§3.2.1几种函数增长快慢的比较之欧阳理创编

几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.③结论x∈(04)时，2x＜x三个函数图象如下：备选例题例1 某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年利润Q1 = 0.018x；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2 = 0.02x + 0.2；第三种方案：办工厂，年利润Q3 = 0.2x2 + 2x– 35；问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.(2)投资10万元，选择哪种投资方案.【解析】 (1)投资4万元，则有：Q= 0.072；Q2 = 0.28；Q3 = – 23.8，1∴Q2＞Q1＞Q3∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q1 = 0.18；Q2 = 0.4；Q3 = 5，∴Q3＞Q2＞Q1，∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =. 当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致； 当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜； 当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.如意卡便民卡。

2.5.1 几种函数增长快慢的比较一、学习目标1.回顾一次函数、指数函数、对数函数的图形和性质.2.研究、了解指数函数、对数函数、幂函数模型增长的变化规律.二、重、难点分析指数函数、对数函数、幂函数模型增长的变化规律.三、学习过程(一)自主预习阅读课本.对于直线y=kx+b(k≥0)，指数函数y=a x(a＞1)、对数函数y=log b x(b＞1)研究如下：(1)通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长的块，一次函数比对数函数增长的快.(2)通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象进一步体会：直线上升，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变量不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大的惊人，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容.对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升的速度.(二)合作探究研究指数函数、对数函数、幂函数模型，得到这三类函数增长的变化规律我们知道，对数函数y=log a x(a＞1)，指数函数y=a x(a＞1)与幂函数y=x n(n＞0)在区间(0，+∞)上都是增函数，这三类函数的增长是有差异的.一般地，对于指数函数y=a x(a＞1)和幂函数y=x n(n＞0)，通过探索规律可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.对于对数函数y=log a x(a＞1)和幂函数y=x n(n＞0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，log a x的增长越来越慢，图象就像渐渐与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，在区间(0，+∞)上，尽管函数y=a x(a＞1)，y=log a x(a＞1)和y=x n(n＞0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，y=a x(a＞1)的增长速度越来越大，会超过并远远大于y=x n(n＞0)的增长速度.而y=log a x(a＞1)的增长速度则会越来越小.总会存在一个x0，有log a x＜x n＜a x.四、同步练习1.下列函数中，随x的增大，其增大速度最快的是( )A.y=0.001e xB.y=1000lnxC.y=x1000D.y=1000·2x解析：在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，底数越大，增长速度越快.答案：A.2.当且仅当( )，x2＞2x＞log2x.A.3＜x＜4B.x＞4C.0＜x＜2D.2＜x＜4解析：在同一坐标系中作出三个函数的图象，如图所示；由图象知，当0＜x＜2时，log2x＜x2＜2x成立，当2＜x＜4时，log2x＜2x＜x2成立，当x＞4时，log2x＜x2＜2x成立，所以满足x2＞2x＞log2x的x的取值范围是2＜x＜4.答案：D.五、自我测评1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数解析：由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型.答案： D2.试比较函数y=x200，y=e x，y=lgx的增长差异.解析：根据幂函数、指数函数、对数函数的图象特征，增长最慢的是y=lgx；当x较小时，y=x200要比y=e x增长得快；当x较时，y=e x要比y=x200增长得快.答案：根据幂函数、指数函数、对数函数的图象特征，增长最慢的是y=lgx，由图象(图略)可知随着x的增大，它几乎平行于x轴；当x较小时，y=x200要比y=e x增长得快；当x较大(如x＞1000)时，y=e x要比y=x200增长得快.六、小结指数函数、对数函数、幂函数模型增长的变化规律.。

