特殊三角形常见的题目型

第二章特殊三角形单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里2、如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A、（1，2）B、（2，2）C、（3，2）D、（4，2）3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（）A、27B、18C、18D、94、如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A、AC=ADB、AB=ABC、∠ABC=∠ABDD、∠BAC=∠BAD5、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A、75°B、60°C、45°D、30°6、对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2．”用反证法证明，应假设（）A、a2＞b2B、a2＜b2C、a2≥b2D、a2≤b27、图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A、0B、1C、D、8、用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A、假定CD∥EFB、已知AB∥EFC、假定CD不平行于EFD、假定AB不平行于EF9、如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M 是OP的中点，则DM的长是（）A、2B、C、D、10、在△ABC中，∠B=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，则下列等式中成立的是（）A、a2+b2=c2B、b2+c2=a2C、a2+c2=b2D、c2﹣a2=b2二、填空题（共8题；共24分）11、用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设 ________12、在△ABC和△MNP中，已知AB=MN，∠A=∠M=90°，要使△ABC≌△MNP，应添加的条件是 ________ ．（只添加一个）13、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是________14、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行________ 米．15、如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯________米．16、如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为________ m2．17、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长为7cm，则正方形a，b，c，d的面积之和是________ cm2．18、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为________．三、解答题（共5题；共40分）19、已知直线m、n是相交线，且直线l1⊥m，直线l2⊥n．求证：直线l1与l2必相交．20、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，求斜边的长．21、如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东30°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东60°的方向以每小时6海里速度前进，两小时后，甲船到M岛，乙船到N岛，求M岛到N岛的距离．22、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于多少cm？23、如图所示，△ABC中，D为BC边上一点，若AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，BC=14cm，求AC的长．四、综合题（共1题；共6分）24、如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB=16，BC=12．(1)△ABD与△CBD的面积之比为________；(2)若△ABC的面积为70，求DE的长．答案解析一、单选题1、【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离。

特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证； （2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变 理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。

