高二C专题(矩阵和行列式3星)

第9章矩阵和行列式初步一、矩阵9.1 矩阵的概念矩阵及其相关的概念1、矩形数表叫做矩阵矩阵中的每个数叫做矩阵的元素由个数排成的行列的数表n m m n nj m i a ij ,,2,1;,,2,1mnm m n n a a a a a a a a a 212222111211称为矩阵.n m 记作mnm m n n a a a a a a a a a A212222111211nmij a )(2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。

1321它是2行2列的矩阵，记为22A ，矩阵可简记为An mA 注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”.列元素。

行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。

等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A )(,3、矩阵叫做方程组的增广矩阵，813521它是2行3列的矩阵，32A 可记作4、1行2列的矩阵（1，-2），（3，1）叫做系数矩阵的两个行向量。

2行1列的矩阵，叫做系数矩阵的两个列向量。

31125、解二元一次方程组就是通过某些变换使系数矩阵变为对角线元素均为1，其余元素为0的矩阵101在系数矩阵变化过程中增广矩阵随之变化，最后增广矩阵的最后一列给出方程组的解。

6、当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵。

1321是2阶方矩阵，2是行数（列数）说明：解方程组的过程就是通过某些矩阵变换，使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程。

7、对角线元素为1，其余元素均为0的方矩阵，如，叫做单位矩阵。

1011010001nE E全为1称为n 阶单位矩阵（或单位阵）.注意：单位矩阵是方阵说明：通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：（1）互换矩阵的两行（2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数（3）某行乘以一个数加到另一行通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

高二数学矩阵行列式试题1.如图，单位正方形OABC在二阶矩阵T的作用下，变成菱形OA1B1C1．求矩阵T；设双曲线F：x2－y2=1在矩阵T对应的变换作用下得到曲线F´，求曲线F´的方程．【答案】（1）T=；（2）x2-y2=3.【解析】（1）利用待定系数法，即可求矩阵T；（2）曲线C上任意一点，根据矩阵变换公式求出对应的点，解出由表示的式子，将点P的坐标代入曲线C的方程，化简即得曲线的方程.试题解析：（1）设T=，由=，解得由=，解得所以T=．（2）设曲线F上任意一点P（x，y）在矩阵T对应的变换作用下变为P¢（x¢，y¢），则=，即，所以因为x2－y2=1，所以（2x´-y´）2-（2y´-x´）2=9，即x´2-y´2=3，故曲线F´的方程为x2-y2="3."【考点】矩阵变换的性质.2.已知矩阵M=，（1）求矩阵M的逆矩阵；（2）求矩阵M的特征值和特征向量；（3）试计算.【答案】（1）；（2）和；（3）【解析】掌握矩阵运算以及矩阵变换的规律,直接根据矩阵乘法的定义.矩阵的运算难点是乘法运算，解题的关键是熟悉乘法法则,并且要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点.对于矩阵乘法，应注意几何意义在解题中的应用．还要注意矩阵的知识并不是孤立存在的，解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合．另对运算律的灵活运用将有助于我们简化运算，而运算中求矩阵的逆是重要的环节，在求逆之前首先必须熟悉公式再进行应用．试题解析：（1）|M|="-3" ,矩阵M的特征多次式为，对应的特征向量分别为和，所以【考点】矩阵变换的有关内容.3.已知矩阵有一个属于特征值的特征向量，①求矩阵；②已知矩阵，点，，，求在矩阵的对应变换作用下所得到的的面积．【答案】①②的面积为【解析】①根据矩阵有一个属于特征值1的特征向量可得，从而可求矩阵；②先计算，从而可得点变成点即可计算的面积.试题解析：①由已知得：，∴解得故.②∵∴，，即点，，变成点，，∴的面积为4.已知阶矩阵，向量。

高考数学专题训练——矩阵行列式（3）三、解答题1．已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．2．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3241A （1）求A 的逆矩阵A -1；（2）求A 的特征值及对应的特征向量。

