几种特殊的三角形
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爆炸三角形的原理及应用一、爆炸三角形的概述•爆炸三角形是一种基于爆炸原理的特殊形状结构,由三个爆炸点构成的三角形所组成。
•爆炸三角形具有特殊的爆炸效果和应用场景,被广泛应用于军事、民用等领域。
二、爆炸三角形的原理1.爆炸三角形的结构–爆炸三角形由三个爆炸点组成,分别位于一个三角形的角上。
–爆炸点之间通过导线或者其他介质连接。
–每个爆炸点上都有爆炸装置。
2.爆炸三角形的爆炸原理–爆炸三角形通过同时引爆三个爆炸点上的装置,使得爆炸点产生爆炸。
–三个爆炸点之间的爆炸波相互叠加,形成了一个特殊的爆炸效果,被称为爆炸三角形效果。
三、爆炸三角形的应用1.军事应用–爆炸三角形可以作为一种特殊的爆破手段,用于破坏敌方设施、摧毁敌方防线。
–通过合理设计爆炸三角形的结构和布局,可以实现更高效、精确的爆破效果。
2.民用应用–爆炸三角形可以应用于采矿、建筑拆除等领域。
–在采矿中,爆炸三角形可以用于石头或者岩石的炸裂和破碎,提高采矿效率。
–在建筑拆除中,爆炸三角形可以用于精确控制拆除范围和方式,减少对周围环境的影响。
3.其他应用–爆炸三角形还可以应用于电子产品的毁灭,确保信息安全。
–在某些特殊领域,如舞台演出、电影特效等,爆炸三角形可以创造出非常震撼的视觉效果。
四、爆炸三角形的优点1.爆炸效果明显–爆炸三角形由三个爆炸点组成,爆炸波的叠加效果使得爆炸效果更加明显,能够实现更高的破坏力。
2.应用灵活多样–爆炸三角形可以根据具体需求进行设计和应用,适用于多种场景和领域。
–通过合理的结构和布局设计,可以实现不同的爆炸效果和控制范围。
3.控制精确可靠–爆炸三角形可以通过精确的引爆装置和导线控制,实现爆炸效果的精确控制,确保安全可靠。
五、结论•爆炸三角形是一种基于爆炸原理的特殊形状结构,通过引爆三个爆炸点上的爆炸装置,实现爆炸效果的叠加。
•爆炸三角形可以应用于军事、民用等领域,在破坏、拆除、安全等方面发挥重要作用。
•爆炸三角形具有爆炸效果明显、应用灵活多样、控制精确可靠等优点。
黄金三角形及其应用
黄金三角形是指一种特殊的三角形,其两边长度之比等于黄金分割比例(约为1:1.618),而第三边长度则为两者之和。
黄金三角形在建筑、美术和设计等领域中被广泛应用。
在建筑设计中,黄金三角形常常被用来布局建筑。
例如,在某个房间里,可以将墙面分为两个黄金三角形,然后将家具、装饰摆放于其中,以营造出一种美感和平衡感。
此外,一些建筑也采用了黄金三角形的比例,如埃及金字塔和巴洛克风格的建筑等。
在美术领域,黄金三角形也被广泛应用于构图。
艺术家可以通过将画面分为黄金三角形来组织画面的元素和空间,以达到一种和谐、美观的效果。
在设计领域,黄金三角形被用来设计产品、网页和广告等。
例如,在网页设计中,黄金三角形可以帮助设计师塑造用户界面的布局,以提高用户体验和美观度。
总之,黄金三角形是一种被广泛应用于建筑、美术和设计等领域的比例关系,它不仅美观,而且有助于提高作品的品质和受众体验。
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特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位,不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形,它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础,必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解,旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形,其中相等的两条边分别叫做腰,另一条边叫做底边,两腰的夹角叫顶角,腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形,顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等,即在同一个等腰三角形中,等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和高线互相重合,简称等腰三角形的三线合一1.(定义法)有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,即,在同一个三角形中,等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形,它是特殊的等腰三角形,也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等,且为60°2.等边三角形是轴对称图形,且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线,高线和所对角的角平分线三线合一,他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形,即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理逆定理)2、等腰三角形(1)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。