第二章、特殊三角形单元测试（难度：困难）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图标中轴对称图形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：图①是轴对称图形，图②是轴对称图形；图③是轴对称图形；图④不是轴对称图形，轴对称图形共3个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（）A．β＝90°﹣αB．β＝180°﹣αC．β＝D．β＝120°﹣α【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式．【解答】解：当点D在线段BC上，∵∠ABC＝α，CA＝AB，∴∠C＝∠ABC＝α，∵CD＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝＝90°﹣α，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴90°﹣α＝α+β，即β＝90°﹣α；当点D在线段BC的延长线上，同理可得：β＝180°﹣α；当点D在线段CB的延长线上，同理可得：β＝α﹣90°．故选：D．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．注意分类思想的应用是解此题的关键．3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角B．没有一个角是锐角C．没有一个角是钝角或直角D．每一个角都是钝角或直角【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．故选：C．【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．三角形C．等腰梯形D．正五边形【分析】针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误；B、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确；C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误；D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握常见多边形的对称轴是解题的关键．5．如图将长方形ABCD沿EF折叠，B、C分别落在点H、G的位置，延长EH交边CD于点M．下列说法不正确的是（）A．∠1＜∠2B．∠2＝∠3C．∠MEB＝2∠2D．∠2与∠4互补【分析】过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，根据矩形的性质可得AB ∥CD，∠B＝90°，再根据折叠可得：∠B＝∠GHE＝90°，从而可得GH∥FN，进而可得∠1＝∠MFN，即可判断A；根据角平分线和平行线的性质即可判断B和C；根据平角定义即可判断D．【解答】解：过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，∴∠FNE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，由折叠得：∠B＝∠GHE＝90°，∴∠GHE＝∠FNE＝90°，∴GH∥FN，∴∠1＝∠MFN，∵∠2＝∠MFN+∠EFN，∴∠1＜∠2，故A不符合题意；∵AB∥CD，∴∠2＝∠FEB，由折叠得：∠FEB＝∠3，∴∠2＝∠3，故B不符合题意；∵∠FEB＝∠3，∴∠MEB＝2∠3，∵∠3＝∠2，∴∠MEB＝2∠2，故C不符合题意；∵ME≠EF，∴∠2≠∠EMF，∵∠4+∠EMF＝180°，∴∠4与∠2不一定互补，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（）A．15°或20°B．20°或30°C．15°或30°D．15°或25°【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A＝40°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三种情况：当∠DFE＝∠E＝40°时；当∠FDE＝∠E＝40°时；当∠DFE＝∠FDE时，根据∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵∠B﹣∠A＝10°，∴∠A＝40°，∠B＝50°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，当∠DFE＝∠E＝40°时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴140﹣x＝100+40+x，解得x＝0（不存在）；当∠FDE＝∠E＝40°时，∴140﹣x＝40+40+x，解得x＝30，即∠ACD＝30°；当∠DFE＝∠FDE时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝，∴140﹣x＝70+40+x，解得x＝15，即∠ACD＝15°，综上，∠ACD＝15°或30°，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC＝∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．7．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．有以下结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由三角形的内角和与角平分线的定义求∠AFB，由DG∥AB和BE平分∠ABC判断②，结合DG⊥DG求∠GBC与∠ABC的关系判断③，由三角形的内角和与平行线的性质判断④．【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC，∠FBA＝∠CBE＝∠ABC，∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠F AB+∠FBA＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠AFB＝180°﹣（∠F AB+∠FBA）＝180°﹣45°＝135°，故①正确，符合题意；∵DG∥AB，∴∠BDG＝∠ABC，∵∠CBE＝∠ABC，∴∠BDG＝2∠CBE，故②正确，符合题意；∵BG⊥DG，∴∠G＝90°，∴∠GDB+∠GBD＝90°，又∵∠GDB＝∠ABC，∴∠ABC+∠GBD＝90°，无法判定∠GBD＝∠ABC，故③错误，不符合题意；又∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠GBD，∵∠ABF＝∠EBC，∴∠ABF+∠BAC＝∠EBC+∠GBD，∴∠BEC＝∠EBG，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和与外角和、平行线的性质、垂直的定义和角平分线的定义，整体思想的应用是判断①的关键，解题的时候要多次应用等量代换．8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．【分析】先证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，再由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，即可得出答案．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，在△BPG和△BCG中，，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，∴＝＝＝2+．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5B．3C．4.5D．9【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．10．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N 分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（）A．20B．26C．32D．36【分析】如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．再证明∠HBG＝90°，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH 交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：BD＝BG＝2，BE＝BH＝4，DM＝GM，EN＝NH，∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长，∵∠ABC＝∠GBM＝∠HBC＝30°，∴∠HBG＝90°，∴GH2＝BG2+BH2＝20，∴当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为20，故选：A．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题）11．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为16．【分析】由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，＝（2）2＝8，则AB2+AC2+BC2＝2BC2，即可得出结论【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝2，∴AB2+AC2＝BC2＝（2）2＝8，∴AB2+AC2+BC2＝2BC2＝2×8＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为4+2．【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：取AB的中点E，连接OE，CE，∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，∴OE＝AB＝4，∵OC≤OE+CE，∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，故答案为：4+2．【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系求单线段的最值是解题的关键．13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则DE＝．【分析】连接BD交AC于点O，证明AC垂直平分BD，利用勾股定理可求解BD＝2，OC＝2，再利用面积法可求解DE的长．