3．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于 特征值1的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．4．已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．5．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵． 6．选修4－2：矩阵与变换若点A （-2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （2，2），求矩阵M ．7．在平面直角坐标系xOy 中，设曲线1C 在矩阵10102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥ ⎣⎦对应的变换作用下得到曲线222:14x C y +=，求曲线1C 的方程.8．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵302a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，A 的逆矩阵11031b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A . （1）求a ，b 的值；（2）求A 的特征值.9．（1）已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程．（2）在极坐标系中，圆C的方程为)4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），求直线l 被 圆C 截得的弦AB 的长度．10．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k ≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．11．（本小题满分14分）已知二阶矩阵21M a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭),(R b a ∈，若矩阵M 属于特征值1-的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311α，属于特征值3的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α． （Ⅰ）求实数b a ,的值；（Ⅱ）若向量35β-⎛⎫=⎪⎝⎭，计算5M β 的值． 12．已知矩阵A的逆矩阵122A -⎡⎢⎢=⎢⎢⎣，求曲线1xy =在矩阵A 对应的交换作用下所得的曲线方程． 13．（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上的任意一点()y x P ,变换为点()y x y x P +-',2．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵1-M；（Ⅱ）求圆122=+y x 在矩阵M 对应的变换作用后得到的曲线C 的方程．14．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵1235A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， (1)求逆矩阵1A -；（2）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ． 15．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵10a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈．若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(1,4)P '--． （1）求实数,a b 的值；（2）若21a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求10.M a16．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l '：x －y ＋2a ＝0． （1）求实数a 的值；（2）求A 2．17．（本题满分10分）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．18．（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（1）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（2）求曲线410x y +-=在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C '的方程． 19．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值4 的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵A －1．20．（选修4—2：矩阵与变换）（本题满分10分）已知1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，设曲线sin y x =在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F，求F方程参考答案1．2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：根据特征值与特征向量关系求矩阵：设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则有11111ab c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,,从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 试题解析：设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有11111a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ①， 4分又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ② 6分 根据①②，则有11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,,8分从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 10分 考点：特征值与特征向量 2．（1）⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-515254531A ； （2）5=λ或1-=λ；当5=λ时，特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111ξ当1-=λ时，特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=122ξ 【解析】试题分析：（1）利用逆矩阵的计算公式求出A 的逆矩阵A -1；（2）利用特征多项式对应方程的根，求矩阵的特征值，再结合对应的方程，求出每个特征值所对应的特征向量．试题解析：解：（1）∵54231||-=⨯-⨯=A ∴A 可逆 1分∴⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-515254531A 3分 （2）A 的特征多项式548)3)(1(3241)(2--=---=----=λλλλλλλf 4分 由0)(=λf ，得5=λ或1-=λ； 5分当5=λ时，由⎩⎨⎧=+-=-022044y x y x 得特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111ξ 当1-=λ时，由⎩⎨⎧=--=--042042y x y x 得特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=122ξ 7分 考点：矩阵与变换．3．A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由特征值与特征向量关系得：33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝611⎡⎤⎢⎥⎣⎦，33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即c ＋d ＝6，3c －2d ＝－2，，因此24c d =⎧⎨=⎩即A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而A 的逆矩阵是21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．试题解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦可得，33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝611⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即c ＋d ＝6， 2分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，可得33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即3c －2d ＝－2， 4分解得24c d =⎧⎨=⎩即A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 6分 所以A 的逆矩阵是21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 10分 考点：特征值与特征向量，逆矩阵4．2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 【解析】试题分析：设出二阶矩阵，利用待定系数法进行求解.试题解析：设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有11111a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦①， 又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦② 根据①②，则有11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,,从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦考点：1.矩阵；2.矩阵的特征向量；3.矩阵的特征量5．