人教版第27章相似学案

27.2.1相似三角形的判定（三）一、复习回顾我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ 画出图形，并用符号表示。

二、学习目标:(1) 初步掌握 “两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．(2) 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 三、探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS 方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？ （画图，自主展开探究活动）四、总结交流两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似． 用符号语言表示这个判定方法：五、尝试练习：根据下列条件，判断ABC 与'''A B C 是否相似，并说明理由：(1)120,7,14.A AB cm AC cm ︒∠=== '''120,3,''6.A A B cm A C cm ︒∠=== (2)4,6,8,AB cm BC cm AC cm ===''12,''18,''21,A B cm B C cm A C cm ===(3)30,6,12.A AB cm BC cm ︒∠=== '''30,3,''6.A A B cm A C cm ︒∠===想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画出图形说明。

六、巩固练习课本练习（新第45页，旧第47页） 七、拓展练习:1.在正方形ABCD 中，E 为AD 上的中点, F 是AB 的四分一等分点，连结EF 、EC ；△AEF 与△DCE 是否相似?说明理由.2.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求AD 的长．3.如图，已知AB•A E=AC求证：△ABC ∽△ADE ．4. 如图，已知E 为△且AC 2=AB •AE ，求证：△27.2.1一、复习回顾二、学习目标 1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 三、自主探究课本探究（新第46页，旧第48页） 你的结论是：画出图形并用符号语言表示：四、尝试练习如图，O 的弦AB 与CD 相交于点P,求证：PA PB PC PD五、巩固练习课本练习（新第48页，旧第49页）七、拓展练习:1. 如图,2. 如图,补充条件使△ABC 与△ACE 相似。

