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幂零矩阵的定义在线性代数中，幂零矩阵是一种特殊类型的方阵。
它具有一些独特的性质和特征，对于理解线性代数中的各种概念和定理具有重要意义。
幂零矩阵的定义幂零矩阵是一个方阵，其所有元素的幂次均为零。
换句话说，对于一个n×n的幂零矩阵A，对于任意i和j（1 ≤ i, j ≤ n），A的第i行第j列元素aij满足aijk=0，其中k是一个大于等于1的整数。
可以用符号表示一个幂零矩阵：A = [aij] = ⎡⎡⎡⎡⎡⎡ a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … aNN ⎡⎡⎡⎡⎡⎡其中每个元素满足aijk=0。
幂零矩阵的性质幂零矩阵具有以下重要性质：1. 幂零性质幂零矩阵的定义表明，对于幂零矩阵A中的任意元素aij，存在一个正整数k，使得aijk=0。
这意味着幂零矩阵的每个元素都有一个幂次，使得它等于零。
2. 幂零指数最小对于一个给定的幂零矩阵A，存在一个最小的正整数k，使得所有元素aijk=0。
这个最小的正整数k被称为该幂零矩阵的指数。
指数越小，说明矩阵中元素变为0所需的次数越少。
3. 幂零矩阵的乘积如果A和B是两个幂零矩阵，并且它们可以相乘（即A的列数等于B的行数），那么它们的乘积AB也是一个幂零矩阵。
具体而言，对于AB中的任意元素cij，存在一个正整数k，使得cijk=0。
4. 幂零矩阵的幂对于一个幂零矩阵A和一个正整数m，A的m次幂Am也是一个幂零矩阵。
具体而言，对于Am中的任意元素dij，存在一个正整数l，使得dijl=0。
幂零矩阵的应用幂零矩阵在线性代数中有广泛应用，特别是在理解和证明一些重要定理时起到关键作用。
以下是一些幂零矩阵的应用示例：1. 特征值和特征向量对于一个幂零矩阵A，0是它唯一的特征值。
此外，所有非零列向量都是A的特征向量，并且它们对应于特征值0。
2. 线性变换幂零矩阵可以表示一些特殊类型的线性变换。
例如，在空间中进行投影或旋转等操作时，可以使用幂零矩阵来表示这些变换。
幂零变换性质与构造方法研究幂零变换是矩阵论中的一个重要概念。
它是指存在一个正整数k，使得线性变换A的k 次幂恒为零矩阵。
幂零变换具有一些重要的性质和构造方法，本文将对其进行探讨。
一、幂零变换的性质1. 幂零变换的特征多项式为x^k。
由于幂零变换A的k次幂恒为零矩阵，因此它的特征多项式应该有x^k这一因子。
具体来说，如果A的谱是{\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m}，则它的特征多项式应该是p(x) = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_m)x^k。
2. 幂零变换的秩小于等于n-k。
我们可以利用幂零变换的特征多项式来证明这一点。
由于特征多项式有x^k这一因子，因此矩阵A的零空间至少包含k维。
另一方面，根据秩-零度定理，A的秩和零度之和等于n，因此其秩小于等于n-k。
根据特征多项式的定义，矩阵A的特征值为0的个数应该大于等于1，因此其行列式为零。
有两种常见的构造幂零变换的方法：Jordan标准型和上三角阵。
1. Jordan标准型给定一个n阶幂零变换A，我们可以用Jordan标准型来表示它。
Jordan标准型是指将A表示为Jordan块的矩阵形式，其中每个Jordan块是形如：J_k =[0 1 0 ... 0][0 0 1 ... 0][ ... ][0 0 0 ... 0]的矩阵。
其中，k表示该Jordan块的大小，即主对角线上连续的0的个数加1。
将A表示为一些Jordan块的直和，即可得到其Jordan标准型。
2. 上三角阵上三角阵是指矩阵A的副对角线以下的所有元素都为零。
我们可以构造一个上三角阵，使其对角线上从左到右依次为a_1, a_2, ..., a_n-k, 0, 0, ..., 0。
其中，k表示幂零指数。
根据矩阵相似的定义，如果我们能够找到一个可逆矩阵P，使得A = PBP^{-1}，那么B就是A的上三角形式。
n阶幂零矩阵-回复什么是n阶幂零矩阵？在线性代数中，n阶幂零矩阵是一个n×n的方阵，其特点是所有元素都为0，除了矩阵的主对角线之外。
换句话说，它的主对角线上的元素为0，而其他位置的元素都为0。
n阶幂零矩阵的表示形式如下：[0,0,0, 0[0,0,0, 0[0,0,0, 0[...........][0,0,0, 0注意到这样的矩阵在实际应用中并不多见，但它在线性代数的理论研究中有其重要性和特殊性。
接下来，我们将逐步探讨n阶幂零矩阵的性质和其在不同领域的应用。
第一步：了解n阶幂零矩阵的定义n阶幂零矩阵是一个方阵，其主对角线上的元素为0，而其他位置的元素也全部为0。
我们可以用数学符号简洁地表示为：A[i][j] = 0，其中i ≠j。
第二步：探索n阶幂零矩阵的性质1. n阶幂零矩阵一定是一个特殊的矩阵，因为它的所有非主对角线上的元素都为0。
2. n阶幂零矩阵A的任意次幂都等于零矩阵。
即A^n = 0，其中n为正整数。
证明：设矩阵A为n阶幂零矩阵，其主对角线上的元素为0，其他位置的元素也全部为0。
那么，矩阵A的任意次幂A^n可表示为：A^n = A ×A ×A × ... ×A⁽ⁿ⁾= [0,0,0,...,0] ×[0,0,0,...,0] ×[0,0,0,...,0] × ... ×[0,0,0, 0由于矩阵相乘满足分配律和乘法结合律，且0乘任何数都等于0，所以上述乘法结果依然是零矩阵。
因此，n阶幂零矩阵的任意次幂都等于零矩阵。
第三步：探索n阶幂零矩阵在不同领域的应用尽管n阶幂零矩阵在实际应用中并不常见，但它在线性代数的理论研究中具有重要性和特殊性。
1. 线性变换：n阶幂零矩阵可以在线性变换理论中发挥重要作用。
线性变换可以用矩阵来表示，而n阶幂零矩阵可以表示某些特定类型的线性变换，例如零变换或射影变换。
2. 克尔空间：在矩阵论和线性代数的研究中，n阶幂零矩阵的零空间或克尔空间是一个重要的概念。
幂零矩阵性质及应用幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。
证明：?A Q 为幂零矩阵k Z +∴?∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα?≠= 由引理7知，0kλ为k A 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴?≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0kA =，知00kkA A A ==?=0*(1)(1)00k kE A A A ∴-=-=-=-?=00λ∴=为A 的特征值。
由0λ的任意性知，A 的特征值为0。
?A Q 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()nf E A λλλ=-=由引理2知，()0nf A A == 所以A 为幂零矩阵。
得证性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +?∈=。