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32【解析】试题分析：由特征向量定义知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23，所以6=+d c ，223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32试题解析：解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. 考点：特征向量，逆矩阵6．0110M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 【解析】试题分析：根据矩阵变换得：cos sin sin cos αααα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，sin 1cos 0αα=-⎧⎨=⎩，所以0110M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 试题解析：解: cos sin sin cos αααα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin 1cos 0αα=-⎧⎨=⎩0110M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 考点：矩阵变换7．224x y += 【解析】试题分析：实质为转移法求轨迹：设(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点(,P x y '''，则有10102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥' ⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩22()()14x y ''+= 22()()142x y ∴+=，224x y += 试题解析：设(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点(,)P x y '''则有10102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥' ⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩5分 又因为点(,)P x y '''曲线222:14x C y +=上， 故22()()14x y ''+=，从而22()()142x y +=所以曲线1C 的方程是224x y +=． 10分 考点：矩阵变换8．（1）a ＝1，b ＝－23；（2）λ1＝1，λ2＝3；【解析】 试题分析：（1）利用逆矩阵的概念或公式求解；（2）利用特征多项式求特征值； 试题解析：（1）因为A A －1＝302a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1 03 b 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝1023ab a ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以1,20.3a ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得a ＝1，b ＝－23．（2）由（1）得A ＝3021⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则A 的特征多项式f （λ）＝321λλ---＝（λ－3）（ λ－1）． 令f （λ）＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3． 考点：1.逆矩阵；2.矩阵的特征值； 9．（1）480x y +-=；（2）【解析】 试题分析：（1）先把AB 求出，再把直线l 上一点经矩阵AB 变换为直线'l 上一点，找到两者之间的关系，代入已知直线既得；相当于求轨迹方程中的相关点发；（2）先把C 和直线l 的方程化为直角坐标系下方程，再根据弦心距、弦长和半径之间的关系求出弦长．试题解析：（1）易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩，即142x x y yy ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，代入20x y ''+-=中得12042y x y -+-=，∴直线l '的方程为480x y +-=；（2）解：C 的方程化为4cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得24cos 4sin ρρθρθ=+由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，得22440x y x y +--=其圆心C 坐标为(2,2)，半径r =l 的普通方程为20x y --=，∴圆心C 到直线l的距离d ==AB == 考点：1．矩阵的变换；2．相关点法；3．极坐标与直角坐标的转换；4．弦心距、弦长和半径之间的关系；10．解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩因为k ≠0，所以a ＝2． 5分 因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 考点：特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵． 11．（Ⅰ）30a b =⎧⎨=⎩；（Ⅱ）241249-⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】试题分析：（1）（Ⅰ）由211133a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2111311a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得333a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ 即得；（Ⅱ）设311531m n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由 335m n m n -+=-⎧⎨+=⎩解得21m n =⎧⎨=-⎩ 计算122βαα=-，555122M M M βαα=- ．试题解析：（Ⅰ）由211133a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2111311a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得333a b a b -+=-⎧⎨+=⎩解得30a b =⎧⎨=⎩ 4分（Ⅱ）设311531m n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则335m n m n -+=-⎧⎨+=⎩解得21m n =⎧⎨=-⎩ ∴122βαα=-∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-=24924111331)1(225525155ααM M M 7分考点：1．矩阵与变换；2．方程思想． 12．222y x -=【解析】试题分析：由矩阵变换公式直接代入计算可求曲线方程．试题解析：解法一：设1xy =上任意一点(),x y 在矩阵A 对应的变换作用下对应的点(),x y ''，则1x x x y y y -⎡⎢''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢==⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎣A ， 4分由此得)),,x x y y y x ⎧''=+⎪⎪⎨⎪''=-⎪⎩6分 代入方程1xy =，得222y x ''-=．所以1xy =在矩阵A 对应的线性变换作用下的曲线方程为222y x -=．10分解法二：22⎥=⎥⎢⎥⎣⎦A ， 4分 设1xy =上任意一点(),x y 在矩阵A 对应的线性变换作用下得到点(),x y ''，则2222x x y y -⎢'⎡⎤⎡⎤⎥=⎢⎥⎢⎥'⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，其坐标变换公式为,22,22x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩由此得)),2,2x x y y y x ⎧''=+⎪⎪⎨⎪''=-⎪⎩6分 代入方程1xy =，得222y x ''-=．所以1xy =在矩阵A 对应的线性变换作用下的曲线方程为222y x -=． 10分 考点：矩阵变换． 13．（Ⅰ）⎝⎛-=-31311M ⎪⎪⎪⎪⎭⎫3132；（Ⅱ）952222=++y xy x . 【解析】试题分析：（Ⅰ）考查矩阵变换与矩阵的关系，设),(y x P '''，本题变换为⎩⎨⎧+='-='yx y yx x 2，则矩阵1211M -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再求其逆矩阵，也可写出变换为⎩⎨⎧+='-='y x y yx x 2的逆变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'-='+'=y x y y x x 31313231，这样就得 ⎝⎛-=-31311M ⎪⎪⎪⎪⎭⎫3132； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得圆C 上的点(,)P x y 与变换后的点'(',')P x y 间的关系是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'-='+'=y x y y x x 31313231，把它代入C 的方程可得.试题解析：（Ⅰ）法一：设),(y x P '''，依题意得：⎩⎨⎧+='-='yx y yx x 2，∴ ⎝⎛=11M ⎪⎪⎭⎫-12， ∴3=M ， ∴⎝⎛-=-31311M⎪⎪⎪⎪⎭⎫3132． 法二：设),(y x P '''，依题意得：⎩⎨⎧+='-='yx y yx x 2，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'-='+'=y x y y x x 31313231 ， ∴ ⎝⎛-=-31311M ⎪⎪⎪⎪⎭⎫3132．（Ⅱ） ∵点()y x P ,在圆122=+y x 上，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'-='+'=y x y y x x 31313231，∴13131323122=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'-+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'y x y x ，即得952222='+''+'y y x x ，∴变换作用后得到的曲线C 的方程为952222=++y xy x ． 考点：矩阵变换，二阶逆矩阵. 14．