人教版九年级数学《相似》全章导学案第1课时图形的相似知识点1：相似图形的概念【例1】下列图形不是相似图形的是( C )A. 同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中的原有图案和放大图案C. 某人的侧身照片和正面照片D. 大小不同的两张同版本中国地图,1. 如图1－27－68－1，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是( A )图1－27－68－1A. 相似B. 平移C. 轴对称D. 旋转知识点2：相似图形的识别【例2】下列四组图形不是相似图形的是( D ),2. 观察下列各组图形，其中不相似的是( A )知识点3：比例尺的计算【例3】在一幅比例尺是1∶1 000 000的地图上，量得北京到天津的距离是12 cm，则北京到天津的实际距离是120km.,3. 要建一个长40 m，宽20 m的厂房，在比例尺是1∶500的图纸上，长要画cm( B )A. 5B. 8C. 7D. 6知识点4：画相似图形【例4】如图1－27－68－2的左边的格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.图1－27－68－2略.,4. 图1－27－68－3中的三角形称为格点三角形，请画出一个与图中三角形相似的格点三角形.图1－27－68－3略.A组5. “相似的图形”是指( A )A. 形状相同的图形B. 大小不相同的图形C. 能够重合的图形D. 大小相同的图形,6. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是( D )A. 图形中线段的长度与角的大小都会改变B. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变7. 如图1－27－68－4，下面选项中的四个图形与其相似的是( C )图1－27－68－4A B C D,8. 下列各组图形相似的是( B )B组9. 下列各组图形一定相似的是( C )A. 两个菱形B. 两个矩形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形,10. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形. 其中，一定相似的有①②④⑤.(填序号)11. 在比例尺是1∶1 000 000的地图上量得广州到深圳的距离是16 cm，广州到深圳的实际距离是160km.,12. 两地实际距离为2 000 m，图上距离为2 cm，则这张地图的比例尺为( D )A. 1 000∶1B. 100 000∶1C. 1∶1 000D. 1∶100 000C 组13. 在比例尺是1∶25 000 000的地图上，量得北京到上海的距离长4.2 cm ，如果一列直达火车以每小时175 km 的速度从上海开出，经过几小时可以到达北京？解：由题意，得 4.2×25 000 000＝105 000 000(cm)＝1 050(km). ∴1 050÷175＝6(h).∴经过6 h 可以到达北京.,14. 下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( D )第2课时 相似多边形及其性质知识点1：成比例线段【例1】下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. a ＝2，b ＝6，c ＝4，d ＝12 B. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C. a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝1,1. 以下列长度(同一单位)为长的四条线段中，不成比例的是( C ) A. 2,5,10,25 B. 4,7,4,7C. 2，12，12，4 D. 2，5，2 5，5 2知识点2：相似多边形的性质【例2】如图1－27－69－1，四边形CDEF 与四边形C ′D ′E ′F ′相似，求未知边x ，y 的长度和角β的度数.图1－27－69－1解： x ＝12，y ＝20，β＝80°.,2. 如图1－27－69－2的两个五边形相似，求未知边a ，b ，c ，d 的长度.图1－27－69－2解： a ＝3，b ＝4.5，c ＝4，d ＝6. 知识点3：相似多边形的判定【例3】如图1－27－69－3，一个矩形广场的长为100 m ，宽为80 m ，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m ，如果设两条横向小路的宽都为x m ，那么当x 为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？图1－27－69－3解：当100－1.5×2100＝80－2x 80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.解得x ＝1.2.答：当x 为1.2时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似. ,3. 如图1－27－69－4，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ＝12，AB ＝6，设AB 与A′B′，BC 与B′C′，CD 与C′D′，DA 与D′A′之间的距离分别为a ，b ，c ，d ，a ＝b ＝c ＝d ＝2，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD 吗？为什么？图1－27－69－4解：不相似，理由如下： ∵AD A′D′＝128＝32，AB A′B′＝62＝3， ∴AD A′D′≠AB A′B′. ∴不相似.A 组4. 下列线段成比例的是( C ) A. 1,2,3,4 B. 5,6,7,8 C. 1,2,2,4 D. 3,5,6,9,5. 下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. 1 cm,2 cm,20 cm,40 cm B. 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm C. 4 cm,2 cm,1 cm,5 cmD. 5 cm,10 cm,15 cm,20 cm B 组6. 如图1－27－69－5的相似四边形，求未知边x ，y 的长度和角α的大小.图1－27－69－5解：x ＝632，y ＝27，α＝88°.,7. 如图1－27－69－6，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似，且AD ＝BC ，DC ∥AB ，∠A ＝∠B ，∠A′＝65°，A′B′＝6 cm ，AB ＝8 cm ，AD ＝5 cm ，试求：四边形ABCD 各角的度数与A ′D ′，B ′C ′的长.图1－27－69－6解：四边形ABCD 各角的度数分别为∠A ＝65°， ∠B ＝65°，∠C ＝115°，∠D ＝115°，B′C′＝A′D′＝154cm .8. 在一张由打印机打印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这个多边形的另一条边由原来4 cm 变成了( C )A . 4 cmB . 8 cmC . 16 cmD . 32 cm ,9. 已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10 cm 和4 cm ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6 cm ，那么四边形A 1B 1C 1D 1的最长边的长是 15 cm .C 组10. 将一个三角形和一个矩形按照如图1－27－69－7的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( A )图1－27－69－7A . 新三角形与原三角形相似B . 新矩形与原矩形相似C . 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似D. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似,11. 如图1－27－69－8，已知矩形ABCD 与矩形BCFE 相似，且AD ＝AE ，求AB ∶AD 的值.图1－27－69－8解：依题意，得 AB AD ＝BC BE ，即AB AD ＝AD AB －AD . ∴AB AD ＝1ABAD－1. 解得AB ∶AD ＝1＋52(负值已舍去).第3课时 相似三角形的简单性质知识点1：找相似三角形的对应边、对应角【例1】如图1－27－70－1，已知△ADE ∽△ABC ，AD ＝2，BD ＝3. (1)写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式； (2)求△ADE 与△ABC 的相似比.图1－27－70－1解：(1)相似三角形的对应角为∠A 与∠A ，∠ADE 与∠ABC ，∠AED 与∠ACB ；对应边的比例式为AD AB ＝AE AC ＝DEBC .(2)25.1. 如图1－27－70－2，已知△OAB ∽△OCD ，且DC ∥AB ，请写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式.图1－27－70－2解：相似三角形的对应角为∠A 与∠C ，∠B 与∠D ，∠AOB 与∠COD ；对应边的比例式为OA OC ＝OB OD ＝AB CD .知识点2：相似三角形简单性质的直接运用【例2】如图1－27－70－3，已知△ABC ∽△DEF ，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－3解： x ＝6，y ＝72. ,2. 如图1－27－70－4，△ABC 与△DEF 相似，∠B ，∠E 为钝角，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－4解： x ＝12，y ＝7或x ＝967，y ＝647.知识点3：相似三角形简单性质的综合运用【例3】如图1－27－70－5，D ，E 分别是AC ，AB 边上的点，△ADE ∽△ABC ，且DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，求AE ，BE 的长.图1－27－70－5解：∵△ADE ∽△ABC ， ∴AE AC ＝AD AB ＝DE BC. ∵DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，∴AC ＝12. ∴AE ＝4，AB ＝9. ∴BE ＝AB －AE ＝5.3. 如图1－27－70－6，AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°，且△ABC ∽△DAC. (1)求∠BAD 的大小； (2)求DC 的长.图1－27－70－6解：(1)∵△ABC ∽△DAC ， ∴∠DAC ＝∠B ＝36°， ∠BAC ＝∠D ＝117°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴AC DC ＝BC AC. 又∵AC ＝4，BC ＝6，∴DC ＝83.A 组4. 已知△ABC ∽△A 1B 2C 2，如果∠A ＝40°，那么∠A 1等于( A ) A. 40° B. 80° C. 140° D. 20°,5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为( C )A. 3 cmB. 4 cmC. 4.5 cmD. 5 cmB 组6. 如图1－27－70－7，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA . 若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为 6 .图1－27－70－7,7. 如图1－27－70－8，在正方形网格中有两个相似三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为( D )图1－27－70－8A . 