【解答】解：连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，∵AB＝AD＝，CB＝CD＝，∴A，C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，∵∠DAB＝90°，∴BD＝，S△ABD＝AB•AD＝，∴AO＝DO＝BO＝1，∴CO＝，∴S△BCD＝＝，∴四边形ABCD的面积＝1+2＝3，∵S△BCD＝BC•DM＝2，∴DM＝＝，∴BM＝，∵线段DE平分四边形ABCD的面积，∴S△CDE＝，S△BDE＝，∴BE：CE＝1：3，∴BE＝，∴EM＝BM﹣BE＝，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查线段垂直平分线，勾股定理，三角形的面积，证明AC垂直平分BD是解题的关键．14．如图，△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC＝2，若点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为．【分析】如图，作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN 交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，推出△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，推出当点E固定时，此时△DEF的周长最小，再证明△MNA是等腰直角三角形，推出MN＝AE，推出当AE的值最小时，MN的值最小，求出AE的最小值即可解决问题．【解答】解：如图，作E关于AB的对称点M，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，∴△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，∴当点E固定时，此时△DEF的周长最小，∵∠BAC＝45°，∠BAE＝∠BAM，∠CAE＝∠CAN，∴∠MAN＝90°，∴△MNA是等腰直角三角形，∴MN＝AE，∴当AE的值最小时，MN的值最小，∵AC＝2，∴AK＝KC＝2，∵AB＝3，∴BK＝AB﹣AK＝1，在Rt△BKC中，∠BKC＝90°，BK＝1，CK＝2，∴BC＝＝，∵•BC•AH＝•AB•CK，∴AH＝，根据垂线段最短可知：当AE与AH重合时，AE的值最小，最小值为，∴MN的最小值为，∴△DEF的周长的最小值为．【点评】本题考查了轴对称问题，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．15．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是88°，90°，99°，108°，116°．【分析】当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．【解答】解：如图①所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90°当∠ACB＝48°时，有以下4种情况，故答案为：88°，90°，99°，108°，116°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分4种情况解答，因此，属于难题．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，AB＝8，点D在△ABC内，连接DA、DB、DC，则DC+DB+AD的最小值是4．【分析】如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F 作FH⊥CA交CA的延长线于H．则DE＝AD，则DC+DB+DA＝DC+DE+EF≥CF，求出CF即可得出结论．【解答】解：如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F作FH⊥CA交CA的延长线于H．∵AD＝AE，∠DAE＝120°，BD＝EF，∴DE＝AD，∴DC+DB+DA＝DC+DE+EF，∵CD+DE+EF≥CF，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AB•cos30°＝4，在Rt△AFH中，∠H＝90°，AF＝AB＝8，∠F AH＝30°，∴FH＝AF＝4，AH＝FH＝4，∴CH＝AC+AH＝8，∴CF＝＝＝4，∴CD+DB+AD≥4，∴CF的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转变换，把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共7小题）17．图①、图②、图③均是9×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．（1）在图①中，画△ABC关于AC的轴对称图形，得到四边形ABCD．（2）在图②中，画EF∥BC，点E在AC上，点F在AB上，且AE＝2EC．（3）在图③中，画△ABC关于BC的轴对称图形，得到四边形ACMB．【分析】（1）依据要求，根据轴对称的性质作图即可．（2）利用平行线分线段成比例定理作图即可．（3）取格点P，Q，连接PQ，过点A作BC的垂线，与PQ交于点M，连接CM，BM 即可．【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求．（2）如图②，EF即为所求．（3）如图③，四边形ACMB即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点B、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，在△CHB和△AEF中，，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．19．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．【分析】根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE＝∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠BCE＝∠CBF，∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，∴△BCE≌△CBF，∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用．20．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB 的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO ＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．【分析】先根据点P与点Q关于直线OA对称可知OM是线段PQ的垂直平分线，故PM ＝MQ，∠PMQ＝2∠PMO，根据三角形内角和定理求出∠PQM的度数，同理可得出PN ＝RN，故可得出∠PNR＝2∠PNO，再由平角的定义得出∠PNQ的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵点Q和点P关于OA的对称，点R和点P关于OB的对称∴直线OA、OB分别是PQ、PR的中垂线，∴MP＝MQ，NP＝NR，∴∠PMO＝∠QMO，∠PNO＝∠RNO，∵∠PMO＝3 3°，∠PNO＝70°∴∠PMO＝∠QMO＝33°，∠PNO＝∠RNO＝70°∴∠PMQ＝66°，∠PNR＝140°∴∠MQP＝57°，∴∠PQN＝123°，∠PNQ＝40°，∴∠QPN＝17°．【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC ﹣AB＝AC﹣AM＝CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM利用等量代换即可求证．【解答】证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，∴∠3＝90°﹣∠1同理，∠4＝90°﹣∠2∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM∴AC﹣AB＝BM＝2BE【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．22．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．（1）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并证明你的猜想．（2）当点D在直线BC上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，求∠CDE的度数（直接写出结果）．【分析】（1）设∠B＝x，∠ADE＝y，根据已知等量求得∠C与∠AED，再通过三角形的外角性质求得∠CDE，通过三角形的内角和定理求得∠BAD，便可得出结论；（2）分四种情形画出图形分别求解可得结论．【解答】解：（1）结论：∠BAD＝2∠CDE．理由如下：设∠B＝x，∠ADE＝y，∵∠B＝∠C，∴∠C＝x，∵∠AED＝∠ADE，∴∠AED＝y，∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），∴∠BAD＝2∠CDE；（2）当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，分两种情况：当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，∵∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝AE′，∴∠ADE＝∠AE′D，由①知，∠CDE′＝12.5°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D＝90°，∴∠CDE＝90°+12.5°＝102.5°．如图3中，当点D在CB的延长线上时，同法可得∠CDE′＝12.5°，∠CDE＝77.5°综上所述：∠CDE的度数为12.5°或102.5°或77.5°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形性质的外角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD ＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若P A＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．。