3.2.1⼏种函数增长快慢的⽐较全⾯版3.2.1 ⼏种函数增长快慢的⽐较（⼀）教学⽬标1．知识与技能（1）掌握⼏种常⽤函数增长快慢的⽐较⽅法（2）熟悉⼏种常⽤函数增长快慢的⼀般规律2．过程与⽅程利⽤函数图象，借助计算机列出⾃变量和函数值的对照表，⽐较⼏种常⽤函数增长的快慢，从⽽熟知常见函数增长快慢的⼀般性结论.3．情感、态度与价值观通过⼏种常见函数增长快慢的⽐较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（⼆）教学重点与难点重点：函数增长快慢⽐较的常⽤途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学⽅法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的⼏种常见函数增长快慢的⽐较，体会⽐较⽅法，掌握基本结论，从⽽培养应⽤基本⽅法⽐较函数增长快慢的能⼒.否相同？图象上⽅增长较快图象下⽅，．实例探究：验证进⾏探究①列表②作图③结论log2x＜x2，且log进⼀步探究y = x2与y = 20 1 2 3∈(0，2)时2x＞＜x2，x∈(4,+∞三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆例1 某⼈现在⼀笔资⾦x 万元⽤于投资，经过市场调查研究，有三种⽅案：第⼀种⽅案：存⼊银⾏，年利润Q 1 = 0.018x ；第⼆种⽅案：借给朋友投资，年利润Q 2 = 0.02x + 0.2；第三种⽅案：办⼯⼚，年利润Q 3 = 0.2x 2 + 2x – 35；问：(1)投资4万元，选择哪种投资⽅案. (2)投资10万元，选择哪种投资⽅案. 【解析】 (1)投资4万元，则有： Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8，∴Q 2＞Q 1＞Q 3 ∴选择第⼆种⽅案(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5，∴Q 3＞Q 2＞Q 1，∴选择第三种⽅案.例2 为了发展电信事业⽅便⽤户，电信公司对移动电话采⽤不同的收费⽅式，其中所使⽤的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每⽉（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所⽰.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式；（2）请帮助⽤户计算，在⼀个⽉内使⽤哪种卡便宜. 【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代⼊y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =.当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费⼀致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满⾜⼀次函数关系，为此可采取待如意卡便民卡定系数法，求出具体的函数关系式，最后运⽤⽅程的思想求出关键点从⽽使问题得以解决. 图表题⽬的处理关键就在于正确理解其全部信息，运⽤合理的⽅法解决问题.。

3.2.1 几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.否相同？图象上方增长较快图象下方，．实例探究：验证进行探究①列表②作图③结论log2x＜x2，且log进一步探究y = x2与y = 20 1 2 3∈(0，2)时2x＞＜x2，x∈(4,+∞三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆例1 某人现在一笔资金x 万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案： 第一种方案：存入银行，年利润Q 1 = 0.018x ；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q 2 = 0.02x + 0.2； 第三种方案：办工厂，年利润Q 3 = 0.2x 2 + 2x – 35； 问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案. (2)投资10万元，选择哪种投资方案. 【解析】 (1)投资4万元，则有： Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8，∴Q 2＞Q 1＞Q 3 ∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5， ∴Q 3＞Q 2＞Q 1， ∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =.当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待如意卡便民卡定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.。

几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.③结论x∈(04)时，2x＜x三个函数图象如下：备选例题例1 某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年利润Q1 = 0.018x；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2 = 0.02x + 0.2；第三种方案：办工厂，年利润Q3 = 0.2x2 + 2x– 35；问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.(2)投资10万元，选择哪种投资方案.【解析】 (1)投资4万元，则有：Q= 0.072；Q2 = 0.28；Q3 = – 23.8，1∴Q2＞Q1＞Q3∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q1 = 0.18；Q2 = 0.4；Q3 = 5，∴Q3＞Q2＞Q1，∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =. 当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致； 当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜； 当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.如意卡便民卡。