105°B . 115°C . 125°D . 135°8. 如图1－27－70－9，已知△ABC ∽△AED ，AD ＝5 cm ，AC ＝10 cm ，AE ＝6 cm ，∠A ＝66°，∠ADE ＝65°，求AB 的长及∠C 的度数.图1－27－70－9解：∵△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝65°，∴∠C ＝∠ADE ＝65°，AD AC ＝AEAB.∴510＝6AB. 解得AB ＝12(cm ).,9. 如图1－27－70－10，已知△ABC ∽△DEC ，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ，求AD 的长.图1－27－70－10解：∵△ABC ∽△DEC ， ∴AC DC ＝BC EC. ∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ， ∴3DC ＝46. ∴DC ＝92(cm ).∴AD ＝3＋92＝152(cm ).C 组10. 如图1－27－70－11，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB .(1)求∠APB 的大小.(2)说明线段AC ，CD ，BD 之间的数量关系.图1－27－70－11解：(1)∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD ＝60°.∴∠A ＋∠APC ＝60°. ∵△ACP ∽△PDB. ∴∠APC ＝∠PBD. ∴∠A ＋∠B ＝60°. ∴∠APB ＝120°.(2)∵△ACP ∽△PDB ，∴AC PD ＝PCBD.又∵PC ＝PD ＝CD ，∴CD 2＝AC·BD.11. 如图1－27－70－12，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长.图1－27－70－12解： ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠A ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠PAD ＝∠PBC ＝90°. AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4， 设AP 的长为x ，则BP 的长为 8－x .若AB 边上存在点P ，使△P AD 与△PBC 相似，则分下列两种情况. ①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x )＝3∶4.解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ， 即x ∶4＝3∶(8－x ).解得x ＝2或x ＝6.综上所述，AP ＝247或AP ＝2或AP ＝6.第4课时 相似三角形的判定(1)——平行线法知识点1：平行线分线段成比例【例1】如图1－27－71－1，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD AB ＝13，AE ＝1，则EC 等于( B )图1－27－71－1A . 1B . 2C . 3D. 4 ,1. 已知l 1∥l 2∥l 3，直线AB 和CD 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，E ，B 和点C ，F ，D. 若AE ＝2，BE ＝4，则CFCD的值为( B )图1－27－71－2A . 12B . 13C . 23 D. 34知识点2：相似三角形的判定——平行线法【例2】如图1－27－71－3，DE 是△ABC 的中位线. 那么△ADE 和△ABC 是否相似？说明理由.图1－27－71－3解：△ADE 和△ABC 相似. 理由如下： ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC.∴△ADE ∽△ABC. ,2. 如图1－27－71－4，已知AB ∥CD ∥EF ，请你找出图中所有的相似三角形.图1－27－71－4解：△AOB ∽△DOC ， △AOB ∽△FOE ，△DOC ∽△FOE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－71－5，DE ∥BC ，且AD ＝3，AB ＝5，CE ＝3，求AE 的长.图1－27－71－5解：AE ＝4.5.,3. 如图1－27－71－6，AB 与CD 相交于点O ，AC ∥BD ，AO BO ＝35，AC ＝9，求BD 的长.图1－27－71－6解：BD ＝15.A 组4. 如图1－27－71－7，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，已知AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，则EF 的长为( C )图1－27－71－7A . 12B . 9C . 8 D. 4,5. 如图1－27－71－8，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为( B )图1－27－71－8A . 6B . 9C . 12D . 15 B 组6. 如图1－27－71－9，已知DE ∥BC ，AE ＝50 cm ，EC ＝30 cm ，BC ＝70 cm ，∠A ＝45°，∠C ＝40°，求：(1)∠AED 和∠ADE 的度数； (2)DE 的长.图1－27－71－9解：(1)∠AED 和∠ADE 的度数分别为40°，95°.(2)DE ＝1754cm.,7. 如图1－27－71－10，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，若EC ∶AB ＝2∶3，EF ＝4，求BF 的长.图1－27－71－10解：BF 的长为6. C 组8. 如图1－27－71－11，用三个完全一样的菱形ABGH ，BCFG ，CDEF 拼成平行四边形ADEH ，AE 与BG ，CF 分别交于点P ，Q . 若AB ＝6，求线段BP 的长.图1－27－71－11解：由菱形的性质可知，AD ＝3AB ＝18，DE ＝6. ∵BP ∥DE ，∴△ABP ∽△ADE. ∴BP DE ＝AB AD ，即BP 6＝618. 解得BP ＝2.,9. 如图1－27－71－12，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G.(1)填空：图中与△CEF 相似的三角形有 △DAF ，△BEA ，△GFA ；(写出图中与△CEF 相似的所有三角形)(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似.图1－27－71－12解：(2)略.第5课时 相似三角形的判定(2)——三边法和两边及其夹角法知识点1：相似三角形的判定——三边法【例1】如图1－27－72－1，O 为△ABC 内一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，求证：△DEF ∽△ABC.图1－27－72－1证明：∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，∴DE ＝12AB ，EF ＝12BC ，DF ＝12AC ，即DE AB ＝EF BC ＝DFAC.∴△DEF ∽△ABC.,1. 如图1－27－72－2，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么△ABC 与△A 1B 1C 1是否相似？为什么？图1－27－72－2解：相似. 理由如下：∵AB ＝5，AC ＝10，BC ＝5， A 1B 1＝2，A 1C 1＝2，B 1C 1＝10， ∴AB A 1B 1＝102，AC A 1C 1＝102，BC B 1C 1＝102.∴AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝BCB 1C 1. ∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.知识点2：相似三角形的判定——两边及其夹角法【例2】如图1－27－72－3，D ，E 分别是△ABC 两边AB ，AC 上的点，AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4，EC ＝2. △ADE 与△ACB 是否相似，并说明理由.图1－27－72－3解：相似.理由如下：∵AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4， EC ＝2， ∴AD AC ＝34＋2＝12，AE AB ＝43＋5＝12. ∴ AD AC ＝AE AB .∵∠A ＝∠A ，∴△AED ∽△ABC.,2. 如图1－27－72－4，AB·AE ＝AD·AC ，且∠1＝∠2，求证：△ABC ∽△ADE.图1－27－72－4证明：∵AB·AE ＝AD·AC ，∴AB AD ＝ACAE.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠BAE ，即∠BAC ＝∠DAE. ∴△ABC ∽△ADE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－72－5，D 是△ABC 的边AB 上的一点，BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2.(1)△BCD 与△BAC 相似吗？请说明理由；(2)若CD ＝53，求AC 的长.图1－27－72－5解：(1)△BCD ∽△BAC. 理由如下：∵BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2，∴BD BC ＝432＝23，BC BA ＝23. ∴BD BC ＝BC BA. 而∠DBC ＝∠CBA ，∴△BCD ∽△BAC.(2)∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BCBA ，即53AC ＝23.∴AC ＝52.,3. 如图1－27－72－6，已知四边形ABCD ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5.(1)证明：△ABC ∽△DCA ； (2)求AD 的长.图1－27－72－6(1)证明：∵AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5， ∴AB CD ＝BC AC ＝45且∠B ＝∠ACD. ∴△ABC ∽△DCA.(2)解：∵△ABC ∽△DCA ， ∴AC AD ＝BC AC ＝45. ∴5AD ＝45. ∴AD ＝254.A 组4. 如图1－27－72－7，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由.图1－27－72－7解：△ABC ∽△DBE.理由如下： ∵AC DE ＝BC BE ＝AB DB ＝12， ∴△ABC ∽△DBE.,5. 如图1－27－72－8，AC ＝20，BC ＝10，EC ＝16，CD ＝8，证明：△ABC 和△EDC 相似.图1－27－72－8证明：∵AC EC ＝2016＝54， BC CD ＝108＝54， ∴AC EC ＝BC CD. 又∵∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ∽△EDC. B 组6. 如图1－27－72－9，点D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点. 求证：△DEF ∽△ABC .图1－27－72－9证明：∵点 D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点， ∴EF ，FD ，DE 为△ABC 的中位线.∴EF ＝12BC ，FD ＝12AC ，DE ＝12AB.∴EF BC ＝FD AC ＝DE AB ＝12. ∴△DEF ∽△ABC.,7. 如图1－27－72－10，AD ，BC 交于点O ，AO·DO ＝CO·BO ，求证：△ABO ∽△CDO.