（1）5231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）138-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】试题分析：（1）求逆矩阵，可设1-A =ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，利用1AA E -=，列出关于,,,a b c d 的方程组得解；（2）由已知31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可得131X A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算即可.试题解析：（1）设1-A =ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1235-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=325325a b a b c d a d +--⎡⎤⎢⎥+--⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ∴3125030251a b a b c d c d +=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪--=⎩解得5231a b c d =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩∴1-A =5231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,（2）523133118X --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.考点：逆矩阵，矩阵的运算. 15．（1）⎩⎨⎧==21b a ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛10241025． 【解析】试题分析：（1）矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个n m ⨯的矩阵就是n m ⨯个数排成m 行n 列的一个数阵．由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型．矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x d c b a ，列方程组求得； （2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令()0=λf 解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量． 试题解析：（1）由10a b ⎛⎫⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪-⎝⎭14-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，得121,24,a b -=-⎧⎨-=-⎩所以1,2.a b =⎧⎨=⎩ （2） 1102M ⎛⎫=⎪⎝⎭．令()1102f λλλ--=-()()120λλ=--=，得11λ=，22λ=． 属于11λ=的一个特征向量110e ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，属于22λ=的一个特征向量211e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a e e =+ ．()101012M a M e e =+ 10101122e e λλ=+ 101110252011024⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．考点：矩阵的应用． 16．（1）2a =；（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤5445 【解析】 试题分析：（1）矩阵变换问题，设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l '上点M(x ，y)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0，即 ⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0．，把(,)x y代入直线'l 方程化简得(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0．又由x 0－y 0＋4＝0，得1214a a-=，可得2a =；（2）由矩阵的乘法法则可得.试题解析：（1）设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l '上点M(x ，y)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0．3分代入l '方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0， 即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0． 因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2． 6分（2）由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⋅⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5445． 10分 考点：矩阵变换，矩阵运算. 17．x y 2sin 2=． 【解析】试题分析：利用矩阵的乘法公式可得到MN =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021，故在矩阵MN 变换下11122x x x y y y⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣即可求得函数解析式 试题解析：MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡200214分 即在矩阵MN 变换下11122x x x y y y ⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣ 6分即曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2= 10分 考点：矩阵的乘法、函数解析式18．（1）1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭；012=++y x 【解析】试题分析：矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个n m ⨯的矩阵就是n m ⨯个数排成m 行n 列的一个数阵.由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型.矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x d c b a ，列方程组求得. 试题解析：（1）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''， 则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 1分 又det()3M =-，∴1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭． 3分 （2）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''， 则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩5分∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭，即变换后的曲线方程为210x y ++=． 7分考点：1、求逆矩阵；2、矩阵的应用.19．2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11423142⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由特征值的定义转化已知的特征值与特征向量而求得矩阵A ,由逆矩阵公式或逆矩阵定义求得-1A ；试题解析：由矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦可得，21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝111⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦，即a －b ＝－1；由矩阵A 属于特征值4的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即3a+2b ＝12， 解得23a b =⎧⎨=⎩.即A ＝2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以A 逆矩阵A -1是11423142⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦考点：1.矩阵的特征值与特征向量；2.逆矩阵；20．x y 2sin 2= 【解析】试题分析：利用转移法求曲线方程，先设所求曲线F 上任意一点的坐标为(,)x y ，在矩阵MN 对应的变换作用下对应点的坐标为),(y x ''，由MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212，把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入 x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=，所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=.试题解析：由题设得11100022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设所求曲线F 上任意一点的坐标为(,)x y ，x y sin =上任意一点的坐标为),(y x ''，则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212，把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入 x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=，所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=.考点：矩阵变换。