重难点突破02解三角形图形类问题目录01方法技巧与总结 (2)02题型归纳与总结 (2)题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法） (2)题型二：两角使用余弦定理建立等量关系 (4)题型三：张角定理与等面积法 (5)题型四：角平分线问题 (6)题型五：中线问题 (7)题型六：高问题 (9)题型七：重心性质及其应用 (10)题型八：外心及外接圆问题 (11)题型九：两边夹问题 (13)题型十：内心及内切圆问题 (14)03过关测试 (15)解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）【典例1-1】（2024·河南·三模）已知P 是ABC 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ∠∠∠θ====.(1)若π,224BC θ=，求AC ；(2)若π3θ=，求tan BAP ∠.【典例1-2】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠平分线，::32:3c AD b =(1)求A ∠；(2)AD 上有点,90M BMC ∠= ，求tan ABM ∠.【变式1-1】如图，在平面四边形ABCD 中，90ACB ADC ∠=∠=︒，AC =30BAC ∠=︒．(1)若CD =BD ；(2)若30CBD ∠=︒，求tan BDC ∠．【变式1-2】（2024·广东广州·二模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos b A a B b c -=-.(1)求A ；(2)若点D 在BC 边上，且2CD BD =，cos 3B =，求tan BAD ∠.【变式1-3】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )A c B b C a +=.(1)求角A ；(2)若O 是ABC 内一点，120AOB ∠=︒，150AOC ∠=︒，1b =，3c =，求tan ABO ∠．题型二：两角使用余弦定理建立等量关系【典例2-1】如图，四边形ABCD 中，1cos 3BAD ∠=，3AC AB AD ==．(1)求sin ABD ∠；(2)若90BCD ∠=︒，求tan CBD ∠．【典例2-2】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD ==(1)求证：sin C A =；(2)若2C A =，2AB CD =，求梯形ABCD 的面积．【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2232cos 235cos22C C π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求角C ；(2)若点D 在AB 上，2BD AD =，BD CD =，求AC BC的值.【变式2-2】平面四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，πABC ADC ∠+∠=，π3BCD ∠=．(1)求BD ；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围；(3)若E 为边BD 上一点，且满足CE BE =，2BCE CDE S S =△△，求BCD △的面积．题型三：张角定理与等面积法【典例3-1】（2024·吉林·模拟预测）ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a c C a b --=+，(1)求角B 的大小；(2)若3b =，D 为AC 边上一点，2BD =，且BD 为B ∠的平分线，求ABC 的面积．【典例3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4b =，2cos sin cos tan b B A A c C=+.(1)求角B 的大小;(2)已知直线BD 为ABC ∠的平分线，且与AC 交于点D ，若3BD =，求ABC 的周长.【变式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin sin a B C b c A C-=+-．(1)求B ；(2)若bB 的平分线交AC 于点D ，1BD =，求ABC 的面积．【变式3-2】（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在ABC 中，4AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上.（1）若3π4ADC ∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD sin sin BAD CAD ∠∠的值.题型四：角平分线问题【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且6,60a A =∠=︒．(1)若AD 为BC 边上的高线，求AD 的最大值；(2)已知AM 为BC 上的中线，BAC ∠的平分线AN 交BC 于点N ，且sin tan 2cos A B A=-，求△AMN 的面积．【典例4-2】如图所示，在ABC 中，3AB AC =，AD 平分BAC ∠，且AD kAC =.(1)若2DC =，求BC 的长度；(2)求k 的取值范围；(3)若1ABC S =△，求k 为何值时，BC 最短.【变式4-1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2π3A =，22cos c b ac C -=.(1)求tan C ；(2)作角A 的平分线，交边BC 于点D ，若AD =AC 的长度；(3)在（2）的条件下，求ABC 的面积.【变式4-2】已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积为S ，且()()sin sin sin 6a b c a A B C S+-++=(1)求角A 的大小；(2)若3,a BA AC A ∠=⋅=-的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.题型五：中线问题【典例5-1】如图，在ABC 中，已知2AB =，AC =，45BAC ∠=︒，BC 边上的中点为M ，点N 是边AC 上的动点（不含端点），AM ，BN 相交于点P ．(1)求BAM ∠的正弦值；(2)当点N 为AC 中点时，求MPN ∠的余弦值．(3)当NA NB ⋅ 取得最小值时，设BP BN λ= ，求λ的值．【典例5-2】（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos BAD ∠=(1)求b 边的长度；(2)求ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的16，求AG EF 的取值范围．【变式5-1】阿波罗尼奥斯（Apollonius ）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD 是ABC 中BC 边上的中线，则222222BC AB AC AD ⎡⎤⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(1)若在ABC 中，5AB =，3AC =，π3BAC ∠=，求此三角形BC 边上的中线长；(2)请证明题干中的定理；(3)如图ABC 中，若AB AC >，D 为BC 中点，3BD DC ==，()sin 3sin 3sin a A b B b A C +=-，2ABC S =△，求cos DAC ∠的值.【变式5-2】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，30B ︒=.(1)已知b =cos cos 2b A a B +=（i ）求C ；（ii ）若a b <，D 为AB 边上的中点，求CD 的长.(2)若ABC 为锐角三角形，求证：3a c <【变式5-3】（2024·江苏南通·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，2c BA BC =⋅- ，其中S 为ABC 的面积.(1)求角A 的大小；(2)设D 是边BC 的中点，若AB AD ⊥，求AD 的长.题型六：高问题【典例6-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3C =且7a b +=，ABC (1)求ABC 的面积；(2)求ABC 边AB 上的高h .【典例6-2】（2024·四川·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos B b A B b ++=.(1)求角C 的大小；(2)若8a =，ABC 的面积为AB 边上的高.【变式6-1】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,8a c ==.(1)若4sin 7C =，求角A 的大小；(2)若5b =，求AC 边上的高.【变式6-2】（2024·山东枣庄·一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin tan 22a C A c =．(1)求C ；(2)若8,5,ab CH ==是边AB 上的高，且CH mCA nCB =+ ，求m n ．题型七：重心性质及其应用【典例7-1】（2024·四川内江·一模）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sin sin 2B C b a B +=．(1)求角A 的大小；(2)M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =ABC 的面积．【典例7-2】（2024·江西景德镇·一模）如图，已知△ABD 的重心为C ，△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .且2cos 22A b c c+=(1)求∠ACB 的大小；(2)若π6CAB ∠=，求sin CDA ∠的大小.【变式7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是ABC的重心，且0AG BG ⋅= ．(1)若π6GAB ∠=，①直接写出AG CG=______；②设CAG α∠=，求tan α的值(2)求cos ACB ∠的取值范围．【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）ABC 的角,,A B C 对应边是a ，b ，c ，三角形的重心是O .已知3,4,5OA OB OC ===.(1)求a 的长.(2)求ABC 的面积.题型八：外心及外接圆问题【典例8-1】（2024·广东深圳·二模）已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,6,2,1a b c a b c ===.(1)求角A 的余弦值；(2)设点O 为ABC 的外心（外接圆的圆心），求,AO AB AO AC ⋅⋅ 的值.【典例8-2】已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,3,22cos a b c a c b a B =-=．(1)求A ；(2)M 为ABC 外心，AM 的延长线交BC 于点D ，且MD =ABC 的面积．【变式8-1】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,,20,a b c c b AB AC ABC >⋅= 的面积为(1)求A ∠；(2)设O 点为ABC 外心，且满足496OB OC ⋅=- ，求a .