证明：?A Q 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====L由引理7，知 kA 的特征值为120k k k n λλλ====L从而有 120k k k kn trA λλλ=+++=L由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∈=+++=L (1.1)令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =L L由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=+++=?L L L L L L (1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t tttt tt t tt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-L L LLL MM L MM M L MLL又(1,2,)ii t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==L L即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0，由性质1，得 A 为幂零矩阵得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵，由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -??= ? ??O其中11i i i J λλ??= ? ??O O O 阶数为(1,2,,)in i s =L由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i ni i J E J i s -===g L12,,,s J J J L L 为幂零矩阵得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A Q 为幂零矩阵，k Z +∴?∈ .0k s t A =00kk A A A ∴==?= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====L 由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=L L且有1211n n A E λλλ'''+===g L g1211n n E A λλλ''''''-===g L g即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化证明：令12,,,n λλλL L 为A 的特征值若A 退化，则有 0A =由引理7，得120n A λλλ==gL L g ∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。
目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (2)2 预备知识 (2)2.1 概念 (2)2.1 引理 (3)3 幂零矩阵的性质 (4)3.1幂零矩阵的特性 (4)3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 (6)3.3幂零矩阵和若尔当块 (7)3.4幂零矩阵的其他性质 (8)4幂零矩阵的应用 (11)4.1幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 (11)4.1.1 可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 (11)4.1.2 求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 (13)4.2幂零矩阵在其他方面的应用 (14)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (18)幂零矩阵的性质与应用摘要：在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。
幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。
同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。
关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值；迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstract: Matrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words: Nilpotent matrix; Linear transformation; Inverse matrix; Jordan canonical form; Characteristic; Trace.1 引言随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。
幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。
证明：⇒A 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0k λ为kA 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0kA =，知00kkA A A ==⇒=0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-⋅= 00λ∴=为A 的特征值。
由0λ的任意性知，A 的特征值为0。
⇐A 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-=由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。
得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。
证明：⇒A 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====由引理7，知 kA 的特征值为120k k k n λλλ====从而有 120k k k k n trA λλλ=+++=⇐由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=(1.1)令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩(1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t t tttttttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)ii t λ=互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =由引理4，知(1,2,,)i i s λ=为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,,)i i s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i nni i J E J i s -===12,,,s J J J 为幂零矩阵 得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s tA =00kk A A A ∴==⇒= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为 1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-= 且有1211n n A E λλλ'''+=== 1211n n E A λλλ''''''-===即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值若A 退化，则有 0A = 由引理7，得 120n A λλλ==∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。