图1－27－72－10解：∵AO·DO ＝CO·BO ， ∴AO CO ＝BO DO. 而∠AOB ＝∠COD ， ∴△ABO ∽△CDO.C 组8. 如图1－27－72－11，在正方形ABCD 中，P 是BC 边上的点，BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点. 求证：△QCP ∽△ADQ .图1－27－72－11证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°. ∵BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，∴CP ＝14BC ，CQ ＝DQ ＝12CD .∴CP ∶DQ ＝CQ ∶DA ＝1∶2.∴△QCP ∽△ADQ .,9. 如图1－27－72－12，四边形ABEG ，GEFH ，HFCD 都是边长为a 的正方形，△AEF 与△CEA 相似吗？为什么？图1－27－72－12解：△AEF 与△CEA 相似.理由如下： 由勾股定理，得AE ＝AB 2＋BE 2＝2a. ∴AE EF ＝2a a ＝2， EC AE ＝2a 2a ＝ 2. ∴AE EF ＝EC AE. 又∵∠AEF ＝∠CEA ， ∴△AEF ∽△CEA. 第6课时 相似三角形的判定(3)——两角法知识点1：相似三角形的判定——两角法【例1】如图1－27－73－1，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在AC 上(不与A ，C 重合)，∠ABD ＝∠ACB ，求证：△ABD ∽△ACB.图1－27－73－1证明：∵∠BAD ＝∠CAB ，∠ABD ＝∠ACB ， ∴△ABD ∽△ACB.,1. 如图1－27－73－2，DE ∥AB ，AD ∥BC ，求证：△EAD ∽△ACB.图1－27－73－2解：∵DE ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠DEA. ∵AD ∥BC ， ∴∠C ＝∠DAE.∴△EAD ∽△ACB.知识点2：相似三角形判定与性质的综合应用【例2】如图1－27－73－3，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上一点，且∠AED ＝∠B. 若AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6.(1)求证：△AED ∽△ABC ； (2)求DE 的长.图1－27－73－3(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC.(2)解：∵△AED ∽△ABC ， ∴AE AB ＝DE CB. ∵AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6，∴59＝DE6.解得DE ＝103.∴DE 的长为103.,2. 如图1－27－73－4，AB ，CD 相交于点O ，且∠C ＝∠B ，若AC ＝4 cm ，AO ＝3 cm ，BD ＝8 cm.(1)求证：△AOC ∽△DOB ； (2)求OD 的长.图1－27－73－4(1)证明：∵∠C ＝∠B ，∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC∽△DOB.(2)解：∵△AOC∽△DOB，∴ACDB＝OAOD，即48＝3OD.解得OD＝6(cm).∴OD的长为6 cm.知识点3：圆中的相似三角形【例3】如图1－27－73－5，⊙O的弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，求证：△BDP ∽△CAP.图1－27－73－5证明：∵∠A与∠D都为所对的圆周角，∠B与∠C都为所对的圆周角，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.∴△BDP∽△CAP.,3. 如图1－27－73－6，延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE.图1－27－73－6解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.又∵∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠B＝∠EDC.∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△CDE.A组4. 如图1－27－73－7，AB∥DE，AC∥DF，点B，E，C，F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF.图1－27－73－7证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠F. ∴△ABC ∽△DEF.,5. 如图1－27－73－8，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC. 求证：△ABC ∽△BDC.图1－27－73－8证明：∵∠A ＝30°，∠C ＝90°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠DBC. 又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC. B 组6. 如图1－27－73－9，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∠B ＝∠D. (1)△ABC 与△ADE 相似吗？为什么？(2)已知AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，求DE 的长.图1－27－73－9解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ，即∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE.(2)由(1)知，△ABC ∽△ADE ，则AB AD ＝BCDE .∵AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，∴2AD AD ＝8DE.解得DE ＝4(cm )，即DE 的长是4 cm . ,7. 如图1－27－73－10，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高. 求证： (1)△ACD ∽△ABC ；(2)△CBD ∽△ABC .图1－27－73－10证明：(1)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°. ∴∠ADC ＝∠ACB. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.(2)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°. ∴∠BDC ＝∠ACB. ∵∠B ＝∠B ，∴△CBD ∽△ABC. C 组8. 如图1－27－73－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的角平分线. (1)△ABC 与△BDC 相似吗？请说明理由； (2)求证：AD 2＝AB ·CD .图1－27－73－11(1)解：相似. 理由如下： ∵在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠A ＝36°，∴∠ABC ＝180°－36°2＝72°.∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBD ＝12∠ABC ＝36°.∴∠CBD ＝∠A .又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC . (2)证明：∵△ABC ∽△BDC ， ∴BC DC ＝ACBC. ∴BC 2＝AC ·CD . 由题意，可得BC ＝BD ＝AD . 又∵AB ＝AC ，∴AD 2＝AB ·CD .,9. 如图1－27－73－12，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连接BD .(1)求证：△ABD ∽△AEC ；(2)试写出图中其他各对相似三角形.图1－27－73－12(1)证明：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC. ∵∠D ＝∠C ， ∴△ABD ∽△AEC.(2)解：△AEC ∽△BED ， △BED ∽△ABD.第7课时 相似三角形的简单性质与判定的综合习题课知识点1：求线段的长【例1】如图1－27－74－1，AD 与BC 交于O 点，∠A ＝∠C ，AO ＝4，CO ＝2，CD ＝3，求AB 的长.图1－27－74－1解：∵∠A ＝∠C ， ∠AOB ＝∠COD ， ∴△AOB ∽△COD. ∴AB CD ＝AO CO ， 即AB 3＝42. ∴AB ＝6. ,1. 如图1－27－74－2，在△ABC 中，点D 在AB 边上，∠ABC ＝∠ACD ， AD ＝2，AB ＝5. 求AC 的长.图1－27－74－2解：∵∠ABC ＝∠ACD ， ∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD.AD AC∵AD ＝2，AB ＝5， ∴AC 2＝5AC .∴AC ＝10.知识点2：证明角相等【例2】如图1－27－74－3，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 上，已知AE·AB ＝AD·AC ，求证：∠B ＝∠ADE.图1－27－74－3解：∵AE·AB ＝AD·AC ，∴AE AC ＝AD AB . ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC.∴∠B ＝∠ADE. ,2. 如图1－27－74－4，在△ABC 中，D ，E 分别为BC 边上的两点，且AC AD ＝AB DE ＝BCAE，求证：∠B ＝∠AEB.图1－27－74－4证明：∵AC AD ＝AB DE ＝BC AE， ∴△ABC ∽△DEA. ∴∠B ＝∠AED.知识点3：证明等比式 【例3】如图1－27－74－5，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，证明：AD AE ＝ACAB.图1－27－74－5解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ， ∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADC ∽△AEB .AE AB,3. 如图1－27－74－6，在平行四边形ABCD 中，F 为AD 上一点，CF 的延长线交BA延长线于点E . 求证：DC BE ＝DFBC.图1－27－74－6证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D ，BE ∥CD. ∴∠E ＝∠ECD. ∴△DCF ∽△BEC. ∴DC BE ＝DFBC .知识点4：证明等积式【例4】如图1－27－74－7，在△ABC 中，∠ADE ＝∠ABC ，BD ，CE 交于点O. 求证：AE·AB ＝AD·AC.图1－27－74－7证明：∵∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠ABC ， ∴△ADE ∽△ABC.∴ AE AC ＝AD AB . ∴AE·AB ＝AD·AC.,4. 如图1－27－74－8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，证明：AC 2＝AB ·AD .图1－27－74－8证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽∠ABC . ∴AC AB ＝AD AC . ∴AC 2＝AB ·AD .