高二数学单元测试 矩阵与行列式（2007-11-29）班级_______学号_______姓名__________一． 填空题1． 矩阵()43ij A a ⨯=是 行 列的矩阵2． 展开并化简行列式 2a b b b a b+--= 3． 写出三元一次方程组22822341x y z x y x y z -+=⎧⎪+=-⎨⎪+=+⎩的系数矩阵为4． 按 ①×3+② 的顺序变换矩阵50104920⎛⎫ ⎪⎝⎭得5． 已知矩阵311..2214x y z A B x y r +--+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭且A B =，则x = ， y = ，r = ，z = 。

6． 若2411,222x >-则实数x 的取值范围为 7． 三阶行列式231145523--中元素2-的代数余子式的值为 8．矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭是单位矩阵，若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵变换成120110d d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的形式，则方程组的解集为9． 等比数列{}n a 中，43a =，则行列式23562356a a a a -=10．写出和行列式m x n y元素相同，且行列式的值相等的另一个行列式 二． 选择题11．三阶行列式131223312的值等于 （ ）.0A .9B .12C .12D -12．设矩阵1111,,1111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭则AB 的运算结果是 （ ） 01.00A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 00.00B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11.11C ⎛⎫ ⎪--⎝⎭ 11.00D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13．方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩，则方程组1112222323a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是 （ ） 9.3x A y =⎧⎨=⎩ 6.4x B y =⎧⎨=⎩ 3.2x C y =⎧⎨=⎩ 12.13x D y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩14．设方程组为122x y x y -=⎧⎨+=⎩，两个学生都用矩阵解这个方程组，甲同学把扩充矩阵变换为101010⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是所得解集为(){}1,0，乙同学把扩充矩阵变换为010101⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是所得解集为(){}0,1，下面几个说法正确的是 （ ）A ．甲同学变换对，结论也对；乙同学变换错，结论也错。