等边直角三角形30度60度90度三边比例1. 引言等边直角三角形是一种特殊的直角三角形,其特点是有一个内角为90度,并且另外两个内角相等,为30度和60度。
本文将介绍等边直角三角形的性质和特点,以及它的三边比例。
2. 等边直角三角形的性质与特点2.1 内外角关系在等边直角三角形中,由于一个内角为90度,另外两个内角分别为30度和60度,根据三角形内部的夹角和定理可知,这两个内角对应的外角分别为150度和120度。
2.2 边长关系由于等边直角三角形的另外两个内角相等且为30度和60度,根据正弦定理和余弦定理可得到以下关系:•较短边与斜边之间的关系:设斜边长度为x,则短边长度为x*sin(30°);•较长边与斜边之间的关系:设斜边长度为x,则长边长度为x*sin(60°);•短边与长边之间的关系:设短边长度为a,则长边长度为a*√3。
2.3 面积关系等边直角三角形的面积可以通过两个边长之积再除以2来计算,即S = (a * b) / 2,其中a和b分别为两个直角边的长度。
根据2.2节中的边长关系,可以得到等边直角三角形面积的计算公式为S = (x * x * sin(30°) * sin(60°)) / 2。
3. 等边直角三角形的三边比例在等边直角三角形中,根据2.2节中的边长关系,可以得到三条边的比例关系:•较短边与斜边之间的比例:短边长度 / 斜边长度= sin(30°);•较长边与斜边之间的比例:长边长度 / 斜边长度= sin(60°);•短边与长边之间的比例:短边长度 / 长半径= sin(30°)。
综上所述,等边直角三角形的三条边之间具有以下比例关系:•短半径 : 长半径 : 斜半径= sin(30°) : sin(60°) : 1;•短半径 : 长半径= sin(30°) : sin(60°);•短半径 : 斜半径= sin(30°) : 1。
三角形的分类三角形是几何学中最常见和最基本的图形之一。
根据其特性,三角形可以分为不同的类型。
以下是三角形的一些主要分类:1等边三角形:三条边都相等的三角形称为等边三角形。
这种三角形的所有角都是相等的,每个角都是60度。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
2等腰三角形:有两条边长度相等的三角形称为等腰三角形。
这种三角形的两个底角是相等的,顶角与两个底角的和加起来等于180度。
直角三角形:有一个角是90度的三角形称为直角三角形。
这种三角形的斜边长等于其两条直角边的平方和的平方根。
直角三角形的一个锐角是45度。
钝角三角形:有一个角大于90度的三角形称为钝角三角形。
这种三角形的钝角对应的边比其他两边长。
锐角三角形:所有角都小于90度的三角形称为锐角三角形。
这种三角形的所有边都相等。
斜三角形:三条边长度不相等的三角形称为斜三角形。
斜三角形可以进一步分为钝角斜三角形和锐角斜三角形,取决于其最大的角是钝角还是锐角。
这些分类可以根据三角形的不同特性进行进一步的细分。
例如,等腰三角形可以进一步分为等边等腰三角形和底角与顶角不相等的等腰三角形等。
还有等腰直角三角形等腰钝角三角形等特殊形式。
三角形的分类对于理解几何学中的基本概念和性质非常重要。
通过掌握不同类型的三角形的特性和关系,我们可以更好地理解几何学中的基本原理和应用。
三角形是数学几何中一个非常基础且重要的概念,而三角形的分类也是学生需要掌握的一项重要技能。
根据边长和角的特征,三角形可以分为以下几类:等边三角形等腰三角形、直角三角形和普通三角形。
等边三角形是一种三边长度相等的三角形,其中三个角的大小也相等。
等边三角形的判定方法是:如果一个三角形的三边长度相等,那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形是一个特殊的等腰三角形。
等腰三角形是一种两边长度相等的三角形,其中两个角的大小也相等。
等腰三角形的判定方法是:如果一个三角形有两条边的长度相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
直角三角形的特征直角三角形的定义和特征直角三角形是一种特殊的三角形,其定义在几何学中被广泛应用和研究。
本文将介绍直角三角形的定义和特征,以及与其相关的性质和定理。