知识点5：证明线段平行或垂直【例5】如图1－27－74－9，AB 与CD 相交于点O ，OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185.求证：AC ∥BD .图1－27－74－9证明：∵OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185，∴OA OB ＝OC OD ＝35. 而∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ∽△BOD. ∴∠A ＝∠B. ∴AC ∥BD.,5. 如图1－27－74－10，在△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AB ，BC 上的点，且BD·AB ＝BE·BC. 求证：DE ⊥AB.图1－27－74－10证明：∵BD·AB ＝BE·BC ，∴BD BC ＝BE BA. 又∵∠DBE ＝∠CBA ， ∴△BDE ∽△BCA. ∴∠BDE ＝∠C ＝90°，即DE ⊥AB .知识点6：圆中的相似三角形【例6】如图1－27－74－11，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，，AC 交BD 于点E ，CE ＝4，CD ＝6.(1)求证：△CDE ∽△CAD ； (2)求AE 的长.图1－27－74－11(1)证明：∵， ∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠CDE. ∵∠ACD ＝∠DCE ， ∴△CDE ∽△CAD.(2)解：∵△CDE ∽△CAD ， ∴CE CD ＝CD CA ，即46＝6CA . 解得CA ＝9.∴AE ＝AC －CE ＝9－4＝5.,6. 如图1－27－74－12，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C ，连接BC.(1)求证：∠BAC ＝∠CBP ； (2)求证：PB 2＝PA·PC.图1－27－74－12证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ACB ＝∠ABP ＝90°.∴∠BAC ＋∠ABC ＝∠ABC ＋∠CBP ＝90°. ∴∠BAC ＝∠CBP.(2)∵∠ABP ＝∠PCB ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△ABP ∽△BCP . ∴PB P A ＝PC PB . ∴PB 2＝P A ·PC .A 组7. 如图1－27－74－13，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE BC ＝25，AD ＝4，求BD 的长度.图1－27－74－13解：BD ＝6.,8. 如图1－27－74－14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D . 求BD 的长.图1－27－74－14解：BD ＝6.B 组9. 如图1－27－74－15，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝9 cm ，DB ＝4 cm ，求CD 和AC 的长.图1－27－74－15解：如答图27－74－1，连接BC. ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，可得△ADC ∽△CDB ，△ADC ∽△ACB.由△ADC ∽△CDB ，得CD BD ＝ADCD，即CD 2＝AD·DB ＝36. 解得CD ＝6(cm).答图27－74－1由△ADC ∽△ACB ，得AC AB ＝ADAC，即AC 2＝AB·AD ＝117. 解得AC ＝313(cm ).∴CD 的长为6 cm ，AC 的长为313 cm. ,10. 如图1－27－74－16，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且△ABC 三个顶点都在⊙O 上，求证：AB ·AC ＝AE ·AD .图1－27－74－16证明：如答图27－74－2，连接CE. 由圆周角定理可知，∠B ＝∠E. ∵∠ADB ＝∠ACE ＝90°， ∠B ＝∠E ，∴△ADB ∽△ACE .答图27－74－2∴AB ∶AE ＝AD ∶AC. ∴AB·AC ＝AE·AD.C 组11. 如图1－27－74－17，边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 上的点(D ，E 与顶点不重合)，∠BDE ＝60°.(1)求证：△ABD ∽△CDE ；(2)设CD ＝x ，BE ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最小值.图1－27－74－17(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠C ＝60°. ∵∠BDE ＝60°，∴∠ADB ＋∠CDE ＝120°. ∵∠ABD ＋∠ADB ＝120°， ∴∠ABD ＝∠CDE. ∵∠A ＝∠C ， ∴△ABD ∽△CDE.(2)解：∵△ABD ∽△CDE ，∴AD CE ＝ABCD.∴CE ＝x(4－x)4 ＝－14x 2＋x.∴y ＝4－CE ＝14x 2－x ＋4.∵y ＝14(x －2)2＋3，∴y 的最小值为3. ,12. 如图1－27－74－18，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动；点Q 从点C 出发，以1 cm /s 的速度向点A 移动.若点P ，Q 分别从点B ，C 同时出发，设运动时间为t s ，当t 为何值时，△CPQ 与△CBA 相似？图1－27－74－18解：分以下两种情况.①当CP 和CB 是对应边时，△CPQ ∽△CBA ，∴CP CB ＝CQCA ，即16－2t 16＝t 12. 解得t ＝4.8；②当CP 和CA 是对应边时， △CPQ ∽△CAB ，∴CP CA ＝CQCB ，即16－2t 12＝t 16. 解得t ＝6411.综上所述，当t ＝4.8 s 或6411s 时，△CPQ 与△CBA 相似.第8课时 相似三角形的周长和面积知识点1：相似三角形周长的比等于相似比【例1】在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边的长由原来的1 cm 变成4 cm ，那么它的周长由原来的3 cm 变成( B )A . 6 cmB . 12 cmC . 24 cmD . 48 cm ,1. 如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16知识点2：相似三角形对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比 【例2】如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16,2. 若△ABC ∽△DEF ，且相似比为2∶3，则它们对应边上的高之比为( A )A . 2∶3B . 4∶9C . 3∶5D . 9∶4知识点3：相似三角形面积的比等于相似比的平方【例3】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为( A ) A . 1∶4 B . 4∶1C . 1∶2D . 2∶1,3. 如图1－27－75－1，已知△ADE ∽△ABC ，且AD ∶DB ＝2∶1，则S △ADE ∶S △ABC＝( D )图1－27－75－1A . 2∶1B . 4∶1C . 2∶3D . 4∶9知识点4：利用相似三角形周长和面积的性质计算【例4】如图1－27－75－2，已知DB ＝2AD ，EC ＝2AE. (1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若△ABC 的周长为27 cm ，求△ADE 的周长.图1－27－75－2解：(1)证明略.(2)△ADE 的周长为9 cm.,4. 如图1－27－75－3，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD ＝32，S △ABC ＝25.(1)求证：△ADE ∽△ABC ； (2)求S △ADE 和S 四边形DBCE 的值.图1－27－75－3解：(1)证明略.(2)S △ADE ＝9，S 四边形DBCE ＝16.A 组5. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶3，那么它们的对应中线之比是( A ) A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9,6. 如图1－27－75－4，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D )图1－27－75－4A .BC DF ＝12B . ∠A 的度数∠D 的度数＝12C . △ABC 的面积△DEF 的面积＝12D . △ABC 的周长△DEF 的周长＝12B 组7. 若相似三角形△ABC 和△A′B′C′的面积比为1∶4，则它们的相似比为( C ) A . 1∶4 B . 1∶3C . 1∶2D . 1∶1,8. 如图1－27－75－5，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED ＝( C )图1－27－75－5A . 1∶3B . 1∶2C . 1∶3D . 1∶49. 已知△ABC ∽△A′B′C′，AD 是△ABC 的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若AD A′D′＝12，且△ABC 的周长为20 cm ，求△A′B′C′的周长.解：△A′B′C′的周长是40 cm .10. 已知△ABC 的三边长分别为5,12,13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积.解：△A′B′C′的面积是120.C 组11. 如图1－27－75－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，S 1表示△ADE 的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，若D 是AB 边的中点，则S 1∶S 2＝ 1∶3 ；若S 1＝S 2，则AD ∶AB ＝ 22.图1－27－75－6,12. 如图1－27－75－7，在矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1 ＝ S 2＋S 3；(填“＞”“＝”或“＜”)(2)若CE ＝3，DE ＝4，求S 2的值.图1－27－75－7解：(2)S 2＝323.第9课时 相似三角形的应用举例(1)——高度与河宽问题知识点1：利用相似测量物体的高度【例1】如图1－27－76－1，利用标杆BE 测量建筑物的高度. 已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m. 求建筑物CD 的高.图1－27－76－1解：建筑物CD 的高是10.5 m . ,1. 图1－27－76－2是小明测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，然后，后退至点B ，从点A 经平面镜刚好看到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求该古城墙的高度.图1－27－76－2解：该古城墙的高度是8 m .知识点2：利用相似测量河的宽度(测量距离)【例2】如图1－27－76－3，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A ，再在河岸的另一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点为点D ，若测得BD ＝180 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，你能知道小河的宽是多少吗？