n阶幂零矩阵一、引言零矩阵是线性代数中常见的一个概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起到重要的作用。
在研究矩阵的性质和运算规律时，零矩阵也是一个重要的基础概念。
本文将重点讨论n阶幂零矩阵，包括定义、性质以及与其他矩阵的关系。
二、定义n阶幂零矩阵是一个n行n列的矩阵，其中所有的元素都是0。
换句话说，n阶幂零矩阵的每个元素都是0，在数学符号中表达为O_n，下标n表示这是一个n阶的矩阵。
例如，一个二阶幂零矩阵可以表示为：O_2 = [0, 0; 0, 0]三、性质1. n阶幂零矩阵的任意两个元素的乘积仍然是0。
这是因为n阶幂零矩阵的所有元素都是0，0乘以任何数都等于0，因此n阶幂零矩阵的元素乘积仍然是0。
2. n阶幂零矩阵的转置矩阵仍然是n阶幂零矩阵。
转置矩阵的定义是将矩阵的行和列互换位置得到的新矩阵，对于n阶幂零矩阵来说，由于所有元素都是0，转置矩阵的每个元素仍然是0，因此转置矩阵也是n阶幂零矩阵。
3. n阶幂零矩阵乘以任意矩阵的结果仍然是n阶幂零矩阵。
通过矩阵乘法的定义，我们可以得出n阶幂零矩阵与任意矩阵相乘后的结果仍然是n阶幂零矩阵。
这是因为n阶幂零矩阵的每个元素都是0，与任意矩阵相乘后，计算每个元素的结果仍然是0。
四、与其他矩阵的关系1.幂零矩阵与单位矩阵的关系：单位矩阵是一个对角线上的元素都为1，其他元素都为0的矩阵，记作I。
我们可以发现，单位矩阵与任意幂零矩阵相乘后的结果仍然是原幂零矩阵。
这是因为单位矩阵乘以任意矩阵后，保持矩阵不变，而幂零矩阵的所有元素都是0，因此乘积的结果仍然是幂零矩阵。
2.幂零矩阵与对称矩阵的关系：对称矩阵定义为矩阵与其转置矩阵相等的矩阵。
由于幂零矩阵的转置矩阵仍然是幂零矩阵，我们可以得出结论：幂零矩阵和其转置矩阵是对称矩阵。
3.幂零矩阵与可逆矩阵的关系：可逆矩阵是一个特殊的矩阵，其行列式不为0，可以求得逆矩阵。
对于任意幂零矩阵来说，其行列式显然为0，因此幂零矩阵不可逆。
幂零阵的特征值1. 什么是幂零阵幂零阵是指一个矩阵的某个幂等于零矩阵。
具体而言，对于一个正整数k和一个n阶方阵A，如果存在k使得$A^k=0$，则称A为幂零阵。
2. 幂零阵的特征值是什么幂零阵的特征值全为零。
这一结论可以通过幂零矩阵的定义及其特征向量的定义推导得出。
假设A是一个n阶幂零阵，则对于任意的非零列向量X，都有$AX=0$。
现在考虑特征向量及其特征值的定义：存在一个非零列向量X 和一个标量λ，使得$AX=λX$。
将这两个式子联立，得到$AX-λX=0$，移项得$(A-λI)X=0$。
由于X非零，因此$(A-λI)$不可逆。
于是我们证明了：幂零阵的特征值满足$\det(A-λI)=0$，即所有特征值都为零。
3. 幂零阵的应用幂零阵的重要性在于它们对于线性代数理论的发展以及在应用中的广泛使用。
幂零阵有很多应用，例如：1. 幂零矩阵可用于描述电子跃迁概率。
在量子力学中，一些问题可以转化为矩阵问题。
在这种情况下，矩阵元素可以表示电子到达不同能级的概率。
如果某个矩阵的幂为零，那么在最终状态下不存在任何电子。
2. 幂零矩阵可用于计算图的连通性。
一个图是连通的当且仅当它的邻接矩阵A是幂零阵。
换句话说，如果A的幂为零，则图是不连通的。
3. 幂零矩阵可用于状态转移概率。
在马尔可夫过程中，对于一个给定的状态，它可以转移到其他状态的概率由矩阵元素给出。
如果某个矩阵的幂为零，那么在最终状态下不存在任何转移。
4. 结论综上所述，幂零阵的特征值全为零，这是由幂零矩阵的定义及其特征向量的定义推导得出的。
除此之外，幂零阵在应用中有着广泛的用途，例如描述电子跃迁概率、计算图的连通性以及定义状态转移概率等。
在数学和物理学等领域，幂零阵也有着重要的地位和应用。
n阶幂零矩阵矩阵是线性代数中的重要概念，它可以理解为一个按照一定规则排列的数表。
而零矩阵则是一种特殊的矩阵，它的所有元素都为0。
n 阶幂零矩阵可以简单理解为n行n列的零矩阵。
在本文中，我们将详细介绍n阶幂零矩阵的性质、表示方法以及一些应用。
首先，让我们来认识一下幂零矩阵的定义。
n阶幂零矩阵是一个n 行n列的矩阵，其中每个元素都为0。
换句话说，n阶幂零矩阵的所有元素都满足以下条件：矩阵的第i行第j列元素为0，其中1≤i≤n，1≤j≤n。
接下来，让我们来看一下n阶幂零矩阵的表示方法。
一种简便的表示方法是使用矩阵的行数和列数来表示幂零矩阵的阶数。
例如，一个3阶幂零矩阵可以表示为3×3的矩阵。
另外，我们也可以直接将矩阵的所有元素表示出来，如下所示：┌───┬───┬───┐│ 0 │ 0 │ 0 │├───┼───┼───┤│ 0 │ 0 │ 0 │├───┼───┼───┤│ 0 │ 0 │ 0 │└───┴───┴───┘在幂零矩阵中，每一行和每一列的元素都是0，因此在矩阵的主对角线上的元素都为0，其它元素都为0。
这是幂零矩阵的一个重要性质。
而n阶幂零矩阵的分类，可以根据其元素的个数进行划分。
一个n 阶幂零矩阵共有n×n个元素，其中所有元素都是0。
因此，n阶幂零矩阵的元素个数为n×n。
幂零矩阵在线性代数中有着重要的应用。
首先，幂零矩阵是研究矩阵性质和运算的基础。
对于矩阵的加法和乘法运算，幂零矩阵起到了重要的作用。
此外，幂零矩阵还在线性方程组的求解中有广泛应用。
矩阵的幂零性质使得线性方程组可以进行简化和求解。
幂零矩阵还在图论中有着重要的应用。
在图的邻接矩阵中，边的存在可以表示为非零元素，而边的不存在可以表示为零元素。
因此，幂零矩阵可以用于表示无向图和有向图的连接关系。
此外，幂零矩阵还在网络分析和信号处理中有着广泛的应用。
在网络分析中，幂零矩阵可以用于表示网络中节点之间的连接关系，从而进行路径分析和节点关联性分析。