3.2.1 几种不同增长的函数模型[课时作业] [A 组 基础巩固]1．下列函数中随x 的增大而增大，且速度最快的是( ) A.110e x B ．y ＝10ln x 3C ．y ＝x 10D ．y ＝10·2x解析：∵e>2，∴110e x 比10·2x增大速度快，故选A.答案：A2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数D ．对数型函数解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增长符合．故选D. 答案：D3．今有一组数据如下：A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：将t 的值代入四个函数，找出最接近v 的那个函数模型． 答案：C4．某商品价格前两年递增20%，后两年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比较，变化情况是( ) A ．减少7.84% B ．增加7.84% C ．减少9.5%D ．不增不减解析：由题意，设商品原价格为a 元，则四年后的价格为a (1＋20%)2(1－20%)2＝a (1－0.04)2＝0.921 6a .∴a －0.921 6aa＝7.84%.故选A.答案：A5．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数解析：由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数． 答案：A6．进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大日利润，则此商品当日销售价应定为每个________元． 解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为每个(10＋x )元，日销售量为(100－10x )个，则日利润为y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x ≤10) ∴当x ＝4，即当日销售价定为每个14元时，日利润最大． 答案：147．某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费提高2元便减少10张客床租出．为少投入，多获利，每床每天收费应提高________元．解析：设客床租金每张提高x 个2元，则将有10x 客床空出，客床租金总收入为：y ＝(10＋2x )(100－10x )＝－20x 2＋100x ＋1 000＝－20(x 2－5x －50)＝－20⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋1 125，∴当提高52个2元即提高5元时，租金总收入最高．答案：58．假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A ，那么广告效应D ＝a A －A ，当A ＝________时，取得最大广告效应，此时收入R ＝________.解析：D ＝a A －A ＝－⎝⎛⎭⎪⎫A －a 22＋a 24，∴当A ＝a 2，即A ＝a 24时，D 最大．此时R ＝a A ＝a 22.答案：a 24 a 229．某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R (x )＝5x －x 22(0≤x ≤5)万元，其中x 是产品售出的数量(单位：百件)．(1)把利润表示为年产量的函数f (x )； (2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？ 解析：(1)设年产量为x (百件)，当0≤x ≤5时，f (x )＝5x －x 22－(0.5＋0.25x )；当x >5时，销售收入为252万元，此时f (x )＝252－(0.5＋0.25x )＝12－0.25x∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 22＋194x －12，0≤x ≤5，12－0.25x ，x >5.(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－12(x －4.75)2＋10.781 25；当x >5时，函数f (x )为单调递减函数． ∴当年产量为475件时，公司所得利润最大．10．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解析：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为 3 600－3 00050＝12，所以这时能租出88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50 ＝－150x 2＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，f (x )max ＝307 050.故月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．[B 组 能力提升]1.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA向A 点运动．设P 点运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：由题意：P 点在BC 上时，0≤x ＜4，S ＝4x2＝2xP 点在CD 上时，4≤x ≤8，S ＝4×42＝8 P 点在DA 上时，8＜x ≤12，S ＝24－2x .故选D. 答案：D2．1994年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x %， 设2015年底世界人口数为y (亿)，那么y 与x 的函数解析式为( ) A ．y ＝54.8(1＋x %)19B ．y ＝54.8(1＋x %)21C ．y ＝54.8(x %)19D ．y ＝54.8(x %)20解析：由题意：1995年底人口为54.8(1＋x %) 1996年底人口为54.8(1＋x %)21997年底人口为54.8(1＋x %)3 ……∴2015年底人口为54.8(1＋x %)21，故选B. 答案：B3．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．解析：设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M ，则M (1＋x )11＝a ·M ， ∴x ＝11a －1. 答案：11a －14．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数；t 表示时间，单位：小时，y 表示细菌个数)，则k ＝________，经过5小时，1个细菌能繁殖________个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 1k 2∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2当t ＝5时，y ＝e10ln 2＝210＝1 024.答案：2ln 2 1 0245．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面1023米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这个抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？解析：(1)由题意可设抛物线方程为y ＝a (x －h )2＋k ，则可知k ＝23，图象必过(0,0)，(2，－10)两点． 则有⎩⎪⎨⎪⎧0＝ah 2＋23，－10＝a 2－h2＋23，移项作比得hh －2＝±14，h >0， 解之得h ＝25，a ＝－256，∴y ＝－256⎝ ⎛⎭⎪⎫x －252＋23.(2)当运动员在空中距池边的水平距离为335米，即x ＝335－2＝85时，y ＝－256×(85－25)2＋23＝－163，所以此时运动员距水面距离为10－163＝143<5，故此次跳水会出现失误．(3)设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m (m >2)．则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，－256m －2－252＋23≥－5得2<m ≤12＋345，所以运动员此时距池边的水平距离最大为12＋345米．6．九十年代，政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加．据测，1990年，1991年，1992年大气中的CO 2浓度分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO 2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y ＝a ·b x＋c (其中a ，b ，c 为常数)，且又知1994年大气中的CO 2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？ 解析：若以f (x )＝px 2＋qx ＋r 作模拟函数，则依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝14p ＋2q ＋r ＝39p ＋3q ＋r ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12q ＝12，r ＝0∴f (x )＝12x 2＋12x .若以g (x )＝a ·b x＋c 作模拟函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1ab 2＋c ＝3ab 3＋c ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝83b ＝32，c ＝－3∴g (x )＝83·(32)x－3.利用f (x )，g (x )对1994年CO 2浓度作估算，则其数值分别为：f (5)＝15可比单位，g (5)＝17.25可比单位，∵|f (5)－16|<|g (5)－16|，故f (x )＝12x 2＋12x 作模拟函数与1994年的实际数据较为接近，用f (x )＝12x 2＋12x 作模拟函数较好．。