图1－27－76－3解：由题意，可知△ABD ∽△ECD ， ∴AB EC ＝BD CD ，即AB 50＝18060. ∴AB ＝150(m ).∴小河的宽是150 m .,2. 如图1－27－76－4，为了估计河的宽度，我们在河对岸选定了一个目标点O ，在近岸取点A ，C 使O ，A ，C 三点共线，且线段OC 与河岸垂直，接着在过点C 且与OC 垂直的直线上选择适当的点D ，使OD 与近岸所在的直线交于点B. 若测得AC ＝30 m ，CD ＝120 m ，AB ＝40 m ，求河的宽度OA .图1－27－76－4解：∵AB ⊥OC ，CD ⊥OC ， ∴AB ∥CD.∴△OAB ∽△OCD. ∴OA OC ＝AB CD ， 即OA OA ＋30＝40120. ∴OA ＝15(m ).故河的宽度OA 为15 m.A 组3. 已知某一旗杆的影子长6 m ，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10 m ，如果此时附近的一棵小树影子长3 m ，那么小树高是( A )A. 4 mB. 5 mC. 8 mD. 20 m,4. 如图1－27－76－5，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC ，BC ，在AC 上取一点E ，使AE ＝3EC ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，量得EF ＝6 m ，则AB 的长为 24 m .图1－27－76－5B 组5. 如图1－27－76－6，小明家的窗口面对大楼，相距AB ＝80 m ，窗高CD ＝1.2 m ，小明从窗口后退2 m ，眼睛从点O 处恰好能看到楼顶M 和楼底N ，求大楼的高度.图1－27－76－6解：由题意，知AB ＝80 m ，CD ＝1.2 m ，OA ＝2 m ， ∵CD ∥MN ，∴△OCD ∽△OMN. ∴CD MN ＝OA OB ， 即1.2MN ＝22＋80. ∴MN ＝49.2(m ).答：大楼的高度为49.2 m .,6. 如图1－27－76－7，小明为了测量楼MN 的高度，在离MN20 m 的A 处放了一块平面镜，小明沿NA 后退到点C ，正好从镜中看到楼顶M ，若AC ＝2 m ，小明的眼睛离地面的高度BC 为1.8 m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度.图1－27－76－7解：∵BC ⊥CA ，MN ⊥AN ， ∴∠C ＝∠N ＝90°.根据题意，可知∠BAC ＝∠MAN ， ∴△BCA ∽△MNA. ∴BC MN ＝AC AN . ∴1.8MN ＝220. 解得MN ＝18(m ). ∴楼房的高度为18 m .C 组7. 如图1－27－76－8，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上. 已知纸板的两条边DF ＝50 cm ，EF ＝30 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ，求树高AB .图1－27－76－8解：∵∠DEF ＝∠DCB ＝90°，∠D ＝∠D ， ∴△DEF ∽△DCB. ∴BC EF ＝DC DE. ∵DF ＝50 cm ＝0.5 m ，EF ＝30 cm ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ， ∴由勾股定理求得DE ＝0.4 m . ∴BC 0.3＝200.4. ∴BC ＝15(m ).∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋15＝16.5(m ).,8. 如图1－27－76－9，李华晚上在两根相距40 m 的路灯杆下来回散步，已知李华身高AB ＝1.6 m ，灯柱CD ＝EF ＝8 m .(1)若李华距灯柱CD 的距离DB ＝16 m 时，求他的影子BQ 的长； (2)若李华的影子PB ＝5 m ，求李华距灯柱EF 的距离.图1－27－76－9解：(1)∵AB ∥CD ，∴△ABQ ∽△CDQ. ∴AB CD ＝BQ DQ ，即1.68＝BQ 16＋BQ . ∴BQ ＝4(m ). ∴他的影子BQ 的长为4 m .(2)∵AB ∥EF ，∴△ABP ∽△EFP. ∴AB EF ＝PB PF ，即1.68＝5PF . ∴PF ＝25(m ). ∴BF ＝PF －PB ＝20 m .∴李华距灯柱EF 的距离是20 m .第10课时 相似三角形的应用举例(2)——盲区及其他问题知识点1：作辅助线构造相似三角形解决实际问题【例1】如图1－27－77－1，一位同学在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，他立即又测量建筑物的影子，因建筑物AB 靠近另一个建筑物CE ，所以AB 的影子没有完全落在地上，一部分影子落在墙上，他测得地上部分的影子长BC 为7.2 m ，又测得墙上部分的影子高CD 为1.2 m ，请你帮他计算建筑物AB 的高度.图1－27－77－1解：如答图27－77－1，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则DH ＝BC ＝7.2 m ，BH ＝CD ＝1.2 m .∵在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，答图27－77－1∴AH HD ＝11.2，即AH 7.2＝11.2. ∴AH ＝6.∴AB ＝AH ＋BH ＝6＋1.2＝ 7.2(m ).答：建筑物AB 的高度为7.2 m . ,1. 如图1－27－77－2，现要测量旗杆的高CD ，在B 处立一标杆AB ＝2.5 cm ，人在F 处，眼睛为E.标杆顶点A 、旗杆顶点C 在一条直线上. 已知BD ＝3.6 m ，FB ＝2.2 m ，EF ＝1.5 m. 求旗杆的高度.图1－27－77－2解：如答图27－77－2，过点E 作EH ∥FD 分别交AB ，CD 于点G ，H. ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴EF ＝GB ＝HD.∴AG ＝AB －GB ＝2.5－1.5＝ 1(m )，EG ＝FB ＝2.2(m )，GH ＝BD ＝3.6(m)，CH ＝CD －1.5.答图27－77－2又∵AG CH ＝EG EH ，∴1CD －1.5＝2.25.8. ∴CD ＝4322(m ).∴旗杆的高度为4322m .知识点2：运用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题【例2】如图1－27－77－3是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外的景物的宽CD .图1－27－77－3解：CD ＝43m .,2. 如图1－27－77－4是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE 为80 cm ，步枪上的准星宽度AB 为0.2 cm ，目标的正面宽度CD 为50 cm ，求眼睛到目标的距离OF .图1－27－77－4解：眼睛到目标的距离为200 m.A 组3. 如图1－27－77－5是一个照相机成像的示意图. 如果像高MN 是35 mm ，焦距是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，那么拍摄点L 离景物有 7 m.,图1－27－77－54. 如图1－27－77－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上. 若光源到幻灯片的距离为30 cm ，到屏幕的距离为90 cm ，且幻灯片中的图形的高度为7 cm ，则屏幕上图形的高度为( C )图1－27－77－6 A . 6 cm B . 12 cm C . 21 cm D . 24 cmB 组5. 如图1－27－77－7，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m 有一棵树，在河的北岸边每隔50 m 有一根电线杆，小丽站在离南岸15 m 的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度.图1－27－77－7解：如答图27－77－3，过点P 作PF ⊥AB ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，设河宽为x m.答图27－77－3∵AB ∥CD ，∴△PDC ∽△PBA. ∴PF PE ＝AB CD . ∴15＋x 15＝5025.解得x ＝15.答：河的宽度为15 m .6. 如图1－27－77－8，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF ＝3 m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG ＝4 m . 如果小华的身高为1.5 m ，求路灯杆AB 的高度.图1－27－77－8解：∵CD ∥EF ∥AB ， ∴△CDF ∽△ABF ， △EFG ∽△ABG . ∴CD AB ＝DF BF ，FE AB ＝FG BG. 又∵CD ＝EF ，∴DF BF ＝FGBG.∵DF ＝3 m ，FG ＝4 m ，BF ＝BD ＋3，BG ＝BD ＋7，∴3BD ＋3＝4BD ＋7. 解得BD ＝9(m ). ∴BF ＝12(m ). 由CD AB ＝DF BF ，得1.5AB ＝312.解得AB ＝6(m ). 则路灯杆AB 的高度是6 m . C 组7. 如图1－27－77－9，要在一块△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型. 其中，G ，F 在BC 边上，D ，E 分别在AB ，AC 边上，AH ⊥BC 交DE 于点M ，若BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求正方形DEFG 的边长.图1－27－77－9解：设正方形边长为x cm .由相似可得DE BC ＝AMAH，∵BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ， AM ＝(8－x)cm ， ∴x 12＝8－x 8.解得x ＝4.8. ∴正方形的边长是4.8 cm . ,8. 如图1－27－77－10，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，要把它加工成长方形零件PQMN ，使长方形PQMN 的边QM 在BC 边上，其余两个顶点P ，N 分别在AB ，AC 边上，求这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值.图1－27－77－10解：设长方形零件PQMN 的边PN ＝a ，PQ ＝x ，则AE ＝80－x. ∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD. ∴a 120＝80－x 80. 解得a ＝120－32x. 所以长方形PQMN 的面积S ＝xa ＝x ⎝⎛⎭⎫120－32x ＝－32x 2＋120x ＝－32(x －40)2＋2 400. 当x ＝40时，S 值最大，S 最大值＝2 400(mm 2).∴这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值是2 400 mm 2.第11课时 位 似知识点1：位似图形及其性质【例1】若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( C ) A . 每对对应点所在的直线相交于同一点 B . 两个图形上的对应线段之比等于相似比 C . 两个图形上的对应线段必平行D . 两个图形的面积比等于相似比的平方 ,1. 下列关于位似图形的4个表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比. 正确的有( B )A . 1个B . 2个C . 3个 D. 4个知识点2：位似图形的画法【例2】如图1－27－78－1，以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的13.。