本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质及应用学生姓名：学号：2010411676专业：数学与应用数学指导教师：学院：数学科学学院2014 年4月22 日毕业论文（设计）内容介绍目录摘要：....................................................................................................................... - 1 - Abstract: . ............................................................................................................... - 1 -一、相关的基本概念............................................................................................... - 2 -二、相关的一些引理............................................................................................... - 2 -三、性质................................................................................................................... - 4 -四、关于幂零矩阵的简单应用............................................................................. - 12 -（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆...................................................... - 12 - （二）、有关幂零矩阵的其他应用举例...................................................... - 15 - 参考文献：............................................................................................................. - 20 -幂零矩阵的性质及应用刘妍摘要：幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有非常重要的作用，而且在数学领域以及其他领域应用都非常广泛，因此对幂零矩阵进行探究具有非常重要的意义.本文主要是对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有很好作用，因此对幂零矩阵的研究很有意义.关键词：幂零矩阵, 若尔当块, 特征值, 幂零指数, 幂零矩阵的秩The properties of nilpotent matrix and its applicationLiu YanAbstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely used, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse more troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful.Key words:Nilpotent matrix, Jordan, characteristic number, Nilpotent index,Nilpotent matrix rank引言在高等数学的学习研究过程中，幂零矩阵是非常特殊且实用的工具，许多问题都会借助幂零矩阵的相关性质来进行研究，比如说求矩阵的逆和许多证明题目中都会用到，求矩阵的逆一般比较麻烦，对于一些特殊矩阵可以用幂零矩阵的性质来简单化解计算.一、相关的基本概念1、 设A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，则A 称为幂零矩阵.2、 若A 为幂零矩阵，则满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数.3、 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，则称111'1n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A的转置，称111*1n n nn A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A的伴随矩阵. 其中(),1,2,,ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式.4、设A 是复数域上全体m n ⨯矩阵，在A 中任意取定k 行k 列,}{min m n k ≤，.位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M 称为A 的一个k 级子式.5、设A 是复数域上m ⨯n 矩阵，A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩， 记为()r A .6、 主对角线上元素为0的上三角矩阵称为严格的上三角矩阵.7、形为()0010,00J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若尔当块，其中λ为复数，由若干个 若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵.8、 设 A 为一个n 阶方阵，()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式.满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值.9、 次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式.二、相关的一些引理引理1：设,A B 为n 阶方阵，则()()***,tt t AB B A AB B A ==. [1]引理2：()(),A f E A m λλλ=-，分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式，则有()0,0A f A m ==.引理3：每一个n 阶的复矩阵A 都与一若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.引理4：若尔当形矩阵的主对角线上的元素为它的特征值.引理5：n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 和最小多项式无重根. 引理6：相似矩阵具有相同的特征值. 引理7：设12,,,n λλλ为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++，12n A λλλ=，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为()()()12,,,n f f f λλλ. 引理8：k 阶若当块11k a J a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有 ()0kk J aE -=.引理9：矩阵的最小多项式就是矩阵A 的最后一个不变因子.