一、直角三角形的定义
直角三角形是指一个三角形内,其中一个角是90度(即直角)的三角形。
直角三角形是三角形中最常见的一种形态,也是最为重要的一种类型。
二、直角三角形的特征
直角三角形的特征包括以下几个方面:
1. 定义特征:直角三角形必须含有一个90度的角,这是直角三角形与其他三角形的最基本区别。
2. 边长关系:在直角三角形中,直角边是与直角相邻的两条边,而斜边是直角边之间的另外一条边。
根据勾股定理,直角三角形两直角边的长度平方之和等于斜边长度的平方。
这个定理被广泛应用于数学和物理等领域的问题中。
3. 比例关系:直角三角形中,两个直角边的比例是固定的。
根据相似三角形的性质,如果两个直角三角形的一个角相等,那么它们的两个直角边的比例也相等。
4. 角度关系:直角三角形中,其他两个角的度数之和必为90度。
其中一个角是90度,那么另外两个角的度数之和必为90度。
5. 独特特征:直角三角形是三角形中最为独特的一种,它的直角边和斜边相互关联,形成了特殊的角度和边长关系。
直角三角形的独特性质使得它在几何学和工程学中有广泛的应用。
总结:
直角三角形是一种具有90度角的三角形,其特征包括边长关系、比例关系和角度关系。
直角三角形的特殊性质使得它在数学和实际应用中具有重要意义。
对于学习几何学的学生来说,理解和掌握直角三角形的定义和特征是非常重要的。
五种特殊的等腰三角形(一)顶角是36°的等腰三角形1、如图,△ABC中,①AB=AC,②∠A=36°,点D在AC上,且③BD平分∠ABC,问:图中有几个等腰三角形?或者说明④AD=BD=BC;2、如图,△ABC中,①AB=AC,②∠A=36°,点D在AC上,且④AD=BD=BC;问:说明③BD平分∠ABC;3、如图,△ABC中,①AB=AC,点D在AC上,且③BD平分∠ABC;④AD=BD=BC;问:说明②∠A=36°4、如图,△ABC中,②∠A=36°,点D在AC上,且③BD平分∠ABC, ④AD=BD=BC;问:图中有几个等腰三角形?或者说明①AB=AC;(二)顶角是60°的等腰三角形1、如图,△ABC中,AB=BC=AC,点D在AB上,且CD⊥AB,延长CD至E,使ED=CD,连结AE,问:(1) ∠ACD=∠BCD吗?说明理由;(2)AD=BD吗?说明理由;(3)AE=AC吗?说明理由;2、如图,△ABC中,AB=BC=AC,点D在AB上,且AD=BD,延长CD至E,使ED=CD,连结AE,问:(1) ∠ACD=∠BCD吗?说明理由;(2)CD⊥AB吗?说明理由;(3)AE=AC吗?说明理由;3、如图,△ABC中,AB=BC=AC,点D在AB上,且∠ACD=∠BCD ,延长CD至E,使ED=CD,连结AE,问:(1) AD=BD 吗?说明理由;(2)CD⊥AB吗?说明理由;(3)AE=AC吗?说明理由;(三)顶角是90°的等腰三角形1、如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥BC于E,DF∥AB交BC于F,问:(1)AD=ED吗?说明理由;(2)FB=FD吗?说明理由;2、如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,试说明:(1)、AD=DB=DC,∠BAD=∠CAD;(2)、DE=DF;(3)、AE=AF;BE=CF;3如图,△ABC中,①∠A=90°,②AB=AC,试说明③∠B=∠C=45°4如图,△ABC中,①∠A=90°,③∠B=45°或∠C=45°,试说明②AB=AC;5、如图,△ABC中,③∠B=∠C=45°,试说明①∠A=90°;②AB=AC。
30度和60度的直角三角形特点直角三角形是一种特殊的三角形,其中一个角度为90度。
在直角三角形中,有两个特殊的角度是30度和60度。
这两个角度是特殊的,因为它们具有一些独特的性质和特点。
下面我将详细解释这两个角度的特点,并进行扩展描述。
我们来看看30度角。
在一个直角三角形中,当一个角度为30度时,另一个角度必然是60度,因为三角形的三个角度之和为180度。
30度角的特点是它是一个锐角,即小于90度的角度。
在30度角中,直角的边长比较小,而斜边的长度比较长。
这意味着在一个30度角的直角三角形中,直角边相对较短,而斜边相对较长。
此外,30度角的正弦、余弦和正切值可以通过特殊角度的三角函数值来表示。
例如,sin(30°)=1/2,cos(30°)=√3/2,tan(30°)=1/√3。
接下来,我们来看看60度角。
与30度角相反,在一个直角三角形中,当一个角度为60度时,另一个角度必然是30度。
60度角的特点是它是一个锐角,与30度角一样,也是小于90度的角度。
在60度角中,直角边的长度比较长,而斜边的长度比较短。
这意味着在一个60度角的直角三角形中,直角边相对较长,而斜边相对较短。