新人教版九年级数学下册《第二十七章相似》全章教案本文已经没有格式错误和明显有问题的段落了，但是可以对每段话进行小幅度的改写，以增强文章的流畅性和可读性。

第一节课重点讲解了相似图形的概念和运用方法。

通过一些日常生活中的例子，让学生们理解了相似图形的形状和大小可以不同，但是它们的形状相同。

同时，老师还通过线段的长度比例的例子，让学生们理解了相似图形的比例关系。

在例题讲解中，老师通过选择题的形式，让学生们运用相似图形的特征，判断哪个图形与左边的图形相似。

同时，老师还给出了一道关于比例尺的例题，让学生们运用相似图形的知识，计算出实际距离。

第二节课重点讲解了相似多边形的主要特征和识别方法。

老师让学生们了解到相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

通过一些实例，让学生们学会了如何识别相似多边形，并运用其性质进行计算。

总的来说，本章节的教学目标是让学生们掌握相似图形和相似多边形的概念和运用方法。

通过一些生动的例子和实例，让学生们更好地理解和掌握知识点。

在研究第26页的内容时，学生需要了解判别两个多边形是否相似的条件。

这些条件包括对应角是否相等，对应边的比是否相等，这两个条件缺一不可。

如果要说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或者举出合适的反例。

在解决这个问题时，依靠直觉观察是不可靠的。

课堂引入：1.对于图中的两个相似的四边形，它们的对应角和对应边的比是否相等。

2.相似多边形的特征是对应角相等，对应边的比相等。

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3.相似比是相似多边形对应边的比。

4.当相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形。

例1（补充）（选择题）：下列说法正确的是D。

因为任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似。

例（教材P26例题）：要求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可以根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题。

27.1 图形的相似-1（第一课时）教学目标：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 教学过程：一、预习检测案：相似图形的概念： 二、合作探究案：线段的比：两条线段的比，就是两条线段长度的比．成比例线段：对于四条线段,,,a b c d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）例2一张桌面的长 1.25a m =，宽0.75b m =，那么长与宽的比是多少？ （1）如果125a cm =，75b cm =，那么长与宽的比是多少？ （2）如果1250a mm =，750b mm =，那么长与宽的比是多少？小结：上面分别采用,,m cm mm 三种不同的长度单位，求得的ab的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____． 三、达标测评案：1、下列说法正确的是（ ）A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B ．商店新买来的一副三角板是相似的.C ．所有的课本都是相似的.D ．国旗的五角星都是相似的. 2、填空题形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。

