开的分法有4812C C 21种，记事件A={2支最强队分在不同组}，则P （A ）=95C 21C C 215104812=。
（2）记事件B={2支最强队分在同组}，则B 所包含的基本事件数为3822C C 种，于是P（B ）=94C 21C C 5103822=。
二、分配问题模型解答与分配问题有关的概率试题的关键在于：利用分配问题知识正确地求出基本事件的总和A 所包含的基本事件数，通常采用先分组后分配的方法。
例2 有6个房间安排4人居住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试示以下事件的概率：（1）事件A ，指定的4个房间中各有1人； （2）事件B ，恰有4个房间各有1人； （3）事件C ，指定的某个房间中有2人；（4）事件D ，第一号房间有1人，第二号房间有3人。
解：由于每人可以进住任一房间，则4个人进住6个房间共有64种方法。
（1）指定的4个房间中各有1人，共有44A 种方法，所以P （A ）=5416A 444=。
（2）恰有4个房间中各有1人的进住方法有4446A C 种，所以P （B ）=1856A C 44446=。
（3）从4人中选出2人去指定的房间，有24C 种方法，其余2人各有5种进住方法，总共有15055C 24=⨯⨯（种）方法，所以P （C ）=2162561504=。
高中数学概率问题解决思路与方法概率问题在高中数学中占据着重要的地位，它不仅是数学知识的重要组成部分，也是我们在日常生活中常常会遇到的问题。
解决概率问题需要一定的思维方式和方法，本文将从概率的基本概念、计算方法和解题技巧三个方面进行详细论述，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和解决概率问题。
一、概率的基本概念概率是指某一事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
在概率问题中，我们常常需要计算某一事件发生的概率。
例如，某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生，现从中随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。
解决这类问题，首先需要明确事件和样本空间的概念。
事件是指我们关注的某一结果，样本空间是指所有可能的结果的集合。
在这个问题中，事件是抽到男生，样本空间是所有学生的集合。
然后，我们需要计算事件发生的可能性大小，即概率。
在这个问题中，抽到男生的概率等于男生的人数除以总人数，即15/30=1/2。
二、概率的计算方法在解决概率问题时，我们可以利用频率和几何概率两种方法进行计算。
1. 频率法：频率是指某一事件在多次试验中发生的次数与总次数的比值。
例如，某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生，现从中随机抽取10名学生，求抽到男生的频率。
解决这类问题，我们需要进行多次试验，统计男生出现的次数，然后计算频率。
在这个问题中，我们可以进行多次抽取10名学生的试验，统计抽到男生的次数，然后将该次数除以总次数，即可得到频率。
2. 几何概率法：几何概率是指事件发生的可能性大小与样本空间中的元素个数之比。
例如，某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生，现从中随机抽取一名学生，求抽到男生的几何概率。
解决这类问题，我们需要根据样本空间和事件的定义来计算几何概率。
在这个问题中，样本空间是所有学生的集合，男生是事件。
由于男生的人数为15，样本空间的元素个数为30，所以抽到男生的几何概率为15/30=1/2。
三、解题技巧在解决概率问题时，我们需要掌握一些解题技巧，以提高解题效率和准确性。
高中数学概率的计算与应用技巧解析概率是高中数学中的一个重要概念，也是数学与现实生活相结合的重要部分。
在考试中，概率题型经常出现，因此掌握概率的计算与应用技巧对于学生来说至关重要。
本文将从计算概率的基本原理入手，结合具体的题目进行解析，并给出一些解题技巧，帮助学生更好地应对概率题。
一、概率的基本原理概率是指某一事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数表示。
概率的计算基于以下两个基本原理：1. 事件的可能性与样本空间中的元素个数之比：假设某一事件A在样本空间S中有n个有利结果，而样本空间S中的总元素个数为N，则事件A发生的概率P(A)等于n/N。
2. 事件的可能性与样本空间中的元素的概率之和：假设某一事件A由两个互不相容的事件A1和A2构成，且事件A1发生的概率为P(A1)，事件A2发生的概率为P(A2)，则事件A发生的概率P(A)等于P(A1) +P(A2)。
二、概率的计算技巧1. 互补事件的概率计算：互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。
假设事件A的概率为P(A)，则事件A的互补事件A'的概率为1 - P(A)。
2. 事件的相加法则：当两个事件A和B互不相容时，即事件A和事件B不可能同时发生时，事件A或事件B发生的概率等于它们各自发生的概率之和。
即P(A或B) = P(A) + P(B)。
3. 事件的乘法法则：当两个事件A和B相互独立时，即事件A的发生与事件B的发生无关时，事件A和事件B同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
