幂函数教学设计

幂函数教学设计幂函数是初等函数的一种，是指以自然数为指数的函数。

其函数式可以表示为y=x^n，其中x为自变量，n为常数指数，y为函数的值。

以下是五个优秀的幂函数教学设计：1.教学目标：通过本节课的学习，学生将掌握幂函数的概念、性质和图像。

教学过程：(1)导入环节：通过提问引入幂函数的概念，如何用自然数表示指数。

(2)基础知识讲解：介绍幂函数的定义、性质和图像特点。

(3)解答问题：让学生通过例题解答，巩固对幂函数的理解。

(4)实例操作：以实际问题为背景，让学生应用幂函数解决实际问题。

(5)总结归纳：总结幂函数的特点和应用，并提醒学生注意幂函数与其他函数的区别。

2.教学目标：通过本节课的学习，学生将理解幂函数的增减性质和相关应用。

教学过程：(1)导入环节：通过展示两个幂函数的图像，让学生观察并讨论它们的变化趋势。

(2)基础知识讲解：讲解幂函数的增减性质，即正指数的幂函数递增，负指数的幂函数递减。

(3)实例分析：通过实例分析，揭示幂函数增减性质的应用，如求不等式的解等。

(4)实践操作：让学生通过练习题巩固对幂函数增减性质的理解和应用。

(5)拓展讨论：引导学生思考其他函数的增减性质，并与幂函数进行比较。

3.教学目标：通过本节课的学习，学生将学会化简幂函数表达式。

教学过程：(1)导入环节：通过提问引入化简幂函数表达式的概念和意义。

(2)基础知识讲解：介绍幂函数的化简规则和步骤，如指数相加相乘规则等。

(3)解答问题：通过例题解答，让学生掌握幂函数化简的方法和技巧。

(4)实例操练：让学生通过练习题巩固幂函数化简的能力。

(5)拓展应用：引导学生将化简幂函数应用到求导、积分等数学问题中。

4.教学目标：通过本节课的学习，学生将了解幂函数的特殊性质和图像变化规律。

教学过程：(1)导入环节：通过提问引入幂函数的特殊性质，如y=x^0、y=x^1等。

(2)基础知识讲解：介绍幂函数特殊性质的证明和图像变化规律。

(3)实例演示：通过示例演示，展示幂函数图像在特殊情况下的形态和变化特点。

§2.3幂函数(一)一．教材分析幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。

通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

二．学情分析学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

三．教学目标1．知识目标（1）通过实例，了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2．能力目标在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3．情感目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

四．教学重点常见的幂函数的图象和性质。

五．教学难点画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。

六．教学用具多媒体七．教学过程（一）创设情境（多媒体投影）问题一：下列问题中的函数各有什么特征？（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数．（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝x a的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：§2.3幂函数（二）、建立模型定义：一般地，函数y＝x a叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。

幂函数教学设计范文标题：探索幂函数的奇妙世界一、教学目标：1.了解幂函数的定义、性质和图像。

2.能够应用幂函数求解实际问题。

3.培养学生的数学建模能力和实际问题解决能力。

二、教学重难点：1.理解指数与幂函数的关系，熟练掌握幂函数的基本性质。

2.能够根据实际问题将其转化为幂函数，并求解问题。

三、教学过程：步骤一：导入（10分钟）1.通过一个问题或实例引入幂函数的概念，如：小明每天修行功夫，假设他的力量增长速度是每天的平方，问过了多少天，他的力量将达到100倍于初始力量。