与30度角一样,60度角的正弦、余弦和正切值也可以通过特殊角度的三角函数值来表示。
例如,sin(60°)=√3/2,cos(60°)=1/2,tan(60°)=√3。
除了上述的特点,30度角和60度角也有一些其他的特性。
例如,它们是等边三角形内角的一半。
在一个等边三角形中,所有的角都是60度,因此等边三角形可以被看作是由两个30度角组成的直角三角形。
同样地,在一个正六边形中,内角也是30度,因此正六边形可以被看作是由两个30度角组成的直角三角形。
这些特性展示了30度角和60度角在几何形状中的重要性。
30度角和60度角也有一些实际应用。
在建筑、设计和工程中,这两个角度经常被用于测量和绘图。
正方体中的等边三角形-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正方体是一种特殊的立方体,它具有六个面,每个面都是一个正方形。
等边三角形是一种具有三条边长度相等的三角形。
本文将对正方体中存在的等边三角形进行深入研究。
正方体作为一个几何体,在数学和几何学中具有重要的地位。
它不仅在自然界中随处可见,如骰子、沙漏等形状,也广泛应用于建筑、工程和科学研究中。
对正方体的研究有助于我们更好地理解空间、尺寸和几何关系。
等边三角形作为一种特殊的三角形,具有独特的属性和性质。
其中最重要的性质是三条边的长度相等,且每个角均为60度。
等边三角形在数学和物理学中有广泛的应用,例如在计算三角函数、解决力学问题和构建稳定结构等方面。
本文将首先介绍正方体的特性,包括其形状、面积、体积等基本概念。
然后,将探讨等边三角形的性质,如角度关系、边长计算等。
在此基础上,我们将进一步研究正方体中存在的等边三角形,并给出相关结论。
最后,我们将对整篇文章进行总结,强调正方体中等边三角形的重要性和应用前景。
通过对正方体中的等边三角形进行深入研究,我们可以更好地理解正方体的特性和几何关系,并将其应用于实际问题中。
本文旨在为读者提供关于正方体和等边三角形的全面而深入的知识,以期增加对几何学的理解和应用能力。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和布局进行描述。
以下是一个可能的内容示例:在本文中,我将首先介绍正方体的特性,包括它的定义、性质和结构。
然后,我将探讨等边三角形的性质,包括其定义、构造和性质。
紧接着,我将通过定理和证明,讨论正方体中存在的等边三角形的情况。
最后,我将总结文章的主要结论,并提出一些思考和展望。
通过上述文章结构,读者将能够清楚地了解本文的组织和内容安排。
首先,我们将介绍正方体的特性,为后续讨论提供基础知识。
接着,我们将深入探讨等边三角形的性质,帮助读者更好地理解正方体中的等边三角形。
随后,我们将阐述正方体中存在的等边三角形的情况,并提供相应的证明和解释。
六十度角直角三角形三边关系
六十度角直角三角形是一种特殊的三角形,其中一个角为60度,另一个角为90度。
在这种三角形中,三条边之间有特殊的关系。
第一条边是斜边,它是直角三角形的最长边,同时也是六十度角所对的边。
第二条边是短边,它是直角三角形的最短边,同时也是六十度角的一条边,长度为斜边的一半。
第三条边是长边,它是六十度角的另一条边,长度为斜边的根号三倍。
这些关系可以用以下公式总结:
斜边 = 2 * 短边
长边 = 斜边 * 根号3
这些关系对于解决三角形问题非常有用。
例如,如果我们知道短边的长度,可以很容易地计算出斜边和长边的长度。
总之,六十度角直角三角形的三条边之间有着特殊的关系,这些关系可以用简单的公式来描述,对于解决三角形问题非常有用。
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Rt三角形表示的为直角三角形
拓展:
直角三角形(right triangle 缩写Rt三角形)是一个几何图形,是有一个角为直角的三角形,有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。
其符合勾股定理,具有一些特殊性质和判定方法。
等腰直角三角形是一种特殊的三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质:具有稳定性、内角和为180°。
两直角边相等,两锐角为45°,斜边上中线,角平分线、垂线三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。
钝角三角形的高钝角三角形是一种特殊的三角形,它的任意一个内角都大于90度,而在这种三角形中,我们也可以计算出它的高。
所谓的三角形高,是指从一个顶点下降到对边线上的一条垂线,也就是垂足到对边线的距离。
在钝角三角形中,我们可以轻松地计算出高的长度,并且用一些简单的公式来进行求解。
如果我们想要计算出钝角三角形的高,我们需要先找到这个三角形的两条边。