【变式8-2】（2024·河南·模拟预测）已知ABC 的外心为O ，点,M N 分别在线段,AB AC 上，且O 恰为MN 的中点．(1)若1BC OA ==，求ABC 面积的最大值；(2)证明：AM MB AN NC ⋅=⋅．【变式8-3】（2024·安徽黄山·三模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知c =(1cos )sin b C B +=.(1)求角C 的大小和边b 的取值范围；(2)如图，若O 是ABC 的外心，求OC AB CA CB ⋅+⋅ 的最大值.题型九：两边夹问题【典例9-1】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos sin 0sin cos A A B B +-=+，则a b c +的值是（）A ．2B 3C 2D ．1【典例9-2】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长.若2cos sin 0cos sin A A B B +-=+，则a b c+的值是（）.A ．1B 2C 3D ．2【变式9-1】在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则tan A =_________________【变式9-2】（2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若22252cos 3cos 2sin sin sin sin --=+B C A B C A ，则tan A =_____．【变式9-3】在ABC ∆中，已知边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若5a =，2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则ABC ∆的面积S =______.【变式9-4】在ABC 中，若(cos sin )(cos sin )2A A B B ++=，则角C =__．题型十：内心及内切圆问题【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2a B b c +=，5a =．(1)求ABC 的周长的取值范围；(2)若ABC 的内切圆半径r =ABC 的面积S .【典例10-2】（2024·湖南永州·一模）在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos c A a C a b -=+．(1)求角C ；(2)若5,c ABC = 的内切圆半径4r =，求ABC 的面积．【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin cos c A C -=．(1)求角A 的大小；(2)若7a =，ABC 外接圆的半径为R ，内切圆半径为r ，求R r的最小值．【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22sin 2sin 2sin sin 4A B A B ⋅⋅=．(1)求C ；(2)若2c =，求ABC 内切圆半径取值范围．【变式10-3】（2024·广西南宁·一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，且sin sin sin A B b c C b a+-=-．(1)求ABC 的外接圆半径R ；(2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围．【变式10-4】（2024·吉林·二模）已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的外接圆半径为222sin sin sin sin sin B C B C A +-=.(1)求a ;(2)求ABC 的内切圆半径r 的取值范围1．如图所示，在ABC 中，设,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知3b c a +=，()4b c a =-．(1)求角C ；(2)若7c =，过B 作AC 的垂线并延长到点D ，使,,,A B C D 四点共圆，AC 与BD 交于点E ，求四边形ABCD 的面积．2．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠= ．(1)若3AC =，求ACD 周长的最大值；(2)若2CD AB =，45BCD ∠= ，求tan DAC ∠的值．3．（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，已知sin()sin sin BAC B B C ∠-∠=+．(1)求BAC ∠．(2)若2AC AB =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，求cos ADB ∠．4．（2024·四川成都·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3sin sin 2B C b a B +=，边BC 上有一动点D .(1)当D 为边BC 中点时，若3,2AD b ==，求c 的长度；(2)当AD 为BAC ∠的平分线时，若4a =，求AD 的最大值.5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数()π2π1sin sin 332f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，角A 为△ABC 的内角，且()0f A =．(1)求角A 的大小；(2)如图，若角A 为锐角，3AB =，且△ABC 的面积S E 、F 为边AB 上的三等分点，点D 为边AC 的中点，连接DF 和EC 交于点M ，求线段AM 的长．6．（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S ，()2sin 213sin A B S b B ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦．(1)求角A ．(2)若ABC 的面积为a =，D 为边BC 的中点，求AD 的长．7．（2024·四川成都·三模）在ABC 中，15,6,cos 8BC AC B ===．(1)求AB 的长；(2)求AC 边上的高．8．（2024·江苏南通·三模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=．(1)求A ；(2)若ABCBC 边上的高为1，求ABC 的周长．9．（2024·高三·河南·开学考试）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()()()10sin sin sin sin 2sin 2sin 3a b c A B C a B c A b c C ++++=+++．(1)求cos C ；(2)若AB 边上的高为2,c =,a b ．10．（2024·高三·山东济南·开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()cos 2cos b A a B =-.(1)求c a；(2)若2π3B =，且AC ABC 的周长.11．在ABC 中，设a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对边．设BC 边上的高为h ，且2a h =．(1)把b cc b +表示为sin cos x A y A +（x ，R y ∈）的形式，并判断b c c b+能否等于(2)已知B ，C 均不是直角，设G 是ABC 的重心，BG CG ⊥，c b >，求tan B 的值．12．（2024·江苏苏州·二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin a b C B c A B+-=-．(1)求角A ；(2)若6a =，点M 为ABC 的重心，且AM =ABC 的面积．13．（2024·河南开封·模拟预测）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知sin cos cos ,B a C c A b G -==为ABC 的重心．(1)若2a =，求c 的长；(2)若AG =ABC 的面积．14．（2024·辽宁抚顺·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin sin a b A B c C B +-=-．(1)求角A ；(2)若6a =，点M 为ABC的重心，且AM =ABC 的面积．15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 是公差为2的等差数列.(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积.(2)是否存在正整数b ，使得ABC 的外心在ABC 的外部?若存在，求b 的取值集合；若不存在，请说明理由.16．（2024·湖北·模拟预测）已知ABC 的外心为O ，,M N 为线段,AB AC 上的两点，且O 恰为MN 中点.(1)证明：||||||||AM MB AN NC ⋅=⋅(2)若||AO ||1OM =，求AMN ABCS S V V 的最大值.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足3cos 5c a B b =+.(1)求cos A 的值；(2)当BC 与BC 边上的中线长均为2时，求ABC 的周长；(3)当ABC 内切圆半径为1时，求ABC 面积的最小值.18．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos b c a C C +=+.(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 内切圆周长的最大值.19．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知ABC 的周长为20，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (1)若π4C =，7c =，求ABC 的面积；(2)若ABC 7a =，求tan A 的值．20．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23A π=，10b =，6c =，ABC 的内切圆I 的面积为S .(1)求S 的值；(2)若点D 在AC 上，且,,B I D 三点共线，求BD BC ⋅ 的值.21．（2024·贵州·模拟预测）在ABC 中，AB =2AC =，π6C ∠=，N 为AB 的中点，A ∠的角平分线AM 交CN 于点O .(1)求CN 的长；(2)求AOC 的面积.22．（2024·广东梅州·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，ccos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ⊥，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC 的面积ABC S ．23．（2024·甘肃陇南·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知cos cos 3c A a C +=.(1)求b ；(2)D 为边AC 上一点，π26AD DC,DBC ,AB BD =∠=⊥，求BD 的长度和ADB ∠的大小.24．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，2AB CD ==tan2A =，1cos 3ADB ∠=．的值；(1)求cos BDC(2)求BC的长．。