2.让学生思考并讨论问题，引导他们对幂函数的理解。

步骤二：探索幂函数的定义（30分钟）1.讲解幂函数的定义，幂函数是指以一个变量为底数，一个常数为指数的函数。

2.通过给定不同的指数和底数，观察函数图像的变化，如y=x^2、y=x^3、y=2^x、y=1/2^x等。

3.让学生尝试改变指数和底数的值，观察图像变化，并总结幂函数的基本性质。

步骤三：指数与幂函数（30分钟）1.引导学生思考指数与幂函数的关系，如y=2^x和y=x^2中，2和x的关系。

2.讲解指数函数与幂函数的关系，指数函数的增长速度远快于幂函数。

3.通过实例让学生理解指数与幂函数之间的关系，如y=2^x与y=x，问它们在x=1时的大小关系。

步骤四：幂函数的应用（30分钟）1.以生活中的实际问题为背景，如物体的自由落体、细胞的增殖等，让学生将其建模为幂函数。

2.引导学生列出函数方程，并通过求解方程解决问题。

3.让学生自己选取或设计一个实际问题，将其转化为幂函数，并求解问题。

步骤五：练习和拓展（20分钟）1.进行一些练习题，巩固学生对幂函数的理解和应用，如求函数的定义域、值域，求函数的极限等。

2.拓展练习，如带有多个幂函数的复合函数，让学生应用复合函数的求导法则求函数的导数。

步骤六：小结和评价（10分钟）1.对本节课的内容进行小结，复习幂函数的定义、性质和应用。

2.布置作业，要求学生练习更多的幂函数题目，巩固所学知识。

幂函数教学设计一教材分析（一）本节课在教材中的作用和地位幂函数是高中数学新人教B版必修第二册4.4的内容.本节课内容是在学生学习了函数的概念、基本性质，以及指数函数、对数函数的概念、性质和图像之后，紧接着学习幂函数.从知识体系上讲是自然衔接,从学生的认知结构上讲则是抓住了学习的“最近发展区”顺势而为，学生可以很容易地应用函数的研究方法来分析幂函数，进而进一步体验研究函数性质和图像的基本过程和方法. （二）新旧教材比较新教材在这节课的处理上与旧教材的区别之处在于：第一先研究函数的性质然后应用函数的性质作出函数的图像.向学生渗透“观察函数值可以归纳函数性质”的方法.第二强调研究函数性质的方法.二学情分析（一）有利因素在此之前，学生已经系统学习了函数的概念，掌握了研究函数的常用方法，并且指数运算也扩充到了实数范围.有了这些知识与方法，我们完全有能力进一步探索幂函数的相关知识.（二）不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论，归纳推理和化归等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度.根据上述教材结构和内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重点、难点.三教学目标1知识目标：通过实例了解幂函数的概念、性质和图像.会求幂函数的定义域，会应用幂函数的图像与性质比较数或代数式的大小.2核心素养与能力：培养学生的“化归意识”，培养学生数形结合思想的应用. 3立德树人在课堂教学中始终贯彻立德树人教育，结合数学教学对学生进行德育教育，帮助学生建立正确的价值观、人生观和世界观.四教学重点、难点教学重点：教学重点是幂函数的概念、图像和性质．教学难点：本节课难点是将函数图象的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质.五学法、教法分析学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（如性质的得出）. （2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动. （3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如引例的处理）. 教学用具：多媒体PPT及实物展示台教法：整堂课立足“立德树人”教育、围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进.（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲.（2）理解幂函数的定义——组织学生自主探索,获得幂函数的定义.（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识. （4）变式练习——深化对幂函数定义及性质的理解，巩固新知.根据前面的分析，我对本节课的学习提出如下建议：指导学生在学习过程中注意对列表计算结果的分析；让学生自己动手，通过观察函数值的特征，来总结归纳指数函数性质.并利用性质画出指数函数的图像.通过演示电脑动画，帮助学生理解指数函数的性质和图像.学生在这种自主学习、探究活动中，体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.利用表格数据分析21x y =性质 （1）定义域 （2）值域 （3）奇偶性 （4）单调性用定义证明单调性利用性质作出21x y =的图像尝试与发现二研究函数3x y =的图像和性质 （1）定义域 （2）值域 （3）奇偶性 （4）单调性幂函数性质和图像共同点：一般地，幂函数αx y =，随着α的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但是也有一些共同的特征； （1）所有幂函数在（0，＋∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点（1，1）． （2）如果0>α，则幂函数的图像通过原点，并且在区间)0[∞+，上是增函数．（3）如果0<α，则幂函数在区间（+∞,0）上是减函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方且无限地逼近y 轴；当x 无限增大时，图像在x 轴上方且无限地逼近x 轴．例2 比较下列各题中两个值的大小：（附）板书设计这堂课，我以《新课程标准》的基本理念为指导，立足于“立德树人”教育，着眼于培养学生自主学习的能力；从学生现有的认知基础出发，教学中以本节课的知识结构为主线，让学生自主探索并获取新知识和应用新知识；我采用层层设问的方式，分散难点；教学中注意讲练结合，借助多媒体手段进行多方位教学，从而实现教学方式多样化.从实例出发，引用典故，激发学生的学习兴趣.教与学做到有机结合，使课堂教学达到最佳状态.。

3.3幂函数一、教学内容幂函数的概念、常见幂函数的图象和性质. 二、教学目标（一）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（二）通过具体实例，会画y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x 12的图象，描述它们的变化规律，总结幂函数的性质.（三）能利用幂函数的单调性比较大小.三、教学重难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质．难点：利用幂函数的性质解决有关问题.四、教学过程设计环节一：提出问题，激发思维前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.1．如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数;2．如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数;3．如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数;4．如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形场地的边长c=√S,这里c是S的函数; 5．如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=1tkm/s,即v=t−1,这里v 是t的函数.问题1：请观察1—5中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.1.p=w;2.S=a2;3.V=b3;4.c=√S，即c=s 12; 5.v=1t,即v=t−1.实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，12，-1；它们都是形如y=xα的函数.幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.追问：你能根据幂函数概念举出一些幂函数的例子吗？幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也有各自的含义，这些会在后面学习.对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，12，−1时的图象与性质.问题2：结合初中学习一次函数、二次函数及反比例函数的经验及前面学习的函数知识，思考研究一类函数的一般路径是什么？背景→概念→图象→性质→应用.【设计意图】将实际问题转化为数学问题，引导学生经历从实例中用函数思维方式抽象出幂函数的形式，进而引出新知识的定义和形式.通过引导学生从函数的思维方式归纳出幂函数的定义，然后再通过追问，学生进一步理解幂函数的定义.环节二：探索图象，抽象性质问题3：关于这五个幂函数，y＝x，y＝x2，y＝x－1是我们熟悉的，在同一个坐标系中画出它们的图象并总结它们的性质.老师几何画板进行展示问题4：如何画出y＝x3和y=x 12的图象？追问：观察这两个函数的解析式，你能先说出它们的一些性质吗？对于y＝x3：定义域为R，它是奇函数，我们可以利用描点法作出其图象.对于y=x 12：定义域为[0，+∞），我们可以利用描点法作出其图象.问题5：观察函数出y＝x3和y=x 12的图象结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内.【设计意图】通过让学生从熟悉的三个幂函数图象入手，再通过研究两个未知幂函数的性质并利用描点法画出它们的函数图象，从而我们可以得到同一个平面直角坐标系上的五个图像，在画的过程中体会图像的变化趋势，掌握幂函数的特征，发现函数的性质.环节三：总结提升，升华理解共性：画y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x 12的图象都过点（1，1）；不同的性质：①y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数；②在区间（0，+∞）上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x 12单调递增，函数y＝x－1单调递减；③在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与轴无限接近，向右与x轴无限接近.问题7：你能从代数的角度证明y=x 12是增函数吗？【设计意图】由形到数，总结5个幂函数的性质，并关注它们的共性和不同性质. 环节四：小结回顾，拓展提升1.幂函数概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2.幂函数性质：(1)幂函数图象都过点(1,1).(2)α为偶数时，幂函数是偶函数。