即P(A且B) =P(A) × P(B)。
三、概率的应用技巧1. 排列组合与概率：排列组合是概率题中常见的考点之一。
在排列组合问题中，要注意计算有利结果的个数和样本空间的大小。
例如，从10个不同的球中任选3个，求选出的3个球中至少有一个红球的概率。
解题时，可以先计算没有限制的情况下选出3个球的概率，再计算选出的3个球中没有红球的概率，最后用1减去没有红球的概率即可得到所求概率。
概率问题常见解题⽅法概率问题常见解题⽅法作为<<概率统计>>这门应⽤数学的重要分⽀之⼀,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年⾼考的热点。
在⾼中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、⼏何概型、条件概率、互斥事件有⼀个发⽣的概率、相互独⽴的事件同时发⽣的概率（包括n 次独⽴重复试验）。
⾼考中对概率的考查主要以⼤题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。
因此要让学⽣正确理解概率发⽣的条件，并掌握⼀些基本的概率“模型”及其解题⽅法。
⼀、公式法概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发⽣的概率P （A ）=nm （2）互斥事件有⼀个发⽣的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ）（3）相互独⽴事件同时发⽣的概率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）（4）独⽴重复试验概率公式k k n k n P C P =)((1―P)k n -，应⽤这些公式的关键在于正确理解公式成⽴的条件。
例1：猎⼈在距100⽶处射击⼀野兔，其命中率为21，如果第⼀次射击未中，则猎⼈进⾏第⼆次射击，但距离为150⽶，如果第⼆次未击中，则猎⼈进⾏第三次射击，并且在发射瞬间距离为200⽶，已知猎⼈命中概率与距离平⽅成反⽐，求猎⼈命中野兔的概率。
解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）=21 由21= P （A ）=50001002=?K K ∴ P （B ）=9215050002= P （C ）=8120050002= ∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）=14495 ⼆、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利⽤组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发⽣数。
例2：设有n 个⼈，每个⼈都等可能地被分配到N 个房间中的任意⼀间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有⼀个⼈住（2）恰好有n 个房间，其中各住⼀⼈解：∵每个⼈有N 个房间可供选择，所以n 个⼈住的⽅式共有 N n 种，它们是等可能的，∴（1）指定n 个房间各有⼀个⼈住记作事件A ：可能的总数为n ！则 P （A ）=nN n ! （2）恰好有n 个房间其中各住⼀⼈记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选共有n N C 个,由（1）可知：P （B ）=n n N Nn C ! 三、间接法某些概率问题，正⾯求解，不是很容易，特别当问题中出现⾄多（⾄少）等条件时，可采⽤间接⽅法转化为“对⽴事件”来求解例3：已知某种⾼炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（1）假定有5门这种⾼炮控制某区域，求敌机进⼊该区域后被击中的概率。
高中数学六种概率模型高中数学中，概率是一个重要的概念。
它用来描述事件发生的可能性大小。
在概率论中，有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
下面将逐个介绍这六种概率模型。
一、等可能概型：等可能概型是指每个基本事件发生的可能性相等。
比如抛硬币，硬币正面和反面出现的概率都是1/2。
再比如掷骰子，每个点数出现的概率都是1/6。
在等可能概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
二、几何概型：几何概型是指在几何空间中进行概率计算。
比如说，我们可以通过几何概型来计算平面内的点落在某个区域的概率。
在几何概型中，我们可以通过计算区域的面积或体积与几何空间的大小来求解概率。
三、排列概型：排列概型是指在排列问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行排列，那么排列的个数就是n个元素的全排列数，即n!。
在排列概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
四、组合概型：组合概型是指在组合问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行组合，那么组合的个数就是n个元素的组合数，即C(n,r)。