三角形中的特殊模型-燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。

熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)图1图2条件：如图1，凹四边形ABCD ；结论：①∠BCD =∠A +∠B +∠D ；②AB +AD >BC +CD 。

条件：如图2，线段BO 平分∠ABC ，线段OD 平分∠ADC ；结论：∠O =12(∠A +∠C )。

飞镖模型结论的常用证明方法：例1．(2023·重庆·八年级专题练习)请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”1如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．(即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C =180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD +∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，. . . . . .大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB =150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．2(2023·成都市·七年级专题练习)如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC =140°，∠BGC=100°，则∠A=()A.80°B.75°C.60°D.45°3(2023·湖北·八年级专题练习)在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是( )．A.72°B.70°C.65°D.60°4(2023·广东·八年级期中)如图，在三角形ABC中，AB>AC>BC，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.5(2023·福建三明·八年级统考期末)如图1所示的图形，像我们常见的符号--箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：(1)观察“箭头四角形”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；应用：(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在ΔABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=60°，则∠ABX+∠ACX=；②如图°3，∠ABE、∠ACE的2等分线(即角平分线)BF、CF相交于点F，若∠BAC=60°，∠BEC=130°，求∠BFC的度数；拓展：(3)如图4，BO i，CO i分别是∠ABO、∠ACO的2020等分线(i=1，2，3，⋯，2018，2019)，它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、⋯、O2019．已知∠BOC=m°，∠BAC=n°，则∠BO1000C=度．模型2、风筝模型(鹰爪模型)或角内翻模型图1图21)鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2)鹰爪模型(变形)：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。

几种特殊的三角形一、 课前小测（限时5分钟）：1. 一个多边形的内角和是它外角和的3倍，则这个多边形是 边形。

2. 两圆的半径分别是5和8，若两圆相交时，则圆心距d 的取值范围是 。

3. 不等式012>+-x 的解集是 .4. 函数81-=x y 中自变量x 的取值范围是 .5. 已知直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边上的中线长是 。

6. 圆柱体底面半径为2cm ，高为3cm ，则它的侧面积是 .7. 一辆汽车离开A 站走了20千米后，再以50千米/小时的速度前进了t 小时，则这辆汽车离开A 站的距离s （千米）与时间t （小时）之间的函数关系式是 .8. 点P （ – 4，– 7 ）关于 x 轴的对称点的坐标是 。

9. 写出一个图象经过第一、二、四象限的一次函数的解析式是 。

10. 已知x 、y 是实数，且满足( x ＋6 )2＋| y －9 |＝0，则x ＋y 的值是______.二、 本课主要知识点：1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

练习：(1) 已知△ABC 中，AB = AC ，其周长为18cm ，AB = 5cm ，则BC = .(2) 已知等腰三角形的腰长为4cm ，底边长为6cm ，则它的周长为 .(3) 已知等腰三角形的两边长分别为6cm 、3cm ，则它的周长是 .(4) 已知等腰三角形一边长为3，另一边为5，则它的周长是 .2. 等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线。

练习：(1) 已知△ABC 中，AB = AC ，∠C = 50°，则∠B = °.(2) 如图，△ABC 中，AB = AC ，若A D ⊥BC ，则∠1 ∠2，BD CD.(3) 已知等腰三角形的一个底角为45°，则它的顶角为 .(4) 已知等腰三角形的一个角是70°，则其余两个角的度数是 .(5) 已知等腰三角形的一个角是120°，则其余两个角的度数是 .3. 等腰三角形的识别：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