3.3幂函数一、内容和内容解析 1.内容幂函数的定义，=y x ，2=y x ，3=y x ，12=y x ，1=y x -五个幂函数的图象和性质． 2.内容解析本课时内容是幂函数，幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数与其他基本的初等函数经过运算、复合得到的．幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数．在此之前学生已学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，1=y x -，=y x ，2=y x 等都是学生很熟悉的.因此幂函数的学习是建立在学生已有的函数学习经验上的，学习中主要体现的数学抽象是在归纳五个具体函数共性基础上进行的．“幂函数”的内容安排在“函数的概念与性质”一章的第3节，是在学习完一般函数的概念以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究，使学生明确一类具体函数的研究内容（定义、表示——图象与性质——应用），并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下展开研究，因此幂函数的学习既是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础．基于以上分析，确定本节课的教学重点：幂函数的概念、图象与性质． 二、目标和目标解析 1.目标（1）通过具体实例，了解幂函数的定义，会画=y x ，2=y x ，3=y x ，12=y x ，1=y x -五个幂函数的图象，理解它们的性质；（2）通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法． 2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式；会利用幂函数的定义识别给出的函数是否为幂函数；会画出五个具体幂函数的草图，并利用图象得到它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质；能利用幂函数的性质解决一些简单的问题，如比较大小等．（2）结合对幂函数的研究，体会从定义、表示——图象与性质——应用的研究具体函数的方法．三、教学问题诊断分析学生在初中已经学习过一些具体的幂函数，但缺乏对研究一类函数的内容和方法的认识，教学时应联系初中学习函数的经验，以及前面学习过的一般函数的概念和性质，让学生尝试建构本节课的学习思路，从而体会研究一类函数的内容、思路和方法．画出3=y x ，12=y x 的图象会有一定难度．教学时应该先引导学生观察函数解析式的特点，得出3=y x 是奇函数，12=y x 的定义域为非负数的集合等；然后让他们思考如何取点，并利用描点法作图，分析五个函数图象的共性和差异性而得出性质.同时，还要加强信息技术的应用．在归纳性质时，学生对从哪些方面进行归纳会存在困惑，教师要引导学生思考研究函数的一般方法及所要研究的内容，结合前面函数性质的研究，为这里性质的归纳做好铺垫．基于以上分析，确定本节课的教学难点：观察五个具体幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；观察函数图象的内容和方法．四、教学支持条件分析利用信息技术，可以将五个具体幂函数的图象画在同一个坐标系中，以利于观察、归纳出函数的性质．五、教学过程设计 （一）幂函数定义的抽象问题1：我们知道函数可以用来刻画现实世界中的实际问题，请看下面几个例子： （1）如果张红以1元/kg 的价格购买了某种蔬菜w kg ，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数；（2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=2a ，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的棱长为b ，那么立方体的体积V=3b ，这里V 是b 的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长S c =，这里c 是S 的函数；（5）如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v t1= km /s ，即v=1t ，这里v 是t 的函数．观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征看，它们有什么共同特征？师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题．根据学生的回答，教师进行必要的补充．最后明确指出：这几个函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．教师给出幂函数的定义，并进行板书． 追问（1）：这几个函数中有没有你熟悉的函数？师生活动：教师提出问题，学生思考并回答．p=w ，S=2a ，v=1t -分别是初中学习过的一次函数（正比例函数）、二次函数和反比例函数的特殊情况，这种形式的函数称为幂函数．追问（2）：能否根据幂函数的定义将上述五个问题中对应的幂函数写出来？ 师生活动：学生思考后回答，教师根据学生回答的幂函数的解析式写出来，并进行纠错．追问（3）：你能说出幂函数解析式的特征吗？判断下面几个函数是否为幂函数，并说出理由．（1）4=y x ；（2）2=y x -；（3）=2xy ；（4）2=2y x ；（5）3=1y x +；（6）13=y x 师生活动：学生思考后回答，并阐述原因，教师根据学生的回答进行评价和强调：底数是自变量，自变量的系数为1，指数为常数，幂x α的系数为1，解析式等号右边只有一项．根据幂函数的定义（1）（2）（6）是幂函数，（3）（4）（5）不是幂函数．设计意图：通过学生熟悉的实际问题引出幂函数；通过追问（1）使学生建立幂函数与之前已学函数的联系；追问（2）引导学生抓住幂函数的解析式的形式特点；追问（3）使学生对幂函数的定义加以辨析应用，强化理解．（二）幂函数的图象与性质问题2：我们知道了什么是幂函数，结合以往的学习经验，我们应该研究些什么呢？ 师生活动：学生回答，教师在学生回答的基础上进行补充，最后得出：根据我们学过的函数知识，应该研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等内容．追问：如何研究幂函数的这些性质呢？根据学生交流讨论情况，教师可以适时地引导归纳，得到：根据初中学习函数的经验，可以先用描点法画出函数图象，再观察图象得到函数的性质.在画图过程中也可以利用解析式来帮助我们简化画图过程．