§3.2.1几种函数增长快慢的比较教学目标：（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律教学重点与难点：重点：函数增长快慢比较的常用途径； 难点：了解影响函数增长快慢的因素. 教学方法：合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法。

教学过程：一、提出问题引入课题观察函数4xy y ==与在[0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.在同一坐标中函数图象如右： 结论：若0＜x ＜164x 若x ＞164x师：增函数的共同特点是函数值y 随自变量x 的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同？师生合作观察研究函数4xy y ==与的增长快慢.①x ∈(0，16)时，y 的图象在4x y =图象上方可知y =增长较快②(16,)x ∈+∞时，y =的图在4x y =图象下方，可知4x y =增长较快二、问题引入课题，激发学习兴趣.幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法. 1．实例探究：比较函数y =2x ，y = x 2，y = log 2x 的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证②应用二分法求2x= x 2的根，即y = 2x 与y = x 2的交点横坐标.2．规律总结①一般地，对于指数函数y =a x(a ＞1)和幂函数y =x n(n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x＞x n.②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n(n ＞0)在区间(0,)+∞上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢.在x 的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.③在区间(0,) 上，尽管函数y = a x(a＞1)，y = log a x(a＞1)和y= x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y = a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y= x n(n＞0)的增长速度，而y = log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究①列表x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8y=2x 1.149 1.516 2 2.639 3.482y=x2 0.04 0.36 1 1.96 3.24y=log2x–2.322 –0.737 0 0.485 0.848 x 2.2 2.6 3.0 3.4 …y=2x 4.595 6.063 8 10.556 …y=x2 4.84 6.76 9 11.56 …y=log2x 1.138 1.379 1.585 1.766 …②作图③结论x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x.进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢.①列表x 0 1 2 3 4y=2x 1 2 4 8 16y=x20 1 4 9 16x 5 6 7 8 …y=2x32 64 128 256 …y=x225 36 49 64 …②作图③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈(4,) 时2x＞x2由特殊到一般探究规律巩固练习在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较其的增长情况：（1）y=0.1e x–100,x∈[1,10]；（2）y=20ln x+100,x∈[1,10]；（3）y=20x,x∈[1,10].三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加.进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.时间：2021.02.05 创作：欧阳科。