(完整版)高二(上)矩阵、行列式知识要点复习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)高二(上)矩阵、行列式知识要点复习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)高二(上)矩阵、行列式知识要点复习的全部内容。

(完整版)高二(上）矩阵、行列式知识要点复习编辑整理:张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望（完整版)高二（上)矩阵、行列式知识要点复习这篇文档能够给您的工作和学习带来便利.同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力.本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为 <（完整版）高二(上）矩阵、行列式知识要点复习〉这篇文档的全部内容。

矩阵、行列式复习一、理解矩阵的概念并能正确的表示矩阵 1、矩阵的定义（1）n m ⨯个实数n j m i a ij ,,2,1;,,2,1, ==排成m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n m n n a a a a a a a a a A212221211211叫做矩阵。

记作n m A ⨯，n m ⨯叫做矩阵的维数。

矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素.（2）在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵,m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯。

高中数学 矩阵 行列式 专题练习及答案精析版含答案（79页）1．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021.已知πβα=+，2πβα=-，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）.A. 00⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．规定运算a bad bc c d=+，若sincos122332cossin22θθθθ=，其中0θπ<<，则sin θ=A ．12-B．2-C．2±D．23．定义行列式运算：32414321a a a a a a a a -=，将()xx x f c os 1s in 3----=向左平移()0>m m 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为（ ）A 、8π B 、3πC 、32πD 、65π4．如图， 111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==， 从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ ）A ．37 B ．47 C ．114 D ．13145．（选修4－2矩阵与变换）试从几何变换角度求解矩阵AB 的逆矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0 11 0B . 6．定义：a b ad bc c d=-.若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -7．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b cc c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是 [答]（ ）A 、0a b c ++=．B 、a b c 、、两两平行． C 、a b //． D 、a b c 、、方向都相同． 8．定义运算a bad bcc d=-,则符合条件120121z i ii+=--的复数z 对应的点在( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限 9．定义运算a b ad bc c d=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-10．定义运算bc ad db ca -=,则符合条件i ziz=12的复数z 的虚部为（ ）A ．51 B ．51- C ．52 D ．52- 11．设1141A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则矩阵A 的一个特征值λ和对应的一个特征向量α为 A ．3=λ，12α⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1-=λ，21α⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．3=λ，12α-⎛⎫=⎪⎝⎭ D ．1-=λ，12α⎛⎫= ⎪⎝⎭12．对2×2数表定义平方运算如下： （ ）222a b a b a b a bc ab bd c d c d c d ac cd bc d ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 则21201-⎛⎫ ⎪⎝⎭为 A.1011⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1101⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.0110⎛⎫⎪⎝⎭13．已知2010200820062004262422201816141210864,++++-= 则bc ad dc b a =（ ）A ． 2008B ．—2008C ．2010D ．—201014．定义2×2矩阵12142334a a a a a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若sin()()cos()1x f x x ππ⎛-= +⎝⎭，则()f x 的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ） A ．22sin()3y x π=- B ．2sin()3y x π=+C ．2cos y x =D ．2sin y x =15．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，且满足0222=ac b c b a ，则A B C ∆一定是（ ）． A 、等腰非等边三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形16．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n 2填入n×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N ，如图1的幻方记为N 3=15，那么N 12的值为 （ ）A ．869B ．870C ．871D ．875 17．矩阵E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数18．将5,6,7,8四个数填入12349⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为 （ ）A ．24B ．18C ．12D ．6 19． 已知bc ad dc b a -=,则=+++20102008200620041816141210864 ( )A －2008B 2008C 2010D -201020．定义运算bc ad db ca -=，则符合条件121211-+--x yy x = 0的点P (x , y )的轨迹方程为（ ）A ．(x – 1)2 + 4y 2 = 1B ．(x –1)2 – 4y 2 = 1C ．(x –1)2 + y 2 = 1D ．(x –1)2 – y 2 = 121．第3行第2列的元素的代数余子式记作()x f ，()x f +1的零点属于区间 （ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）；22．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021，已知αβ+=π，2αβπ-=，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A.00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦23．如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是 （ ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55331135217532 A 8413 B72C8471 D75 24． 已知a b ad bc c d=-,则46121420042006810161820082010+++=( )A ．－2008B ．2008C ．2010D ．－201025．若规定bcad d c ba -=，则不等式0111lg<x的解集是A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．（-∞，2）D ．（-∞，3）26．计算矩阵的乘积=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110n m y x ______________ 27．规定运算a bad bc c d=+，若sincos122332cossin22θθθθ=，则sin θ= ．28．函数x x xx x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T29．线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是__________________．30．对任意的实数y x ,，矩阵运算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x d c b a 都成立，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a . 31．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.32．定义矩阵变换a b m am bn c d n cm dn +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于矩阵变换11sin 20cos u v αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数1()2y u v =+的最大值为_____________ 33．设二阶矩阵,,a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中每一个数字称为二阶矩阵的元素，又记二阶矩阵乘法222,,a bc ab bd A A A ac cd bc d ⎛⎫++=⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭，请观察二阶矩阵乘法的规律，写出1112322122,,a a A A A a a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭中的元素21a =__________.34．