引理10：,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得121*N T AT λλλ-⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 121*N T BT μμμ-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 引理11：任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.引理12：设A 是n 阶方阵，若20A =，则()n2r A ≤.引理13：设A 是n 阶方阵，若30A =，则（1）()23nr A ≤；（2）()()()222r r n r A ≤A ≤-A .引理14：设A 是n 阶方阵，则()()()r kr k-1n kA A ≥- ()k 1≥. 引理15：设A 是n 阶方阵，则()()()()()2k 21r r r 0k k A k ++A ≤A +≥，.引理16: 设A 是n 阶方阵，则()()()()B -+≥AB r BC r AB r C r .三、性质性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0. 证明：⇒因为 A 为幂零矩阵,所以k =0k Z A +∃∈使,使0k A =. 令0λ为A 任意一个特征值，则00A ααλα∃≠=使. 由引理7知，0λ为k A 的特征值. 因为0β∃≠使0k βλβA = ,即有00λ=. 又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=. 因为()()0*1100kkE A A A -=-=-=-⋅=, 所以 00λ=为A 的特征值. 由0λ的任意性知,A 的特征值为0. ⇐（方法一）因为A 的特征值全为0,所以A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=. 由引理2知，()0n f A A ==. 所以A 为幂零矩阵,得证.（方法二）因为存在可逆矩阵T,使得10*0T T B -⎛⎫ ⎪⎪A == ⎪ ⎪⎝⎭ (B 为上三角矩阵） [2] 由上三角矩阵的性质知， 0n B =，从而0n A =（n 为A 的阶数）. （方法三）因为A 的所有特征根全为0,所以A 的Jordan 标准型J 的若尔当块只能是110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 取正整数m ≥i J 的所有阶数，则m i J =0 所以有m J =0， 故11()0m m m A PJP PJ P --===所以A 为幂零矩阵. 性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0=∈∀+k trA Z k . 证明：⇒ 因为A 为幂零矩阵，由性质1，知:A 的特征值全为0 即12n λλλ===.又由引理7，知k A 的特征值为120n λλλ====,从而有120k k k k n trA λλλ=+++=.⇐由已知，12 0k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++= (1.1)令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值,且t λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩（1.2） 由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t tt tt t t t tt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又因为()t i i ,,2,1 =λ互不相同且不为0，0≠B , 从而知，方程（1.2）只有0解，即()t i n i ,,2,10 ==即A 没有非零的特征值所以A 的特征值全为0,由性质1,得A 为幂零矩阵得证.性质3：若A 为幂零矩阵，则A 的若尔当标准形J 的若当块为幂零若尔当块，且J 的主对角线上的元素为0.证明：因为A 为幂零矩阵，再由性质1，知A 的特征值全为0. 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中11ii i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为()s i n i,,2,1 =.由引理4，知()s i i ,,2,1 =λ为J 的特征值.又因为A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值. 所以()s i i ,,2,10 ==λ 即J 的主对角线上的元素全为0.由引理8，知()()()s i J E J i i n i n i ,,2,100 ===⋅-, 故S J J J ,,,21 为幂零矩阵,得证.性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有A E +及A E -可逆， 且1,1A E E A +=-=其中E 为单位矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =.故00kk A A A ==⇒=,A 一定不可逆.由性质1，得A 的特征值为120n λλλ====由引理7， 得A E +,A E -的特征值分别为 1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=所以,A E +及A E -可逆， 且有1211n n A E λλλ'''+===,1211n n E A λλλ''''''-===.即1,1A E E A +=-=,得证. 性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化. 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值,若A 退化，则有0A =.由引理7，得120n A λλλ==.所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由引理7，得0110i λ+=≠为A E +的一特征值，这与A E +为幂零矩阵矛盾,故A 为非退化，得证.性质6：若A 为幂零矩阵,B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.又因为AB BA =,()00k k k k AB A B B ==⋅=.所以1211231111()(1)(0)k k k mE A E A A A m m m m m---+=-+++-≠ 故AB 也为幂零矩阵，得证.性质7：若A 为幂零矩阵且0k A =，则有121()k E A E A A A ---=++++.证明：因为0k A =，所以k k k E E A E A =-=- 21()()k E A E A A A -=-++++.即121()k E A E A A A ---=++++.