我们可以选择任何一对边,只要它们不是相邻的两边就可以了。
然后,我们需要根据这两条边的大小关系,来确定高所在的那条边。
如果一条边比另一条边长,那么垂足一定在较短的那条边上。
反之,如果一条边比另一条边短,那么垂足就会在较长的那条边上。
举个例子来说明,假设我们有一个钝角三角形ABC,角A是钝角,边AB和AC分别是这个三角形的两条边。
那么,我们需要先比较AB和AC的大小关系。
如果AB比AC长,那么垂足D就位于AC上;如果AC比AB长,那么垂足D就位于AB上。
一般来说,在钝角三角形中,如果我们已知这个三角形的两条边的长度,还有其中一个角的大小,我们就可以计算出这个三角形的高。
具体来说,我们可以使用以下的公式来进行求解:$H=\frac{2A}{B}$其中,H代表高的长度,A代表三角形面积,B代表垂直于高的那条边的长度。
在使用这个公式的时候,我们需要先计算出这个三角形的面积。
这可以通过以下的公式来计算:$A=\frac{1}{2}bh$其中,b代表垂直于高的那条边的长度,h代表高的长度。
一旦我们计算出了这个三角形的面积,再带入到之前的公式中,就可以计算出高的长度了。
需要注意的是,在使用这个公式的时候,我们必须将垂直于高的那条边的长度赋值给B,而不是高的长度。
这个公式的原理是这样的:我们可以将这个钝角三角形划分为一个直角三角形和一个矩形。
直角三角形的面积就是我们计算出的三角形面积A,而矩形的面积就是B×H。
那么,这个三角形的面积就等于这个矩形的面积加上直角三角形的面积,也就是A+BH。
相似三角形的特例:全等三角形在数学的广袤天地中,三角形的世界充满了奇妙与规律。
而相似三角形如同一个大家族,其中有一个特殊且至关重要的成员——全等三角形。
相似三角形,指的是对应角相等,对应边成比例的三角形。
当这个比例达到 1:1 时,相似三角形就演变成了全等三角形。
全等三角形具有极其重要的地位,它不仅是几何学习中的基础,也是解决众多几何问题的关键钥匙。
全等三角形的定义清晰而明确:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
这意味着它们的三条边长度完全相同,三个角的度数也分毫不差。
想象一下,将两个全等三角形叠放在一起,它们会完美地契合,没有一丝缝隙。
全等三角形有许多显著的性质。
首先,全等三角形的对应边相等。
比如,若△ABC 全等于△DEF,那么 AB 就等于 DE,BC 等于 EF,AC 等于 DF。
其次,对应角也相等,∠A 等于∠D,∠B 等于∠E,∠C 等于∠F。
这些性质是我们判断两个三角形是否全等的重要依据,也是后续进行推理和计算的基石。
判定两个三角形全等的方法多种多样。
第一种是“边边边”(SSS),即如果两个三角形的三条边分别相等,那么这两个三角形全等。
这就好像我们在比较两根长度完全相同的木棍,只要长度一致,它们就是完全一样的。
第二种是“边角边”(SAS),当两个三角形的两条边及其夹角分别相等时,它们全等。
可以想象一下,一个三角形的两条边和它们之间的夹角固定了,这个三角形的形状和大小也就确定了。
第三种是“角边角”(ASA),两角及其夹边相等的三角形全等。
这就好比我们确定了一个三角形的两个角和它们之间的边,那么这个三角形也就唯一确定了。
还有“角角边”(AAS),两个角和其中一个角的对边相等的三角形全等。
全等三角形在实际生活中有着广泛的应用。
比如在建筑领域,工程师们需要确保建筑物的结构稳定和精确,他们会运用全等三角形的原理来测量和计算角度、长度等参数。
在制造业中,为了生产出形状和尺寸完全相同的零部件,也需要依靠全等三角形的知识来进行设计和质量检测。
等边三角形是一种特殊的三角形,它的三条边长度相等,三个角大小相等,每个角都是60度。
等边三角形也是最稳定的结构之一,因此在建筑、工程和几何等领域有广泛应用。
在文学作品中,等边三角形可以象征着一种平衡、稳定和完美。
例如,在爱情小说中,三个角色之间互相喜欢,形成了一个等边三角形的恋爱关系,这种关系被描述为稳定、平衡和完美。
此外,等边三角形也可以象征着一种规则、规律和秩序,因为它的三条边长度相等,角度相等,代表着一种规则和秩序。
总之,等边三角形在文学中可以作为一种象征或隐喻,代表平衡、稳定、完美、规则和规律等意义。
3.2.2 几种特殊的三角形(十二讲)
等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC 中,三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上. 例5 在ABC 中,3, 2.AB AC BC ===求 (1)ABC 的面积ABC S 及AC 边上的高BE ; (2)ABC 的内切圆的半径r ; (3)ABC 的外接圆的半径R . 解 (1)如图,作AD BC ⊥于D .