设计意图：引导学生回顾已有经验，得出研究函数的一般内容和方法．问题3：这五个幂函数中=y x ，2=y x ，1=y x -的图象是我们熟悉的，如何画出3=y x 和12=y x 的图象呢？追问：观察这两个函数的解析式，你能先说出它们的一些性质吗？师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：通过解析式可以得到函数的定义域和奇偶性，3=y x 定义域是R ，是奇函数；12=y x 定义域是非负实数组成的集合，既不是奇函数也不是偶函数，可以通过这些性质简化作图的过程．学生利用描点法进行作图，在一个平面直角坐标系中画出五个幂函数的图象，教师利用信息技术进行画图并演示．设计意图：引导学生体会研究一类函数的一般方法．其中，让学生先观察3=y x 和12=y x的解析式特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性等基本性质进行初步判断，可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映出函数的性质特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点．问题4：观察这五个函数图象，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？函数 =y x 2=y x3=y x12=y x1=y x -定义域 R R R 0+［， ∞） {}0x x ≠| 值域 R 0+［， ∞）R 0+［， ∞） {}0y y ≠|奇偶性奇偶奇非奇非偶奇师生活动：学生观察思考后回答，教师引导补充并将这些性质填入表格中． 追问：再观察这五个幂函数的图象上是否有某些特殊点可以体现出它们的共同特点？在第一象限内函数图象还有什么变化趋势？师生活动：学生观察思考后回答，教师引导得到结论：五个函数的图象都过点（1，1），在第一象限内函数1=y x -的图象“当x 越来越大时，图象无限靠近x 轴，当x 趋于0时，函数图象无限靠近y 轴”．设计意图：引导学生通过观察图象得出五个幂函数各自的性质，并在此基础上归纳出共性和差异性，得出幂函数的一些基本性质．问题5：利用函数的图象我们得到了五个幂函数的基本性质．事实上，观察得到的结论是不可靠的，我们还应对其加以严格的证明．例：证明幂函数=y [0，+∞)上是增函数．师生活动：教师提出问题，学生尝试完成，教师对证明过程进行分析评价．解析：函数的定义域是[)0+，∞， 1∀x ，∈2x [0，+∞)，且12<x x ，有 ()()12=f x f x -==．因为12<0x x ->0，所以()()12<f x f x ，即幂函数()=f x 0+［， ∞）上是增函数． 设计意图：引导学生能够对观察到的性质进行理性的思考，利用解析式对结论进行严格的证明，提高学生思维的严谨性．同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性定义在证明中的重要作用．问题6：练习，教科书第91页练习1，2，31.已知幂函数()y f x =的图象过点(2，求这个函数的解析式． 解析：设幂函数解析式为=y x α．将点(2=2α，得1=2α． 12=y x ∴，0x （≥）． 设计意图：检测学生对幂函数定义的理解，并规范数学语言表述．2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）()()3315 14--．， ．；（2）111514--，．．；（3）11221.2 0.9 -, 解析：（1）由于幂函数3=y x 在R 上单调递增，且15<14-．-．，()()3315<14∴-．-．．（2）由于幂函数1=y x在()0 ∞，-上单调递减，且15<14<0--．．， 11>1514--∴．．．（3）1112221009= ,119-⎛⎫ ⎪⎝⎭．．． 由于12=y x 在0+［， ∞）上单调递增，且1012>>11>09．．， 1112221012>>119⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．．，即112212>09>-．．师生活动：教师引导学生得出使用幂函数的性质比较大小的基本思路和方法：比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内，否则无法比较大小．因此如果底数不同需转化为同底数幂才能选择一个适当的幂函数进行比较说明，同时要注意函数的单调区间． 设计意图：检测学生对幂函数3=y x 和1=y x 单调性的应用，使用时提示：幂函数1=y x的图象不连续，因此要注意单调区间的描述．3.画出函数1=y x - ||的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性．师生活动：学生分析思考后回答，教师引导归纳得出：这是一个分段函数，也是一个偶函数，它的定义域是{}|0x x ≠．当>0x 时，1=y x -是我们熟悉的五个幂函数之一，当<0x 时的函数图象与>0x 时的函数图象关于y 轴对称．如下图：单调性是：+x ∈（0，∞）单调递减，x ∈-（∞,0）单调递增 设计意图：检测学生对一般函数研究思路和方法的理解掌握． （三）归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答以下几个问题：（1）什么是幂函数？结合具体的幂函数，你能说出幂函数具有哪些性质吗？ （2）结合对五个幂函数图象的研究过程，你能归纳一下学习函数的研究内容和方法吗？师生活动：教师引导学生归纳：1．判断一个函数是否为幂函数，关键是判断其是否符合=y x α(α为常数)的形式； 2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比归纳的思想从五个幂函数的角度分析=y x α(α为常数)的图象与性质；3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质解决幂值比较大小的问题．设计意图：回顾本节课的主要知识和研究过程，总结研究函数的内容、思路和方法． （四）布置作业教科书第91页，习题3.3第1，2，3题． 六、目标检测设计已知函数()21=5m f x m m x ---()是幂函数，且当0+x ∈（，　∞）时，f x ()是增函数，试确定m 的值．解：根据幂函数的定义，得25=1m m --， 解得=3m 或=2m -．当=3m 时，2=f x x ()在0+(，∞)上是增函数；当=2m -时，3=f x x -()在0+(，∞)上是减函数，不符合要求． 故=3m ．设计意图：检测学生对幂函数定义和性质的理解，并重视数学语言表述的规范和思维的严谨．。