4．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，（1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ； （大）长是_______cm ，宽是_______cm ；（2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ 3．观察下列图形，指出哪些是相似图形：5．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？6．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？27.1 图形的相似-2（第二课时）教学目标：知道相似多边形的主要特征：会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．一、预习检测案：(阅读教材P36页思考，回答以下问题)1、相似图形性质：2、成比例线段二、合作探究案：实验探究：如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等？结论：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：∵∴（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．三、达标测评案：1．ABC ∆与DEF ∆相似，且相似比是23，则DEF ∆ 与ABC ∆与的相似比是（ ）． A ．23 B ．32 C ．25 D ．492．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度．4．已知四边形ABCD 和四边形1111ABC D 相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10cm 和4cm ，如果四边形1111ABC D 的最短边的长是6cm ，那么四边形1111ABC D 中最长的边长是多少？6．如图，AB ∥EF ∥CD ，4CD=，9AB =，若梯形CDEF 与梯形FEAB 相似，求EF 的长．7．如图，一个矩形ABCD 的长ADacm =，宽AB bcm =，,E F 分别是,AD BC AD 的中点，连接,E F ，所得新矩形ABFE A 与原矩形ABCD 相似，求:a b 的值．27.2.1相似三角形的判定-1（第三课时）教学目标：会用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆ ∽'''A B C ∆ ;知道当ABC ∆ 与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k．理解掌握平行线分线段成比例定理教学过程：一．预习检测案：1、相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？2、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在ABC ∆与'''A B C ∆中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且k A C CAC B BC B A AB =''=''=''． 我们就说ABC ∆与'''A B C ∆相似，记作ABC ∆∽'''A B C ∆，k 就是它们的相似比． 反之如果ABC ∆∽'''A B C ∆，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CAC B BC B A AB ''=''=''． 注意：（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。

人教版数学九年级第二十七章 相似27.1相似的判定与性质课程导入☞你能找出上图中上下两行形状相同的国旗么？（通过相同国旗的寻找让学生对相似形的概念有形象的理解）漫漫学☞ 27.1.1相似的判定⏹ 相似多边形的判定相似多边形的判定：如果两个多边形的 ， ，那么这两个多边形相似.巩固：如果两个三角形的 ， ，那么这两个三角形相似.相似的判定 与性质相似的判定相似的性质 存在性【例1】下列四组图形中，一定相似的是（）A.正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形想一想：刚才你在做题中你是怎么样理解相似多边形的判定的？【练习1.1】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【即时检测】1．如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P 在AC上，且AP：PC=AD：AB=4：3，下列对于矩形是否相似的判断，正确的是（）<2分钟>A．丙、丁相似B．甲、丁不相似C．丙、乙相似D．甲、乙不相似平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的 的比相等．推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 推论2：平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 强调“ ”的含义，并结合图形形象记忆的方法． 如：右全左全右上左上右上左上，右全右下左全左下，右全右上左全左上，右下右上左下左上=====．【例2】如图，在△ABC 中，DG ∥EH ∥FI ∥BC ， （1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD =1，DB =3，那么DG ：BC =_____．想一想：题目中给了平行，能得把所有的平行写出来吗？你能把平行于相似联系起来吗？结合已知此题用哪个相似得到线段的比？【练习2.1】在△APM 的边AP 上任取两点B ，C ，过B 作AM 的平行线交PM 于N ，过N 作MC 的平行线交AP 于D ．求证：P A ∶PB ＝PC ∶PD ．相似三角形的判定一如果两个三角形的三组，那么这两个三角形相似．【例3】如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，图中与△HBC相似的三角形为（）A．△HDB B．△HCD C．△HAC D．△HAD想一想：学了哪个判定定理？怎么证明相似呢？令正方形边长为1，你能求出哪些边的长度?通过计算你得到了什么？【练习3.1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．如果两个三角形的两组，并且相应的相等，那么这两个三角形相似．【例4】如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE．想一想：结论求什么？相似三角形的性质是什么？证明相似缺少什么条件，怎么办呢？【练习4.1】如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.（6，0）B.（6，3）C.（6，5）D.（4，2）如果一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似．【例5】如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF ＝∠C．求证：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB．想一想：刚才你在做题中所求为乘积的形式你怎么与相似联系起来，你准备怎么去做？怎样运用判定定理？【练习5.1】如图，在ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F 为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）（2）的条件下，若AD=3，求BF的长．【即时检测】2.如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD 于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）<4分钟>A.1对B.2对C.3对D.4对27.1.2相似的性质相似的性质一相似多边形的性质：相似多边形的，。

27.3.1 位似图形学习目标：1、知道位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2、握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小． 重点：位似图形的有关概念、性质与作图． 难点：利用位似将一个图形放大或缩小． 一、自主预习1.（教材P47页思考）观察图27.3-1图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？2.（P47页）把图27.3-2中的四边形ABCD 缩小到原来的21．分析：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ． 作法一：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ； （2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A′、B′、C′、D′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．二、合作探究问：此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ； （2）过点O 分别作射线OA ， OB ， OC ，OD ；（3）分别在射线OA ， OB ， OC ， OD 的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点O ； （2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A′、B′、C′、D′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．四、归纳反思谈谈你这节课学习的收获五、达标测评1．已知：四边形ABCD 及点O ，试以O 点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍．(1) (2)(3) (4)。

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》教案一. 教材分析人教版九年级数学下册《第二十七章相似》主要讲述了相似图形的性质和判定方法。

本章内容包括相似图形的定义、相似比、相似多边形的性质、相似三角形的性质和判定、相似圆的性质和判定等。

这些内容是学生学习几何学的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形有了一定的认识。

但是，对于相似图形的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。

此外，学生对于图形的变换和判定方法可能还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。

三. 教学目标1.理解相似图形的定义和性质，能够判断两个图形是否相似。

2.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够应用到实际问题中。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.相似图形的定义和性质的理解。

2.相似三角形的性质和判定方法的掌握。

3.图形变换的熟练运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和积极性。

2.利用多媒体和实物模型，进行直观演示和操作，帮助学生建立直观的空间想象能力。

3.提供丰富的练习题，进行巩固和拓展，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.实物模型和图片。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些相似的图形，如字母“A”和“a”，让学生观察和思考，引出相似图形的概念。

2.呈现（10分钟）讲解相似图形的定义和性质，通过具体的例子和实物模型进行演示，让学生理解和掌握相似图形的特征。

3.操练（10分钟）让学生进行一些类似的练习题，巩固对相似图形的理解和判断能力。

可以提供一些提示和指导，帮助学生解决问题。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用相似图形的性质和判定方法，解决实际问题。

教师可以给予一些帮助和指导，鼓励学生独立思考和解决问题。