专题11三角形常见模型（热考模型）模型一：飞镖模型模型二：8字模型模型三：角平分线模型模型四：裁剪模型模型五：翻折模型【典例分析】【模型一：飞镖模型】【典例1】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．【解答】解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案为：50；②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【变式1-1】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（）A．20°B．15°C．30°D．25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝40°，∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故选：A．【变式1-2】（2017•东昌府区一模）如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是（）A．33°B．23°C．27°D．37°【答案】B【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠C＝38°，∠A＝37°，∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°，∵∠BDC＝98°，∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．故选：B．【变式1-3】（2021春•工业园区校级月考）如图，点C是∠BAD内一点，连CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：延长BC交AD于E，∵∠BED是△ABE的一个外角，∠A＝80°，∠B＝10°，∴∠BED＝∠A+∠B＝90°，∵∠BCD是△CDE的一个外角∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°，故选：C．【变式1-4】（2021•碑林区校级二模）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD 的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A ＝．【答案】80°【解答】解：连接BC，∵∠BDC＝140°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，∵∠BGC＝110°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．故答案为：80°．【模型二：8字模型】【典例2】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【变式2-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示，∠α的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故选：A．【变式2-2】如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故选：B【变式2-3】已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．【答案】2∠P＝∠B+∠D．【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如图，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D．【变式2-4】在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）∠A+∠D＝∠C+∠B，证明见解析；（3）2∠P＝∠D+∠B，证明见解析．【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠P AB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．【典例3】如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180°B．90°C．270°D．240°【答案】A【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，即五角星的五个内角之和为180°．故选：A．【变式3-1】如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【答案】360．【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案为：360．【变式3-2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案为：360°．【模型三：角平分线模型】【典例4】在△ABC中，∠A＝40°：（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴2∠BOC＝360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴2∠BOC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠BOC＝180°+∠A，∴∠BOC＝90°+∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝110°；（2）∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．∠BOC＝90°﹣∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝70°．（3）∵∠OCD＝∠BOC+∠OBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠BOC+2∠OBC＝∠ABC+∠A，∴2∠BOC＝∠A，即∠BOC＝∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝20°；（4）∠BOC＝90°+n；∠BOC＝90°﹣n；∠BOC＝n．【变式4-1】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P 和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明过程见解答；（2）∠P＝A．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【变式4-2】在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）2α﹣180°；（2）∠BPC+∠Q＝180°，证明见解析．【解答】（1）解：如图①∵BP，CP分别平分∠ABC与∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝ACB，∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）∴∠BPC＝180°（∠ABC+∠ACB）∴∠BPC＝180°（180°﹣∠A），∴∠BPC＝90°∠A，∵∠BPC＝α，∴∠A＝2α﹣180°．故答案为2α﹣180°．（2）∠BPC+∠Q＝180°．证明：如图②∵BQ，CQ分别平分∠MBC，∠NCB，∴∠QBC＝∠CBM，∠BCQ＝∠BCN，∴∠QBC+∠QCB＝（∠CBM+∠BCN）∴∠QBC+∠QCB＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝（180°+∠A）∴∠QBC+∠QCB＝90°∠A，∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，∵∠BPC＝90°∠A，∴∠BPC+∠Q＝180°．【模型四：裁剪模型】【典例5】如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝240°，则∠A等于（）A．45°B．60°C．75°D．80°【答案】B【解答】解：∵∠1+∠2＝240°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝120°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝60°，故选：B．【变式5-1】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝（）°．A．90B．135C．180D．270【答案】D【解答】解：∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣90°）＝270°，故选：D．【变式5-2】如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．150°D．270°【答案】D【解答】解：∠CDE＝180°﹣∠1，∠CED＝180°﹣∠2，在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠C＝180°，所以，180°﹣∠1+180°﹣∠2+90°＝180°，所以，∠1+∠2＝270°．故选：D．【变式5-3】如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC中，∠C＝50°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，故答案为：230°．【模型五：翻折模型】【典例6】我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．（1）如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'＝58°，则∠C＝，可以发现∠ADC'与∠C的数量关系是；（2）如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度数；（3）如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，请求出∠C与x，y之间的数量关系．【答案】（1）29°，∠ADC'＝2∠C；（2）31°；（3）∠C＝x﹣y．【解答】解：（1）∵∠ADC′＝58°，∴∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝122°，由折叠得：∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝61°，∠DEC＝∠DEC′＝×180°＝90°，∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝29°，∴∠ADC'与∠C的数量关系：∠ADC'＝2∠C．故答案为：29°，∠ADC'＝2∠C；（2）∵∠BEC′＝42°，∠ADC′＝20°，∴∠CEC′＝180°﹣∠BEC′＝138°，∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝160°，由折叠得：∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝80°，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝69°，∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝31°，∴∠C的度数为31°；（3）如图：∵∠BEC′＝x，∠ADC′＝y，∴∠CEC′＝180°﹣x，∠1＝180°+∠ADC′＝180°+y，由折叠得：∠CDE＝∠C′DE＝∠1＝90°+y，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝90°﹣x，∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝180°﹣（90°+y）﹣（90°﹣x）＝x﹣y，∴∠C与x，y之间的数量关系：∠C＝x﹣y．【变式6-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠B＝65°，则∠ADE的大小为（）A．40°B．50°C．65°D．75°【答案】A【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，∴∠A＝90°﹣65°＝25°，根据折叠可得∠CED＝∠B＝65°，∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，故选：A．【变式6-2】如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落在点A'处，若∠B＝44°，则∠A'DB的度数是（）A．108°B．104°C．96°D．92°【答案】D【解答】解：∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，∴∠ADE＝∠B＝44°，∴∠A′DE＝∠ADE＝44°，∴∠A′DB＝180°﹣44°﹣44°＝92°，故选：D．【变式6-3】如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（）A．40°B．100°C．140°D．160°【答案】C【解答】解：连接AA′．∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，∵∠EAD＝∠EA′D，∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，∴∠EAD＝40°，∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，故选：C．【夯实基础】1．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，则∠A的度数为（）A．60°B．80°C．70°D．45°【答案】C【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．故选：C．2．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE平分∠CDB，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠A的度数等于（）A．70°B．100°C．110°D．120°【答案】A【解答】解：∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵∠BDE＝60°，∴∠CDE＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDE﹣∠CDE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：A．3．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∠A＝40°，则∠BDC的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°第6题图【答案】A【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．故选：A．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC 边上的点E处．若∠A＝24°，则∠EDC等于（）A．69°B．67°C．66°D．42°【答案】A【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝24°，∴∠B＝90°﹣∠A＝66°．由折叠的性质可得：∠BCD＝∠ACB＝45°，∴∠BDC＝∠EDC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝69°．