幂函数教学设计一、教学目标：1.知识目标：了解幂函数的定义和性质，掌握幂函数的图像、凹凸性和增减性。

2.能力目标：通过练习，培养学生对幂函数的分析和解题能力。

3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

二、教学重点：1.幂函数的定义和性质。

2.幂函数的图像、凹凸性和增减性。

三、教学内容：1.幂函数的定义和性质。

包括幂函数的定义、幂函数的图像、幂函数的增减性、幂函数的凹凸性等。

2.幂函数的图像练习。

让学生通过绘制幂函数的图像来加深对幂函数的认识。

3.幂函数的增减性练习。

让学生通过练习判断幂函数的增减性，提高对幂函数的分析能力。

4.幂函数的凹凸性练习。

让学生通过练习判断幂函数的凹凸性，提高对幂函数的分析能力。

四、教学方法：1.预习导入法：通过提问和引入实际问题的方式，让学生预习幂函数的知识，并激发学生对幂函数的兴趣。

2.讲授法：通过讲解幂函数的定义和性质，让学生了解幂函数的基本知识。

3.实例法：通过具体的例子，让学生更好地理解幂函数的概念和特点。

4.练习法：通过练习判断幂函数的图像、增减性和凹凸性，提高学生对幂函数的分析和解题能力。

五、教学过程：1.预习导入：通过提问和实际问题引入，让学生思考并预习幂函数的概念和性质。

2.讲解幂函数的定义和性质：讲解幂函数的定义、幂函数的图像、幂函数的增减性和凹凸性等基本知识点。

3.实例分析法：通过具体的例子，让学生更好地理解幂函数的概念和性质。

4.练习幂函数的图像：让学生自己绘制幂函数的图像，并分析图像的特点。

5.练习幂函数的增减性：通过练习，让学生判断幂函数的增减性，并解释原因。

6.练习幂函数的凹凸性：通过练习，让学生判断幂函数的凹凸性，并解释原因。

7.小结归纳：对幂函数的定义和性质进行小结和归纳，梳理幂函数的重点和难点。

六、教学评价方式：1.学生的课堂练习成绩。

2.学生的课堂表现和参与度。

3.学生的课后作业完成情况。

七、教学反思：通过这节课的教学设计，学生可以通过对幂函数的定义和性质的学习，进一步加深对幂函数的理解。

高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。

二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。

三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。

四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。

2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。

3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。

4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。

五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。

六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。

七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。

八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。

九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。

十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。

十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。

以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。

祝教学顺利！。

一、内容和内容解析1.内容幂函数的定义，y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x -1，y =x 12五个幂函数的图象与性质.2.内容解析幂函数是一类重要的基本初等函数，实际生产生活及科学研究中涉及的很多函数都是由幂函数及其他基本初等函数进行运算、复合得到的.学生初中学习过的一次函数、二次函数和反比例函数都是由幂函数y =x 0，y =x ，y =x 2，y =x -1经过运算得到的，幂函数y =x ，y =x 2，y =x -1也是最基本的一次函数、二次函数和反比例函数，学生对他们的图象和性质都非常熟悉.从这个角度来说，幂函数的学习是在此基础上的自然延伸.在教材中，幂函数这一部分的学习被安排在函数的概念及其表示和函数的基本性质之后，指数函数与对数函数之前.一方面，在学生系统学习了一般函数的概念、表示法和基本性质之后，幂函数作为一类最基本的函数，承载着从一般到特殊应用所学知识来研究和表达具体函数的功能；另一方面，幂函数作为高中阶段学生研究的第一类具体函数，在研究内容、方法和路径上对后续学习其他函数起着一定的示范性作用.基于以上分析，本节课的教学重点是幂函数的图象与性质.二、目标和目标解析1.目标（1）了解幂函数的定义，会作出函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x -1，y =x 12的图象，理解它们的性质并能进行简单应用.（2）通过对幂函数的研究，体会研究一种具体函数的内容和方法.（3）在对具体函数的图象与性质的探究过程中，理解函数图象与性质的探究方法，感受数与形的相辅相成，体会数形结合的思想方法，发展直观想象、逻辑推理和数学运算素养.2.目标解析达成以上目标的标志如下.（1）能从几个具体的幂函数解析式的共性中抽象出幂函数的一般形式；会作出函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x -1，y =x 12的草图，并根据图象得到它们的性质；能应用幂函数的性质解决一些简单问题.（2）在研究幂函数之前，先根据初中研究函数的经验制定出探究方案，确定探究内容和方法，进而依收稿日期：2020-11-02作者简介：王琦（1983—），女，中学一级教师，主要从事中学数学教学研究.“幂函数”教学设计王摘要：幂函数是一类重要的基本初等函数．本节课在回顾初中研究函数的经验的基础上，梳理研究一般函数的内容、方法和路径，进而按照这样的路径对幂函数展开研究.