若复数z 满足109z z-=，则z 的值为___________.35．二阶行列式ii i++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）36．计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= . 37．若0ln 1a b π⎛⎫ ⎪⎝⎭是单位矩阵，则a b -= . 38．行列式（a,b,c,d ∈{－1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .39．如果矩阵()111113-是线性方程组{111222a x b y c a x b y c +=+=的增广矩阵，则这个线性方程组的解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 可用矩阵表示为 ▲ ．40．将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当4=n 时数表的“特征值”为_________ 41．当πcos12=a 时，行列式211121a a +-的值是 ．42．方程cos sin sin cos =x x xx 的解为__________________.43．若行列式124012x -=，则x = .44．各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是 _________.45．若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= ． 46．不等式210x x+≥ 1 2 2的解为 .47．已知变换100M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 48．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6421的逆矩阵为 . 49．行列式987654321中元素8的代数余子式为______________.50．已知矩阵10102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的逆矩阵为51．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110的逆矩阵是 ．52．矩阵2130A ⎛⎫=⎪⎝⎭的特征值是_____________________． 53．．由9个正数组成的数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列，且a 11+a 12+a 13，a 21+a 22+a 23，a 31+a 32+a 33成等比数列．给出下列结论：①第二列中的a 12，a 22，a 32必成等比数列；②第一列中的a 11，a 21，a 31不一定成等比数列；③a 12+ a 32≥a 21+a 23； ④若9个数之和大于81，则a 22>9． 其中正确的序号有 ．（填写所有正确结论的序号）． 54．已知函数11()13xf x -=，则1(4)f-= ．55．[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值.56．定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数cos ()sin xf x x的图象向左平移m个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为57．已知矩阵A =1234⎛⎫⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ．58．若2211x x x y y y =--，则______x y += 59．对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________． 60．已知，则cos2α= ．61．若以⎪⎪⎭⎫⎝⎛1431a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．62．规定矩阵3A A A A =⋅⋅，若矩阵31 1 10 10 1x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是_____________．63．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2563N 的特征值为______________．来源 64．设平面上一伸缩变换把(1,1)A 变换为(2,3)P -,则点(2,3)B -在此变换下所对应的点是65．已知圆22:4C x y +=在矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应伸压变换下变为一个椭圆，则此椭圆方程为66．对2×2数表定义平方运算如下：222a b a b a b a bc ab bd c d c d c d ac cdbc d ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则21201-⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 67．已知,1->t 当[]2,+-∈t t x 时，函数xxx y 4=的最小值为-4，则t 的取值范围是 68．如图，2(4)nn ≥个正数排成n 行n 列方阵：符号(1,)ij a i j n ≤≤ 表示位于第i 行第j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且每一列的数的公比都等于q ． 若1112a =，241a =，3214a = ， 则q = ________，ij a =__________．69，则x =__________70．将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当3n =时数表的“特征值”为_________71．若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ=72．增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111311的线性方程组的解为________________. 73．关于z 的方程20132012101i zii izi+=--+（其中i 是虚数单位），则方程的解=z ． 74．三阶行列式12324310中第二行第一列元素0的代数余子式是________.75．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=421x A 可逆，则x 的取值范围为76．已知函数cos ()sin xf x x=， 则方程()021cos =+⋅x x f 的解是________.77．下列命题： ①函数⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； ②点A （1，1）、B （2，7）在直线03=-y x 两侧；③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当4=n 时，n S 取得最大值； ④定义运算11a b ，b a b a a b 122122-=则函数()13312x x x x x f +=的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x其中正确命题的序号是________（把所有正确命题的序号都写上）.78．不等式1111x x+-1≤的解集为._______79．若规定a b cd=|ad -bc|，则不等式log2111x<0的解集为80．三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，111213212223313233 a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的的概率为__________．81．不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．82．规定矩阵A A A A ∙∙=3，若矩阵31 1 10 10 1x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是_____________.83． 已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其对应的方程组为_____________ 84．若1250120131xx =，则实数x = ． 85．矩阵1141⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值为 ． 86．若=642531222c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于__________．87．已知矩阵2134A -⎛⎫=⎪⎝⎭，2143B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A B ⨯=____________ 88．cos()αβ-计算公式可用行列式表示为_____________． 89．若1312,2433A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则=-B A 3 ．90．若关于x, y 的线性方程组的增广矩阵为0603m n ⎛⎫⎪⎝⎭，该方程组的解为3,4.x y =-⎧⎨=⎩则mn的值为 ．91．已知N=0110-⎛⎫⎪⎝⎭,计算N 2.92．三阶行列式xb x x D 31302502-=， 元素b ()R b ∈的代数余子式为()x H ，(){}0≤=x H x P ，(1) 求集合P ；(2)函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为,Q 若,P Q ⋂≠∅求实数a 的取值范围；93．已知矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 12有一个属于特征值1的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12α. (Ⅰ) 求矩阵A ； (Ⅱ) 若矩阵B =⎪⎭⎫⎝⎛-1011，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作用下的像的方程.94．点(－1，k)在伸压变换矩阵001m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．95．已知矩阵A ＝ ⎝⎛0a ⎪⎪⎭⎫b 1把点（1，1）变换成点（2，2） （Ⅰ）求b a ,的值（Ⅱ）求曲线C ：122=+y x 在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程. 96．选修4—2：矩阵与变换 (本小题满分10分)已知矩阵3222-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41α，试计算：10M α． 97．（1）（矩阵与变换）求矩阵12A 14⎛⎫= ⎪-⎝⎭的特征值和对应的特征向量。