对任意0m ≠，有[()]k k k k k AmE mE A mE A m E m=+=+=+211121111()((1))k k k A m E E A A A m m m m---=+-+++-211121111()((1))k k k mE A E A A A m m m---=+-+++- 即有2111211111()((1))k k k mE A E A A A E m m m m---+⋅-+++-= 所以12111211111()((1))k k k mE A E A A A m m m m ----+=-+++- 21123111(1)k k k E A A A m m m m--=-+++- 性质8：若A 为幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化.但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化. 证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =且A 的特征值全为零. ()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==, 令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ. 从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤.由于0,A ≠所以01k >，又此时00()2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由引理5，知A 不可对角化因为B 为n 阶方阵，由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T BT J -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s =. 令iii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =,则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =.由引理8，知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅==,即i J '(1,2,,)i s =为幂零矩阵.现令12s J J J J ⎛⎫' ⎪⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭,12s D D D D ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1112122s s s J D J J J D T BT J D J J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭， 即111()(1)B T J D T TJ T TDT ---''=+=+ 又D 为对角阵，由（1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化.令1N TJ T -'=- 且取12max(,,,)s k n n n =,则有120kkk k s J J J J ⎛⎫' ⎪⎪''==⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭,111112()()()()()00kkk k k k k k k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵,得证.性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.证明:令A 为n 阶幂零矩阵,由性质3知，存在可逆矩阵T , 使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .其中0110iJ ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =，且()0i n i J =,1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.取12max(,,,)s k n n n =，则k n ≤且有1121112()00(1.5)k kk k k s s J J J J A T T T T T T J J ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即0k A =若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤,00k A =.若0k k <，则0i ∃使00i n k >且000k i J ≠. 由（1.5）式，得0000112112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这与00k A =矛盾. 故0k k n =≤,得证.性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 .证明：令A 为幂零矩阵，则A 的特征值全为0.若B 与A 相似,由引理6，得A 与B 有相同的特征值. 所以B 的特征值也全为0，由性质1，知B 也为幂零矩阵. A 为幂零矩阵由性质3知,存在可逆矩阵T,使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =,且()0i n i J =, 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.由性质9，知{}12max ,,,A s k n n n =为A 的幂零指数又A 与B 相似，A 与J 相似 ,从而有B 也与J 相似所以∃可逆矩阵P ,使得121s J J P BP J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 又由性质9，知12max{,,,}B s k n n n =为B 的幂零指数,从而有A B k k =.又0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1,2,,)i s =为严格上三角,所以12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭也为严格上三角形, 即A ,B 都相似于严格上三角形J . 得证 .性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,A A A mA *'-()m Z +∈都为幂零矩阵，特别有2()0A *=.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.由引理1，知()()00k k A A '''===,()()00k k A A ***===, ()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=. 所以,,A A A *'-都为幂零矩阵.因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=， 所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵. 又因为A 为幂零矩阵，所以0A =，即()1r A n ≤-. 