,AB AC D =∴ 为BC 的中点,
2222,
1
2222 2.
2ABC AD AB BD S ∴=-=∴=⨯⨯= 又1,2ABC S AC BE =
⋅ 解得423
BE =. (2)如图,I 为内心,则I 到三边的距离均为r ,
连,,IA IB IC ,
ABC IAB IBC IAC S S S S =++ , 即111
22222
AB r BC r CA r =⋅+⋅+⋅, 解得22
r =
. (3)ABC 是等腰三角形, ∴外心O 在AD 上,连BO ,
则Rt OBD 中,,OD AD R =-222,OB BD OD =+
222(22)1,R R ∴=-+解得92
.8
R =
在直角三角形ABC 中,A Ð为直角,垂心为直角顶点A , 外心O 为斜边BC
的中点,内心I 在三角形的内部,且内切圆的半径为2
b c a
+-(其中,,a b c 分别为
三角形的三边BC ,CA ,AB 的长),为什么?
该直角三角形的三边长满足勾股定理:222AC AB BC +=.
图3.2-10
图3.2-13
图3.2-11
图3.2-12
例6 如图,在ABC V 中,AB =AC ,P 为BC 上任意一点.求证:22AP AB PB PC =- . 证明:过A 作AD BC ^于D . 在Rt ABD V 中,222AD AB BD =-. 在Rt APD V 中,222AP AD DP =-.
22222()().AP AB BD DP AB BD DP BD DP \=-+=-+-
,,AB AC AD BC BD DC =^\=Q . BD DP CD DP PC \-=-=.
22AP AB PB PC \=- .
正三角形三条边长相等,三个角相等,且四心(内心、重心、垂心、外心)合一,该点称为正三角形的中心.
例7 已知等边三角形
ABC 和点P ,设点P 到三边AB ,AC ,BC 的距离分别为123,,h h h ,三角形ABC 的高为h ,
“若点P 在一边BC 上,此时30h =,可得结论:123h h h h ++=.”
请直接应用以上信息解决下列问题: 当(1)点P 在ABC V 内(如图b ),(2)点在ABC V 外(如图c),这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,123,,h h h 与h 之间有什么样的关系,请给出你的猜想(不必证明). 解 (1)当点P 在ABC V 内时,
法一 如图,过P 作''B C 分别交,,AB AM AC 于',','B M C ,
由题设知'AM PD PE =+, 而'AM AM PF =-,
故PD PE PF AM ++=,即123h h h h ++=. 法二 如图,连结,
ABC PAB PAC PBC S S S S =++V V V V Q ,
111
1
222
2
BC AM AB PD AC PE BC PF \
??? , 又AB BC AC ==, AM PD PE PF \=++,即123h h h h ++=.
图3.2-14
图3.2-15
图3.2-16
图3.2-17
(2)当点P 在ABC V 外如图位置时,123h h h h ++=不成立,猜想:123h h h h +-=. 注意:当点P 在ABC V 外的其它位置时,还有可能得到其它的结论,如
123h h h h -+=,123h h h h --=(如图3.2-18,想一想为什么?)等.
在解决上述问题时,“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵活地运用了面积的方法.
练习2
1.直角三角形的三边长为3,4,x ,则x =________.
2.等腰三角形有两个内角的和是100°,则它的顶角的大小是_________.
3.满足下列条件的ABC V ,不是直角三角形的是( ) A .222b a c =- B .C
A B ??
C .::3:4:5A B C 行?
D .::12:13:5a b c =
4.已知直角三角形的周长为33+,斜边上的中线的长为1,求这个三角形的面积.
5.证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.
练习2
1.5或7 2.20o
或80o
3.C
4.设两直角边长为,a b ,斜边长为2,则13a b +=+,且22
4a b +=,解得3ab =,
1
232
S ab ∴==. 5.可利用面积证.
图3.2-18。