在组合概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
五、条件概型：条件概型是指在已知某些条件下的概率计算。
比如说，已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率。
在条件概型中，我们可以通过计算事件A与事件B同时发生的概率与事件A发生的概率之比来求解概率。
六、分布概型：分布概型是指在统计分布中的概率计算。
比如说，正态分布、泊松分布、二项分布等等。
在分布概型中，我们可以通过计算随机变量的取值与概率密度函数或概率质量函数之间的关系来求解概率。
高中数学中的概率有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
每种概率模型都有其独特的应用场景和计算方法。
熟练掌握这些概率模型，有助于我们更好地理解和应用概率论的知识，解决实际生活和工作中的问题。
高中数学概率问题解决技巧与方法详细解读与实例分析与相关讲解概率问题在高中数学中占据着重要的位置，是数学中的一大难点。
为了帮助广大高中学生和家长更好地理解和解决概率问题，本文将详细解读概率问题的解题技巧与方法，并通过具体的题目实例进行分析与讲解。
一、概率问题的基本概念和计算方法概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在解决概率问题时，我们需要了解一些基本概念和计算方法。
首先，我们要明确事件和样本空间的概念。
事件是指我们感兴趣的事情，而样本空间是指所有可能发生的结果的集合。
例如，掷一枚骰子，事件可以是“出现的点数为3”，样本空间可以是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
其次，我们需要计算事件发生的可能性，即概率。
概率的计算公式为：P(A) =n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的可能结果数，n(S)表示样本空间中所有可能结果的数目。
例如，假设有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
红心有13张牌，总共有52张牌，因此概率为P(红心) = 13 / 52 = 1 / 4。
二、概率问题的解题技巧与方法1. 利用排列组合计算概率有些概率问题可以通过排列组合的方法来解决。
例如，从10个人中选取3个人，问其中至少有一个男生的概率是多少？首先，我们计算不选男生的情况，即选取3个女生的概率。
根据排列组合的公式，我们有C(7, 3)种选取3个女生的方法。
然后，我们计算总的选取方法，即C(10, 3)。
因此，概率为P(至少有一个男生) = 1 - C(7, 3) / C(10, 3)。
2. 利用条件概率计算概率有些概率问题需要考虑条件概率来解决。
例如，某班级有30个学生，其中20个人会打篮球，15个人会踢足球，10个人既会打篮球又会踢足球。
现在从班级中随机选取一个学生，问这个学生会打篮球的概率是多少？根据条件概率的定义，我们有P(打篮球|选中的学生) = P(打篮球且选中的学生) / P(选中的学生)。
高中数学概率解题技巧概率是高中数学中的一个重要知识点，也是学生们常常遇到的难题之一。
在考试中，概率题目常常出现，因此掌握概率解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将从常见的概率题型出发，介绍一些解题技巧，并通过具体题目进行说明，帮助学生和家长更好地应对概率题目。
一、基本概念和计算方法在解概率题目之前，首先需要掌握一些基本概念和计算方法。
概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数表示。
计算概率的方法有多种，其中最常见的是利用频率计算概率和利用排列组合计算概率。
例如，有一个装有红球和蓝球的袋子，红球有5个，蓝球有3个。
从袋子中随机取出一个球，求取出的是红球的概率。
根据频率计算概率的方法，我们可以得到答案为5/8。
而根据排列组合计算概率的方法，我们可以得到答案为C(5,1)/C(8,1)=5/8。
二、事件的独立性和互斥性在概率题目中，经常会涉及到事件的独立性和互斥性。
事件的独立性指的是多个事件之间相互独立，一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
事件的互斥性指的是多个事件之间互相排斥，同时只能发生一个事件。
例如，有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，求抽到红心和抽到红色的概率。
由于红心是红色的一种，所以这两个事件是互斥的，即P(红心和红色)=P(红心)+P(红色)=13/52+26/52=39/52。
三、事件的补事件在概率题目中，经常会涉及到事件的补事件。
事件的补事件指的是与事件A相对立的事件，即A事件不发生的事件。
例如，有一个有10个红球和10个蓝球的袋子，从中随机取出一个球，求取出的不是红球的概率。
根据补事件的概念，我们可以得到答案为1-P(取出的是红球)=1-10/20=1/2。
四、事件的条件概率在概率题目中，经常会涉及到事件的条件概率。
条件概率指的是在已知事件B 发生的条件下，事件A发生的概率。
例如，有一个有10个红球和10个蓝球的袋子，从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求袋子中还剩下红球的概率。
