幂函数对数函数指数函数增长速度比较

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较在区间(0,+∞)上,尽管指数函数y=a x(a>1),幂函数y=xα(α>0)和对数函数y=logax(a>1)都是增函数,但它们的函数值的增长①不同,随着x的增大,函数y=a x(a>1)与y=xα(α>0)的函数值的增长速度越来②,而且函数y=a x(a>1)的函数值的增长速度会远远大于函数y=xα(α>0)的函数值的增长速度,而函数y=loga x(a>1)的函数值的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x,当x>x时,有logax<xα<a x.根据函数模型的不同增长规律判断实际问题的操作方法1.(2014河北唐山模拟,★☆☆)某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( )A.14 400亩B.172 800亩C.17 280亩D.20 736亩思路点拨指数增长模型.2.(高考预测,★☆☆)某人2014年1月1日到银行存入一年期存款a元,若年利率为x,并按复利计算,到2019年1月1日可取款(不计利息税)( )A.a(1+x)5元B.a(1+x)6元C.a(1+x5)元D.a(1+x6)元思路点拨指数增长模型.一、选择题1.某山区绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,若原来绿色植被的面积为1,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图像为( )2.某新产品电视投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100二、填空题3.若a>1,n>0,那么当x足够大时,a x,x n,logax的大小关系是.三、解答题4.比较函数y=x 23,y=2x-6,y=log2x+1在(1,+∞)上的增长变化情况.一、选择题1.(2015甘肃天水一中期中,★☆☆)在下列函数中,随着x的增大,函数值增长最快的是( )A.y=50B.y=1 000xC.y=lg xD.y=e x2.(2015黑龙江哈尔滨六中期末,★☆☆)已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=(12)x,x>1},则A∩B=()A.{y|0<y<12}B.{y|0<y<1}C.{y|12<y<1} D.⌀3.(2015广东东莞三校联考,★★☆)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a -x 与y=log a x 的图像是( )4.(2015山东兖州期中,★★☆)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加110.4%,那么经过x 年可增长到原来的y 倍,则函数y=f(x)的图像大致是( )5.(2015辽宁大连二十中期中,★★☆)下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( ) A.y=2-x B.y=x 2-4x C.y=x 32D.y=-log 2x6.(2014广东六校联考,★★☆)若x∈(0,1),则下列结论正确的是( ) A.lg x>x 12>2x B.2x>lg x>x 12C.x 12>2x>lg x D.2x>x 12>lg x7.(2013山东德州模拟,★☆☆)已知函数f(x)=x-ln |x |x ,则函数f(x)的大致图像为( )二、填空题8.(2015福建泉州一中期中,★★☆)已知函数f(x)=x 2+m,g(x)=(12)x-m,若对任意的x 1∈[-1,3],均存在x 2∈[0,2],使得f(x 1)≥g(x 2),则实数m 的取值范围是 .9.(2013山东聊城模拟,★☆☆)地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R=23(lg E-11.4).那么8.0级地震的能量是6.0级地震能量的 倍.知识清单①速度②越快链接高考1.C 依题意知,第四年造林10 000×(1+20%)3=10 000×1.23=10 000×1.728=17 280(亩).2.A 2015年1月1日可取款a(1+x)元,2016年1月1日可取款a(1+x)2元,依次类推,2019年1月1日可取款a(1+x)5元.基础过关一、选择题1.D 由题意知该函数为,y=1.104x,其大致图像为D.2.C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据,易知只有C选项比较接近.二、填空题3.答案a x>x n>logax解析由题意知指数函数y=a x(a>1)增长最快,对数函数y=logax(a>1)增长最慢,故当x足够大时,a x>x n>logax.三、解答题4.解析如图,在同一坐标系中分别画出函数y=x 23,y=2x-6,y=log2x+1的大致图像.可以看出:当1<x<8时,log2x+1>x23>2x-6;当x=8时,log2x=x23=2x-6;当x>8时,2x-6>x23>log2x+1.三年模拟一、选择题1.D 在当前所学过的增函数中,指数函数的函数值是增长最快的,故选D.2.A ∵x>1,∴log2x>log21=0,∴A={y|y>0}.∵x>1,∴0<(12)x<12,∴B={y|0<y<12}.∴A∩B={y|0<y<12}.故A正确.3.A 对于函数y=a -x,∵a>1,∴0<1a <1,∴函数y=a -x=(1a )x在R 上是递减的;对于函数y=log a x,∵a>1,∴函数y=log a x 在(0,+∞)上是递增的.结合各选项知,A 正确.4.D 由已知得,y=(1+1.104)x =2.104x (x≥0),由指数函数的图像特征知,选D.5.C A 选项,函数y=2-x=(12)x,该函数在(0,2)上单调递减,故A 错误;B 选项,函数y=x 2-4x=(x-2)2-4,该函数在(0,2)上单调递减,故B 错误;C 选项,函数y=x 32在(0,2)上单调递增,故C 正确;D 选项,函数y=-log 2x 在(0,2)上单调递减,故D 错误.所以答案为C.6.D 当x∈(0,1)时,2x∈(1,2),x 12∈(0,1),lg x∈(-∞,0),所以2x>x 12>lg x.7.A 函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).当0<x<1时,f(x)=x-lnxx 2>0,排除选项C 、D.函数f(x)不是奇函数,排除选项B.故选A. 二、填空题 8.答案 m≥18解析 易知函数f(x)=x 2+m 在区间[-1,3]上的最小值为m,函数g(x)=(12)x-m 在区间[0,2]上的最小值为14-m.由题意可得,m≥14-m,解得m≥18. 9.答案 1 000解析 由R=23(lg E-11.4),得E=103R2+11.4,由题意设R 1=8.0,R 2=6.0,则E 1E 2=103R12+11.4103R 22+11.4=103×(8-6)2=1 000.则8.0级地震的能量是6.0级地震能量的1 000 倍.。

1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。