高中数学中的矩阵与行列式深入剖析矩阵和行列式是高中数学中的重要概念，它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、工程等领域也扮演着重要的角色。

本文将深入剖析矩阵和行列式的概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。

一、矩阵的概念与性质矩阵是由数个数按照一定的规则排列而成的矩形数表。

在高中数学中，我们主要研究的是二维矩阵，即由m行n列的数表所组成的矩阵。

矩阵中的每个数称为元素，用小写字母加上下标的形式表示，如a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵的加法和乘法是矩阵运算中的两个基本操作。

矩阵加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。

而矩阵乘法满足结合律和分配律，即(A * B) * C = A * (B * C)，A * (B + C) = A * B + A * C。

需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即A * B ≠ B * A。

除了加法和乘法，矩阵还有转置、逆矩阵等重要概念。

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

转置后的矩阵用大写字母加上T表示，如A^T表示矩阵A的转置。

逆矩阵是满足矩阵乘法交换律的矩阵，即A * A^(-1) = A^(-1) * A = I，其中I表示单位矩阵。

需要注意的是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵，只有非奇异矩阵才存在逆矩阵。

二、行列式的概念与性质行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个二维矩阵A，它的行列式用竖线括起来表示，即|A|。

行列式的值是由矩阵的元素按照一定规律计算得到的。

具体计算行列式的方法有很多，如拉普拉斯展开法、三角形法则等。

这里我们以拉普拉斯展开法为例进行说明。

拉普拉斯展开法是一种递归的计算行列式的方法。

对于一个n阶矩阵A，我们可以选择其中的一行或一列展开计算。

如果选择第i行展开，那么行列式的值可以表示为D = a_i1 * A_i1 + a_i2 * A_i2 + ... + a_in * A_in，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素，A_ij表示去掉第i行第j列后所得到的(n-1)阶矩阵的行列式。

高中数学中的行列式与矩阵详尽讲解在高中数学中，行列式与矩阵是两个重要的概念。

它们既有着理论上的意义，也有着实际应用的价值。

本文将详细讲解行列式与矩阵的相关知识。

一、行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来判断矩阵是否可逆。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)。

行列式的计算方法有很多种，其中最常用的是按照拉普拉斯展开定理进行计算。

拉普拉斯展开定理是指将一个n阶方阵的行列式展开成n个n-1阶方阵的行列式之和。

具体来说，对于一个n阶方阵A，可以选择其中的某一行或某一列，将其元素与对应的代数余子式相乘，再按照正负交错的方式相加，即可得到该行列式的值。

行列式的计算过程需要注意一些规则。

首先，行列式的值与矩阵的行列互换无关，即|A|=|A^T|。

其次，如果矩阵A的某两行（或某两列）互换位置，那么行列式的值将变为原值的相反数，即|A|=-|A'|，其中A'是A互换了两行（或两列）位置后的矩阵。

行列式在线性代数中有着广泛的应用。

例如，行列式可以用来求解线性方程组的解的个数。

当一个n阶方阵的行列式不等于0时，该方阵可逆，对应的线性方程组有唯一解；当行列式等于0时，该方阵不可逆，对应的线性方程组无解或有无穷多解。

二、矩阵矩阵是由一组数按照矩形排列而成的矩形阵列。

矩阵可以表示为m行n列的形式，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵的元素可以是实数或复数。

矩阵的加法和数乘是两个基本的运算。

对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，定义为将对应位置的元素相加得到的新矩阵。

对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘记作kA，定义为将矩阵A的每个元素乘以k得到的新矩阵。

矩阵的乘法是另一个重要的运算。

对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，定义为将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列对应元素相乘，并将结果相加得到的新矩阵。

需要注意的是，两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

高中数学矩阵与行列式矩阵与行列式是高中数学中重要的内容，它们在代数和几何中有广泛应用。

本文将从基本定义、运算性质、逆矩阵和行列式的应用等方面来探讨矩阵与行列式的知识。

一、矩阵的基本定义矩阵是由$m$行$n$列的数表所组成，用$A=(a_{ij})_{m \timesn}$表示，其中$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$j$列的元素。

根据矩阵的定义，可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵等。

二、矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、数乘和乘法等，下面将对这些运算性质做详细介绍。

1. 矩阵的加法设$A=(a_{ij})_{m \times n}$和$B=(b_{ij})_{m \times n}$是两个$m\times n$的矩阵，它们的和$A+B$定义为$(a_{ij}+b_{ij})_{m \times n}$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。

2. 矩阵的数乘设$A=(a_{ij})_{m \times n}$是一个$m \times n$的矩阵，$k$是一个实数，那么$kA$定义为$(ka_{ij})_{m \times n}$，即将矩阵$A$中的每个元素乘以$k$得到新的矩阵。

3. 矩阵的乘法设$A=(a_{ij})_{m \times s}$和$B=(b_{ij})_{s \times n}$是两个矩阵，它们的乘积$AB$是一个$m \times n$的矩阵，定义为$(c_{ij})_{m \times n}$，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$。

即矩阵$A$的第$i$行与矩阵$B$的第$j$列相乘并求和得到新矩阵$AB$的第$i$行第$j$列的元素。

三、逆矩阵逆矩阵是矩阵的重要概念，对于一个方阵$A$，如果存在一个方阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$是单位矩阵，则称$A$是可逆矩阵，$B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。

逆矩阵具有以下性质：1. 如果矩阵$A$可逆，则其逆矩阵唯一。