故选：A．5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC 边上的点E处．若∠A＝22°，则∠EDA等于（）A．46°B．56°C．36°D．77°【答案】A【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∴∠EDA＝∠CED﹣∠A＝46°，故选：A．6．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D【解答】解：在△ADE中，∠A＝30°，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，由折叠可知：∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED，∴∠1+∠2＝360°﹣∠A'DE﹣∠ADE﹣∠A'ED﹣∠AED＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2×150°＝60°．故选：D．7．在直角△ABC中，∠C＝90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．故答案是：270°．8．如图，在△ABC中，∠C＝40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC中，∠C＝40°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝140°，∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣140°＝220°，故答案为：220°．9．有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC中，若∠1＝165°，则∠2的度数为°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠B＝90°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝90°，又∵∠BDE+∠2＝180°，∠BED+∠1＝180°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠BDE+∠BED）＝270°．∵∠1＝165°，∴∠2＝105°．故答案为：105．10．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝28°，则∠A的度数为．【答案】26°．【解答】解：如图，由折叠的性质可知∠A'＝∠A，∵∠1＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠2+∠A'，∴2∠A+∠2＝∠1，∵∠1＝80°，∠2＝28°，∴∠A＝26°，故答案为：26°．11．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为．【答案】100°．【解答】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，∵∠BA'C＝115°，∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣115°＝65°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×50°＝100°，故答案为：100°．12．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知：∵∠2是三角形的外角，∴∠2＝∠A+∠1，同理∠1也是三角形的外角，∴∠1＝∠E+∠C，在△BDF中，∠B+∠D+∠2＝180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．13．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；②若∠D＝40°，∠B＝50°，试求∠P的度数；③若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；④若∠D和∠B为任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①6；②45°；③∠B+∠D＝2∠P；④2∠B+∠D＝3∠P．【解答】解：（1）∵∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，∠B+∠C＝180°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；故答案为∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①以M为交点的有1个，为△AMD和△CMP，以O为交点的有4个，为△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，△AOM和△CON，以N为交点的有1个，为△ANP和△BNC，故答案为6个；②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P，∴∠P＝＝45°；③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下：∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P；④2∠B+∠D＝3∠P，理由如下：由（1）中结论得：∠2+∠P＝∠4+∠B，3∠2+∠D＝3∠4+∠B，整理得：2∠B+∠D＝3∠P．14．“8字”的性质及应用：（1）如图①，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）图②中共有多少个“8字”？（3）如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明∠E＝（∠A+∠C）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）图②中有：ABCD、BECD、ABED，BFDC、BFDH、ABHD6个“8字”；（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠E＝（∠A+∠C）．15．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：．（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．【答案】（1）EF＝EB+FC；（2）EF＝BE﹣CF．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，FC＝FO，∵EF＝EO+FO，∴EF＝EB+FC，故答案为：EF＝EB+FC；（2）EF＝BE﹣CF，理由是：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EBO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得：FO＝CF，∵EF＝EO﹣FO，∴EF＝BE﹣CF【能力提升】16．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，∴2∠A1CD＝∠A+2∠A1BC，即∠A1CD＝∠A+∠A1BC，∴∠A1＝＝，由此可得∠A2010＝．故答案为：，．17．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】（1）证明见解析过程；（2）260°；（3）①110°，②4∠P＝∠B+3∠C，理由见解析过程．【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D ＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2所示，∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D＝∠3，∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°，∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，∵∠B+∠C＝∠1＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案为：260°．（3）①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴4∠P＝∠B+3∠C．18．如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠A＝40°，则∠BOC＝．若∠A＝60°，则∠BOC ＝．若∠BOC＝3∠A，则∠BOC＝．（2）如图②，在△A′B′C′中的外角平分线相交于点O′，∠A＝40°，则∠B′O′C′＝（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？（4）如图③，△A″B″C″的内角∠ACB的外角平分线与∠ABC的内角平分线相交于点O″，∠BOC与∠B″O″C″有怎样的数量关系？若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B″O″C″是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？【答案】（1）110°，60°，108°；（2）70°；（3）∠BOC+∠B′O′C′＝180°；（4）∠BOC﹣∠B″O″C″＝90°．【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝×140°＝70°，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝110°，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝×120°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°；∵设∠A＝x°，则∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣x°）＝90°﹣x°，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣x°）＝90°+x°，∵∠BOC＝3∠A，∴3x＝90+x，x＝36，即∠BCO＝3x°＝108°；故答案为：110°，60°，108°；（2）如图2，∵∠A′＝40°，∴∠A′B′C′+∠A′C′B′＝180°﹣40°＝140°，∴∠MB′C′+NC′B′＝360°﹣140°＝220°，∵B′O′、C′O′分别平分∠MB′C′，∠NC′B′，∴∠1＝∠MB′C′，∠2＝∠NC′B′，∴∠1+∠2＝110°，∴∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°；（3）图1和图2的∠BOC+∠B′O′′＝180°（当∠A＝∠A′时）；图1中∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，图2中∠B′O′′＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（∠MB′C′+∠NC′B′）＝180°﹣[360°﹣（∠A′B′C′+∠A′C′B′）]＝（180°﹣∠A′）＝90°﹣∠A′，∵∠A＝∠A′＝n°，∴∠BOC+∠B′O′C′＝180°（4）∵∠A″C″M＝2∠2＝∠A″+∠A″B″C″，∠2＝∠O″+∠1，∵C″D″平分∠A″C″M，B″O″平分∠A″B″C″∴∠A″C″M＝2∠2，∠A″B″C″＝2∠1，∴∠A″＝2∠O″＝n°，∴∠B″O″C″＝∠A″，∵∠BOC＝90°+∠A，∠A＝∠A′＝n°∴∠BOC﹣∠B″O″C″＝90°．19．已知△ABC中，∠A＝x°（1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用x表示∠BOC ＝°（2）如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C＝°（3）如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、O n﹣1，则用x表示∠BO1C＝°【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，∴2∠OBC＝∠ABC，2∠OCB＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，∵∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A，∵∠A＝x°，∴∠BOC＝（90+x）°；。

特殊三角形二十个考点归纳总结考点1轴对称图形的识别解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折丧，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形.例题1 2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情.一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员 驰援武汉.下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（ ）功盘 ⑥曲A.协和医院B.湘雅医院C.齐鲁医院D.华西医院【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可.【解析】工、不是轴对称图形，故此选项不合题意：不是轴对称图形，故此选项不符合题意：C 、是轴对称图形，故此选项符合题意；。

、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C.变式1 下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（ ）【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答.【解析】第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，故选：C.【小结】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合. 变式2 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ）A A ® A 当心辐射I I 当心感染I I 必须戴防护手套］I 小心腐蚀A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可.【解析】第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形，则不是轴对称图形的有2个，故选：B.【小结】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念.变式3 下列图形中，是轴对称图形的有（）个.①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案.【解析】①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形中只有平行四边形不是轴对称图形.故轴对称图形有6个.故选：C.【小结】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键.考点2轴对称的性质与运用轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.例题2 如图，尸为内一点，分别画出点尸关于。

特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。

特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。