学生经历函数图象与性质的多种探究方式，体会数与形的紧密联系.幂函数的研究过程既是对高中所学的函数概念、表示法和基本性质的进一步理解和应用，也为后续其他函数的研究做出了示范．关键词：幂函数；图象与性质；数形结合照方案实施研究，并在过程中对实施细节进行合理调整，经历研究函数的完整过程.（3）在对y=x3和y=x 12的图象和性质进行研究的过程中，体验不同的研究方式，感受形的直观、数的精确，以及数与形的紧密联系、对立统一.在运用定义判断函数y=x 12的单调性的过程中，发展数学运算素养.三、教学问题诊断分析学生在初中阶段学习过一次函数、二次函数和反比例函数，对于函数的研究积累了一定的经验，但缺乏方法的梳理和总结.本节课先引导学生对经验进行梳理，总结出函数的研究内容、方法和路径，这既为本节课的研究提供了方案，也为后续其他函数的研究提供了模板.初中阶段，学生基本都是通过列表、描点作出函数的图象，再根据图象直观感知函数的性质.经过本章前一阶段的学习，学生掌握了用符号语言精确刻画函数单调性和奇偶性的方法，可以直接通过解析式分析函数的单调性和奇偶性，这使得函数图象与性质的探究方式有了更多的可能.本节课中，教师引导学生体验这些探究方式，使学生在探究过程中感受数与形的相互转化和紧密联系.基于以上分析，确定本节课的教学难点在于幂函数图象与性质的探究.四、教学过程设计1.从实际情境中抽象出幂函数的定义问题1：回答下列问题.（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付的价钱p是多少元？这里p是w的函数吗？（2）如果正方体的边长为a，那么正方形的面积S 是多少？这里S是a的函数吗？（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V 是多少？这里V是b的函数吗？（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c是多少？这里c是S的函数吗？（5）如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v是多少？这里v是t的函数吗？师生活动：教师给出实际情境，学生思考后得出五种情境所对应的函数解析式.其中，对于（4）中的c= S，教师须告知学生S也可以记作S12；对于（5）中的v=1t，教师应引导学生将其表达为v=t-1.【设计意图】函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具.从这一系列实际问题中，学生可以感受到客观世界中很多变量关系可以用幂函数表示，从而体会到研究幂函数的必要性和幂函数的应用价值.中学阶段学习的几种函数都有着它们的实际背景.幂函数是高中阶段学习的第一类具体函数，从实际背景中抽象出幂函数的概念，对高中阶段其他函数的研究具有示范作用.同时，对实际问题进行抽象也是很多数学概念和问题产生的方式.问题2：这些函数在解析式的结构上有什么共同特征？师生活动：教师引导学生抛开现实意义，关注几个函数解析式的结构.通过观察，学生发现这些函数的函数值都是自变量的若干次方.教师引导学生将几个函数中的自变量都用x表示，函数值都用y表示.学生发现这几个函数的解析式都具有y=xα的形式，其中x是自变量，α是常数.由xα的运算结果叫做幂，引出幂函数的名称，从而点明课题并板书幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.【设计意图】从实际背景中抽象出数学模型是一个较难的思维过程，需要教师引导进行.学生经历并体会这个从众多事物中抽取出共同的、本质性的特征，舍弃非本质性特征的抽象过程，提升数学抽象素养.追问：根据定义，你能再列举出几个幂函数吗？师生活动：学生根据定义进行举例，认识幂函数解析式的结构特征.教师引导学生将α取不同类型的常数，并指出当α取其他实数时，幂的含义会在后续课程中学习.【设计意图】根据定义进行举例，需要学生在理解定义的基础上，整合现有知识，举出例子并进行判断，是一个综合的思维过程.这个过程可以培养学生提出问题、分析问题的能力.2.探究幂函数的图象和性质环节1：梳理研究路径，明确研究内容.问题3：结合以往学习函数的经验，我们应该如何研究幂函数？师生活动：教师引导学生回忆初中研究一次函数、二次函数和反比例函数的内容、过程和方法.学生总结经验，归纳出研究具体函数的基本路径：定义—图象—性质—应用.【设计意图】学生初中阶段学习过一次函数、二次函数和反比例函数，初步积累了研究函数的基本活动经验.调动学生回忆初中研究函数的内容、过程和方法，不仅可以通过对这些基本活动经验的梳理规划幂函数的研究路径，也可以为后续课程中其他函数的研究做出示范.追问1：如何作出幂函数y=xα的图象？师生活动：学生发现幂函数y=xα是一类函数，指数α的取值不同，函数就不同，图象也是不一样的.教师引导学生回忆初中探究正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质时对参数的处理方式.学生根据初中研究函数的经验想到从特殊到一般，对α取一些特殊值进行研究，考查图象是否存在规律性.教师提议本节课抛砖引玉，只从α为正整数的情况中选取三个较简单的，即y=x，y=x2，y=x3，从α为负整数的情况中选取一个较简单的，即y=x-1，从α为分数的情况中选取一个较简单的，即y=x 12=x进行研究.掌握研究方法后，对于其他幂函数的图象，可以让学生课后自行探究.【设计意图】引导学生借助初中研究函数的经验，找到处理幂函数中参数的方法，确定从特殊到一般的研究思路.追问2：在研究它们的图象和性质之前，我们应该先明确什么？师生活动：学生回答“定义域”，并求出这五个幂函数的定义域.教师关注学生是否注意到了定义域应写成集合的形式.【设计意图】研究一个函数首先要明确其定义域，设计这个问题正是为了帮助学生强化这一认识.追问3：作出函数图象后可以研究哪些内容？师生活动：学生回忆本章所学内容，提出值域、单调性、奇偶性等，教师板书列表呈现研究内容，如表1所示.表1y=xy=x2y=x3y=x-1y=x12定义域RRR{}x|x≠0[)0，+∞图象值域奇偶性单调性【设计意图】梳理一个具体函数的研究内容并用表格呈现出来，这为本节课后面的研究搭建了框架，有助于学生建立研究具体函数的一般思路.此外，将研究结论通过表格形式呈现，便于学生将几种函数的图象和性质进行对比，发现规律.环节2：探究五个幂函数各自的图象和性质.问题4：将函数y=x，y=x2，y=x-1的图象和性质填入表格相应位置.师生活动：根据初中所学相应结论，学生代表将黑板上函数y=x，y=x2，y=x-1的对应表格补充完整，其余学生在笔记本上完成.