若()1r A n <-，则有A 的所有1n -阶代数余子式都为0. 则有0A *=,从而有2()0A A **==.若()1r A n =-，则由性质3知,存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =且()1i i r J n =-.又显然A 与J ，所以有111()()()(1)1sssi i i i i i r A r J r J n n s n s n ======-=-=-=-∑∑∑所以1s =,即有10110T AT J B -⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭. 又10(1)0n B +*⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 所以2()0B *=. 由（1.3）式及引理1，知11()()A TBT T B T *-*-***==, 21212()[()]()()0A T B T T B T *-***-***===, 得证. 性质12：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则 （1）()1r k nA k -≤；（2）()()()11(1)k k k r A r A n r A ---≤≤-. 证明：因为0k =A ，由引理16知()()()()()21120k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （1） ()()()()()322130k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （2）()()()()()k k-2210k r A r AAA r A r A r A -==≥+- （3） 把上式相加得到：()()()110k k r A r A ---≤. （4） 由定理知：()()()()110k k k r A r AA r A r A n --==≥+-, 则()()1k r A r A n -+≤. 故()1k kr A n -≤,即()1k n r A k-≤. 所以()()1k r A n r A -≤-，所以()()()11k k r A r A --≤ 所以()()()()111k k k r A r A n r A ---≤≤-,得证. 性质13：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则（1）k 为偶数且4≥k ，则()()12212k k r A r A -≤；（2)k 为奇数且3≥k ，则()()11212k k r A r A --≤.证明：由引理16知：()()()()21202k k k k r A r AA A r A r A ---==≥-, 即()()212k k r A r A --≥. 再由引理16知：()()()()2422402k k k k r A r A A A r A r A ---==≥- 即()()422k k r A r A --≥，由此类推， （1）k 为偶数且4≥k ，则()()()()12422111242k k k k r A r A r A r A ---≤≤≤≤.（2)k 为奇数且3≥k ， 则()()()()12412111242k k k k r A r A r A r A ----≤≤≤≤,得证.四、关于幂零矩阵的简单应用（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆1、求可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆.若矩阵A 可表示为幂零矩阵和单位矩阵的和，则可借用二项式展开定理将求矩阵A 的逆转化为单位矩阵和幂零矩阵的乘幂.例 1 4615135124A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -. 解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中3615125125B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭3615125125B -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∴=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 4121031200210001求1-A .解：E +B =A ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 3121021200110000 且03=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=B +B -E =B +E =A ∴--62530841200121200024241211. 2、求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆.对于主对角线元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵的和.例1 ()0000000000110≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A λλλλλ 求.1A - 解：B +E =A m ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 0000000000001100且02=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B -E =B +E =A ∴--λλλλλλλλλ10000100001011011122211. 例2 已知0000000000000n nx y xy A x y x ⨯⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭求1A -. 解：0000000000000x y x yA x y x ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10000010000001000001x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭01000001000000100000y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎪⎪⎝⎭n xE yJ =+， 其中01000001000000100000n J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =.211123()(1)n n n nn n n J J J E A xE yJ x x x x---=+=-+++- 1122211(1)10(1)00100n n n n n n y y x x x y x x x -----⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3、求可表为若尔当块的幂的矩阵和的矩阵的逆。