教师针对黑板上表格的填写情况进行适当点评，如定义域、值域要写成集合形式，y=x-1单调区间的写法等，如表2所示.表2问题5：如何得到函数y=x3的图象？师生活动：学生回答“列表、描点、作图”.追问1：自变量取哪些值进行描点？师生活动：学生可能取-2，-1，0，1，2.追问2：能不能减少描点的个数？师生活动：教师引导学生思考哪种性质对函数的研究有事半功倍的作用.学生经过思考，不难发现y=x3是奇函数，图象关于原点对称，可以先作出y=x3在y轴右侧的图象，再根据对称性就可以得到y轴左侧的图象了.学生在笔记本上完成作图并填写函数性质，学生代表展示结论，师生点评并总结出研究函数时可以在明确定义域后优先考查函数的奇偶性.【设计意图】通过函数y=x3的图象与性质的探究过程，使学生体会到：在研究函数的过程中，为了提高研究效率，应该优化研究顺序，如优先考查函数的奇偶性.问题6：如何探究函数y=x 12的图象和性质？师生活动：学生根据上一问题总结的经验，考虑优先考查函数的奇偶性.追问1：函数y=x 12的奇偶性如何？师生活动：学生发现函数y=x 12的定义域不关于原点对称，从而判断出函数y=x 12为非奇非偶函数.追问2：既然奇偶性可以不借助图象判断，那么单调性是否也可以直接判断呢？师生活动：学生经过思考认为可以用单调性的定义来判断.追问3：用定义判断函数单调性的步骤是什么？师生活动：学生回忆前面所学知识，回答出“任取—作差—整理—断号—结论”的步骤.进而师生依照步骤判断函数y=x 12的单调性.其中，“整理”这一步对学生而言是个难点，学生很难独立想到“分子有理化”的方法，需要教师介绍.师生共同完成对函数的单调性的判断.追问4：根据函数y=x 12的定义域、奇偶性和单调性，你能否画出它的示意图？师生活动：学生在笔记本上作出符合定义域、奇偶性和单调性的函数示意图，但不同学生的示意图凹凸性可能有所不同.教师巡视并将典型的示意图拍照展示.教师引导学生认识到可以通过描出几个特殊点来判断函数图象的走势，并在课堂上运用信息技术快速得到函数y=x12的图象.教师要帮助学生认识到对函数性质的研究，可以让我们对函数的图象有一个大致的认识，对性质探究得越深入、细致，对图象的刻画就越精细，在后续课程中还会对函数的更多性质进行研究.【设计意图】初中阶段，学生大多数情况下只能通过图象来直观感知函数的性质.在前几节课中，我们用精确的符号语言定义了函数的单调性和奇偶性，学生可以直接通过函数的解析式分析函数的性质.这就使得我们可以根据函数的性质分析图象的特征，从而丰富了得到函数图象的方法.对函数y=x12的图象与性质的教学设计，是为了让学生经历更多的探究方式，感受多种探究方式的特点，为今后更加灵活、高效地研究具体函数做准备.此外，数与形是相互联系、相互转化的，因此从形来认识数、从数来认识形都是教学中要引导学生体会的，这里的设计也有这样的目的.环节3：探究幂函数的性质.问题7：通过对这五个函数的分析，我们发现他们的图象和性质有着各自的特点，那么它们作为一类函数，有没有什么共性呢？我们将这五个函数的图象放到同一坐标系中观察一下，有什么发现吗？师生活动：教师展示五个幂函数在同一坐标系下的图象，学生观察图象发现它们存在公共点，师生从数的角度说明这个点是所有幂函数的必过点.学生还可能发现这五个函数图象都经过第一象限，都不经过第四象限.教师可以引导学生从函数的奇偶性、单调性、渐近性等角度对这几个函数的性质进行梳理.学生通过前面总结的表格容易猜想“α为奇数的幂函数是奇函数，α为偶数的幂函数为偶函数”，证明留给学生课下完成.对于幂函数在()0，+∞上的单调性，学生可能会猜想“当α>0时，幂函数在()0，+∞上单调递增；当α<0时，幂函数在()0，+∞上单调递减”.教师肯定学生的认真观察和积极思考，建议学生课后作出更多幂函数的图象来进一步验证猜想，对于比较肯定的猜想可以尝试加以论证，并告诉学生这就是科学研究经常用到的方法.对于学生发现的性质，如果时间允许，教师可以通过信息技术软件演示验证.【设计意图】幂函数作为一类函数，是否存在共性和规律呢？这是由特殊到一般的探究思路.学生通过研究五个特殊幂函数的图象和性质，容易对一般幂函数的性质进行猜想.在这个过程中，学生从形到数，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决部分问题的过程，体会数与形的联系，提升“四能”.此外，由特殊到一般，观察、猜想、论证的过程也正是很多科学研究的过程，学生经历这样的过程有助于体会科学研究的方法，提升科学探究的能力.3.幂函数的应用问题8：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.（1）()-1.53，()-1.43；（2）1.5，1.4.师生活动：学生经过思考，利用本节课所学函数的单调性比较大小，口答结论.教师根据学生的作答情况，进行追问或点评.【设计意图】该问题是幂函数性质的简单应用.学生通过解答该题，体会利用函数的单调性比较大小的方法.问题9：已知函数f()x=x3，且f()t2+t+1<-f()2-t2，求实数t的取值范围.师生活动：学生经过思考，利用本节课所学函数y=x3的性质进行解答.学生之间可以互相启发和补充.教师根据学生的作答情况，进行引导、追问和点评.【设计意图】该问题是幂函数性质（奇偶性、单调性）的综合应用.4.课堂小结问题10：通过今天的学习，你认为对一个新函数应该研究哪些内容？如何研究？师生活动：师生共同归纳出研究函数的步骤.（1）明确函数的概念及定义域.（2）探究函数的图象与性质.（3）函数的应用：数学应用、实际应用、科学应用.其中，对于函数图象与性质的探究，在初中主要是先作出图象，再探究性质.通过前面几节课的学习，我们对函数的性质有了更进一步的认识，既可以通过图形语言来直观感知，也可以运用符号语言来严谨论证.数与形的联系更加紧密，图象与性质的研究方法更加灵活，希望学生课下认真体会.【设计意图】学生回顾研究函数的过程、内容和方法，强化基本活动经验.用精确的符号语言定义函数的性质后，教师引导学生体会函数图象与性质的研究方法更加丰富，数与形的联系更加密切，数与形的转化更加灵活.五、目标检测设计1.已知幂函数y=f()x的图象经过点()2，2，试求出这个函数的解析式.【设计意图】考查幂函数的定义.2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.（1）()-1.5-1，()-1.4-1；（2）()-1.52，1.42.【设计意图】考查幂函数y=x-1和y=x2的性质. 3.试独立探究函数f()x=x-2的图象和性质.【设计意图】考查探究函数图象与性质的方法.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.。

幂函数（一）教学目标 1．知识与技能（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象. （2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质. 2．过程与方法（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力. （2）使学生进一步体会数形结合的思想. 3. 情感、态度、价值观（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.（二）教学重点、难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质. 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小. （三）教学方法采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.利用实物投影仪及计算机辅助教学. （四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入（多媒体显示以下5个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S21，这里a是S的函数.问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t－1 km/s，这里v是t的函数.学生阅读、思考、交流、口答，教师板演．师：观察上述例子中函数模型，这几个函数表达式有什么共同特征？生：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量. 变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.（引入新课，书写课题）培养学生的观察、归纳、概括能力，形成概念幂函数的定义一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α师：请同学们举出几个具体的幂函数.理解幂函数的定义.是常数.生：如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.深化概念1.研究幂函数的图像（1）y x=（2）12y x=（3）2y x=（4）1y x-=（5）3y x=2.通过观察图像，填P86探究中的表格y x=2y x=定义域R R奇偶性奇奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增定点（1，1）（1，1）3y x=12y x=1y x-=R {}|0x x≥{}|0x x≠奇非奇非偶奇引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.探究幂函数的性质和图像的变化规律，y x=12y x=y=x3y=x-1在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减（1，1） （1，1） （1，1） 3.幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？） 当0<α＜1时，x ∈（0，1），y x α=的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x轴的正半轴.应用举例例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x52；（2）y=x43-；（3）y=x－2.例1分析：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.解：（1）函数y=x52，即y=52x，其定义域为R，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减.（2）函数y=x43-，即y=431x，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减.（3）函数y=x－2，即y=21x，其定掌握幂函数知识的应用.4.幂函数f （x ）=ax mm82-（m ∈Z ）的图象与x 轴和y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a 和m .的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了. （2）当底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较.课堂练习答案： 1. C 2. D3. D4. a =1，m =1，3，5，7.归纳 总结1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象和性质.3.幂值的大小比较方法.学生先自回顾反思，教师点评完善．形成知识体系.课后 作业作业：2.3 第一课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力备选例题例1 已知221(22)23m y m m x n -=+-+-是幂函数，求m ，n 的值.【解析】由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=-+0320112222n m m m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=233n m ， 所以23,3=-=n m . 【小结】做本题时，常常忽视m 2 + 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件. 表达式y =αx (x ∈R )的要求比较严格，系数为1，底数是x ，α∈R 为常数，如221-==x xy ，y = 1 = x 0为幂函数，而如y = 2x 2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.例2 比例下列各组数的大小. （1）8787)91(8---和；（2）(–2)–3和(–2.5)–3； （3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1； （4）533252)9.1()8.3(,)1.4(--和. 【解析】（1）8787)81(8-=--，函数87x y =在(0, +∞)上为增函数，又9181>，则8787)91()81(>，从而8787)91(8-<--.（2）幂函数y = x –3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数， 又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3. （3）幂函数y = x –0.1在(0, +∞)上为减函数， 又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1. （4）52)1.4(＞521= 1；0＜32)8.3(-＜321-= 1；53)9.1(-＜0， ∴53)9.1(-＜32)8.3(-＜52)1.4(.【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.。